Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3: Laplace- und z-transformation

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1 Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 3: Laplace- und z-transformation 7. November 2016

2 1 Laplacetransformation 2 z-transformation Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Einführung der z-transformation 3 Eigenschaften Konvergenz Eigenschaften 4 Verwendung z-übertragungsfunktion

3 Laplacetransformation Laplacetransformation: Fouriertransformation mit Konvergenz erzeugendem Faktor e σ : Aus V (jω) = wird V (σ + jω) = Mit s def = (σ + jω) ist das V (s) = v(t)e jωt dt (1) v(t)e (σ+jω)t dt v(t)e st dt (2)

4 Laplacetransformation Das ist genau die Definition der Laplacetransformation: V (s) = v(t)e st dt def = L {v(t)}. (3) Die Größe s repräsentiert den komplexen Frequenzparameter s = σ + jω C. (4) Wenn das zu transformierende Signal v(t) kausal ist, gilt wegen v(t) = 0, t < 0 auch V (s) = 0 v(t)e st dt = L {v(t)}. (5)

5 L {v(t)} = v(t)e st dt, s = σ + jω Zeitverlauf von e st : 0 sigma = -0.2, omega = 2 rad/sec sigma = -0.2, omega = 1 rad/sec sigma = -0.2, omega = 0 rad/sec sigma = -0.2, omega = -1 rad/sec 40 sigma = 0, omega = 2 rad/sec sigma = 0, omega = 1 rad/sec sigma = 0, omega = 0 rad/sec sigma = 0, omega = -1 rad/sec 1 sigma = 0.2, omega = 2 rad/sec sigma = 0.4, omega = 2 rad/sec sigma = 0.2, omega = 1 rad/sec sigma = 0.4, omega = 1 rad/sec sigma = 0.2, omega = 0 rad/sec sigma = 0.4, omega = 0 rad/sec sigma = 0.2, omega = -1 rad/sec sigma = 0.4, omega = -1 rad/sec

6 Das Gebiet, in dem die Laplace-Transformierte konvergiert (Region of Convergence - ROC), hat immer die Form eines zu der imaginären Achse (jω-achse) der s-ebene parallelen Streifens: Figure : Konvergenzgebiet der Laplace-Transformation Für kausale Signale gilt b.

7 Anwendungen der Laplace-Transformation: Wegen L { d dt v(t)} = sl {v(t)} werden aus Differentialgleichungen oft gut lösbare algebraische Gleichungen. Für zeitkontinuierliche, lineare Systeme ist die Laplacetransformation die Methode zum Entwurf von stabilen Regelkreisen. Für zeitdiskrete Signale und Systeme bildet die Laplace-Transformation den Ausgangspunkt der Entwicklung der z-transformation.

8 Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Reverse Engineering Beispiel 1: Digitales Filter gegeben als Quellcode: Digitale Signalverarbeitung, VorlesungFigure 3: Laplace- : Digitales und z-transformation Filter als c-code

9 Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Reverse Engineering Beispiel 2: Blockdiagramm eines linearen Systems:

10 Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Reverse Engineering Beispielanwendung: EKG-Signal 1 mit Baseline-Drift 1 Goldberger AL, Amaral LAN, Glass L, Hausdorff JM, Ivanov PCh, Mark RG, Mietus JE, Moody GB, Peng C-K, Stanley HE. PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet: Components of a New Research Resource for Complex Physiologic Signals. Circulation 101(23):e215-e220

11 Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Reverse Engineering Beispielanwendung: EKG-Signal 1 mit Baseline-Drift 1 Goldberger AL, Amaral LAN, Glass L, Hausdorff JM, Ivanov PCh, Mark RG, Mietus JE, Moody GB, Peng C-K, Stanley HE. PhysioBank, PhysioToolkit, and PhysioNet: Components of a New Research Resource for Complex Physiologic Signals. Circulation 101(23):e215-e220

12 Ziel: Reverse-Engineering für Digitale Filter Reverse Engineering Weg dorthin: Einführung der z-transformation Konvergenz & Eigenschaften z-übertragungsfunktion digitaler Systeme

13 Einführung der z-transformation Einführung der z-transformation Laplacetransformation für abgetastete Signale: L { k= v 0 (t)δ(t kt ) } = = = k= k= k= v 0 (t)δ(t kt )e st dt v 0 (t)δ(t kt )e st dt v 0 (kt )e skt. (6) Gleichung (6) beschreibt also die Laplace-Transformierte des abgetasteten Signals.

14 Einführung der z-transformation z-transformation V (s) = k= v 0 (kt )e stk. (7) Übergang zur diskreten Signalfolge v(k) = v 0 (kt ) und Definition von z def = e st führt zu V (z) = k= v(k)z k def = Z{v(k)}. (8) Die z-transformierte der Folge v(k) ist also genau die Laplacetransformierte des abgetasteten Zeitsignals!

