k=1 {S n } n N konvergiert, so schreibt man: a n n=1 und spricht dann von Konvergenz oder Divergenz der unendlichen Reihe

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1 7 Reihen sind spezielle Folgen, die durch Summation entstehen. Definition 7. : {a n } n N sei Folge in C; S n := n Folge {S n } n N unendliche Reihe. Falls a k statt lim S n. a k heißt {S n } n N konvergiert, so schreibt man: n te Partialsumme und die Bemerkung: ) Beginnt die Folge bei 0 oder irgendeinem N Z, so beginnt die Summation bei N, und S n ist nur für n N erklärt. 2) Wie man den Summationsindex nennt, ist egal. 3) Achtung: manchmal schreibt man formal a n n= für die Folge {S n } der Partialsummen und spricht dann von Konvergenz oder Divergenz der unendlichen Reihe 4) Da Reihen speziele Folgen sind, können wir natürlich alle Konvergenzkriterien aus 6 zum Einsatz bringen. n= a n. Beispiele: ) a n = n!, n N S n = n k! ist streng monoton wachsend und beschränkt, außerdem gilt:

2 7. REIHEN 2 ( ) n + n k! ( + n) n+ = e = k! Eulersche Zahl 2) geometrische Reihe: z C, z < z k = z n+ Induktion z z = z k = z ( Bem.: z C, z = Divergenz von z k ) 3) Berechnung des Reihenwerts durch Umformung: (selten möglich!) k k+ = n ( ) k k+ = n+ = = n k k k+ = 4) Konvergenz durch Vergleich mit bekannter Reihe: S n := n = + k n n < (n )n < + n k(k+) =: + S n = + n n k+ k(k+) Nach 3) ist lim S n =,, also gilt S n < 2, denn S n. Da offenbar S n < S n+ ist, folgt konvergenz von {S n } n N, d.h. <. k 2 ( ) später: k 2 = Π2 6 5) harmonische Reihe: S n = n k ist bestimmt divergent:

3 7. REIHEN 3 Teilfolge: S 2 m = 2m k = ( ) + ( ) + 2 m Summanden { ( }}{ 2 m ) 2 m = + m l= + m + m 2 l= 2 l k=2 l + k > 2 l... }{{} 2 l Summanden = + m l= 2 l 2 l = unbeschränkt! andererseits (s. später): m ( ) k k ist konvergent (alternierend harmonische Reihe) Trivial zu beweisen sind die folgenden Rechenregeln: i) ii) a k, b k konvergent = (a k + b k ) konvergent, λ a k konvergent mit (a k + b k ) = a k + (λ a k ) = λ a k. b k Cauchy s Konvergenzkriterium lautet jetzt Satz 7. : a k konvergent zu jedem ε > 0

4 7. REIHEN 4 gibt es ein N N mit n+p k=n+ a k < ε für alle Denn: n N und alle p N. Cauchy-Bed. ε > 0 N N n, m N : S m S n ε Def m > R N :......, da man ja aus Symmetriegründen immer m > n annehmen darf. Nun nennt man m einfach n + p und läßt p alle natürlichen Zahlen durchlaufen. Offenbar ist n+p S n+p S n = k=n+ a k. Korollar: a k konvergent = {a k } k N ist Nullfolge Beweis: p in = von Satz 7. Achtung: Umkehrung falsch! harmonische Reihe (Wenigstens das Korollar + Gegenbeispiel sollte man sich für Prüfungen merken) Der Satz über die Konvergenz monotoner und beschränkter Folgen in R ergibt Satz 7.2 : a k 0 ab einem gewissen Index; a k konvergent { a k }n N beschränkt. denn ( ) S n := n a k kommen nur noch positive Glieder hinzu) und beschränkt. ist ab einer gewissen Nummer n an monoton wachsend (es

