Solvency II and Nested Simulations - a Least-Squares Monte Carlo Approach

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1 Grafik and - a Least-Squares Monte Carlo Approach Khischgee Turbat Technische Universität Wien 17. Februar 2016

2 Grafik Grafik 5 6 Inhalt

3 Grafik Großprojekt der EU-Kommission gültig ab dem 1. Jänner 2016 mit dem VAG 2016 Hauptziel: Harmonisierung des Versicherungsbinnenmarktes und Aufsichtssysteme im EWR

4 Grafik Drei-Säulen-Ansatz 1. Säule - Anforderungen zur Kapitalausstattung:, MCR, Bewertung von Aktiva und Passiva ( quantitative Anforderungen ) 2. Säule - Governance-Vorschriften: Risikomanagement, qualitative Anforderungen an Vorstände (Fit-and-Proper-Kriterien), Geschäfts- und Risikostrategie, interne Revision, Notfallplan, interne Steuerungs- und Kontrollsysteme ( qualitative Anforderungen ) 3. Säule - Veröffentlichungsvorschriften: Berichterstattungspflichten gegenüber der Öffentlichkeit und der FMA

5 Grafik Berechnung : internes Modell oder muss von der FMA genehmigt werden Vorteil: unternehmensspezifische Risikoprofil Nachteil: aufwändig, vor der Genehmigung viele Anforderungen zu erfüllen

6 Grafik entspricht dem Value at Risk der Basiseigenmittel eines Versicherungsunternehmens zu einem Konfidenzniveau von 99,5 % über den Zeitraum eines Jahres ( 175 VAG 2016) ökonomische Bilanz, d.h. Bewertung der Aktiva und Passiva mit dem Marktwert und MCR als Zuschläge auf die Rückstellungen (Technical Provisions)

7 Solvenzkapital Grafik

8 Grafik Quantitative Bewertung der Solvabilität: Eigenmittel (engl.: available capital (), own funds) Solvenzkapital (Solvency Capital )

9 Grafik 1. Eigenmittel (engl.: available capital (), own funds): Vermögen zum Zeitpunkt t = 0 Market-Consistent Embedded Value MCEV := ANAV + P V F P CoC ANAV (Adjusted Net Asset Value) ˆ= bereinigte Nettovermögenswert (deterministisch) PVFP (Present Value of Future Profits) ˆ= Barwert künftiger Gewinne (stochastisch) CoC (Cost-of-Capital) ˆ= Kapitalkosten (o.b.d.a.): für t = 0: := MCEV 0 für t = 0,..., T : CoC t = 0

10 Grafik 2. Solvency Capital : X 1 sei der Gewinn im ersten Jahr (wird nicht ausgeschüttet) := MCEV 1 + X 1 Verlustfunktion: L := 1+i wobei i der risikofreier Zinssatz zum Zeitpunkt t = 0 ist. :=argmin x {P =V ar 99,5% (L) ( ) } i > x 1 α

11 Approach Grafik : (Ω, F, P, F = (F t ) t [0,T ] ) wobei T Endvertragszeit vom längsten Vertrag im Portfolio Y = (Y t ) t [0,T ] = (Y t,1,..., Y t,d ) t [0,T ] d-dimensionaler regulärer Markow-Prozess (B t ) t [0,T ] risikoloses Bankkonto mit B t = exp( t 0 r udu) und r t = r(y t ) Q P f 1,..., f T : X t = f t (Y s, s [0, t])mitx = (X 1,..., X T )

12 Grafik Approach Eigenmittel zum Zeitpunkt t = 0: [ T ( PVFP: V 0 := E Q exp t=1 Standardabweichung: σ 0 := V ar Q [ T t=1 exp ( t 0 t 0 ) ] r u du X t, t = 1,..., T ) ] r u du X t keine analytische Berechnung von V 0 möglich

13 Grafik Approach Lösung: Monte Carlo Simulation der unabhängigen Pfade (Y (k) t ) t [0,T ] mit k = 1,..., K 0 Berechnen der Zahlungsströme X (k) t mit t = 1,..., T, k = 1,..., K 0 Abzinsen der Zahlungsströme und Bildung vom Mittelwert über alle K 0 Pfade Ṽ0(K 0 ) := 1 K 0 K 0 k=1 t=1 ( T exp t 0 r u (k) du ) X (k) t ÃC 0 = ANAV 0 + Ṽ0