15 Einführung der z-transformation Laplacetransformation für abgetastete Signale In k= v 0(kT )e skt ist e skt = e σkt e jkωt Wegen e ja = e j(a+n2π) gilt: e jkω 1T = e jk(ω 1T +N2π) = e jk(ω 2T ) mit ω 2 T ω 1 T = 2πN ω 2 ω 1 = 2πN T Die Laplace-Transformierte ist in ω-richtung periodisch mit der Abtastkreisfrequenz 2π T = 2πf A.

16 Einführung der z-transformation Abbildung der s- auf die z-ebene Figure : Abbildung der s-ebene auf die z-ebene durch z = e st

17 Einführung der z-transformation s-ebene z-ebene linke komplexe Halbebene Inneres des Einheitskreises imaginäre Achse Peripherie des Einheitskreises rechte komplexe Halbebene Äußeres des Einheitskreises Ursprung s = 0 z = 1 Ω = 0 s = jπ/t f = f A /2 z = 1 Ω = ±π Table : Abbildungseigenschaften von z = e st

18 Konvergenz Konvergenz Man sagt dass die Laplacetransformierte an der Stelle s konvergiert falls L {v(t)} = V (s) = v(t)e st dt <. (9) Genauso konvergiert die z-transformierte an der Stelle z, wenn V (z) = v(k)z k <. k=

19 Konvergenz Konvergenz Aus der Äquivalenz von Laplace- und z-transformation lässt sich das Konvergenzgebiet der z-transformation herleiten. Die Laplace-Transformierte konvergiert für kausale Signale und Systeme rechts von einer Grenze σ > a Wegen z = e st = e (σ+jω)t = e σt e jωt = z e jφ(z) also wegen z = e σt konvergiert die z-transformierte für alle σ > a und damit für alle z > e at.

20 Konvergenz Konvergenz Das gleiche Prinzip funktioniert auch für Signale, die kausale und nichtkausale Anteile haben (die also rechts und links der Zeit t = 0 Werte 0 besitzen): Die Laplace-Transformierte konvergiert für Signale und Systeme in einem Band a < σ < b. Dann konvergiert die z-transformierte wegen z = e σt für alle a < σ < b, also für alle e at < z < e bt.

21 Konvergenz Konvergenz und Stabilität Ein LTI-System ist BIBO-Stabil, wenn k= h(k) <. (10) Das kann man am Konvergenzgebiet der z-transformierten der Impulsantwort gut überprüfen: H(z) = h(k)z k (11) = k= k= k= h(k)z k (12) h(k) z k (13) Wenn h(k) ein BIBO-stabiles System beschreibt, konvergiert also

22 Konvergenz Konvergenz und Stabilität H(z) = h(k)z k (14) k= k= h(k) z k (15) Wenn h(k) ein BIBO-stabiles System beschreibt, konvergiert also auch H(z) für z = 1. Umgekehrt: Wenn für H(z) der Einheitskreis, z = 1, nicht in der ROC liegt, dann ist das System nicht BIBO-stabil.

23 Konvergenz Beispiele zur Konvergenz Zeitverzögerter Dirac-Impuls: v(k) = δ(k m), m N 0. Eingesetzt in die Definition der z-transformation (8) ergibt sich V (z) = Z{δ(k m)} = δ(k m)z k = z m. k=0 Speziell wenn m = 0 ist, folgt also auch Z{δ(k)} = 1. Also ist das Spektrum des Dirac-Impulses frequenzunabhängig (=weiß), und konvergiert in der gesamten z-ebene.

24 Konvergenz Beispiele zur Konvergenz Komplexe kausale Exponentialfolge: v(k) = (ae jω ) k, k 0 a, Ω R. (16) Die Durchführung der z-transformation (8) ergibt: V (z) = a k e jkω z k = (ae jω z 1 ) k. (17) k=0 k=0

25 Konvergenz Die Formel (17) stellt eine geometrische Reihe dar. Deswegen ist V (z) = (ae jω z 1 ) k < (18) falls Deswegen k=0 ae jω z 1 < 1. (19) ROC (geom. Reihe): z > ae jω = a. (20) In diesem Gebiet der z-ebene existiert die z-transformierte (17), d.h. die unendliche Summe konvergiert z > a absolut bzw. V (z) ist in diesem Gebiet beschränkt: V (z) = (ae jω z 1 ) k = k=0 1 1 ae jω z 1 = z. (21) z aejω

26 Eigenschaften Verschiebungssatz der z-transformation Gesucht wird die z-transformierte einer zeitlich verschobenen Folge v(k l), l Z: Z{v(k l)} = v(k l)z k. (22) k=0 Weil v(k) als kausal vorausgesetzt wurde, müssen zwei Fälle unterschieden werden. Verzögerung (l 0) Linksseitige Verschiebung (l < 0)

