Übungen zum Ferienkurs Analysis 1, Vorlesung 2

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1 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Übuge zum Feriekurs Aalysis, Vorlesug Witersemester 06/07. Richtig oder Falsch? Sid folgede Aussage richtig oder falsch? Korrigiere bzw. ergäze Sie falsche Aussage. Gebe Sie i beide Fälle eie kurze Begrüdug (i Worte) a: a) Jede mooto wachsede (fallede) Folge (a ) kovergiert gege sup A (if A), wobei A : {a N}. b) Jede kovergete Folge ist beschräkt. c) Jede beschräkte Folge ist koverget. d) Es seie die Folge (a ), (b ), (c ) koverget mit b lim (b ) lim (c ) ud (b ) (a ) (c ) für fast alle. Da kovergiert auch (a ) mit lim (a ) b. e) Habe die Folge (a ) ud (b ) die Grezwerte a bzw. b, so gilt: a b a b Lösug: a) falsch. Jede mootoe ud beschräkte Folge (a ) kovergiert. Der Grezwert ist da die kleiste obere bzw. größte utere Schrake, d.h. sup A bzw. if A. b) richtig. Beweis: Sei a der Grezwert ud N ei Idex mit a a < für > N, da gilt a max{ a +, a,..., a N } für alle. c) falsch. Gegebeispiel a ( ) d) richtig (Sadwich-Kriterium) e) Gilt ur für b 0. Da sid fast alle b 0.

2 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche. Folge ud Reihe. Häufugspukte Ma bestimme die Häufugspukte vo a + cos(π) ud kovergete Teilfolge. Lösug: Es ist cos(π) ( ) ud lim. Also sid ud Häufugspukte. Die zugehörige Teilfolge sid a + () a + + (). Kovergez (Teil ) Utersuche Sie auf Kovergez ud bestimme Sie ggf. de Grezwert/Kovergezradius a) a + b) b c) d) ( ) e (x + ) (Bestimmug des Grezwerts freiwillig) (exp(iπ/4)!) ()! (hier reicht zu zeige, dass die Reihe kovergiert) Lösug: a) Dritte Biomische Formel awede: ( ) + +

3 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche b) Höchste Potez ausklammer: c) Leibizkriterium: ( ) e (x + ) ( ) (x + ) e ( ) ist eie mooto fallede Nullfolge. Damit kovergiert die Reihe. Der e N Kovergezradius ist: ρ lim a + a lim e ( + )e + lim ( + ) e e ρ e Um de Grezwert zu bestimme erier wir us aus der Vorlesug: l( + x) ( ) k x k () k k Durch Umforme erhalte wir d) Quotietekriterium: lim i (( + )!) ( + )! i (!) ()! ( l + + x ) e ( ) ( + )!! k ()! ( + )! ( ) k ke k ( + x)k (4) 4 < absolut koverget. Kovergez (Teil ) Für welche x R kovergiert die Reihe: [ + ] + (x + )

4 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Lösug: Wir verwede das Wurzelkriterium. Es gilt: + + x + ( ) + + x + (5) ( ) (6) ( ) ) x + ( (7) x + (8) Also kovergiert die Potezreihe für x (, ). Am Rad gilt: + + ( ) ) ( () Nach dem Majorate-Kriterium kovergiert die Reihe damit bei x ud x.. Kovergez (Teil ) Ma begrüde warum die Reihe k0 ( ) k k + k absolut kovergiert ud beweise durch vollstädige Iduktio, dass für die -te Partialsumme gilt s Gege welche Wert kovergiert die Reihe? ( 4 + ( ) + 5 ). Lösug: Sei a : ( + )/. Da gilt mit dem Quotietekriterium: lim a + a lim lim + + (0) Damit kovergiert die Reihe absolut. Nu zur vollstädige Iduktio. Iduktiosafag: s 0 0 läst sich durch eisetze leicht verifiziere. Es gelte u die Iduktiosvoraussetzug für ud wir prüfe + 4

