Institut für Analysis und Scientific Computing E. Weinmüller WS 2015

Transkript

1 Institut für Analysis und Scientific Computing TU Wien E. Weinmüller WS 5 L I N E A R E A L G E B R A F Ü R T P H, U E (3.64). Haupttest (FR,..5) (mit Lösung ) Ein einfacher Taschenrechner ist erlaubt. Unterlagen: eigenes VO-Skriptum. Arbeitszeit: 9 min. FAMILIENNAME Vorname Studium / Matr.Nr gesamt Punkte maximal 8 Tragen Sie bitte oben Ihre persönlichen Daten ein. Als Grundlage für die Beurteilung dienen ausschließlich die in die entsprechenden Kästchen eingetragenen Antworten. Machen Sie sich zunächst Notizen, und tragen Sie dann erst Ihre Lösung samt Zusammenfassung des Lösungweges ein! Die Größe der Kästchen ist auf die jeweilige Aufgabe abgestimmt.

2 Aufgabe. a) ( Punkte) Gegeben sind drei Vektoren b, b, b 3 R 3. Ist B = {b, b, b 3 } eine Basis des R 3? 6 6 b = 3, b = 8, b 3 = Ansatz: s 3 + s 8 + s 3 8 = Aus der. Zeile ergibt sich s =, somit folgt aus der 3. und. Zeile s =, s 3 =. Diese Lösung ist eindeutig, die Vektoren b, b, b 3 sind linear unabhängig und bilden deshalb eine Basis des R 3, 6 6 R 3 = L 3, 8, b) (3 Punkte) Schreiben Sie den Vektor v = (,, 3) T als Linearkombination der Vektoren b, b, b Ansatz: s 3 + s 8 + s 3 8 = Daraus folgt s = 6 3, s =, s 3 =

3 c) ( Punkt) Bekommt man eine neue Basis von R 3 wenn man den Vektor b 4 = (,, 3) T zur Basis B aus a) hinzufügt? Nein, da die Basis B des R 3 schon die maximale Anzahl von Basisvektoren enthält, nämlich drei. Somit MUSS jeder andere Vektor des R 3 als Linearkombination der Basisvektoren in B (eindeutig) darstellbar sein.

4 Aufgabe. Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem in Abhängigkeit von einem Parameter p R: x + (p 5)x 3 =, x + x + (p 6)x 3 + x 4 =, 3x + x 7x 3 + x 4 = 4. x 3x 3 =. a ) ( Punkt) Geben Sie die Koeffizientenmatrix A und die Inhomogenität b des Gleichungssystems an. Es gilt p 5 A = p 6 3 7, b = 4. 3 b ) (3 Punkte) Bestimmen Sie den Rang von A und den Rang der erweiterten Matrix (A b). Für welche Werte von p gibt es (i) keine Lösung, (ii) genau eine Lösung, (iii) unendlich viele Lösungen? Wir führen die Gauß Zerlegung für die erweiterte Matrix (A b) durch, um den Rang zu bestimmen, p 5 z z p 5 z p 6 3 3z z 4 z p 8 3p 4 3 p p 5 p 5 z 3 z 4 p z 3 4 p 4 p p p p p 5 z 4 z 3 4 p p Rang(A b) = 3 p R. Für p = ist Rang(A) =, sonst ist Rang(A) = 3. Daher gilt: (i) Für p = gibt es keine Lösung. (ii) Es gibt kein p, so dass es genau eine Lösung gibt. (iii) Für p gibt es unendlich viele Lösungen.

5 c ) ( Punkte) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems für p =. Wir haben drei Gleichungen für vier Unbekannte, also benötigen wir einen Parameter t R. 3. Zeile: x 3 =.. Zeile: x x 4 =. Das ist eine Unbekannte zu viel, also wählen wir x 4 = t und erhalten x = ( + t).. Zeile: x 4 = x = 4. Damit erhalten wir die allgemeine Lösung, 4 x = + t, t R.

6 Aufgabe 3. a) ( Punkte) Seien U und W folgende Unterräume von R 4 : U := {x = (x, x, x 3, x 4 ) T : x = x 3, x = ax 4, a R} und W := x = (x, x, x 3, x 4 ) T : x = s, s R. Geben Sie die Dimensionen von U und W an und jeweils eine Basis. Die Dimension von U ist, d.h., U wird von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Die Dimension für W ist, W wir von einem Vektor aufgespannt. Eine Basis von U, B U, und eine Basis von W, B W sind gegeben durch B U =, a, B W =. b) ( Punkte) Geben Sie eine Basis für U + W an. Welche Dimension hat U + W? Da die Vektoren, a linear unabhängig sind, ist U + W dreidimensional und die Basis für U + W, B U+W, lautet B U+W =, a,.,

7 c) ( Punkt) Berechnen Sie U W. Wie groß ist die Dimension von U W? Alle Elemente aus U W liegen sowohl in U als auch in W und können deshalb sowohl mit Hilfe der Basis B U als auch mit Hilfe der Basis B W dargestellt werden. Daher muss es drei Konstanten r, r und s so geben, dass gilt. Das liefert r + r r ar r r a = = s Daraus folgt, r =, s = und r =. Für alle Werte a R, besteht U W genau aus einem Element, dem Nullelement, U W = {} und die Dimension von U W ist Null. alternative Lösung mit Hilfe des Dimensionssatzes für Unterräume Der Dimensionssatz für Unterräume (VO-Skript Satz.) besagt, dass s s s. dim(u + W ) = dim(u) + dim(w ) dim(u W ). Da dim(u) = und dim(w ) = aus der Angabe und dim(u + W ) = 3 aus Aufgabenteil b) bekannt sind, ergibt sich sofort dim(u W ) =.

8 d) ( Punkt) Bildet die Matrix A mit C = und C = 4 eine Basis von R 5 C A = 5? C Die beiden Vektoren und haben jeweils die einzigen Einträge in der ten und ten Zeile, sind also mit C linear unabhängig zu den anderen Vektoren. Zu überprüfen bleibt, ob die Matrix 5 C aus linear unabhängigen Vektoren besteht, also vollen Rang besitzt. Einige elementare Zeilenumformungen, 5 z z z 3 z 4 z 3+z 4 C C C + 4 zeigen, dass die Matrix A für C = vollen Rang besitzt, bzw. C + 4 gilt. Fünf linear unabhängige Vektoren aus R 5 bilden eine Basis von R 5 und damit bilden die Spalten der Matrix A mit C = und C = 4 eine Basis von R 5. C Zusatzaufgabe ( Punkt) Für welche C, C ist die Matrix A aus Aufgabe 3 d) invertierbar? Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn sie vollen Rang besitzt. Wie in Aufgabe 3 d) bereits gezeigt, besitzt die Matrix genau dann vollen Rang, ist also invertierbar, wenn C 3 und C gilt.