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1 8. Grundlgen der Informtionstheorie 8.1 Informtionsgehlt, Entropie, Redundnz Def.: Sei Σ eine Menge von Zeichen. Die Menge Σ* ller Zeichenketten (Wörter) über Σ ist die kleinste Menge, für die gilt: 1. die leere Zeichenkette ε ist Element von Σ*, 2. flls Σ und w Σ*, so ist w Σ*. w bezeichnet mn uch ls Konktention (Hintereinnderschreibung) von und w. Nchricht: Folge von Zeichen, die von Sender (Quelle) n Empfänger (Senke) übermittelt wird. Also: Nchricht Element von Σ* für ein Alphbet Σ. Informtion: intuitiv: ws durch eine Nchricht übermittelt wird, Bedeutung der Nchricht Informtionstheorie nch Shnnon: Versuch, Begriff der Informtion rein sttistisch zu erfssen (sttistischer) Informtionsgehlt I(x) einer Nchricht x (nch Shnnon) intuitiv: Anzhl der Bits, die notwendig sind, um Nchricht in bzgl. Wortlänge optimlem Code binär zu codieren hängt b von Auftrittswhrscheinlichkeit der Zeichen (hier Whrscheinlichkeit = reltive Häufigkeit) Seien A und B Ereignisse, für die Whrscheinlichkeit von A und B (w(a) bzw. w(b)) gilt: 1. 0 w(a) 1 2. w(a) = 1 flls A sicher 3. w(a oder B) = w(a) + w(b) flls A und B sich usschließen drus bleitbr etw: w(nicht A) = 1 - w(a), w(a und B) = w(a) w(b) flls A und B unbhängig,... Forderungen n Informtionsgehlt: 1. Je seltener Zeichen uftritt, desto höher soll sein Informtionsgehlt sein 2. Der Informtionsgehlt einer Zeichenkette soll sich us Summe der Informtionsgehlte der Zeichen ergeben: I(x1...xn) = I(x1) I(xn) 3. Der Informtionsgehlt eines bsolut sicheren Zeichens ist 0. Logrithmus einfchste Funktion, durch die diese Bedingungen erfüllt werden können, lso definiert mn für Zeichen x: I(x ) = log2 1 w(x) [bit] (= - log 2 w(x)) Informtionsgehlt einer Nchricht ergibt sich us 2. Beispiele:

2 ) Sendet Quelle immer dsselbe Zeichen x, so ist w(x)=1 und dmit I(x) = 0 b) Im binären Fll gilt, unter Vorussetzung w(0) = 0.5 und w(1) = 0.5: I(0) = I(1) = 1. Informtionsgehlt ist die Länge der übertrgenen Zeichenkette c) Gibt es 2 k Symbole gleicher Whrscheinlichkeit, so ist I(s) = k für jedes Symbol s. d) In deutschen Texten tritt b mit Whrscheinlichkeit uf, lso 1 1 log I(b) = log = log(2) = 5.79 Bemerkung: log b (x) = log 10 (x) / log 10 (b) Entropie: mittlerer Informtionsgehlt eines Zeichens einer Quelle oder Nchricht (bstrkt gesehen dsselbe, ws mn brucht ist Alphbet + Whrsch. der Symbole) erhält mn durch Aufsummieren ller Informtionsgehlte der Zeichen des Alphbets, gewichtet mit der Whrscheinlichkeit der Zeichen: (Nme wegen Anlogie zur Thermodynmik) Def.: Seien Σ = {x1,...,xn} ein Alphbet und w eine Whrscheinlichkeitsverteilung über Σ. Die Entropie H von Σ und w ist wie folgt definiert: n n 1 H = w(xi)ld = w(xi)i(xi) w(xi) i =1 Entropie m größten, wenn lle Whrscheinlichkeiten der Zeichen gleich sind. Beispiele: 1 Zeichen mit w() = 1: H = 0 2 Zeichen,b, w() = w(b) = 0.5 H = 0.5 * * 1 = 1 4 Zeichen,b,c,d mit gleicher W H = 2 4 Zeichen,b,c, d mit w() =.5, w(b) = 0.25, w(c) = w(d) = H = 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/4 * 3 = 1.75 Def.: Seien A, B Alphbete. Eine Codierung C von A in B ist eine injektive Abbildung C: A -> B*. Binärcodierung: B = 2, meist B = {0,1} mittlere Wortlänge eines Codes C für A = {1,..., n} und Whrscheinlichkeitsverteilung w für A : wobei l i Länge von C( i ). L = n i =1 i =1 w(i)li

