Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme

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1 Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1. Zahlensysteme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich Dr.-Ing. Christian Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Design Grundlagen der Digitaltechnik 1

2 Zahlensysteme Zahlensysteme dienen zur transparenten Darstellung von Zahlen durch geeignete Ziffern und deren systematischen Anordnung (elementar für Rechentechnik) Polyadische Zahlensysteme geben den Ziffern ihren Wert in Abhängigkeit von ihrer Stelle innerhalb der systematischen stellenorientierten Anordnung Das Dezimalsystem ist der uns geläufigste Vertreter der polyadischen Zahlensysteme Die Stellenwerte entsprechen den Potenzen der Basis des jeweiligen polyadischen Zahlensystems Technische Informatik I 2

3 Polyadische Zahlensysteme: Aufbau Beispiele: = 1 * * * * 10 0 = = 1 * * * * 3 0 = = 1 * * * * 2 0 = = 4 * * 12 0 = 49 Allgemein: Aufbau einer Zahl N N = d n * R n d 1 * R 1 + d 0 * R 0 N: Zahl im Zahlensystem R: Basis, (Grundzahl, Radix) R 2 R i : Wertigkeit der i-ten Stelle d i : Ziffer der Stelle i Z: Menge der Ziffern: d i Z = {0,1,2,..., R-1} Technische Informatik I 3

4 Polyadische Zahlensysteme: Beispiele (1) Dualsystem (Binärsystem): Beispiel: R B = 2 (Basis) Z B = {0,1} = 1 * * * * 2 0 = 13 Lässt sich in Hardware effizient darstellen und verarbeiten bei relativ kleinen Zahlen im Dualsystem -> sehr viele Ziffern zur Darstellung notwendig -> man fasst oftmals 3 oder 4 Ziffern zusammen -> resultiert in Oktal- oder Hexadezimalsystem Technische Informatik I 4

5 Polyadische Zahlensysteme: Beispiele (1) Zahlendarstellung im Dualsystem: Dualzahlen: Repräsentation einer Zahl mit Binärstellen in polyadischer Darstellung und Interpretation wenn Ziffernvorrat in einer Stelle erschöpft, erfolgt ein Übertrag in nächsthöhere Stelle Dualsystem: grundlegendes Zahlensystem für die numerische Verarbeitung digitaler Daten Dezimalzahlen Dualzahlen : : : : Technische Informatik I 5

6 Polyadische Zahlensysteme: Beispiele (2) Oktalsystem: R O = 8 Z O = {0,1,2,3,4,5,6,7} 1 Ziffer im Oktalsystem entspricht genau 3 Ziffern im Dualsystem Beispiele: Oktalzahlen Dezimal: Oktal: 0 O 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 7 O 10 O 11 O Dezimal: Oktal: 12 O 13 O 14 O 15 O 16 O 17 O 20 O 21 O 22 O 23 O Technische Informatik I 6

7 Polyadische Zahlensysteme: Beispiele (3) Hexadezimalsystem: R H = 16 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F} Z H 1 Ziffer im Hexadezimalsystem entspricht genau 4 Ziffern im Dualsystem 2 Ziffern im Hexadezimalsystem zusammengefasst in 1 Byte (8 Bit) Beispiele: Hexadezimalzahlen Dezimal: Hexadezimal: 0 H 1 H... 9 H A H B H C H D H E H F H 10 H Dezimal: Hexadezimal: 11 H 12 H... 9E H 9F H A0 H A1 H A2 H A3 H A4 H... Technische Informatik I 7

8 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Umrechnung: Dualsystem in Oktal- bzw. Hexadezimalsystem 110 B = 6 O 011 B = 3 O B = 62 O B = B2 H 255 D = FF H Also: 3 Ziffern im Dualsystem werden zu genau 1 Ziffer im Oktalsystem zusammengefasst 4 Ziffern im Dualsystem werden zu genau 1 Ziffer im Hexadezimalsystem zusammengefasst -> sehr gut für byte-orientierte Darstellungen -> 2 Hexadezimalzahlen = 1 byte - kompaktere Darstellung großer Dualzahlen im Oktal- bzw. Hexadezimalsystem - effizienter Darstellung, Codewandlung sowie Verarbeitung Technische Informatik I 8