5 7. REIHEN 5 Was passiert bei der alternierend harmonischen Reihe? Sei {a k } k N eine alternierende reelle Zahlenfolge, d.h. Satz 7.3 : (von Leibniz) a k a k+ 0 für alle k N. Ist dann { a k } { } eine monoton fallende Nullfolge, so konvergiert a k alternative Formulierung: a k 0 monotone Nullfolge = ( ) k a k konvergent (und damit auch ) ( ) k a k a 2k 0 Beweis: o.e. a 0 = a 2k 0 k N U n := 2n dann: a k, V n := 2n a k, n N U n+ = U n + a 2n+ + a 2n+2 = U n + a 2n+2 a 2n+ }{{} 0 V n+ = V n + a 2n + a 2n+ = V n + a 2n a 2n+ }{{} 0 U n V n und U n = a + a 2 + a }{{} 3 + a 4 + a (a }{{} 2n 2 + a 2n ) + a }{{}}{{} 2n a sowie V n = (a + a 2 ) + (a }{{} 3 + a 4 ) (a }{{} 2n 3 + a 2n 2 ) + a }{{}} 2n {{} Daher sind {U n }, {V n } beide konvergent. Gemäß U n V n = a 2n 0 haben beide Folgen den selben Grenzwert. Daraus folgt die Beh. (Übung).

6 7. REIHEN 6 Beispiele: ( ) n 2n+, Leibniz Reihe ( ) n n+ sind konvergent alternierende harm. Reihe Es gibt eine wesentliche Verschärfung von Satz 7.3 Satz 7.4 : (Abelsches Kriterium) {a k }, {b k } seien reelle Zahlenfolgen mit ) die Partialsummenfolge b k ist beschränkt 2) {a k } ist monoton fallende Nullfolge = a k b k konvergiert Korollar: b k konvergent, a k 0 = a k b k konvergent Spezialfall: b k = ( ) k = Leibniz Kriterium Beweis: K mit S n K, n N; S n := n b k Seien n > m ; wir wollen die Cauchy Bedingung für a k b k prüfen und betrachten dazu

7 7. REIHEN 7 k=m+ k=m+ a k b k = a k S k k=m+ k=m+ a k ( S k S k ) = a k S k = Verschieben des Index in der 2 ten Summe k=m+ n k=m+ k=m+ a k S k n k=m a k+ S k = (a k a k+ ) S }{{} k + a n S n a m+ S m = 0 n a k b k K k=m+ (a k a k+ ) + a n K + a m+ K = K (a m+ a n ) + a n K + a m+ K = 2 a m+ K Zu ε > 0 wähle N mit a k < ε/2k k N. Für n > m N ist dann Überraschend klingt k=m+ a k b k < ε. Satz 7.5 : (Kondensationskriterium) {a k }monoton fallend, a k > 0. Dann gilt : a k { konvergent bestimmt divergent } 2 k a 2 k { konvergent bestimmt divergent }

8 7. REIHEN 8 Beweis: Es gilt Monotonie 2 2k+ a 2 k+ = 2 k a 2 k+ 2 k Summ. a 2 k+ {}}{ a 2 k a 2 k+ 2 k a 2 k = n+ 2 2 k a 2 k = 2 2 k+ a 2 k+ = 2 k a 2 k+ = n+ 2 2 k Summ. { }} { 2 k+ j=2 k + a j }{{} = a + 2n+ l= a l 2 k a 2 k a + 2n+ a l l= 2 k a 2 k 2 k a 2 k. Daraus ließt man mit Satz 7.2 (pos. Glieder + Beschränktheit der Partsummen) alle Beh. ab. Anwendungen: ) r Q, r > 0 k r? 2 k (2 k ) r = Betrachte dazu { } k ( 2 )r < geom. Reihe ( 2 )r < 2 r < r > Also: k r < r Q : r > 2) Reihen der Form b k /k mit b k fallend, b k 0: b k /k konvergent b 2 k konvergent.

