Die komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen

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1 A Komplexe Zahlen A.1 Definition Die komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen z 1 +z 2 (x 1,y 1 )+(x 2,y 2 ) := (x 1 +x 2, y 1 +y 2 ), (396) z 1 z 2 (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) := (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 +y 1 x 2 ). (397) Der Multiplikationspunkt wird meistens weggelassen. Bsp. 1: (1,2)+(3,4) = (4,6), (1,2) (3,4) = ( 5,10). Bem. 1: Die genannten Rechenoperationen sind kommutativ, assoziativ, z 1 +z 2 = z 2 +z 1, z 1 z 2 = z 2 z 1, (398) z 1 +(z 2 +z 3 ) = (z 1 +z 2 )+z 3, z 1 (z 2 z 3 ) = (z 1 z 2 )z 3, (399) und es gilt das Distributivgesetz, z 1 (z 2 +z 3 ) = z 1 z 2 +z 1 z 3. (400) Die reellen Zahlen x und y heißen Real- bzw. Imaginärteil der komplexen Zahl z = (x, y). Wir betrachten zunächst die Zahlen(x, 0) mit verschwindendem Imaginärteil y = 0. Nach Gln. (396) und (397) gilt (x 1,0)+(x 2,0) = (x 1 +x 2,0), (x 1,0) (x 2,0) = (x 1 x 2,0). (401) Daher kann (x, 0) mit der reellen Zahl x identifiziert werden, (x,0) := x R, (402) und die Menge R der reellen Zahlen wird eine Teilmenge der Menge C der komplexen Zahlen, R C. Die sog. imaginäre Einheit (0,1) wird mit dem Symbol i bezeichnet, Sie ist gewiß keine reelle Zahl, denn es gilt (0,1) =: i / R. (403) i 2 i i = (0,1) (0,1) = ( 1,0) = 1 R. (404) 68

2 Wegen (0,y) = (y,0) (0,1) = yi gilt für eine beliebige komplexe Zahl z C z (x,y) = (x,0)+(0,y) = x+ iy (x,y R). (405) Wegen Gl. (398) kann man dafür auch schreiben x + yi = iy + x = yi + x. Diese Schreibweise erleichtert vor allem das Rechnen mit komplexen Zahlen. Bei der Addition addieren sich nach Gl. (396) Real- und Imaginärteil unabhängig voneinander, Bsp. 2: (1+2i) + (3+4i) = (1+3)+(2+4)i = 4+6i. Bei der Multiplikation ist lediglich zu beachten, daß i 2 = 1 ist. Dann erhält man das Produkt z 1 z 2 direkt durch gewöhnliches Ausmultiplizieren, z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 ) (x 2 + iy 2 ) = x 1 x 2 +x 1 iy 2 + iy 1 x 2 y 1 y 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 )+ i(x 1 y 2 +y 1 x 2 ), (406) in Bestätigung von Gl. (397). Bsp. 3: (1+2i) (3+4i) = (3 8)+(4+6)i = 5+10i. Um zwei komplexe Zahlen z 1 und z 2 zu dividieren, erweitert man den Bruch mit dem konjugiert Komplexen z 2 = x 2 iy 2 des Nenners z 2 = x 2 + iy 2, z 1 = x 1 + iy 1 = (x 1 + iy 1 )(x 2 iy 2 ) z 2 x 2 + iy 2 (x 2 + iy 2 )(x 2 iy 2 ) Ausmultiplizieren ergibt im Nenner die reelle Zahl x 2 2 +y2 2, z 1 = (x 1x 2 +y 1 y 2 )+ i(y 1 x 2 x 1 y 2 ) z 2 x 2 2 +y2 2 Bsp. 4: Als Beispiel berechnen wir 1+2i 3+4i = Wie es sein muß, gilt umgekehrt ( ) 25 i (3+4i) = = x 1x 2 +y 1 y 2 x 2 2 +y 2 2 (407) + i y 1x 2 x 1 y 2. (408) x 2 2 +y2 2 (1+2i) (3 4i) (3+4i) (3 4i) = (3+8)+(6 4)i = ( ) + i 25 ( ) 25 i. (409) = 1+2i. (410) Bem. 2: Das zu z = x+ iy inverse Element z 1 ist nach Gl. (408) gegeben durch z 1 1 z = 1 x+ iy = x x 2 +y 2 i y x 2 +y2. (411) Damit bilden die komplexen Zahlen, zusammen mit den durch Gln. (396) bzw. (397) gegebenen Operationen (Addition und Multiplikation), einen Körper (C, +, ), der den Körper (R, +, ) der reellen Zahlen als Teilkörper enthält. 69