9 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Wandlung von Zahlensystemen: Wenn die Basis eines Zahlensystems die Potenz der Basis eines anderen Zahlensystems ist, so sind Zahlen zwischen diesen Systemen sehr leicht umzuwandeln Zusammenfassung von mehreren Stellen zu einer einzelnen Ziffer Beispiel 1: Beispiel 2: ( ) B ( B 5 1 ) H Wandlung: Dual- in Hexadezimalsystem ( ) O ( ) B Wandlung: Oktal- in Dualsystem Technische Informatik I 9

10 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Wandlung von Zahlensystemen Falls keine besondere Beziehung zwischen den Basen besteht, kann man die Umrechnung über das Dezimalsystem durchführen Wandlung zunächst in das Dezimalsystem: Bekannte Formel: N D = d n * R Dn d 1 * R D1 + d 0 * R D 0 Beispiel: (FA7E) H =? D ( F A 7 E ) H ( F* A* * E*16 0 ) H ( 15* * * *16 0 ) D ( ) D = D Technische Informatik I 10

11 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Wandlung aus dem Dezimalsystem: Mit Hilfe einer Ganzzahldivision mit Rest kann Umwandlung vom Dezimalsystem in System mit der Basis R wie folgt durchgeführt werden: -> N D wird durch R dividiert (Ergebnis Stelle d 0 ), -> entstehende Quotienten rekursiv nach gleichem Schema verarbeiten... Quotient 2 R Quotient 1 R N D R Quotient 3, Rest 2 Quotient 2, Rest 1 Quotient 1, Rest 0 d 2 d 1 d 0 N D = ( d 2 d 1 d 0 ) R Technische Informatik I 11

12 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Beispiel: Wandlung der Dezimalzahl 2003 in Hexadezimalzahl Umrechnung von 2003 D in das Hexadezimalsystem (R=16): 7 16 = 0 Rest = 7 Rest = 125 Rest 3 7 D D = 7D3 H Technische Informatik I 12

13 Polyadische Zahlensysteme: Wandlung Wichtig: es ist wesentlich einfacher, Zahlensysteme umzuwandeln, wenn man Ziffern jeweils separat und einzeln behandeln kann Bei der oft gebrauchten Umwandlung vom Dezimalsystem in das Dualsystem ist dies nicht möglich Abhilfe schafft der BCD-Code (Binary Coded Decimal) Dieser stellt jede Dezimalziffer durch eine 4-Bit Dualzahl dar 49 D = ( ) BCD Die 10 Codewörter, die den Ziffern zugeordnet sind, werden Tetraden genannt. Die unbenutzten Codewörter werden Pseudotetraden genannt Pseudotetraden: 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111 Technische Informatik I 13

14 Elementare Rechenoperationen Automatisierte Rechenoperationen sind von zentraler Bedeutung; Basisoperationen sind: +, -, *, / Technische Realisierung: Kosten (Platzbedarf) und Performanz wichtig! Welche Operationen direkt als Schaltung realisieren? Rechnen kann man grundsätzlich in allen Systemen Im Dualsystem benötigt man besonders wenige Regeln: Regel 1: = 0 Regel 2: = = 1 Regel 3: = 10 Regel 4: = 11 Technische Informatik I 14

15 Elementare Rechenoperationen Addition: Dualzahlen können mit den vorangegangenen Regeln so addiert werden, wie man das schriftliche Addieren schon in der Grundschule lernt Übertrag benutzte elementare Regel: Technische Informatik I 15

16 Elementare Rechenoperationen Subtraktion: Beim Subtrahieren von Dualzahlen bedient man sich einem Trick: der Komplementbildung Statt beispielsweise zwei 8-Bit Dualzahlen direkt zu subtrahieren, erweitert man mit einer 9-stelligen Dualzahl wie folgt: a - b = ( a + ( B - b) ) B c d Das Zweierkomplement c lässt sich sehr einfach wie folgt berechnen: c = B - b = ( B -b) + 1 B Technische Informatik I 16

