Bruchterme 3. Sammlung der Aufgaben aus Bruchterme 1 und Bruchterme 2. Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen

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1 ALGEBRA Bruchterme Sammlung der Aufgaben aus 0 Bruchterme und Bruchterme Dort werden alle Methoden ausführlich an Beispielen besprochen Zum Einsatz im Unterricht. Datei Nr. Stand. Juni 07 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 Bruchterme Diese Tete zu Termen gibt es in der Mathematik-CD 0 Äquivalente Terme Klammern multiplizieren 0A Aufgabenblätter zu 0 0 Binomische Formeln 0 Faktorisieren und Quadratische Ergänzung 0 Faktorisieren mit beliebigen Klammern 0 Berechnung von a+b n mit Pascalschem Dreieck sowie a+b+c 06 Binomialkoeffizient 07 Testaufgaben 08 Zur Wiederholung Grundlagen kompakt 09 Zur Wiederholung Grundlagentest (Was weiß ich noch?) Tete zum Thema Bruchterme 0 Bruchterme (Definitionsbereich, Kürzen, Erweitern) Bruchterme (Addition, Subtraktion) Bruchterme Trainingsaufgaben aus diesen zwei Dateien 6 Polynomdivision Bruchgleichungen (ohne quadratische Gleichungen) 6 Bruchgleichungen (mit Paramatern) 0 Bruchgleichungen (die auf quadratische Gleichungen führen)

3 Bruchterme Aufgaben aus 0 Grundlagen zu Bruchtermen. Definitionsbereiche finden Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme g) h) 7 9 i) j) k) Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme 7 7 g) h) Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme Faktorisiere zuerst die Nenner Aufgabe Bestimme den Definitionsbereich folgender Terme Aufgabe Faktorisiere und bestimme die Nullstellen g) 7 i) 0 Aufgabe 6 Bestimme den Definitionsbereich 88 8

4 Bruchterme Aufgabe 7 Bestimme den Definitionsbereich g) h) 6 9 Aufgabe 8 Bestimme zuerst den Definitionsbereich, berechne dann Funktionswerte zu f f 8 f f f 8 für ;;; ;0 für ;; ; ;0 für ;; ;;0 für ;; ;;0 für ; ;6; 6;0 Aufgabe 9 Berechne die Werte für die angegebenen Brüche und Bruchterme T für ; 7 und T T T 6 9 T für für für für ; 7 und ; und 9 ; und 9 ; und.

5 Bruchterme Aufgabe 0. Kürzen ab 8a b y z y z 8u v 9 80u v 7 yz y z u v w 7u v w 8 y z 0 7 y z 8 9 Aufgabe 8 8aa b 6a b a ab ba (a b a 0 Aufgabe Zerlege in Faktoren und kürze dann 6 8 y y Aufgabe Zerlege in Faktoren und kürze dann 6 ( ) 9 ( )( ) y y y y Aufgabe Faktorisiere und kürze dann Aufgabe Faktorisiere und kürze dann 6 0

6 Bruchterme 6 Aufgaben aus Rechnen mit Bruchtermen. Addieren und Subtrahieren Aufgabe Addiere bzw. subtrahiere diese Brüche Aufgabe 7 Addiere bzw. subtrahiere diese Brüche Aufgabe 8 g) j) m) h) k) ( + ) + n) i) l) o) Aufgabe ( - )( + ) ( - )( + ) Aufgabe ( + ) y y- + + y -y

7 Bruchterme 7 Aufgabe Aufgabe

8 Bruchterme 8 Aufgabe. Multiplizieren und dividieren Aufgabe Aufgabe Aufgabe Aufgabe 7 g) h) 9 6 Aufgabe 8 ab c c a b yz ab yz ab y y y y 9 g) h) Aufgabe 9 y y y ab abc bcd cd d a ab ac a c abc b bc y y 8 y a b a b a ab ab

9 Bruchterme 9

10 Bruchterme 0 LÖSUNGEN aller Aufgaben Aufgaben aus 0 Grundlagen zu Bruchtermen g) h) Lösung Aufgabe 0 Nullstelle des Nenners Nullstelle des Nenners 8 0. D \D \ 7 Nullstelle des Nenners D \ Nullstelle des Nenners 9 0 Nullstelle des Nenners 8 0 D \ D \ Nullstelle des Nenners 8 8 Der Nenner hat keine Nullstelle D \D 9 0 Nullstelle des Nenners D \ 9 9 i) Nullstelle des. Nenners 0 Nullstelle des. Nenners - 0; D \j) Nullstelle des. Nenners Nullstelle des. Nenners - ; D \k) Nullstelle des. Nenners Nullstelle des. Nenners D \

11 Bruchterme Lösung Aufgabe 0 wenn einer der Faktoren 0 wird, also 0 oder 0, was bedeutet. D \0; 0 wenn 0 also ist, oder wenn 0 also - ist. D \; Der Nenner hat die Nullstellen 0, - und. D \0; ; Aus 7 0 folgt 7 7, aus 7 0 folgt D \ 7 D \; D \ ; g) D \ 0; h) D \ 0; Lösung Aufgabe Kurzlösungen D \ D \ D \7 D \ 0; 9 D \0; ; D \;