14 Approach Grafik

15 Grafik Approach Eigenmittel zum Zeitpunkt t = 1: [:= ANAV 1 + T ( ) ] t E Q exp r u du X t Y s, s [0, 1] +X 1 t=2 1 }{{} [ T V 1 := E Q exp t=2 =:V 1 t ( D 1 = (D (1) 1,..., D(N) 1 ) 1 ) ] r u du X t (Y 1, D 1 ) mit

16 Grafik Approach PVFP zum Zeitpunkt t = 1 für ein Szenario i: V (i) 1 := ( ) T t E Q exp r u du X t (Y 1, D 1 ) = (Y (i) 1, D(i) 1 ) t=2 1 }{{} =:P V (i) 1 σ (i) 1 := [ T V arq t=2 ( exp t 0 ) ] r u du X t (Y 1, D 1 ) = (Y (i) 1, D(i) 1 )

17 Grafik Approach X 1 und ANAV 1 können für alle N Pfade vom ersten Jahr leicht berechnet werden, daher folgt (i) 1 = ANAV (i) 1 + V (i) 1 + X (i) 1 V 1, V (i) 1 können i.a. nicht analytisch berechnet werden, sondern mithilfe der Monte Carlo Simulation, wie für V 0 Ṽ (i) 1 (K(i) 1 ) := 1 K (i) 1 K 1 (i) k=1 t=2 ( T exp t 1 r u (i,k) du ) X (i,k) t } {{ } =:P V (i) 1 Daraus folgt: (i) 1 (K(i) 1 (i) ) = ANAV 1 + Ṽ (i) 1 (K(i) 1 ) + X(i) 1, i = 1,..., N

18 Approach Grafik

19 Schätzung Grafik = ÃC 0 + z (m) 1+i mit z (m) empirische Quantil von z α, m = N α Fehlerquellen: t=0: Abschätzung von durch nur K 0 Pfaden N (also endliche) Szenarien, um das α-quantil zu bestimmen t=1: Abschätzung von durch nur K 1 Pfaden

20 Grafik Ziel: Schätzung Mittlere quadratische Fehler (MSE) minimieren, d.h. MSE =E [( ) 2] [ ( z(m) =V ar( ) + E 1 + i ( z(m) =V ar(ãc 0) + V ar 1 + i ) ) + z α 1 + i [ E ] 2 ( z(m) 1 + i ) z ] 2 α 1 + i da ÃC 0 ein unverzerrter Schätzer von und unabhängig von z (m) ist, kann man die Varianzen aufteilen

21 Schätzung Grafik Optimierungsproblem: σ0 2 θα 2 + K 0 K1 2 f 2 () + α(1 α) (N + 2)f 2 () min N α(1 α) K2 1 2θ 2 α für beliebige K 1 und K 0 σ 0 K 1 f() N K1 θ α 2

22 Schätzung Grafik Fazit: sehr aufwändig, um kleinere Fehler zu bekommen für größere N wird der Fehler nicht notwendigerweise kleiner ergibt einen verzerrten Schätzer systematische Überschätzung des

23 Grafik Algorithmus: Least-Squares Monte Carlo Approach 1 Ersetzung des bedingten Erwartungswerts von V 1 durch Linearkombination von (e k (Y 1, D 1 )) k {1,...,M} V 1 ˆV (M) M 1 (Y1, D 1 ) = α k e k (Y 1, D 1 ) P V (i) 1 = T exp t=2 k=1 2 Approximation dieser Funktionen durch Monte Carlo Simulationen: Simulation von N unabhängige Pfade (Y (1) t, D (1) t ), (Y (2) t, D (2) t ),..., (Y (N) t, D (N) t ) für das erste Jahr mit P, alle anderen mit Q 3 Berechnung des realisierten abdiskontierten Cash Flows ( ) t 1 r (i) u du X (i) t, 1 i N 4 Approximation von α durch Regressionsformel

24 Grafik Least-Squares Monte Carlo Approach Approximation : ÂC (i) (i) 1 = ANAV 1 + ˆV (M,N) (i) 1 (Y 1, D(i) 1 ) + X(i) 1 Fazit: wenig Simulationen für genauere Approximation des Wahl der Regressionsfunktion hat große Auswirkung auf das Ergebnis (Nachteil?)

25 Grafik K 0 = Beispiel Approach N = K (i) 1 = K 1 1 i N

26 Grafik Beispiel Approach Parameter für effiziente Berechnung: K N K Gesamte Anzahl der Simulationen: K 0 + N K = 1249, 7 und Solvabilitätsquote / = 150%

27 Grafik Danke für eure Aufmerksamkeit!