Johannes Veit. 8. Januar 2016

Transkript

1 Finite im Ein Blick über den Tellerrand... mit FreeFem++ 8. Januar 2016

2 im 1 2 im 3 4 Gliederung 5

3 im 1 2 im 3 4 Gliederung 5

4 dem Einheitsquadrat Laplace - Gleichung: im u(x) = 0 Man betrachte das Problem auf dem Intervall Ω=(0; 1)

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6 Aus der ersten Sitzung wissen wir im Finde u 0 V : a(u 0, v) = F (v) v V Finde u 0,h V h : a(u 0,h, v h ) = F (v h ) v V h wobei V h V mit dim V h < Ist {ϕ 1,..., ϕ n } eine Basis von V h und u 0,h = n i=1 α i ϕ i ergibt sich das lineare Gleichungssystem Aα = b mit A ij = a(ϕ j, ϕ i ), b i = F (ϕ i ), i, j = 1,..., n.

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8 im Definition: bedeutet die Gewinnung einer diskreten Teilmenge Hier wird das Gebiet Ω in äquidistante Teilmengen zerlegt.

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10 im im X r h = {v C 0 (Ω) v K P r (K) K T h } r beschreibt den Grad der bzw. der Polynome (hier: linear = 1, quadratisch = 2) Lineare Basisfunktion von X 1 h zum Knoten x i x x i 1 x i x i 1 für x i 1 x x i, x ϕ i (x) = i+1 x x i+1 x i für x i x x i+1,. 0 sonst

11 quadratische im X 2 h = {v C 0 (Ω) v K P 2 (K) K T h }

12 im Lineares Gleichungssystem v(x) = 6 i=1 α i ϕ i (x), (allgemein v(x) = N i=1 α i ϕ i ) = (Π 1 hv)(x) α i = v(x i ) FEM: X 1 h = span (ϕ i)

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14 im Eine fundamentales Werkzeug der -Methode ist das Céa-Lemma Vorraussetzungen Sei V ein reeller Hilbertraum mit der Norm. Sei a:v V R eine Bilinearform, die beschränkt(äquivalent dazu stetig), d. h. a(u, v) M u v für eine Konstante M > 0 und u, v V und koerzitiv ist, d. h. a(v, v) α v 2 für eine Konstante α > 0 und v V

15 im Dann besagt das Céa-Lemma: u u h V M α Céa-Lemma inf u w h V, w h V h, dass die der Lösung u h aus dem Unterraum V h höchstens um die Konstante M α schlechter ist als die beste für u im. Hierbei ist u= exakte L ösung des Randwertproblems u h = für kleine h geht u h gegen u h beschreibt Intervallgrösse, ist Proportional zur Abweichung

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17 in 2D Man betrachte das Problem auf der Fläche Ω (z.b. =(0; 1) 2 ) im

18 im 1 2 im 3 4 Gliederung 5

19 im in 2d Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum Xh 1 = {v C 0 (Ω) v K P 1 (K) K T h } (lineare Basisfunktionen) Hier wird Ω in zerlegt N j = 1, an benachbarten Knoten x n±1 = 0

20 in 2d im Darstellung der Basisfunktion auf dem Raum X 2 h = {v C 0 (Ω) v K P 2 (K) K T h } (quadratische Basisfunktionen) Auch hier wird Ω in zerlegt N j = 1 oder 0, an benachbarten Knoten x n±1 = 0 oder 1, an Knoten x n±2 = 0

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22 Keine Ecke eines Dreiecks darf auf einer Kante eines anderen Dreiecks liegen. Folgende Anordnung wäre verboten: im

23 Das Verhältnis vom Inkreis zur grössten Seite jedes Dreiecks ist nach oben beschränkt h K γ k < c K T h im

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25 Interpolationsabschaetzung im Folgende Bedingung wird auf das Céa-Lemma angewendet: v Π r hv H m (Ω) Ch r+1 m v H r+1 (Ω) v H r+1 (Ω) C ist eine Konstante, unabhängig von h und u Cea-Lemma: u u h V M α inf u w h V M w h V h α u Πr hu V V = H0 1 (Ω)

26 im Hieraus ergibt sich für u H r+1 (Ω) und u h X r h (Ω) u u h V M α Chr u H r+1 (Ω) Hier kann man die durch 2 Arten verbessern: 1 h kleiner machen 2 r erhöhen, also finite Elemente höherer Ordnung verwenden

27 Man erhält nun Vorschriften für den sfehler u u h H 1(Ω) Ch r u H r+1 (Ω) im u u h L2 (Ω) Ch r+1 u H r+1 (Ω) Plottet man diesen Fehler gegen h (log-log-plot), erhält man verschiedene Steigungen Diese Steigungen zeigen r, also den Grad der verwendeten en

28 FE- im Gegeben sei das Poisson-Problem: u = f in Ω u = g auf Γ = Ω Gesucht sei u v dx = f v h dx Ω Ω u h X 1 h v V h

29 Hier wurde anhand der exakten Lösung u(x, y) = sin(2 π x)cos(2 π y) gelöst im

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31 Wechseln wir nun zum Programm FreeFEM im

32 im A. Quarteroni: Numerical Models for Differential Problems, 2nd Ed., Springer-Verlag Italia 2014 Einführungsvortrag Dr. Steffen Weißer (ein Blick über den Tellerrand... mit FreeFem++)

33 Zusammenfassung im von Problemen mit der -Methode Zerlegung des Intervalls (1D) oder der Fläche(2D) in Teilstücke der Breite h Stückweise Aufstellen durch Basisfunktionen der Ordnung r Durchführung und Visualisierung der durch FreeFEM Berechnen des Fehlers mit eigenem Programm