38 Normen und Neumannsche Reihe

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1 168 V. Lieare Algebra 38 Norme ud Neumasche Reihe Wir erier zuächst a (vgl. 15.6) 38.1 Normierte Räume. Es sei E ei Vektorraum über K = R oder K = C. Eie Abbildug : E [0, ) heißt Norm auf E, falls gilt x = 0 x = 0, (1) λx = λ x für λ K ud x E, (2) x+y x + y (Dreiecks-Ugleichug). (3) Das Paar (E, ) heißt ormierter Raum. Wir schreibe kurz E, we klar ist, welche Norm gemeit ist Defiitioe. a) Eie Folge (x ) i eiem ormierte Raum E kovergiert gege x E, falls x x 0 gilt. b) Eie Folge (x ) i E heißt Cauchy-Folge (vgl. 27.6), falls gilt: ε > 0 0 N,m 0 : x x m < ε. (4) c) Ei ormierter Raum E heißt vollstädig oder ei Baachraum, falls i E jede Cauchy-Folge kovergiert. d) Es seie E,F ormierte Räume ud M E. Eie Abbildug f : M F heißt stetig i a M, falls für jede Folge (x ) i M gilt: x a f(x ) f(a) Norme auf K. a) Auf K hat ma die Euklidische Norm x 2 := x = ( x j 2 ) 1 / 2 für x = (x 1...x ) K. (5) b) Adere iteressate Norme sid x 1 := x j oder x := x j. (6) Wir schreibe kurz l p = (K, p ) für p = 1,2,. c) Für Folge (x (k) ) = (x (k) j ) i K ud x = (x j ) K gilt für alle Norme x (k) x 0 j = 1,..., : x (k) j x j, (7) d. h. ma hat koordiateweise Kovergez. d) Etsprechedes gilt für Cauchy-Folge, ud daher ist der Raum K vollstädig Norme auf C[a, b]. a) Die Supremums-Norm f sup := f := sup f(x) := sup{ f(x) x [a,b]} (8) x [a,b] liefert die gleichmäßige Kovergez auf C[a, b] (vgl. 29.9). Aufgrud vo Theorem 29.6 ist C[a, b] uter dieser Norm ei Baachraum.

2 38 Norme ud Neumasche Reihe 169 b) Aalog zu (6) ud (5) lasse sich auf C[a,b] auch die L 1 - ud die L 2 -Norm defiiere durch f L1 := b a f(x) dx ud f L 2 := ( b a f(x) 2 dx) 1 / 2. (9) I der Tat gilt (1) aufgrud vo Satz Die L 2 -Norm wird wie i (15.10) vo dem Skalarprodukt f,g := b a f(x)g(x)dx. (10) erzeugt, sodass die Dreiecks-Ugleichug wie i 15.6 folgt. Uter de L p -Norme ist C[a, b] icht vollstädig Norme auf C 1 [a,b]. Nach Theorem ist C 1 [a,b] ei Baachraum uter der C 1 -Norm f C 1 := f sup + f sup, f C 1 [a,b]; (11) uter der sup-norm ist dies icht der Fall, da z.b. die Fuktio x x auf [ 1,1] gleichmäßig durch Polyome approximierbar ist Satz. Für ormierte Räume E,F ud lieare Operatore T : E F sid äquivalet: (a) C 0 x E : T(x) C x. (b) T ist stetig auf E. (c) T ist i 0 E stetig. (d) Es gilt T := sup x 1 Beweis s. [K2], 7.1. T(x) < Bemerkuge. a) Das i 38.6(d) defiierte Supremum T ist die miimal mögliche Kostate C i 38.6(a) ud defiiert eie Norm auf dem Vektorraum L(E,F) aller stetige lieare Abbilduge vo E ach F. Statt L(E,E) schreibt maeifachl(e).derraume := L(E,K) heißtdualraumvoe, seieelemete heiße stetige Liearforme oder stetige lieare Fuktioale auf E. b) Für ormierte Räume E, F, G ud Operatore T L(E,F) ud S L(F,G) E T F S G gilt auch ST L(E,G) sowie ST S T für die Kompositio dieser Operatore. Mit a) folgt dies sofort aus STx S Tx S T x für x E Satz. Es seie E,F ormierte Räume. Mit F ist da auch L(E,F) vollstädig. Eie Beweis fidet ma i [K2], 7.9. Dies ist klar für E = l p ud F = l m q, ud wege 38.3c) auch im Fall dime,dimf <.

