Vorlesung 3 Differentialgeometrie in der Physik 13

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1 Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 13 Bemerkung. Ist M Manngfaltgket, p M und φ : U R n Karte mt p U, so nennt man U auch Koordnatenumgebung und φ auch Koordnatensystem n p. Bespel 2.4 Seen R > r > 0 und f : R 2 R 3, f(α, β) = (R + r cos β)(cos α, sn α, 0) + r sn β(0, 0, 1). Wr setzen T 2 := f(r 2 ) und für jedes p T 2, p = f(x, y) setzen wr φ 1 (x,y) : ( π, π) ( π, π) f((x π, x + π) (y π, y + π)), φ 1 (x,)(α, β) = f(x + α, y + β). Dann st {φ p p T 2 } Atlas von T 2 und φ p st Koordnatensystem n p. Bemerkung. Wr werden m folgenden nur noch Manngfaltgketen mt abzählbarer Bass betrachten. Bemerkung. Ist M n-dmensonale Manngfaltgket und U M offen, so wrd U mt allen Karten von M, deren Defntonsbereche ganz n U legen selbst zu ener n-dmensonalen Manngfaltgket. U heßt dann offene Untermanngfaltgket von M. Snd M und N m- bzw. N-dmensonale Manngfaltgketen, so wrd M N auf kanonsche Wese selbst zu ener (m + n)-dmensonalen Manngfaltgket. 4 Bespel 2.5 R n = R R glt auch als Manngfaltgketen gelesen. S 1 S 1 st ene 2-dmensonale Manngfaltgket. 2.3 Dfferenzerbarket Wr werden jetzt den Begrff der Dfferenzerbarket auf Manngfaltgketen übertragen. We zu erwarten, gescheht das durch lften der Begrffe vom R n. 4 Man wählt auf M N de Produkttopologe. Snd dann φ : U R m und η : V R n Karten auf M bzw. N, so st U V offen n M N und (φ, η) : U V : R m R n wrd zu ener Karte auf M N. 13

2 14 Dfferentalgeometre n der Physk Vorlesung 3 Defnton 2.11 Seen M und N m- bzw. N-dmensonale Manngfaltgketen. f : M/toN heßt dfferenzerbar, falls für alle Karten φ : U R m auf M und η : V R n auf N dfferenzerbar st 5. Bemerkung. η f φ 1 : φ(u) R n Dfferenzerbarket n enem Punkt defnert man entsprechend. Es genügt de Dfferenzerbarketfür hnrechend vele Karten zu prüfen, so dass M und f(m) abgedeckt snd. Dfferenzerbarket auf offenen Telmengen folgt auch unmttelbar, da dese offene Untermanngfaltgketen snd. Ist f : M R ene Funkton, so kann man als Karte auf R de Identtät wählen. D. h. f st dfferenzerbar, falls es für jedes p M en Koordnatensystem φ : U R n gbt, so dass f φ 1 : φ(u) R dfferenzerbar st. Defnton 2.12 En Dffeomorphsmus st ene dfferenzerbare Abbldung mt dfferenzerbarer Umkehrabbldung. Bespel 2.6 Jede Karte st en Dffeomorphsmus. Φ : S 1 S 1 T 2, (x, y) f(arg x, arg y) mt f we m Bespel 2.4 st en Dffeomorphsmus. Her lesen wr S 1 als Telmenge von R 2 = C. De dfferenzerbaren Funktonen auf ener Manngfaltgket werden glech noch ene wchtge Rolle spelen, da wr se zur Defnton von Tangentalvektoren ensetzen werden. Defnton 2.13 F(M) bezechne den (kommutatven) Rng 6 (mt Ens) der dfferenzerbaren Funktonen auf M. 5 Auch her gelte de Bedngung weder als trval erfüllt, falls V f(m) = st 6 En Rng st grob gesagt en Körper, be dem es kene multplkatven Inversen geben muss: Ene Menge R mt zwe Verknüpfungen +, : R R R heßt Rng, falls glt 14