12 Bruchterme Lösung Aufgabe. Methode Lösung durch Faktorisierung Nullstellen des Nenners -8, 8 D \8 Nullstellen des Nenners -, D \ 0 7 Nullstellen des. Nenners,. Nullstelle des. Nenners 0 Nullstellen des Nenners und. ;0 D \D \. Methode Lösung durch Lösen quadratischer Gleichungen (und Grundmenge ) Nullstellen des Nenners 6 0 D 6 6 8, 8 Nullstellen des Nenners , \. Nenner 0 0 0,. Nenner 0 Nullstellen des Nenners , 8 D \ D \. ;0 D \

13 Bruchterme Lösung Aufgabe. Faktorisierung mit binomischen Formeln g) 7 i) Faktorisierung über die Lösung quadratischer Gleichungen (keine p-q-formel) Beachte Wenn der Radikand Null wird, gibt es eine doppelte Lösung und somit erhält man zwei gleiche Faktoren, die man dann als Quadrat aufschreibt , , , 0 0, , , g) 7, i) , 0

14 Bruchterme Lösung Aufgabe 6. Mittels Faktorisieren mit binomischen Formeln Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des Nenners Definitionsbereich D \ Nenner binomische Formel 9 0 Nullstelle des. Nenners 9. Nenner Definitionsbereich D \9. Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des. Nenners. Nenner 0 0. binomische Formel 0 Nullstelle des. Nenners, Definitionsbereich D \

15 Bruchterme. Mittels Lösen quadratischer Gleichungen Ich verwende die p-q-formel aus Prinzip nicht! Nenner 0 0 Definitionsbereich D \ 6 0, Nenner , 9. Nenner Definitionsbereich D \9. Nenner 0. Nenner , 0, Definitionsbereich D \

16 Bruchterme 6 Lösung Aufgabe 7. Methode Faktorisieren in a b 8 8 ab a b Vergleichen ergibt ab und ab 8 Das klappt mit a - und b 0 mit den Lösungen und ; D \ ab a b. Vergleichen ergibt a b 0 und a b Das klappt mit a und b mit den Lösungen und 0 0 ab a b. Vergleichen ergibt a b und a b 0 ;0 D \Das klappt mit a - und b mit den Lösungen und 7 ;7 D \ Faktorisieren führt auf 0 und damit auf die Lösungen - und - D \; Erklärung und Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und 0 D \; D \. Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und ; g) h) Faktorisieren führt auf mit den Lösungen und D \;7. Faktorisieren führt auf 7 0 D \;7 mit den Lösungen und 7

17 Bruchterme 7 Lösung Aufgabe 7. Methode Lösen quadratischer Gleichungen Ich verwende die p-q-formel nicht eigentlich gar nie. Es gibt viele Fälle, in denen sie ganz umständlich und nicht hilfreich ist , D \mit den Lösungen und ; 0 0 0, 0 mit den Lösungen 0 und ;0 D \ 0 00, D \mit den Lösungen 7 und ; , mit den Lösungen und D \; , 6 mit den Lösungen und 8 0, 8 6 mit den Lösungen und ; D \ ; D \g) 8 0, 9 mit den Lösungen 7 und ;7 D \h) , mit den Lösungen 7 und ;7 D \

18 Bruchterme 8 Lösung Aufgabe 8 f D \ f eistiert nicht, gehört ja aus diesem Grunde auch nicht zum Definitionsbereich. f 0 f 0, f, f 8 8 D \ f, f eistiert nicht, D. f 9 0 f0 0 0, f 8 6, 6 f D \; f, f 0 0 denn D, 9 6 f 0 f 0 0, f, f D \ ; f 0, denn D, f 8 7, f f 0 0, f0 00 f 8 Der Nenner ist für alle mindestens 8, wird also nie 0 D f 8 9, f f6 6 8, 8, 0 0 f

19 Bruchterme 9 Lösung Aufgabe 9 T T T T T T oder so T oder oder 6 T 6 0 T T oder T T 0 7 oder so T T oder so T T , T oder so T T 8 96 oder so T

20 Bruchterme 0 6 T 9 T oder besser so T 9 9 T oder besser so T T oder besser so T T T 7 7 T T 6 9

21 Bruchterme Lösung Aufgabe 0 ab b 8a b a y z y z y z 8u v 80u v v u 9 7 w 7u v w u u v w 7 yz y z y 0 8 y z 7 y z y z 8 9 Lösung Aufgabe 8 8 Man kann nicht kürzen. 8aa b a b 6a b a a ab ba ab (a b a b a 0 Lösung Aufgabe yy y y y y

22 Bruchterme Lösung Aufgabe 6 ( ) 9 ( )( ) y y y y y y y y y y Lösung Aufgabe Man kann nicht kürzen

23 Bruchterme Lösung Aufgabe Vertauschen der Zahlen in der Differenz im Zähler ändert das Vorzeichen. Zum Ausgleich setzen wir ein Minuszeichen davor 6 0

