Kennwerteverteilungen von Häufigkeiten und Anteilen

Transkript

1 Kennwerteverteilungen von Häufigkeiten und Anteilen SS200 6.Sitzung vom Die hypergeometrische Verteilung Wahrscheinlichkeitsverteilung der Häufigkeit eines binären Merkmals bei Einfacher Zufallsauswahl Ohne Zurücklegen

2 & & 8 Die hypergeometrische Verteilung II N O O P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _ ` [ a [ b [ _ c d [ \ e [ f g [ h \ ` ] ^ _ [ Z [ \ h [ ` i j b e [ b! " #! $ % k l m n o p q r s t u v s t u v s w t s y w z 0/. & ' + & ' * & ' ) & ' ( s y v t { } ~ ƒ ~ ˆ & ( ) * +, - 2 #! " #! 2 # % A B C A B D E = <;: & ' + & ' * & ' ) & ' ( & ( ) * +, = <;: 8 F I 8 F H Œ Œ 8 F G ˆ Š ˆ Š 8 F 7 Ž 8 7 G H I J K L M Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 65

3 Verteilungsfunktion der hypergeometrischen Verteilung Erwartungswert und Varianz der Hypergeometrischen Verteilung

4 Die Binomialverteilung Wahrscheinlichkeit der Häufigkeit eines binären Merkmals bei Einfacher Zufallsauswahl Mit Zurücklegen Wahrscheinlichkeit der Stichprobenzusammensetzung: n n n n-n π * π = π * π ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 N=Anzahl der Elemente der Gesamtmenge N =Häufigkeit der Ausprägung N 2 =Häufigkeit der Ausprägung 0 π = N / N π = N 0 0 / N

5 ÎÍÌË ÎÍÌË Ã Ã ìëêé ÎÍÌË Ý Ã Binomialverteilung Die Wahrscheinlichkeit der Zufallsvariablen X Häufigkeit der Ausprägung bzw. 0 eines binären Merkmals in einer einfachen Zufallsauswahl mit Zurücklegen heißt Binomialverteilung. Die Realisierungswahrscheinlichkeit für die Häufigkeit n bei einer Binomialverteilung entspricht. P(X = n ) = n n n π * * π ( ) n n š œ ž Ÿ ª «± ² ³ ± µ ¹ µ º ±» ± ¼ ½ ¾ À Á ¾ Â Õ Ö Ø Ù Ø Ú Û Ü Ã Ä È Ã Ä Ç Ã Ä Æ Ã Ä Å í î ï ð í ð ñ ò í ï ð ï í ï ð ï í ð ñ ò Ã Å Æ Ç È É Ê í î ï ð Ý Þ â Ý Þ á Ý Þ à Ý Þ ß í ô ð ñ í ô ñ ð í ô î ð í ð ô ð í ð ð ô í î ó î í î î ò í î ó ï í î ð ð í î î ô í î î ð Ý ß à á â ã ä å æ ç ß Ý è ¼ ½ Ï À À Á ¾  ¼ ½ Ï À À Á Ô Â Ã Ä È Ã Ä È Ã Ä Ç Ã Ä Æ Ã Ä Å í ô ó ò í ô î ñ í ô î ñ í ð ð õ í ð ð õ í î î ð í î ð î í î ó ó í î ó ó í î ð î í î î ð Ã Å Æ Ç È É Ð Ñ Ò Ó Å Ã Ê Ã Ä Ç Ã Ä Æ Ã Ä Å í ô î î í ô ò õ í ô ï ó í ð î ï í ð ô ð ö í î î ð í î î ð í î î í î ï õ í î ô ø ö í î î ð Ã Å Æ Ç È É Ð Ñ Ò Ó Å Ã Ê Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 70

6 Binomialverteilung Die Verteilungsfunktion (die kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung) für die Binomialverteilung kann wie folgt berechnet werden: n n j ( ( ) n PX n) = * π * π j= 0 j j Die Binomialverteilung Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung Erwartungswert: µ = n* π Varianz: n* π *( π ) Die Bernoulliverteilung Spezialfall der Binomialverteilung Stichprobenumfang n =