3 170 V. Lieare Algebra 38.9 Beispiele. a) Für c [a,b] wird das Dirac- oder δ-fuktioal δ c C[a,b] defiiert durch δ c (f) := f(c), f C[a,b]. (12) Wege δ c (f) = f(c) f sup gilt δ c 1. Für die spezielle Fuktio f(x) = 1 gilt f sup = 1 ud δ c (f) = 1, ud daraus ergibt sich δ c = 1. Dagege ist δ c icht stetig bezüglich der L p -Norme. b) Für b > 0 ist der lieare Differetialoperator D : f df dx, f C1 [0,b], (13) ustetigalsoperatorvo(c 1 [0,b], sup ) ach(c[0,b], sup ), daaus f sup 0 icht f sup 0 folgt; dies ist etwa der Fall für (f (x) = 1 six). Dagege ist D : (C 1 [0,b], C 1) (C[0,b], sup ) stetig wege D(f) sup f C Matrize-Norme. a) Es seie F ei ormierter Raum ud T : K F liear. Für x = x j e j K folgt T(x) = T ( x j e j ) = x j T(e j ) x j T(e j ) Te j x j = Te j x 1 ; daher ist T : l 1 F stetig mit T Te j, ud wege Te j T ist 1,F) = Te j. (14) Wege 38.3c) ist für dime < jeder lieare Operator T : E F stetig. b) Für T L(K,K m ) ist Te j ach 10.2f) die j-te Spalte der Matrix A = (a ij ) = M(T), ud wege (14) ist daher 1,l m 1 ) = A SS := die Spaltesumme-Norm der Matrix A. c) Aalog zu b) ist für T L(K,K m ),l m ) = A ZS := m die Zeilesumme-Norm der Matrix A = (a ij ) = M(T). m a ij (15) a ij (16) d) Die vo Euklidische Norme iduzierte Operatororm läßt sich icht explizit

4 38 Norme ud Neumasche Reihe 171 mittels der Matrixelemete agebe. Wir zeige aber zwei iteressate Abschätzuge: Zuächst gilt für x K aufgrud der Schwarzsche Ugleichug Tx 2 2 = x j Te j 2 2 = m x j a ij e i 2 2 = m a ij x j e i 2 2 = m a ij x j 2 m {( a ij 2 )( x j 2 )} m a ij 2 x 2 2, also 2,l m 2 ) A HS := ( m a ij 2 ) 1 / 2. (17) Die Zahl A HS heißt Hilbert-Schmidt-Norm vo A bzw. T. e) Eie adere Abschätzug ergibt sich so: Tx 2 2 = m a ij x j 2 m {( a ij )( a ij x j 2 )} m A ZS a ij x j 2 m = A ZS a ij x j 2 A ZS A SS x 2 2, also 2,l m 2 ) A ZS A SS. (18) f) Wege a ij = Te j e i T gilt umgekehrt,m i, a ij 2,l m 2 ). (19) Satz (Neumasche Reihe). Es seie E ei Baachraum ud T L(E) mit T < 1. Da ist I T : E E bijektiv, ud es gilt (I T) 1 = Beweis. Mit de Partialsumme S := S S m = T k. (20) T k T k gilt T k T k (21) für > m, ud wege T < 1 ist (S ) eie Cauchy-Folge i L(E). Nach Satz 38.8 existiert S := T k := lim S L(E). Aus (I T)S = S (I T) = T k +1 k=1 T k = I T +1 ergibt sich da (20) mittels wege T +1 T Bemerkuge. a)diepartialsumme S lassesich iterativbereche mittels S 0 = I, S +1 = I +TS. b) Für N hat ma die Fehlerabschätzug S S = T k T k T k = T +1 1 T.

5 172 V. Lieare Algebra Spektralradius. a) Statt T < 1 geügt für die Kovergez der Neumasche Reihe auch die schwächere Bedigug T k <. Nach dem Wurzelkriterium folgt diese bereits aus r(t) := limsup k T k < 1; (22) dieser Limes superior ist sogar ei echter Limes. b) Für λ > r(t) ist λi T = λ(i T) wege λ r(t ) < 1 ivertierbar; somit ist λ λ kei Eigewert vo T, ud ma hat { λ λ σ(t)} r(t). (23) I(23)giltsogarGleichheit,uddaher heißtdiezahlr(t) [0, T ] Spektralradius vo T. Sie ist vo der Wahl eier Norm auf E uabhägig. Als kokrete Awedug der Neumasche Reihe stelle wir vor: Iput-Output-Aalyse ach V. Leotieff. a) Eie Volkswirtschaft besitze die Idustrie X 1,...,X, die gewisse Outputs erzeuge. Um eie Output im Wert vo 1 Euro zu erzeuge, beötigt Idustrie X j Iputs der Idustrie X i im Wert vo a ij Euro, i = 1,...,. Dabei ist verüftigerweise 0 a ij, i,j = 1,..., ud a ij < 1, j = 1,...,, (24) azuehme. Produziert u jede Idustrie X i eie Output im Wert vo x i Euro, so stehe für Kosumete ur och die Outputs x i a ij x j zur Verfügug. Das Problem besteht dari, geau soviel zu produziere, daß eie gegebee Nachfrage d = (d 1,...,d ) befriedigt werde ka. b) Dazu schreibt ma x = (x 1,...,x ) für de Produktiosvektor ud führt die Matrix A := (a ij ) M R () ei. Zu löse ist da die Gleichug x Ax = d oder (I A)x = d. c) Nu folgt aus (24) sofort A SS < 1 für die Spaltesumme-Norm aus (15). Nach Satz existiert also (I A) 1 ud ka gemäß Bemerkug iterativ berechet werde. Wege(I A) 1 = A k sidallematrixelemete vo(i A) 1 ichtegativ Beispiel. Für die Idustrie Kohle, Stahl ud Elektrizität hat ma die Matrix A = 0 0,15 0,43 0,02 0,03 0,20. Es gilt A ZS = 0,58, A SS = 0,68 ud 0,01 0,08 0,05 A HS = 0,51. MitdeEigewerte0,204, 0,043 ud 0,081 ergibtsichfürde 1, , ,49817 Spektralradiusr(A) = 0,204. Weiterist(I A) 1 = 0, , , , , ,07745.