27 Eigenschaften Verzögerung Es gilt mit der Substitution λ = k l (und k = λ + l) Z{v(k l)} = v(k l)z k = z l k=0 λ= l v(λ)z λ Da in der letzten Summe auf Werte der Folge v(λ) für λ < 0 zugegriffen wird, für die v(λ) = 0 gilt, folgt: Z{v(k l)} = z l λ=0 v(λ)z λ = z l V (z) (23)

28 Eigenschaften Linksseitige Verschiebung (l < 0) Wieder der selbe Trick, aber mit den Substitutionen m = l und λ = k + m: Z{v(k l)} = Z{v(k + m)} = v(k + m)z k k=0 = z m v(λ)z λ λ=m m 1 = z m v(λ)z λ z m v(λ)z λ λ=0 λ=0 m 1 = z m V (z) v(λ)z m λ λ=0

29 Eigenschaften Faltungssatz der z-transformation Die Konsequenz der Faltung zweier Folgen im Zeitbereich ist im z-bereich eine Multiplikation. Um das zu zeigen, benutzt man den Verschiebungssatz:

30 Eigenschaften Faltungssatz der z-transformation { } Z{v 1 (k) v 2 (k)} = Z v 1 (ν)v 2 (k ν) ν=0 = v 1 (ν)v 2 (k ν)z k (24) = = k=0 ν=0 v 1 (ν) v 2 (k ν)z k ν=0 k=0 v 1 (ν)z ν V 2 (z) ν=0 = V 1 (z)v 2 (z)

31 Eigenschaften Für das Konvergenzgebiet der rechtsseitigen z-transformation gilt im Allgemeinen: ROC : z > max{r 1, R 2 } (25) das heißt, dass das Konvergenzgebiet des gefalteten Systems dem kleineren der beiden einzelnen Konvergenzgebiete entspricht. Ausnahme: Wenn Nullstellen einer der beiden Funktionen auf Polen der jeweils anderen Funktion liegen, kann die Elimination der entsprechenden Singularitäten zu einer Vergrößerung des Konvergenzgebiets führen.

32 z-übertragungsfunktion z-übertragungsfunktion Wenn h(k) die Impulsantwort eines linearen, zeitdiskreten Systems ist, und am Eingang das kausale Signal v(k) anliegt, gilt für den Ausgangswert y(k) = v(k) h(k). Für die z-transformierte gilt mit dem Faltungssatz: Y (z) = H(z) V (z). Definition: Systemfunktion H(z) = Y (z) V (z) Die Funktion H(z) wird als z-übertragungsfunktion des Systems oder Systemfunktion bezeichnet. (26)

33 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel Die Systemfunktion kann aus dem Blockdiagramm oder Quellcode gewonnen werden. Als erstes wird dazu die Zeitfunktion (= Differenzengleichung) bestimmt (siehe Tafel)

34 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel Ganz allgemein könnte man hierfür auch schreiben: y(k) = m b µ v(k µ) µ=0 n a ν y(k ν) ν=1 Die z-transformierte bekommt man über den Verschiebungssatz der z-transformation und deren Linearität. So findet man: Y (z) = m b µ V (z)z µ µ=0 n a ν Y (z)z ν. (27) ν=1

35 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel Schließlich kann daraus Y (z)/v (z) berechnet werden, wenn man noch a 0 = 1 wählt: Y (z) + Y (z)a 0 z 0 + n a ν Y (z)z ν = ν=1 n a ν Y (z)z ν = ν=1 Y (z) ν=0 m b µ V (z)z µ µ=0 m b µ V (z)z µ µ=0 n m a ν z ν = V (z) b µ z µ µ=0

36 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel So erhält man dann H(z) = Y (z) V (z) m µ=0 = b µz µ n ν=0 a νz ν

37 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel Wozu? Mit Y (z) = H(z)V (z) kann nun für ein beliebiges Eingangssignal dieses Systems auch das Ausgangssignal berechnet werden.

38 z-übertragungsfunktion Praktisches Beispiel Dabei kann man wieder einsetzen z = e st = e (σ+jω)t. Für σ = 0 und Ω = ωt, also z = e jω, kommt man auf H(e jω ) = Y m (ejω ) V (e jω ) = µ=0 b µe jµω n ν=0 a νe jνω und erhält daraus auch das Übertragungsverhalten des Systems, beispielsweise den Amplitudengang (siehe Beispiel): H(e jω ) = Y (ejω ) V (e jω ) = m µ=0 b µe jµω n ν=0 a νe jνω

39 z-übertragungsfunktion Lernziele Nach dieser Vorlesung sollten Sie die Laplace-Transformation als um einen Konvergenzfaktor erweiterte Fouriertransformation verstehen wissen, wie sich die z-transformation aus der Laplace-Transformation ergibt, welche wesentlichen Eigenschaften sie beitzt und wie man mit der z-transformation digitale Systeme analysieren kann.

40 z-übertragungsfunktion Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!