Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure II (Sommersemester 2008) Kapitel 11: Vektoranalysis Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 10. Juni 2008) Felder Definition 11.1 Ein Skalarfeld (skalares Feld) ist eine Abbildung 2 u : R n G R (in jedem Punkt x G sitzt ein Skalar u(x) R). Definition 11.2 Ein Vektorfeld ist eine Abbildung v : R n G R n (in jedem Punkt x G ist ein Vektor v(x) R n angeheftet).

2 Strömung durch Fläche 3 f h v F Strömung durch Würfelseite 4

3 Divergenz 5 Definition 11.3 Für ein differenzierbares Vektorfeld heißt v = (v 1,..., v n ) : R n G R n div x v = n i=1 v i x i (x) R die Divergenz (Quelldichte) von v im Punkt x G. Ist div x v = 0 für alle x G, so ist v divergenzfrei (quellfrei). Konstantes Vektorfeld v(x, y) = (3, 1) 6

4 Radialfeld v(x, y) = 1 2 (x, y) 7 Coulombfeld grad 1 r 8

5 Ebenes Analogon (auf [ 3, 3] [ 2, 2]) 9 Ebenes Analogon (auf [0.5, 3] [0.5, 2]) 10

6 Magnetfeld (Leiter: z-achse) 11 Aufsicht (auf [ 3, 3] [ 2, 2]) 12

7 Aufsicht (auf [1, 4] [1, 3]) 13 Drehung um a R 3 \ {O 3 } 14 d x v(x) a

8 Die Rotation 15 Definition 11.4 Für ein differenzierbares Vektorfeld v : R 3 G R 3 heißt v 3 x 2 (x) v 2 x 3 (x) rot x v = v 1 x 3 (x) v 3 x 1 (x) v 2 x 1 (x) v 1 x 2 (x) R3 die Rotation von v im Punkt x G. Ist rot x v = O 3 für alle x G, so heißt v rotationsfrei (wirbelfrei). Aufsicht auf v(x, y, z) = (y, 0, 0) 16

9 Linearität der Differenzialoperatoren 17 Seien u, ψ : R n G R differenzierbare Skalarfelder und v, w : R n G R n differenzierbare Vektorfelder, λ R eine Konstante. grad (u + ψ) = grad u + grad ψ grad (λu) = λ grad u div (v + w) = div v + div w div (λv) = λ div v rot (v + w) = rot v + rot w (n = 3) rot (λv) = λ rot v (n = 3) Produktregeln für Differenzialoperatoren 18 Seien u, ψ : R n G R differenzierbare Skalarfelder und v, w : R n G R n differenzierbare Vektorfelder. grad (ψu) = u grad ψ + ψ grad u div (ψv) = grad ψ, v + ψ div v rot (ψv) = (grad ψ) v + ψ rot v (n = 3) rot (v w) = (rot v) w +v (rot w)(n = 3)

10 Der Laplace-Operator 19 Definition 11.5 Ist u : R n G R zweimal differenzierbar, so definieren wir u := div (grad u) = ( : Laplace-Operator) n i=1 2 u xi 2. Der Laplace-Operator (für vektorwertige Abbildungen) 20 Definition 11.6 Ist v = (v 1,..., v m ) : R n G R m zweimal differenzierbar, so definieren wir v 1 v :=.. v m

11 Heat-Kernel (t = 0.1) Ebene Welle (t = 0.0)

12 Potenzial 23 Definition 11.7 Für ein Vektorfeld v : R n G R n heißt das Skalarfeld u : G R ein Potenzial für v, wenn gilt: grad ( u) = v u heißt dann eine Stammfunktion von v. Notwendige Bedingung für Potenziale 24 Satz 11.8 Falls v : R 3 G R 3 ein Potenzial hat, so ist rot x v = (0, 0, 0) für alle x G. (Nur wirbelfreie Felder können Potenziale haben.) Bemerkung 11.9 Je nach Form des Gebiets G R 3 gibt es aber auch Vektorfelder v : G R 3 mit rot v = (0, 0, 0), die trotzdem kein Potenzial haben.