3 Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk Der Tangentalraum Ist g : V R m W R n dfferenzerbar, so kann man das totale Dfferental von g D p g : R m R n m Punkt q V betrachten. D q g(v) = n =1 v g q st dann de Rchtungsabletung von g n Rchtung v = (v 1,..., v n ). Aber so weng we v n V legen muss, muss de Rchtungsabletung D q g(v) = v g q n W sen. Bede Vektoren leben n anderen Räumen, als de Funkton g. Dese Räume werden wr jetzt auch für jeden Punkt ener Manngfaltgket konstrueren. Zunächst bemerken wr, das man für Funktonen g : V R de Rchtungsabletung v g q ncht nur als Abbldung v v g q sondern genauso gut auch als g v g q verstehen kann: Im Punkt q operert v als Rchtungsabletung auf der Menge aller dfferenzerbaren Funktonen v : F(V ) R. Haben wr ene Manngfaltgket M und p M mt Koordnatensystem φ : U R n. so können wr g = f φ 1 : φ(u) R betrachten und f := f p p := f φ 1 φ defneren dese partellen Abletungen von f hängen allerdngs von der Karte φ ab. Nchtsdestotrotz können wr jetzt auch für v = (v 1,..., v n ) R n v f p = n v f p. =1 erklären. Auch her können wr jetzt de Rollen vertauschen und v als Funkton auf F (M) betrachten. Nach we vor st aber unsere Beschrebung deser Tangentalvektoren abhängg von der gewählten Karte. Wollen wr de Rchtungsabletung unabhängg von ener gewählten Karte erklären müssen wr hre Egenschaften axomatsch fassen: Defnton 2.14 Se M ene Manngfaltgket und p M. En Tangentalvektor v an M n p st ene Abbldung v : F(M) R mt folgenden Egenschaften: (R, +) st abelsche Gruppe (R, ) st Halbgruppe für alle a, b, c R glt a(b + c) = ab + ac und (b + c)a = ba + ca (Dstrbutvgesetz) Ist (R, ) kommutatve Halbgruppe, so nennt man den Rng (R, +, ) kommutatv, st (R, +, ) Halbgruppe mt 1 so heßt (R, +, ) en Rng mt q

4 16 Dfferentalgeometre n der Physk Vorlesung 3 1. v st R-lnear: Für alle λ, µ R und f, g F(M) glt v(λf + µg) = λv(f) + µv(g). 2. v erfüllt de Lebnzregel: Für alle f, g F(M) glt: v(fg) = v(f)g(p)+ f(p)v(g). De Menge aller Tangentalvektoren an M n p heßt Tangentalraum an M n p und wrd mt T p M bezechnet. Man überprüft lecht, das T p M en R-Vektorraum st (en Untervektorraum der Raumes aller Funktonen auf /F (M)). Das Folgende st Lemma, Defnton und Bespel n enem: Lemma 2.15 De partellen Abletungen bezüglch ener Karte heßen Gaußvektoren und snd Tangentalvektoren. Bewes. Se M Manngfaltgket, p M und φ Koordnatensystem n p. Wr müssen zegen, das de R-lnear und Lebnz snd. Es st aber für f, g F(M), λ, µ R und q = φ(p): (λf + µg) p = (λf + µg) φ q = λ λf φ q + µ g φ q = λ f p + µ g p und (fg) p = (fg) φ q = (λf) φ q g φ 1 (q) + f φ 1 (q) (λg) φ q = f p g(p) + f(p) g p. Bemerkung. Ist ene Funkton konstant f c, so st für alle v T p M v(f) = 0, denn für g 1 glt v(g) = v(g 2 ) = v(g)g(p) + g(p)v(g) = 2v(g), also v(g) = 0 und mt f = cg folgt v(f) = v(cg) = cv(g) = 0. Da T p M en Vektorraum st snd also auch de Rchtungsabletungen bezüglch ener Karte Tangentalvektoren und wr zegen jetzt, dass das n der Tat alle snd. Satz 2.16 Ist M n-dmensonale Manngfaltgket und p M, so st T p M n-dmensonaler R-Vektorraum. Ist φ Koordnatensystem n p, so blden de Gaußvektoren (de partellen Abletungen bzgl. φ) ene Bass, de sog. Gaußbass von T p M. Bewes. Se φ Koordnatensystem n p. Wr werden lokal n desem Koordnatensystem argumenteren und danach kurz betrachten, warum das erlaubt st. 16

5 Vorlesung 3 Dfferentalgeometre n der Physk 17 Insbesondere betrachten wr de Komponentenfunktonen φ = (φ,..., φ n ) als Funktonen auf M (de wr mt Tangentalvektoren ableten können) obwohl se zunächst nur auf ener offenen Telmenge defnert snd. Zunächst zegen wr, das de lnear unabhängg snd: Se 0 = λ ene Lnearkombnaton der Null. Dann glt für alle j {1,..., n} ( ) 0 = λ (φ j ) = φ j φ 1 λ φp = λ x j φp = λ j. Also snd alle λ j = 0 und de Lnearkombnaton war trval. Damt st gezegt, das de lnear unabhängg snd. 17