7 Relative Häufigkeiten Der Erwartungswert für den Anteil p der Ausprägungen eines binären Merkmals ist gelich den Erwartungswert der absoluten Häufigkeiten, dividiert durch den Stichprobenumfang n: µ ( p ) = 0 + * *( n* ) n µ = n π = π Bei einer einfachen Zufallsauswahl ist der Erwartungswert des Stichprobenanteils gleich dem Populationsanteil. Dies gilt für einfache Zufallsauswahlen mit und ohne Zurücklegen. Relative Häufigkeit 2 Varianz eines Stichprobenanteils σ (p ) Bei einer einfachen Zufallsauswahl mit Zurücklegen (Binomialverteilung) 2 2 σ ( p) = * σ 2 = *( n * π 2 *( π ) = n n π *( π ) = n

8 σ Relative Häufigkeit Varianz eines Stichprobenanteils (p ) σ Bei einer einfachen Zufallsauswahl ohne Ersetzung (hypergeometrische Verteilung) π *( π N n n n N 2 2 ) ( p) = * σ... * 2 X = = 2 Beziehungen hypergeometrischer Verteilung und Binomialverteilung Beide Verteilungen haben identische Erwartungswerte Die Varianzen nähern sich für große Stichproben aneinander an Verteilungen werden sich insgesamt für große Stichproben (bzw. Populationen) ähnlicher: Sog. Asymptotische Annäherung

9 ù % & & ' ( ) * +, -. / : ; < = 5 > A B 5 6 > 5? C D 2 9? 5 E? 2 < =? 2 D C F 5 6 > 5? C ý þ ÿ ú û ü! " # $ Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 76 Die Normalverteilung und verwandte Wahrscheinlichkeitsverteilungen Kennwertverteilungen von Mittelwerten und Varianzen

10 Wahrscheinlichkeitsdichten kontinuierlicher Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariable Die Ausprägungen sind abzählbar also durch ganze Zahlen erfassbar. Z.B. die absolute Häufigkeit einer Ausprägung. Kontinuierliche Zufallsvariable Die Ausprägungen liegen beliebig dicht beieinander und können nur ducrh reelle Zahlen erfasst werden. Z.B.die eakt gemessene durchschnittliche Körpergröße in einer Population. Häufigkeitsdichte Dichte Wird als Quotient aus der relativen Häufigkeit einer Klasse dividiert durch die Klassenbreite berechnet. Wahrscheinlichkeitsdichte Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer kontinuierlichen Zufallsvariable kann in Intervalle aufgeteilt werden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist definiert als die Höhe eines Intervalls dessen Breite gegen null geht.

11 ª s ÓØ Ñ ÖÎ Ò ÓÕ Ñ Ã Dichte Über die Wahrscheinlichkeitsdichten können die Wahrscheinlichkeiten von Intervallen berechnet werden. P( a b) = f ( ) d b a a mit f ( ) d = bestimmtes Integral von a bis b a über die Dichte der Zufallsvariablen X G H H I J K L M N O P Q R S T U V W X U Y Z [ \ Z X U ] Y Z ^ Y [ _ [ ` S T U V W X U Y Z [ \ Z X U ] Y Z ^ W a b c d e f g h i f g f c j g k l m n o p p i q o k c o r p g h t u v w y w z { z } w ~ ~ w ƒ y ƒ w ƒ ~ { ~ ˆ Š ˆ Œ Ž Œ «± ² ³ µ ² ± ¹ ³ ³ ² º» ¼ ½ ¼ ¾» À Á  ½ ½» ž Ÿ š œ œ š Î Ò Ó Ð Ó Ô Î Ò Î ÏÐÑ Ì Í Ä Ê Å Ä É Æ Ä É Å Ä È Æ Ä È Å Ä Ç Æ Ä Ç Å Ä Å Æ Ä Å Å Ë Ê Ë É Ë È Ë Ç Å Ç È É Ê Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 84