9 7. REIHEN 9 Definition 7.2 : a) Sei a k eine Reihe in C. a k absolut konvergent : b) Sei σ : N N bijektiv. Dann heißt Bemerkungen: n= ) Abs. Kvgnz = Kvgnz nach Cauchy: a k konvergent a σ(n) eine Umordnung von n+p k=n n+p a k 2) Endliche Summen darf man beliebig umordnen, also die Reihenfolge der Summand ändern, ohne das Ergebnis zu ändern. k=n a k. n= a n. Bei Reihen ist das anders: Beispiel: ( ) k k ist konvergent gegen eine reelle Zahl x mit 2 x, denn ( ) k k 2n+ 0 0 {}}{ = + ( 2 + {}}{ 3 ) + ( ) ( 2n + 2n + ) }{{} 0 und 2 ( ) k k 0 0 = ( {}}{ 2 ) + ( 3 {}}{ 4 ) ( 2n 2n ) 2 Wir betrachten folgende Umordnung: , d.h. auf ein positives Glied folgen zwei negative, und setzen Klammern ( 2 ) 4 + ( 3 6 ) 8 + ( 5 0 ) = = 2 ( ) k k = 2 x, d.h. durch Umordnung ergibt sich ein anderer Reihenwert. (Natürlich lassen sich die obigen Umformungen präzisieren).

10 7. REIHEN 0 Allgemein gilt nämlich: Satz 7.6 Sei die reelle Reihe konvergent, aber nicht absolut konvergent. Dann gibt es zu s R {± } eine Umordnung σ, so dass die neue Reihe gegen s konvergiert bzw. bestimmt divergiert M.a.W.: Bei nicht absolut konvergenten reellen Reihen kann man durch Umordnung jeden Grenzwert R {± } erreichen. Beweis: Literatur bzw. Ergänzungsvorlesung Bei absoluter Konvergenz kann dieses Phänomen nicht eintreten! Satz 7.7 : a k sei eine absolut konvergente Reihe komplexer Zahlen. Dann ist für jede Umordnung σ : N N auch absolut konvergent mit a σ(k) = a k. a σ(k) Hilfssatz: Seien α k R, α k 0. Ist α k konvergent, so auch jede Umordnung, und zwar gegen den gleichen Grenzwert. Beweis des Hilfssatzes: Sei σ : N N Umordnung, S n := α k, S n := α σ (k) Sei offenbar: α := α k, also S n α n S n = n α σ(k) N α k α mit N := max {σ(o),..., σ(n)}

11 7. REIHEN = {S n} beschränkt und damit konvergent gegen α α. Umgekehrt: = α α Argument v. oben α k ist Umordnung von α σ(k) (mit σ ) Beweis von Satz 7.7: Da a k konvergiert, folgt aus dem H.S. Konvergenz von a σ(k) also abolute Konvergenz von a σ(k). Seien a := a k, a := a σ(k). Zu zeigen: a = a. Für n N sei (beachte = k=n+ σ : N N ist Bijektion) { } k n := min l : {0,,..., n} {σ(0), σ(),..., σ(l)} k n l=0 Man weiß : a σ(l) n l=0 a k abgeschätzt. k=n+ a l enthält nur noch Glieder mit einem Index > n, wird also durch a k 0 (da k=n+ a k = a k n a k ), es folgt a = a. Satz 7.6 und 7.7 ergeben

12 7. REIHEN 2 Satz 7.8 : großer Umordnungssatz Eine Reihe von reellen Zahlen ist genau dann absolut konvergent, - wenn jede Umordnung in R konvergiert Beweis: = Satz 7.7; = : wäre konvergent, so hat man insbesondere Konvergenz von Umordnung σ mit z.b. a σ(k) = +, Wspr! a k = und gleichzeitig jede Umordnung a k. Gemäß Satz 7.6 gibt es aber eine Bis jetzt noch offen: Multiplikation von Reihen! ( ) ( ) Natürlich gilt keine Produktformel a k b n = a n b n, denn diese ist ja schon für endliche Summen (d.h. a n = 0, b n = 0 ab einer Nummer N) falsch. Satz 7.9 : a n, b n Cauchy Produkt seien absolut konvergent. Sei für n N c n = a k b n k. Dann ist c n absolut konvergent und a n b n = c n. Hierbei sind a n, b n C zugelassen. Beweis: O.E. betrachtet man den R-Fall, sonst zerlege man in Re, Im

