Analysis III Winter 2016/17 Prof. Dr. George Marinescu/Dr. Frank Lapp / M.Sc. Hendrik Herrmann Serie 10 mit Musterlösungen

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Erna Egger
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nicht al Lbgu-Intgral, für < α < al Lbgu Intgral und abolut konvrgnt unigntlich Rimann-Intgral itirt. Löung: Di Funktion hat inrit in Poltll bi für α > und andrrit intrirt da Vrhaltn für.

1 Analyi III Wintr 6/7 Prof. Dr. Gorg Marincu/Dr. Frank Lapp / M.Sc. Hndrik Hrrmann Sri mit Mutrlöungn Aufgab Zign Si, da da Intgral in α d 4 Punkt für α und α wdr al unigntlich Rimann-Intgral noch al Lbgu Intgral, für < α al unigntlich Rimann-Intgral abr nicht al Lbgu-Intgral, für < α < al Lbgu Intgral und abolut konvrgnt unigntlich Rimann-Intgral itirt. Löung: Di Funktion hat inrit in Poltll bi für α > und andrrit intrirt da Vrhaltn für. Di ntchidndn Grnzfäll rhält man bi α, α und α, di in dr folgndn Graphik dargtllt ind:, in ]: Da g) it g mit g) in ttig Funktion und omit übr dn kompaktn Intrvall [, ] bchränkt. Gnaur gilt Darau folgt Zuammn mit α+ d < in < in g) in α+ in α < +. α+ < +. { [ ) ] α { α lim α, α ) α ln lim ln, α, α < +, α.

2 implizirt da, α in intgrirbar it auf, ] für α < und nicht intgrirbar für α. Da di Funktion in dm Brich in poitiv ttig Funktion it, macht hir Rimann und Lbgu-intgrirbar kin Untrchid. : Für α gilt in n ) α d in α d n ) α n groß,α in d n ) k.vorz.wchl in d. n ) in α d Wär di Funktion unigntlich Rimann-intgrirbar, o müt i di Intgral mit n al obr Grnz konvrgirn und inbondr Cauchyfolgn in. Dann müt abr dr obig Grnzwrt ggn konvrgirn, wa r nicht tut. Damit it α in für α nicht unigntlich Rimann-intgrirbar. Da di Funktionn ttig ind, folgt damit auch, da di Funktionn nicht Lbgu-intgrirbar ind für α. Si α > : Wir bwin, da da unigntlich Rglintgral itirt. Si f) in α Wir mün bwin, da f) inn Grnzwrt bitzt für +, odr f) hat di Cauchy-Eignchaft für +, d.h. zu jdm ɛ > gibt R > mit f) ft) < ɛ für all, t > R. Si R >, R < < t < +, dann f) ft) t in α d co t + α α α + t α + α d. t t co α+ d d α+ α di bdutt, da da unigntlich Rglintgral itirt. Für da Lbgu-Intgral mün wir di Bträg untruchn. Si dann gilt: a n α) n ) in d, n,,..., α, R α R + n ) ) α n ) ) α n ) n ) α in d a n α) n ) in d n ) α für α, )

3 n ) α n ) α Außrdm n ) n ) ) α in d a n α) n ) in α d in d n ) ) α für α > und, wnn α, n >. ) a n α). 3) Für α > it a n α) n ) ) α und di Rih 3) konvrgirt und in it α abolut unigntlich intgrirbar und omit auch Lbgu-intgrirbar. Für < α < it a n α) n ) α und di Rih 3) divrgirt btimmt ggn unndlich. Alo it in α nicht abolut unigntlich intgrirbar und omit auch nicht Lbgu-intgrirbar. n Abbildung : Zuammnfaung dr Intgrirbarkitrgbni, ] [, ), ) unigntlich Rimann-intgrirbar α < α > < α < Lbgu-intgrirbar α < α > < α < Aufgab 4 Punkt a) Si a >. Für wlch R it di Funktion R + a Lbgu-intgrirbar? Brchnn Si: a d Γ+)a. b) Bnutzn Si di Entwicklung k k und dn Satz von Bppo Lvi um zu zign, da für > gilt: n n Γ) dλ. Löung: Zu a): Auf [, + ) it f für all intgrirbar, da a C a/ mit gigntm C >. Auf, ) it a bchränkt, < c a c < ; dhalb f L, ) R L, ) R >. Zu b): Für > gilt a d ya a + y y dy gom. Rih Γ + ) a +. n. n 3