13 Konvexe Mengen 25 Definition Eine Menge M R n heißt konvex, wenn für je zwei Punkte p, q R n die gesamte Verbindungsstrecke {tp + (1 t)q 0 1 t} M zwischen p und q in M enthalten ist. Nicht konvexe Menge 26

14 Hinreichende Bedingung für Potenziale 27 Satz Ist v : R 3 G R 3 stetig differenzierbar und wirbelfrei (rot v = O 3 ) auf der offenen konvexen Menge G, so besitzt v ein Potenzial. Bemerkung Wirbelfreie (stetig differenzierbare) Felder (auf offenen Mengen) haben immer lokale Potenziale, weil man um jeden Punkt eine kleine (konvexe) Kugel findet, die ganz im Definitionsbereich liegt. Vektorpotenzial 28 Definition Für ein Vektorfeld v : R 3 G R 3 heißt das Vektorfeld w : G R 3 ein Vektorpotenzial von v, wenn gilt: rot w = v

15 Notwendige Bedingung für Vektorpotenziale 29 Satz Falls ein stetig differenzierbares Vektorfeld v : R 3 G R 3 ein Vektorpotenzial hat, ist div v = 0. (Nur quellenfreie Felder können Vektorpotenziale haben.) Hinreichende Bedingung für Vektorpotenziale 30 Satz Ist v : R 3 G R 3 stetig differenzierbar und quellenfrei (div v = 0) auf der offenen konvexen Menge G, so besitzt v ein Vektorpotenzial.

16 Approximation von Kurven durch Polygonzüge 31 Konstantes Feld, gleichförmige geradlinige Bewegung 32

17 Kurvenintegral (eines Vektorfelds) 33 Definition Das Kurvenintegral eines (stetigen) Vektorfeldes F : R n G R n über einer (stetig differenzierbaren) Kurve c : [a, b] G ist Fds := b F (c(t)) c (t)dt c a Kurvenintegrale sind i.a. wegabhängig 34 Bemerkung In allgemeinen Vektorfeldern hängt das Kurvenintegral nicht nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve ab, sondern auch vom Wegverlauf.

18 Umparametrisierung 35 Satz (i) Durch Umparametrisieren (ohne Vertauschung von Anfangs- und Endpunkt) des Weges (z. B. Geschwindigkeitsänderung) ändert sich das Kurvenintegral nicht. (ii) Bei Vertauschung von Anfangs- und Endpunkt multipliziert sich das Kurvenintegral mit ( 1). Kurvenintegrale von Potenzialfeldern 36 Satz Ist F : R n G R n ein Potenzialfeld mit Potential u : G R (d.h. F = grad u), so gilt für jede (stetig differenzierbare) Kurve c : [a, b] G: F ds = u(c(a)) u(c(b)). c Insbesondere ist das Kurvenintegral in Potenzialfeldern wegunabhängig (d.h. nur abhängig von Anfangs- und Endpunkt des Wegs).

19 Konservative Felder 37 Definition Ein Vektorfeld, in dem alle Kurvenintegrale nur vom Anfangs- und Endpunkt der Kurve abhängen, heißt konservativ; insbesondere (und äquivalent dazu) sind in konservativen Vektorfeldern Kurvenintegrale über geschlossenen Kurven (d. h. Anfangs- gleich Endpunkt) immer Null. Satz Jedes konservative Vektorfeld besitzt ein Potenzial. Kurvenintegral von Skalarfeldern 38 Definition Das Kurvenintegral eines (stetigen) Skalarfeldes u : R n G R über einer (stetig differenzierbaren) Kurve c : [a, b] G ist u ds := b u(c(t)) c (t) dt. c a Insbesondere ist c 1 ds = b a c (t) dt die Länge der Kurve (genauer: des zurückgelegten Wegs).

20 Terminologie 39 Elektrodynamik/Mechanik Vektorfeld Potenzialfeld Thermodynamik Pfaffsche Form (PF) vollständiges Differenzial wirbelfrei v i x j = v j x i (geschl. PF) Potenzial (wegunabh. Int.) wegabhängiges Integral Zustandsvariable Prozessvariable