13 7. REIHEN 3 ) a k, b k 0 Man betrachtet die Partialsummen S n := a k, T n := b k, U n := Man hat U n S n T n = a k b l U 2n l, wie man aus folgendem Schema leicht erkennt. a b a b a b 2 a b 3 a b 4... a b a b a b 2 a b 3 a b 4... a 2 b a 2 b a 2 b 2 a 2 b 3 a 2 b 4... c k a 3 b a 3 b a 3 b 2 a 3 b 3 a 3 b 4... a 4 b a 4 b a 4 b 2 a 4 b 3 a 4 b 4... U n = Summation über die Diagonalen S n T n = Summation über die ganze Matrix

14 7. REIHEN 4 U 2n = Summation über die Diagonalen in a2n b 0 a 0 b 2n Aus U n S n T n U 2n folgt sofort U 2n S 2n T 2n (linke Ungl. mit 2n), also existiert lim n mit Wert wie behauptet. 2) b k 0, a k beliebiges Vorzeichen Zerlege a k = a + k a k, a+ k := 2 (a k + a k ), a k := 2 ( a k a k ) = nach ) a ± k b k = ( ) a ± k b n k Subtraktion der Gleichungen führt auf die Formel. 3) a k, b k beliebiges Vorzeichen aus 2) a k b + k = a k b + n k und entsprechend für Subtraktion liefert das Ergebnis. Bemerkungen: ) Im reellen Fall gilt die Formel auch dann, wenn nur eine der Reihe absolut konvergiert.

15 7. REIHEN 5 2) Konvergiert keine der Reihen absolut, so kann man keine Aussage erwarten: Beispiel dazu: a n = b n = n ( ) n, Setze (beachte c n := n α k n= k n+ k ( ) n+ β k = n= für absolut konvergente Reihen! Begründung?) a n konvergiert (Leibniz) α k β n+ k Es gilt 4 k (n + k) = (n + ) 2 (n + 2k) 2 (n + ) 2 = c n = k n+ k 2/(n + ) = 2n n+, so dass die Koeffizienten c n keine Nullfolge bilden, d.h. Formel ist falsch. 3) Anwendungsbeispiel: für x < ist n= c n divergiert und die Cauchy- ( x) 2 = ( ) 2 x n = x k x n k = (n + ) x n n=o = (n + ) x n. n= Wir kommen jetzt zu Kriterien für absolute Konvergenz: Folgende Aussage ist klar (da ja fast Definition ) a k absolut konvergent a k beschränkt unabhängig von n. a k konvergent Man beweist damit ohne weitere Rechnung

16 7. REIHEN 6 Satz 7.0 : (allg. Vergleichskriterium) (i) (ii) b n absolut konvergent, a n b n für f.a. n = = a n absolut konvergent ( Majorantenkrit. ) b n =, 0 b n a n = a n = ( Minorantenkrit. ) Eine Reihe mit positiven Gliedern ist also bestimmt divergent, wenn man eine devergente Minorante finden kann. Die beliebtesten konvergenten Majoranten sind geometrische Reihen, diese zeigt auch der Beweis des folgenden Satz 7. : (Wurzelkriterium) Es sei a := lim sup n an für eine Folge {a n } C. a < = a > = a n a n absolut konvergent divergent Bemerkung: a = = keine Aussage möglich! denn Beweis: a n = /n = a =, a n = /n 2 = a = n= n= n n 2 divergent konvergent

17 7. REIHEN 7 ) a < : man wählt q (a, ) = n mit n an q n n (nach Definition von lim sup). Also a n q n n n = Satz 7.0 a n konvergent, da q n < gemäß q < 2) a > : (a = eingeschlossen) = n a n für unendlich viele n (denn wäre n a n nur für höchstens endlich viele n, so hätte man auch a ). Betrachte die Teilfolge {a nk } mit n k ank k N = a nk k N = {a n } ist keine Nullfolge = a n divergent. Anwendung Satz 7.2 : (Quotientenkriterium) Es sei a n 0 für f.a. n. (i) Gilt (ii) Gilt b := lim sup a n+ a n a n+ a n <, so ist für f.a. n, so divergiert a n absolut konvergent. a n. Beweis: (ii) a n+ a n n n = {a n } keine Nullfolge (i) Es gilt lim sup n an lim sup a n+ a n diese Ungleichung nicht, sondern geben einen anderen Beweis von (i)., so dass Satz 7. anwendbar ist. Wir beweisen