4 Di Rih kann für R > glidwi intgrirt wrdn: d n d yn y y n n n) dy n Γ) n n Wir habn bnutzt, da für in Folg f k ) in L X, µ) mit k f k dµ < +, konvrgirt di Rih f : k f k fat übrall und f dµ f k dµ. 4) Bwi: Nach Bppo-Lvi gilt k f k dµ k k f k dµ < alo k f k it intgrirbar und damit ndlich fat übrall. Di Folg n k f k) n hat di intgrirbar Majorant k f k und lim n n k f k k f k. Nach Lbgu folgt 4). Aufgab 3 Di Gammafunktion it dfinirt durch Γ) a) Zign Si für > : ) Γ + ) Tipp: Subtitution t ) b) Si >. Zign Si ϕ,) d, i) ϕ, ) für all, ] und t t dt, für >. ii) ϕ, ) ϕ, ) für all > und [, ). Tipp: ϕ, ) Φ ), wobi Φu) log + u) u 4 Punkt wobi ϕ, ) log + ) u +u) für u > ) c) Zign Si untr Bnutzung dr Forml R d und d Satz übr dominirt Konvrgnz, da lim Γ + ) ), lim n n! n ) n n Kommntar: Ltztr it di Stirlingforml, gchribn auch n ) n n! n, für n. 4

5 Löung: Zu a): Di Subtitution t t + rgibt Γ + ) t t dt ) + ) d + ) d log +) d log a log a ) ϕ,) d Zu b) i): Nach dm Satz von Taylor mit Lagrang-Rtglid in R) gibt in θ u zwichn und u, o da log + u) log +! [log + u)] u +! [log + u)] uθ u u log + u) u u + + u + θ u ) u u u + θ u ) + θ u ) u, wnn θ u ) θ u [, ] und damit u [, ], ), ]. Für, ] it u, ] und omit: log + ) [ ϕ, ) log + ). ] >, ]. Zu b) ii): Si nun > blibig abr ft gwählt. Wi im Tipp zign wir mit Φu) log + u) ϕ, ) log + 3 ) + + log + ) + Φ ) u +u) u, u. Φ it diffrnzirbar auf [, ) und Φ u) + u + u u + u) + u) + u + u ) + u) + u) Φ it monoton fallnd mit Φ) für all u [, ) ϕ, ) für all >, > ϕ ϕ, ) it monoton fallnd auf [, ) u 5

6 ϕ, ) ϕ, ) für all [, ), [, ) Entprchnd gilt für in > : ϕ, ) ϕ, ) für all [, ), [, ).) Zu c): Für [, ) und R dfinirn wir Wgn b) gilt f, ) ϕ,), ) ). f, ),] ) + + ), ) ) : g). Di Funktionn f, ) wrdn für all von dr auf ganz R intgrirbarn Funktion g dominirt. Nach dm Satz übr dominirt Konvrgnz kann Intgral und Grnzwrt vrtaucht wrdn: lim f, )d R R lim f, )d R Γ + ) ) da hißt Γ + ) lim d Witrhin gilt Γn + ) n! und omit n ) n n! n, für n. ), für. 6

7 Zuatzaufgab +4 Punkt Mngn vom Cantorchn Typ) Aughnd vom kompaktn Intrvall I [, ] nhmn wir nachinandr offn Intrvall hrau. Zunächt wird in in dr Mitt glgn offn Tilintrvall I hraugnommn, dann au jdm dr bidn Rt in Mittltück I bzw. I, darauf au jdm dr vrblibnn vir Rt in Mittltück I 3, I 3, I 33, I 34 uw. Di Vrinigung G allr I ij, i,,..., j,,..., i, it offn. Di kompakt Rtmng C I \ G wird al Mng vom Cantorchn Typ bzichnt. Si < α /3. Wählt man λ I ij ) α i für j,,..., i, o bzichnt man mit G α und C α di rhaltnn Mngn. Stzt man α /3, o pricht man von dr Cantorchn Mng. a) Zign Si, da di Mngn C α nirgnd dicht ind d.h. jd Intrvall in zu C α dijunkt Intrvall nthält). b) Brchnn Si λ C α ). Löung: Zu a): Nach dm n-tn Schritt rhaltn wir di abgchlon Mng C n α [, ] \ n i i j di al Vrinigung von n abgchlonn dijunktn Intrvalln Ck n dargtllt wrdn kann, wobi λ Ck n) glich ind für all k,..., n. Darübr hinau, C α n Cn α Cα n für all n. Da all Intrvall I ij dijunkt ind, gilt und λ C n α) n i α i i n i I ij, α) i α α)n α λ Ck n ) λ Cα) n n n α ) α)n α Si jtzt a, b) in blibig offn Intrvall. Wnn a, b), ), gibt nicht zu bwin. Anontn i a, b ) a, b), ). Da lim n λ Ck n ), gibt n mit λ Ck n) < b a, d.h. kin dr Intrvall Ck n nthält da Intrvall a, b ). Da all Ck n dijunkt ind, gilt a, b ) \ Cα n. Si a, b ) \ Cα. n Da di Mng offn it, gibt in Intrvall c, d) a, b ) \ Cα n a, b) \ C α. Zu b): C α n C n α, C n α C n+ α λ C α ) lim n λ C n α) 3α α. 7

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