17 Elementare Rechenoperationen Substraktion Dadurch hat man allgemeine Subtraktion durch folgendes ersetzt: a - b = ( a + ( B - b + 1) ) B Addition und Inkrementierung (+1) und zwei spezielle Subtraktionen Einfache Subtraktionen (Sonderfälle): ( B - b ) berechnet man durch Invertieren aller 8 Bits von b ( d B ) berechnet man wie folgt: Wenn Bit 9 von d gesetzt ist: Ergebnis positiv -> Bit 9 von d abschneiden, fertig Wenn Bit 9 von d gleich null ist: Ergebnis negativ -> Betrag erhält man durch Zweierkomplement: Betrag = ( B - d ) + 1 Technische Informatik I 17

18 Elementare Rechenoperationen Beispiel: Subtraktion 21-3 =? a =21 D = B b =3 D = B c = ( B - b) = B - b + 1 = B + 1 = B a: c: d: a - b = (d B ) = B = 18 D Technische Informatik I 18

19 Elementare Rechenoperationen Beispiel: Subtraktion 3-21 =? a =3 D = B b =21 D = B c = ( B - b) = B - b + 1 = B + 1 = B a: c: d: a - b = (d B ) < 0 a - b = (Zweierkomplement von d) = B - d + 1 = B = 18 D Technische Informatik I 19

20 BCD-Code Code (Binary Coded Decimal) Rechnen im BCD-Code Zentrale Stellung des Dezimalsystems: Konversion stärker unter Betonung der dezimalen Aspekte dezimalstellenweise Wandlung in Dualform (Binärform) Wie in den unterschiedlichen Zahlensystemen können auch BCD-kodierte Zahlen verrechnet werden Bei der BCD-Addition können Pseudotetraden entstehen Zur Korrektur: zu Pseudotetraden und bei jedem Übertrag muss noch 6 D = 0110 B addiert werden Bei der Addition von BCD-kodierten Zahlen kann der Bereich der Pseudotetraden nur einmal überschritten werden. Daher genügt in jedem Fall eine Korrektur. Technische Informatik I 20

21 BCD-Code Code (Binary Coded Decimal) Beispiel: Addieren im BCD-Code Addition von 839 D und 862 D D D Korrektur wegen: Übertrag Pseudotetrade Korrektur wegen: Pseudotetrade Endergebnis: = 1701 D Technische Informatik I 21

22 Gleitkommazahlen Die bisher vorgestellten Codes haben das Problem, dass durch die Anzahl der Codewörter auch der Zahlenraum eingeschränkt ist Problemursache: den Ziffern sind feste Stellenwerte zugeordnet, womit allenfalls sogenannte Festkommazahlen realisierbar sind Die Lösung ist, wie bei wissenschaftlichen Zahlennotationen üblich, die Angabe eines zusätzlichen Exponenten Die Darstellung von Zahlen durch Mantisse und Exponent wird Gleitkommazahl genannt Beispiel: 1,2345 * Technische Informatik I 22

23 Gleitkommazahlen Da Gleitkommazahlen auf sehr unterschiedliche Weise kodiert werden können, hat der IEEE Richtlinien festgelegt, wie Gleitkommazahlen dargestellt werden sollen Gleitkomma-Zahlendarstellung gemäß IEEE-Standard Vorzeichen Exponent Mantisse V Bit Exponent E Mantisse M Wert < E < M 0 0 ungültig (NAN) (- 1) V (±unendlich) (- 1) V 2E-127 (1,M) (- 1) V (0,M) (- 1) V 0 Technische Informatik I 23

24 Gleitkommazahlen nach IEEE-Standard Die Zahl π mit 7 Dezimalstellen hinter dem Komma im IEEE-Format dargestellt: π 3, D 11, B = ( ) ( 1) 2 D 1, B Ergebnis: π Technische Informatik I 24

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,

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