18 7. REIHEN 8 Zur r (b, ) gibt es N N mit = a n+ r a n a n+ a n r n N Iteration a n+n r a n+n... r n a N = a k konvergiert, denn a n a N r n r N n N und r n konvergiert. Bemerkung: Wurzel- und Quotientenkriterium sind hinreichend, aber nicht notwendig für absolute Konvergenz, d.h. es kann absolute Konvergenz vorliegen ohne dass lim sup a n+ a n < n oder lim sup an < ist. Dies zeigt. n 2 n= Wir schließen mit einer Verbesserung des Quotientenkriteriums. Satz 7.3 : (Raabe) (i) Sei c >. Für f.a. n gelte a n 0 und an a n c/n = a n absolut konvergent (ii) a n > 0 für f.a. n und an a n /n = a n = Beispiele: (i) a n = /n 2 = a n /a n = (n )2 n 2 = 2 n + n 2 2 n + 2n = 3 2 also: c = 3/2 möglich. Beachte: aus der Bed. in (i) folgt nur lim sup a n /a n. n

19 7. REIHEN 9 (ii) a n = /n = a n /a n = /n Beweis von Satz 7.3: (i) an a n c/n n a n (n c) a n (c ) a n (n ) a n n a n gilt für alle n n. Es folgt für m n m a k (c ) k=n m k=n { m c (k ) a k m+ k=n c { } (k ) a k k a k k=n + { (n ) a n m a m } } (k ) a k c (n ) a n = = also Beschränktheit der Partialsummenfolge. (ii) jetzt ist für n n : a n /a n /n n a n (n ) a n. Also: (n ) a n n a n (n + ) a n +... (n + k) a n +k k N = a n n (n ) a n n > n Mithin hat a n die harmonische Reihe als divergente Minorante. Potenzreihen sind in der Analysis von großer Bedeutung zur Darstellung und Beschreibung der sog. elementaren Funktionen. Außerdem bilden sie das Fundament der Funktionentheorie. Sei z C gegeben sowie eine Koeffizientenfolge {a k } k N komplexer Zahlen. Man nennt dann z a k (z z ) k Potenzreihe (-nfunktion) mit Entwicklungsmitte z. Die Definition ist solange formal zu verstehen bis man weiß, für welche z C die Reihe ist. a k (z z ) k konvergent

20 7. REIHEN 20 Hilfssatz: Potenzreihen konvergieren immer in z. Gibt es ein z z, so dass a k (z z ) k konvergiert, so liegt absolute Konvergenz für alle z mit z z < z z vor. z z z 0 Sind die a k R und sind auch z, z reell, so folgt insbesondere absolute Kon- a k (x z ) k für alle x (z r, z + r), r := z z. Bemerkung: vergenz von ( ) z 0 r z 0 + r z 0 Beweis des Hilfssatzes: O.E. sei z = 0. Konvergenz von = {a n z n } ist Nullfolge, speziell: N N : a n z n n N Sei nun z C, z < z. = a n z n = a n z n z z n z z n n N. Da z/z < ist, konvergiert z/z n, a n z n das Majorantenkriterium ergibt Konvergenz von a k z k, also absolute Konvergenz der Potenzreihe an der Stelle z. = Satz 7.4 : Sei a k (z z ) k formale Potenzreihe um z C. Man definiert { R := sup r 0 : } a k r k konvergiert

21 7. REIHEN 2 Dann gilt: (i) absolute Konvergenz für alle z mit z z < R (ii) Divergenz für alle z mit z z > R. Bemerkungen: ) Es sind drei Fälle möglich: R = 0, 0 < R <, R = R = 0 : R = : Konvergenz nur für z = z Konvergenz für alle z C 2) D R (z ) := {z C : z z < R} Konvergenzkreis, R Konvergenzradius Wurzelkriterium = R = /L, L := lim sup 3) Berechnung von R n an Quotientenkriterium = R = /q, q := lim a n+ a n, falls existent (Konvention : /0 =, / = 0) 4) Man kann keine allgemeine Aussage darüber machen, was auf dem Rand des Konvergenzkreises passiert: i) n= n zn : R =, Konvergenz in z = Divergenz in z = ii) iii) n= z n : R =, Divergenz für alle z = n 2 z n : R =, Konvergenz für alle z =. Beweis von Satz 7.4: i) sei z C mit r := z z < R. wähle r (r, R) = a n (r ) n Def R konvergent