3 A.2 Die Zahlenebene Es drängt sich geradezu auf, die komplexen Zahlen in Verallgemeinerung der reellen Zahlengerade als Punkte in einer xy-ebene zu interpretieren. Dann bilden die reellen Zahlen (mit Imaginärteil y = 0) die x-achse, mit der Null im Ursprung (x = y = 0). Die Zahlen auf der y-achse (abgesehen von der Null) mit Realteil x = 0 heißen rein-imaginär, mit der imaginären Einheit i bei y = 1. A.2.1 Graphische Deutung der Addition In dieser Zahlenebene lassen sich die Rechenoperationen (396) und (397) anschaulich deuten. Die Addition (396) zweier komplexer Zahlen z 1 und z 2 entspricht offenbar der vektoriellen Addition ihrer Ortsvektoren in der Zahlenebene. A.2.2 Polardarstellung der komplexen Zahlen Zur Deutung der Multiplikation (397) führen wir in der Zahlenebene Polarkoordinaten (r,φ) ein. Dabei ist φ der Winkel, um den der Ortsvektor von z im Gegenuhrzeigersinn gegen die positive x-achse verdreht ist, 0 φ < 2π. Für x 0 gilt tanφ = y/x, also φ = arctan y +C (x 0). (412) x Die Konstante C hängt vom Quadranten in der Zahlenebene ab, in dem z liegt: I. Quadrant: C = 0, II. und III. Quadrant: C = π, IV. Quadrant: C = 2π. Dagegen ist r der Abstand der Zahl z vom Ursprung 0 der Zahlenebene, r = x 2 +y 2. (413) Sind umgekehrt r und φ gegeben, so findet man x und y gemäß { x = rcosφ, y = rsinφ. Allgemein gilt also (414) z = x+ iy = r(cosφ+ i sinφ). (415) Der Winkel φ heißt das Argument und die Zahl r 0 der Betrag von z. Man schreibt dafür auch r = z. Mit der zu z = x+ iy komplex konjugierten Zahl z = x iy gilt z 2 = x 2 +y 2 = (x+ iy)(x iy) = zz. (416) Beachte: Im allg. ist z 2 z 2, und zwar genau dann, wenn y 0 ist, z 2 = (x+ iy)(x+ iy) = (x 2 y 2 )+2ixy. (417) 70

4 A.2.3 Exponentialfunktion der rein-imaginären Zahlen Für eine reelle Zahl φ definieren wir mit der Exponentialreihe aus Kapitel 1 e iφ := (iφ) n. (418) n! n=0 Zwar ist zunächst völlig unklar, was unter der Exponentialfunktion einer komplexen Zahl iφ zu verstehen ist, doch auf der rechten Seite ist jeder Term der Reihe wohldefiniert, wenn wir i 0 := 1 festlegen und beachten, daß aus i 2 = 1 folgt: i 3 = i, i 4 = 1, etc., (iφ) n n=0 n! Es gilt also die bemerkenswerte Beziehung = i 0φ0 0! + i 1φ1 1! + i 2φ2 2! + i 3φ3 3! + i 4φ4 4! + i 5φ5 5! +... = 1+ iφ φ2 2! i φ3 3! + φ4 4! + i φ5 5! ) ) = (1 φ2 2! + φ4 4! i (φ φ3 3! + φ5 5! +... = cosφ+ i sinφ. (419) e iφ = cosφ+ i sinφ. (420) Die Zahlen e iφ mit 0 φ < 2π bilden den Einheitskreis in der Zahlenebene, e iφ = cos 2 φ+sin 2 φ = 1. (421) Man kann dieses Ergebnis graphisch illustrieren, indem man, etwa für φ = 1 oder φ = π 2, die Zahlen 1, iφ, 1 2 φ2, 1 6 φ3 i, etc. vektoriell in der Zahlenebene aufsummiert. Wir verstehen jetzt auch die enge gegenseitige Verwandtschaft der Taylorreihen (37) (39) für e x, cosx und sinx. Für Gl. (415) schreiben wir ab jetzt einfach z = x+ iy = re iφ. (422) Bsp. 5: Man beachte die wichtigen Polardarstellungen i = e i π 2, 1 = e iπ, i = e i 3 2 π, 1 = e 2πi = e 0. (423) Weitere Beispiele sind 1+ i = 2e i π 4, 1 i = 2e i 7 4 π, e i = cos1+ i sin1 0, i. (424) 71