12 gl e jb f gi e v w _ " Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F() einer kontinuierlichen Zufallsvariable ist ist definiert als das bestimmte Integral der wahrscheinlichkeitsdichte von minus unendlich bis zur Stelle : F () = P( X ) = fudu () Ù Ú Ú Û Ü Ý Þ ß à á â ã ä å æ ç è é ê ç ë ì í î ì ê ç ï ë ì ð é ñ ì ê ç ð ë ò ó ë è ð ë ì î ô í õ é ö ô í ï ð ì í ô í ñ ø ù ú û ü ý þ ÿ ÿ ý û ÿ ü ÿ ü ý ÿ û ù ú þ þ ú ý ú þ ÿ û C D. / : ; : 3 2 E F G H F I J K L M N O P Q R P Q S T U V O P, -. / : ; : < = : 7 8 : > : 7? : 7 2 : A / ; 2 3 B p mno b kf g kd g h b f b cde ` a W ] X W \ Y W \ X W [ Y W [ X W Z Y W Z X W X Y 6% W X X ^ ] ^ \ ^ [ ^ Z X Z [ \ ] q r s t u + ()* " ' & %! "#$! = y z { } z ~ ~ ƒ = = = Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 86

13 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert einer kontinuierlichen Zufallsvariable: + µ = * f() d wobei µ = Erwartungswert einer Zufallsvariablen X Erwartungswert und Varianz Die Varianz einer stetigen Zufallsvariablen X ist gleich: X X σ = ( µ ) * f ( ) d = + - wobei (- µ ) * f ( ) d 2 2 X 2 µ

14 Normalverteilungen: Die Gauß sche Normalverteilung Symmetrische, unimodale, glockenförmige Verteilung, deren Ausprägungen von bis + reichen. Kennzeichnend: feste Realisierungswahrscheinlichkeiten in Intervallen, die ±k Standardabweichungen um den Erwartungswert liegen; σ µ ˆ Š Œ Ž š œ ž Ÿ š Ÿ «µ µ ± ² ³ µ ¹ º» ¼ ½ ¾» ª ª ª ª ½ Ä À ½ à Á ½ à À ½ ¾ Á ½ ¾ À ½  Á ½  À ½ À Á ½ À À Ç È µé Ê Ë É Ì µé Í Ê Ë É Î Ï Ð Ñ Ò Ó Ó Ô Á ½ Ä Ä Æ Ä Æ Ã Æ ¾ Æ Â À  ¾ Ã Ä Å ½ Ä À ½ à Á ½ à À ½ ¾ Á ½ ¾ À ½  Á ½  À ½ À Á ½ À À Ç È µé Õ Ë É Ì µé Í Õ Ë É Î Ï Ð Ñ Ñ Ö Ê Ô Ô ½ ¾ Æ Ä Æ Ã Æ ¾ Æ Â À  ¾ Ã Ä Å Abbildung aus Kühnel/Krebs, 200: 90

15 Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung f ( ) = * e 2 2πσ ( µ ) 2σ 2 2 π = Kreiskonstante Pi e = Eulersche Zahl (Basis des Natürlichen Logarithmus) Standardnormalverteilung und Z-Transformation Jede Normalverteilte Zufallsvariable X kann mit Hilfe der Z-Transformation (auch Standardisierung genannt) in eine Standardnormalverteilte Variable überführt werden. Standardisierte (d.h. standardnormalverteilte) Variablen haben einen Erwartungswert µ = 0, und eine Standardabweichung σ = Die Wahrscheinlichkeitsdichte einer std.norm.- verteilten Variable wird mit bezeichnet. Φ( z)

16 Z-Transformation Standardisiert eine Normalverteilte Zufallsvariable (weist ihr einen Quantilwert der Standardnormalverteilung zu) z α = q α µ X σ z q α α = Quantilwert der standardisierten Zufallsvariablen X = Quantilwert der normalverteilten Zufallsvariablen X Quantilwerte und Quantilwahrscheinlichkeiten Quantilwerte können als Ausprägungen von Standardnormalverteilungen betrachtet werden Diesen Quantilwerten können Auftretenswahrscheinlichkeiten zugewiesen werden: Dies geschieht über die sogenannte Z- Tabelle der Quantile der Normalverteilung. (S.642)