3 Shnnon sches Codierungstheorem: Seien Σ = {x1,...,xn} ein Alphbet, w eine Whrscheinlichkeitsverteilung über Σ und H die Entropie von Σ und w. Sei C eine Binärcodierung von Σ und L ihre mittlere Wortlänge. Es gilt: H L (Gleichheit kriegt mn hin, wenn Codierungen von Zeichengruppen zugelssen: C: A* -> B*) intuitiv: mn knn für eine Nchricht mit Entropie H keine Binärcodierung finden, die mit weniger ls H Bits pro Zeichen (im Schnitt) uskommt. Code-Redundnz: R = L - H gesucht oft: Code mit möglichst wenig Redundnz (ndererseits erhöht Redundnz ntürlich Übertrgungssicherheit) Beispiel: s w(s) I(s) 1/2 1 b 1/4 2 c 1/8 3 d 1/8 3 Entropie: 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 3 + 1/8 * 3 = 1.75 Codierung 1: -> 00 b -> 01 c -> 10 d -> 11 Code fester Wortlänge mittlere Wortlänge: 1/2 * 2 + 1/4 * 2 + 1/8 * 2 + 1/8 * 2 = 2 Redundnz: = 0.25 Codierung 2: -> 1 b -> 01 c -> 000 d -> 001 Code vribler Wortlänge wichtig: Fno-Eigenschft: kein Codewort ist Anfngsstück eines nderen mittlere Wortlänge: 1/2 * 1 + 1/4 * 2 + 1/8 * 3 + 1/8 * 3 = 1.75 dmit Redundnz 0, lso bezogen uf die mittlere Wortlänge optimler Code

4 8.2 Berechnung optimler Binärcodes nch Huffmn Def.: Ein Binärcode C für ein Alphbet ist eine injektive Abbildung: * C : Σ {0,1} Binärcodes lssen sich durch Code-Bäume repräsentieren: () Σ = {, b}, C( ) = 0, C( b) = b b) = {, b, c, d}, A( ) = 00 A( b) = 01 A( c) = 10 A( d) = b c d c) = {, b, c, d}, B( ) = 0 B( b) = 10 B( c) = 110 B( d) = 111 b c d Repräsenttion: Jeder Binärcode für knn ls Binärbum mit Symbolen us n den Knoten repräsentiert werden.

5 Definition: heißt Präfix von b b, flls * * 1 n 1 l n l und b = für lle i n. Definition: i ( j ) i * { } C ( ) Ein Binärcode C : 0,1 heißt Präfixcode, flls kein Präfix eines C mit i j ist. Vorteil von Präfixcodes: 0-1-Folgen können eindeutig dekodiert werden. In Beispiel (c) codiert ds Wort c d b. Entsprechen Code-Bäumen, die Symbole us nur n den Blättern hben! i Ws sind "gute" Präfixcodes? (,w) sei ein Alphbet mit einer Whrscheinlichkeitsverteilung w: [0,1]. Beispiel: = {, b, c, d}, w ( ) = 0,5 w ( b) = 0, 25 w( c) = 0,125 w( d) = 0,125 Def.: Sei (,w) gegeben und C ein Binärcode. Die mittlere Wortlänge L C (,w) des Codes C über (,w) ist Beispiele: (w und A, B oben definiert) () L, w = 2 A ( ) ( w) (b) L, = 1,75. B ( ) LC (, w) = w( ) l C( ). Ein Präfixcode ist "gut", flls die mittlere Wortlänge klein ist. Wie bekommt mn optimlen Präfixcode (bzgl. Codierung einzelner Zeichen) für (,w)? Algorithmus von Huffmn: ( ) = { } Sei, mit,, gegeben. w 1 n Verwendete Dtenstuktur: ( B, w) mit B Bum und w [ 0,1 ]. Initilisierung: Eingbe der Liste (, w( )),(, w( )),...(, w ( )) n n n