22 7. REIHEN 22 Hilfssatz (mit z = 0, r statt z ) = a n r n ist absolut konvergent abs. Kvgnz von a n (z z ) n. ii) hätte man Konvergenz an einer Stelle z mit z z =: ρ > R, so ergibt der Hilfssatz absolute Konvergenz von a k (w z ) k für alle w mit w z < ρ. Ist also r (0, ρ), so folgt die Konvergenz von a n r n, indem man ein w mit w z = r wählt. Gemäß ρ > R kann man auch r > R einrichten, was der Definition von R widerspricht. Bemerkung: Die Rechnungen zeigen, dass man R auch so hätte definieren können: { } R = sup r 0 : a n r n < Potenzreihen definieren Funktionen z.b. f : D R (z ) C, f(z) := a n (z z ) n, Exponentialfunktion Logorithmusfunktion E(z) := k! zk, z C, L(z) := ( ) k zk k, z <. Die Bedeutung dieser Funktionen wird im nächsten Abschnitt klar, dort werden wir diese Funktionen auf natürlichem Weg (über ihre charakteristischen Eigenschaften) definieren und danach die obigen Formeln beweisen. Hier interessieren wir uns zunächst nur für den Konvergenzradius. k! zk : Sei z C, z 0. Dann gilt / (k + )! zk+ k! zk = z k + 2 für k k z. Nach dem Quotientenkriterium folgt Konvergenz. ( ) n zn n : Für z < liegt sicher Konvergenz vor für z > nicht mehr, man hat n= bereits Divergenz in z =. Die Konvergenz kann man mit dem Quotientenkriterium nachweisen: lim sup z n+ /n + z n /n = lim sup n z = z <. n +

23 7. REIHEN 23 Wir stellen uns die Frage, wie man entscheidet, ob zwei Potenzreihenfunktionen f(z) = a n (z z ) n, g(z) = Konvergenzbereich den gleichen Wert liefern. b n (z z ) n identisch sind, also für jede Stelle z aus dem Satz 7.5 : Die beiden Potenzreihen f(z) = a n (z z ) n, g(z) = b n (z z ) n seien konvergent für alle z D ρ (z ) mit einem ρ > 0. {z k } sei eine Folge in D ρ (z ), z k z, mit lim z k = z. Gilt dann f(z k ) = g(z k ) für alle k, so folgt k bereits f(z) = g(z) auf D ρ (z ), denn a n = b n für alle n N. (Identitätssatz für Potenzreihen) Beweis: Sei h(z) := (a n b n ) (z z ) n = h(z k ) = 0. Gilt nicht a n = b n für alle n, so sei l der kleinste Index mit a l b l = h(z) = (z z ) l { (a l b l ) + n=l+ (a n b n )(z z ) n l} } {{ } =: H(z) Aus h(z k ) = 0 und z k z 0 folgt H(z k ) = 0. Also: 0 = a l b l + (z k z ) n=l+ (a n b n ) (z k z ) n (l+) benutze die Formel für den Konvergenzradius! Hilfssatz: i) c n (z z ) n sei konvergent auf D r (z ) = n=k c n (z z ) n k ist konvergent auf D r (z ) (Beweis später!) für jedes k N

24 7. REIHEN 24 ii) lokale Beschränktheit konvergenter Reihen. m=0 d m (z z ) m sei konvergent auf D r (z ) = r < r M < mit m=0 für alle z mit z z r. d m (z z ) m M Insbesondere ist n=l+ (a n b n ) (z z ) n (l+) M < für alle z Dρ/2 (z ). Es gilt z k D ρ/2 (z ) für k groß, also: a l b l = z k z n=l+ M z k z 0, k (a n b n ) (z z ) n (l+) so dass a l = b l, Wspr.!