24 Bruchterme Aufgaben aus Rechnen mit Bruchtermen Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe

25 Bruchterme Lösung Aufgabe 8 g) h) i) j) k) l) m) n) o) + ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) - - ( -) -6 + ( -) ( - ) + ( + ) ( + ) - ( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( - ) + ( + ) ( + )( - ) ( + )( -) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) Hier wurde im. Nenner die Differenz vertauscht, wozu man ein Minuszeichen anschreiben musste Man sollte besser schon im gegebenen Term kürzen

26 Bruchterme 6 Lösung Aufgabe ( + ) ( + ) + - ( + )( - ) + ( -)( -) + ( - )( + ) ( - )( + ) ( - )( + )( -) ( - )( + )( -) ( - )( + )( -) ( - 6) ( + 6) ( - 6) ( + 6) ( + 6) -7 ( - 6) ( )( ) ( ) ( ) ( - )( + ) + ( + )( -) ( - ) ( + ) ( - )( + ) ( - )( + ) ( - )( + ) Lösung Aufgabe ( -7) ( + 7)( - 7) + 7 ( + 7)( -7) ( + 7)( -7) ( ) ( + ) - ( - ) ( + )( - ) ( + )( -) ( -) ( -) - ( + ) - - ( + ) - 9 ( + ) ( + )( -) ( + ) ( -) ( + ) ( - ) ( + ) ( -) ( + y)( - y) + ( y- )( + y) ( )( ) + y y- + + y - y + y -y - y + y - y + é y + y - - y ù êë úû + y ( + y)( - y) ( + y)( -y)

27 Bruchterme Faktorisierung der Nenner Lösung Aufgabe () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, mit der Summe a + b - - (-) 7 (- ) + 7 falsch - ( -7) + (-7) - richtig Also gilt -- ( + )( - 7) () - 9 ( + 7)( - 7) Folgerung ( + )( - 7) ( + 7)( -7) ( 8+ )( + 7) -( + )( + ) [ ] ( + )( - 7)( + 7) ( + )( - 7)( + 7) ( + )( - 7)( + 7) ( + )( - 7)( + 7) Faktorisierung der Nenner () + + ( + ( + + ( a + + ( a Zerlegung von in ein Produkt a b, so dass a + b ist richtig Also gilt + + ( + )( + 7) () + 0+ ( + ) Folgerung ( + )( + 7) ( + ) ( )( ) ( )( + 7) [ ] ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7) ( + ) ( + 7)

28 Bruchterme Faktorisierung der Nenner () ( - 6) () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, so dass a + b - ist - ( -6) + (- 6) - richtig Also gilt -- ( + )( - 6) Folgerung ( - 6) ( + )( -6) ( )[ ] ( )[ ] ( ) - ( -6) [ + ] ( + )( -6)[ - 6] ( -6) ( + ) ( - 6) ( + ) Faktorisierung der Nenner () -- ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von - in ein Produkt a b, so dass a + b - ist - ( - ) + (- ) - richtig Also gilt -- ( + )( - ) () + + ( + ( + + ( a+ + ( a Zerlegung von in ein Produkt a b, so dass a + b ist + richtig Also gilt + + ( + )( + ) Folgerung ( + )( - ) ( + )( + ) ( + -)( + ) -( - + )( -) ( + )( - )( + ) [ ] ( + )( - )( + ) ( + )( - )( + )

29 Bruchterme 9 Lösung Aufgabe ( ) ( + )( - ) ( + ) ( ) ( ) ( )( + ) 6 ( + ) ( -) [ + --] 6 ( + ) ( -) ( + ) ( -) ( + ) ( -) Faktorisierung der Nenner () ( - 7). Binomische Formel () ( - ). Binomische Formel () ( + ( + + ( a + + ( a Zerlegung von in Faktoren a und b, deren Summe -0 sein muss falsch (-) ( -7) (- ) + (- 7) -0 richtig Also ist - 0+ ( -)( - 7) Folgerung ( -7) ( -) ( -)( -7) ( -) + ( -7) -( -)( -7) ( -7) ( -) ( ) + ( - + 9) -( ) ( -7) ( -) ( -7) ( -) ( -7) ( -)

30 Bruchterme 0 Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe Lösung Aufgabe

31 Bruchterme Lösung Aufgabe 7 g) h) g) ab a b ab c c Lösung Aufgabe 8 0 Es wurde durch a, b und c gekürzt. c c c a b a yz yz yz ab zb ab ab ab yz y Es wurde durch, y, z, a und b gekürzt. 0 y y y y y y y y y y y y y y 8 Man kann nicht kürzen. 0 8 ( 8) 6 h) 8 6

32 Bruchterme Aufgabe 9 y y y y y y y y ab abc bcd a b c ab cd a b b cd d a acd cd d c abc b bc abc bc bc c c c ab ac a ab abc ab ab ab ab y a b y y y y 8 y 8 y y a b aa b ba b a b a b a ab a b a b a a b a b a