5 A.2.4 Graphische Deutung der Multiplikation In der Polardarstellung wird das Multiplikationsgesetz (397) bzw. (406) besonders einfach, z 1 z 2 = r 1 e iφ1 r 2 e iφ 2 = r 1 r 2 (cosφ 1 + i sinφ 1 )(cosφ 2 + i sinφ 2 ) ] = r 1 r 2 [(cosφ 1 cosφ 2 sinφ 1 sinφ 2 )+ i(sinφ 1 cosφ 2 +cosφ 1 sinφ 2 ) ] = r 1 r 2 [cos(φ 1 +φ 2 )+ i sin(φ 1 +φ 2 ) = r 1 r 2 e i(φ 1+φ 2 ). (425) Im vorletzten Schritt wurden hier die bekannten Additionstheoreme benutzt. Bei der Multiplikation zweier komplexerer Zahlen multiplizieren sich also ihre Beträge, während sich ihre Argumente addieren. Insbesondere gilt die wichtige Regel e iφ1 e iφ 2 = e i(φ 1+φ 2 ). (426) Der Schritt von der zweiten zur dritten Zeile in Gl. (425) stellt die einfachst-denkbare Herleitung der Additionstheoreme von Sinus und Cosinus dar! A.3 Komplexe Funktionen R C einer reellen Variable Mit zwei rellen Funktionen u,v : I R wird durch f(t) = u(t)+ iv(t) (427) eine komplexwertige Funktion f : I C einer reellen Variable t I definiert. Dabei eird jedem Wert t R eine komplexe Zahl f(t) C zugeordnet. Sind u und v stetig, so geht der Abstand f(t 2 ) f(t 1 ) zweier solcher Zahlen in der Zahlenebene gegen null, wenn ihre reellen Urbilder t 1 bzw t 2 ineinander übergehen, lim f(t 2 ) f(t 1 ) = 0. (428) t 2 t 1 In diesem Sinne ist die Funktion f : R C, t f(t) stetig in der Zahlenebene. Bem. 1a: Interpretiert man t als die Zeit, so beschreibt f(t) den Ortsvektor eines Punktes, der sich durch die komplexe Zahlenebene bewegt (SKIZZE). Sind u und v differenzierbar, mit den Ableitungen u(t) bzw. v(t), so definiert man f(t) f(t+ t) f(t) := lim t 0 [ t ] [ ] u(t+ t)+ iv(t+ t) u(t)+ iv(t) = lim t 0 = lim t 0 [ ] t [ ] u(t+ t) u(t) + i v(t+ t) v(t) t 72 u(t)+ i v(t). (429)