6 Dnn wird n-1 ml folgende Opertion durchgeführt: ( B1, w1 ),...,( Bk, w k ) gegeben. Bestimme w i, w j miniml unter {w 1,..., w k } und berechne die Liste (( Bl, wl ), l { i, j} ),, wi + wj B i Bj Nch n-1 Itertionen enthält die Liste nur noch 1 Element. Dieses liefert die Bumrepräsenttion B des gesuchten Binärcodes. Beispiel: 0,05 0,09 0,12 0,13 0,16 0,45 f e c b d 0,14 0,12 0,13 0,16 0,45 f e c b d 0,14 0,25 0,16 0,45 d f e c b 0,30 0,25 0,45 f e d c b

7 0,55 0,45 d c b f e C(f) = 0000 C(e) = 0001 C(d) = 001 C(c) = 010 C(b) = 011 C() = 1 d c b f e 8.3 Code-Sicherung Grundfrge: wie knn mn Binärcodierungen so wählen, dss Fehler erknnt, möglicherweise sogr behoben werden können? redundnte Codierung: Mß für Störsicherheit eines Codes: Hmming-Distnz: minimle Anzhl von Bits, in denen sich die Codes von 2 verschiedenen Zeichen unterscheiden Beispiel: Ziffern 1 bis 4 in Binärcodierung Codierung ): C(1) = 001, C(2) = 010, C(3) = 011, C(4) = 100 Mtrix der Distnzen:

8 Hmming-Distnz h = 1 knn sein, dss unbemerkt flsche Nchricht nkommt, wenn nur 1 Bit fehlerhft übertrgen wird. Codierung b): C(1) = 000, C(2) = 011, C(3) = 101, C(4) = 110 Mtrix der Distnzen: Hmming-Distnz h = 2 wenn 1 Bit fehlerhft übertrgen wird, merkt mn, dss etws ful ist! Einfche Möglichkeit Hmming-Distnz von mindestens 2 zu erreichen: m-us-n Codes: Code jedes Zeichens ht Länge n, dvon genu m ml 1. Beispiel: Zeichen 2-us-5-Code 1-us-10-Code h mindestens 2

9 Codes mit Pritätsbits Häufig verwendete Methode der Fehlererkennung und Korrektur. Grundidee: zusätzliche Pritäts-Bits geben n, ob Anzhl der Einsen im "eigentlichen" Code eines Zeichens gerde oder ungerde ist (z.b. 0 flls gerde, 1 flls ungerde) Beispiel (im ASCII-Code): s ASCII(s) Prity Bit I N F O R M A T K jetzt knn mn feststellen, ob 1 Bit fehlerhft übertrgen wurde (ber nicht welches) Erweiterung zu Rechteck-Codes: nch Übertrgung von jeweils k Zeichen wird ein Längsprüfwort gesendet, ds ngibt, ob die Anzhl der jeweils 1., 2., 3. usw. Bits der gesendeten Wörter gerde ist. Sender will INFORMATIK übermitteln, Empfänger erhält (Reihenfolge der empfngenen Bits: spltenweise von oben nch unten, Splten von links nch rechts). empfngene Längsprüf- empfngene Längsprüf- empfngene Dten wort Dten wort Dten Pritäts-Bits ANFO RMAP IK empfngen INFO RMAT IK korrigiert

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