5 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche (Iduktiosschritt): s + s + a + ( 4 + ( ) + 5 ) + ( ) + + () + ( ) ( ) + ( ) () + + ( ) + ( + ) ( ) () + De Reihewert köe wir als Grezwert der Partialsumme bereche: k0 ( ) k k + k lim s 4 (4). Rekursiv defiierte Folge Zeige Sie, dass die rekursiv defiierte Folge a + + a, a 0 mit lim (a ) eie Grezwert besitzt ud dieser geau dem goldee Schitt etspricht. Zeige Sie dazu, dass die Folge beschräkt ud mooto ist. Für de goldee Schitt φ.68, der ei besoderes Verhältis zweier Strecke agibt, gilt φ φ + φ, φ > 0. Lösug Wir zeige die Mootoie. Es gilt: a + + a mit a 0 (5) Wir beweise mittels vollstädiger Iduktio: Iduktiosafag: a + a 0 > a 0 (6) Iduktiosvoraussetzug (I.V.) ist a + > a Iduktiosschritt: + a + + a + I.V. > + a a + (7) 5

6 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Dabei wurde beutzt, dass die Wurzeluktio für x > mooto steigt. Außerdem zeige wir och Beschräktheit. Wir bereche zuerst eiige Werte: a a + < (8) + + < + < 4 () Wir ehme u a, dass die Folge durch de Wert beschräkt ist (tatsächlich durch de goldee Schitt, wir müsse aber ur zeige, dass sie beschräkt ist). Wir beweise wieder durch vollstädige Iduktio: Iduktiosvoraussetzug: Iduktiosafag: wurde bereits gezeigt. Iduktiosschritt: + a < > a + + a I.V. < < (0) Damit ist die Beschräktheit gezeigt. Die Folge ist beschräkt ud mooto, also kovergiert sie. Wir zeige, dass der Grezwert der goldee Schitt ist: lim (a +) lim + a () a + a () a a 0 a ± 5 Letztere Gleichug erhält ma auch beim Auflöse der agegebee Gleichug für a. Wir wähle das positive Vorzeiche, da alle a größer sid als ud die Folge mooto wächst. Deshalb ist 5 < 0 kei zulässiger Wert für a. Wir erhalte für de Grezwert: () a + 5 φ.4 Harmoische Reihe Ma zeige, dass die (divergete) harmoische Reihe H 6

7 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche durch etfere jedes Gliedes, das 0 ethält (/0, /0,..., /0, 0,...) koverget wird. Lösug: Zur Aschauug schreibt ma die Partialsumme explizit: Damit folgt S j (4) ( < + + ) ( ) ( ) 00 + (5) (6) ( ( ) 0 ( ) ( ) ) + + (7) S j < Tatsächlich ist H.. k l ( ) l < 0 l ( ) l (8).5 Koch-Scheeflocke Die Koch-Scheeflocke ist ei eifaches Beispiel für ei Fraktal. Ma geht vo eiem gleichseitigem Dreieck der Seiteläge c aus, teilt im Iteratiosschritt jede Seite i drei Teile, immt das mittlere Stück weg ud ersetzt dies durch ei weiteres gleichseitiges Dreieck mit eiem Drittel der ursprügliche Seiteläge usw.: Bereche Sie Umfag ud Flächeihalt der Scheeflocke (für ). Was fällt auf? Hiweis: Der Flächeihalt eies gleichseitige Dreiecks beträgt c /4. Im -te Iteratiosschritt komme 4 Dreiecke mit Seiteläge hizu. Ergebis: A /5. Lösug: Wir habe für de Umfag ach dem -te Schritt: U ( ) 4 U 0 ; U 0 U 7

8 F. Hafer, T. Baldauf c Techische Uiversität Müche Der Umfag der Scheeflocke divergiert also. Wir bereche die Werte für die Flächeihalte ach 0, ud Iteratiosschritte: A 0 4 ( ) 0 A + 4 }{{} 4 4 A 0 ( ) A }{{} A ( ) 4 () (0) () Oder allgemei: A + A ( ) A 0 () Nach uedlich viele Schritte ist der Flächeihalt: A lim A A i ( + 4 ( i ( ) 4 i A i 0 () i ) ( 4 i ( ) ) i 4 geom. Reihe 4 i0 i ( + ( ) ) i 4 ) 4 5 Das bedeutet, dass die Kochs-Scheeflocke eie edliche Flächeihalt, aber eie uedliche Umfag hat! (4) (5) 8