6 Entsprechend wird die k-te Ableitung von f(t) definiert, f (k) (t) := u (k) (t)+ iv (k) (t). (430) Bem. 1b: Die Zahl f(t), gedeutet als Vektor in der Zahlenebene, zeigt tangential zur Bahnkurve im Punkt f(t). Der Betrag f(t) entspricht genau der Geschwindigkeit. Bsp.: Mit der komplexen Konstanten µ = λ+ iω (λ,ω R) gilt f(t) := e µt = e λt e iωt = e λt[ cos(ωt)+ i sin(ωt) ] = u(t)+ iv(t), (431) mit den reellen Funktionen u(t) = e λt cos(ωt), v(t) = e λt sin(ωt). (432) Die entsprechende Bahnkurve in der Zahlenebene ist eine nach außen (λ > 0) oder nach innen (λ < 0) gewundene Spirale um den Ursprung. Die Ableitung dieser Funktion ist f(t) = u(t)+ i v(t) = [ λu(t) ωv(t) ] + i [ λv(t)+ωu(t) ]. (433) Man kann dafür auch schreiben d dt eµt = (λ+ iω) [ u(t)+ iv(t) ] = µe µt. (434) Es gilt also die aus dem Reellen bekannte Ableitungsregel. Allgemein gilt f (k) (t) dk dt keµt = µ k e µt. (435) A.4 Fundamentalsatz der Algebra Läßt man für die Variable z nur reelle Werte zu (z R), so hat das Polynom f(z) = z 2 +1 (436) keine Nullstellen. Im Komplexen finden wir aber wegen i 2 = ( i) 2 = 1 zwei einfache Nullstellen z 1 = i und z 2 = i. Tatsächlich gilt f(z) = (z i)(z + i). (437) f(z) = z 2 +1 zerfällt also über C vollständig in Linearfaktoren. Allgemein gilt: Satz 2 (Fundamentalsatz der Algebra): Jedes Polynom zerfällt über C vollständig in Linearfaktoren. Es gibt also n feste Zahlen (Nullstellen) z l (l = 1,...,n), so daß a n z n +...+a 1 z +a 0 = a n (z z 1 )... (z z n ), (438) 73

7 oder, in Kurznotation, n n a k z k = a n (z z l ). (439) k=0 l=1 Bem.: Die Koeffizienten a k dürfen beliebige komplexe Zahlen sein, doch der Satz gilt natürlich insbesondere auch dann, wenn sie reell sind. In obigem Beispiel (436) mit n = 2 sind etwa a 2 = 1, a 1 = 0 und a 0 = 1. Offensichtlich gilt n a n 1 = a n z l, l=1 n a 0 = ( 1) n a n z l. (440) l=1 Satz 3: Hat ein reelles Polynom n k=0 a kz k, mit a k R, eine nicht-reelle Nullstelle z 1 = re iφ C\R, so ist z 2 = z1 = re iφ z 1 eine zweite (nicht-reelle) Nullstelle. Beweis: ( n ) n ( n n 0 = a k z1 k = ak r k e ikφ) = a k r k e ikφ = a k z2 k. (441) k=0 k=0 k=0 k=0 Bsp. 1: Für das Poynom f(z) = z 5 z 4 6z 3 +10z 2 16z +24 gilt f(z) = (z 2 +2)(z +3)(z 2) 2 = (z 2i)(z + 2i)(z +3)(z 2) 2. (442) Es hat also in C die drei einfachen Nullstellen z 1,2 = ± 2i und z 3 = 3, sowie die zweifache Nullstelle z 4 = 2. Bsp. 2: Das quadratische Polynom f(z) = az 2 +bz +c (a,b,c R), (443) mitreellenkoeffizientena,bundc, hatimfallb 2 4ac < 0diebeideneinfachenNullstellen So hat etwa f(z) = 5z 2 8z +5 die Nullstellen z 1,2 = b± i 4ac b 2. (444) 2a z 1,2 = 8± = 8± i = 0.8±6i. (445) Satz 4: Gegeben sei eine reelle gebrochen-rationale Funktion, f(x) = p(x) q(x), (446) 74

8 mit zwei reellen Polynomen p(x) und q(x), q(0) 0. Dann ist der Konvergenzradius r (KR) der reellen Taylor-Entwicklung von f(x) um x = 0, f(x) = n=0 f (n) (0) ( ) x n x < r, (447) n! gleich dem kleinsten der Beträge aller (komplexen und reellen) Nenner-Nullstellen, { } r = min z q(z) = 0. (448) Bsp. 11: (a) q(z) = 1 + z 2 hat die beiden Nullstellen z 1,2 = ±i. Daher hat die Entwicklung von f(x) = 1 um x = 0 den endlichen KR r = 1, obwohl diese Funktion 1+x 2 für alle reellen Werte von x wohldefiniert und unverdächtig ist. (b) Entwickelt man die Funktion f(x) = 1 x 2 2x+2 (D f = R) (449) um x = 0, so ergibt sich der KR r = 2. Der Grund dafür sind die komplexen Nenner- Nullstellen z 1,2 = 1± i mit z 1 = z 2 = 2. 75