Musterlösung für die Klausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 2014/2015

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1 Musterlösug für die Klausur zur Vorlesug Stochastik I im WiSe 204/205 Teil I wahr falsch Aussage Gilt E[XY ] = E[X]E[Y ] für zwei Zufallsvariable X ud Y mit edlicher Variaz, so sid X ud Y uabhägig. Für eie reelle Zufallsvariable X mit Verteilugsfuktio F gilt P(X = 0 ) = 0 geau da, we F stetig bei 0 ist. Für zwei reelle Zufallsvariable X, Y gilt stets cov(x, Y ) > 0. Die Dichtefuktio eier Zufallsvariable immt ur Werte zwische Null ud Eis a. Die Azahl der Elemete eier edliche σ-algebra ist immer eie Zweierpotez. Es gibt reellwertige Zufallsvariable mit P(X [ 0.5, 2]) = 0.9 ud P(X ) = Es gilt Var(X) E(X 2 ). Es gilt X X i Verteilug geau da, we X X 0 i Verteilug. Für zwei Zufallsvariable X, Y gilt: Aus E( X Y ) = 0 folgt P(X = Y ) =. Für eie Mege vo Ereigisse A,..., A gilt P(A... A ) k= P(A k).

2 Teil II Aufgabe (3+3=6 Pukte) Die Wahrscheilichkeit, dass i ihrem Liebligsseder a eiem Sotag Orgelmusik ertöt, beträgt 20%. A jedem adere Wochetag beträgt sie 5%. Sie wisse icht, welcher Wochetag ist ud schalte das Radio ei. a) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Orgelmusik ertöt? b) Wie groß ist die Wahrscheilichkeit, dass Sotag ist, we Sie aschalte ud keie Orgelmusik ertöt? Lösug: Eie geeigete Grudmege ist gegebe durch Ω = {(O, S), (O, S), (Ō, S), (Ō, S)}, wobei O (bzw. Ō) für Orgelmusik (bzw. icht Orgelmusik) steht ud S (bzw. S) für Sotag (bzw. icht Sotag). a) Nach dem Satz der totale Wahrscheilichkeit gilt b) Mit dem Satz vo Bayes gilt P(O) = P(O S) P(S) + P(O S) P( S) = = ( 0.07). 4 P(Ō S) P(S) P(S Ō) = P(Ō) P(Ō S) P(S) = P(O) 4 5 = 7 4 = 56 ( 0.23). 455 Aufgabe 2 (3+2+=6 Pukte) Es sei X epoetialverteilt zum Parameter λ > 0 ud Y = 2X +. a) Gebe Sie die Verteilugsfuktio F Y vo Y auf gaz R a ud skizziere Sie diese. b) Gebe Sie die Dichtefuktio f Y vo Y a. c) Drücke Sie P(Y [a, b]) für a b, mithilfe vo F Y aus. Lösug: a) Es ist F Y (y) = P(Y y) = P(2X + y) = P (X 2 ) (y ) = { 0 : y < e λ 2 (y ) : y, wobei im letzte Schritt geutzt wurde, dass X epoetialverteilt ist. 2

3 2.5 F Y (y) y b) Die Dichtefuktio f Y : R\{} [0, ) ist gegebe durch { 0 : y < f Y (y) = λ 2 e λ 2 (y ) : y >. Dabei wurde die Verteilugsfuktio F Y abschittsweise auf de Bereiche (, ) ud (, ) abgeleitet, währed die Stelle icht beachtet werde muss, da P(Y = ) = 0 gilt. c) Es gilt P(Y [a, b]) = P(Y b) P(Y < a) ( ) = P(Y b) P(Y a) = F Y (b) F Y (a), wobei ( ) aus P(Y = a) = 0 folgt. Aufgabe 3 (3+3=6 Pukte) a) Es sei P die Gleichverteilug auf Ω = [0, ] (mit Borel-σ-Algebra), sowie { : ω [0, /) X (ω) = 0 : sost. Bestimme Sie eie Zufallsvariable X so, dass X f.s. X. b) Es seie X, X 2, X 3,... sowie X reelle Zufallsvariable mit edlichem Erwartugswert. Zeige Sie: Aus E( X X ) 0 folgt X X; die Umkehrug gilt jedoch icht. Hiweis: Sie köe die Markov-Ugleichug verwede. Lösug: a) Wähle X(ω) = 0 für alle ω [0, ]. Für jedes ω (0, ] gilt da X (ω) = 0 > ω ud somit X (ω) X(ω). Damit ist P(X X) = P((0, ]) P(0)=0 = P([0, ]) =, also X f.s. X. b) Sei ε > 0 gegebe. Mit der Markov-Ugleichug gilt E( X X > ε) E( X X ) ε ud letzteres kovergiert ach Vorrausetzug gege 0. D.h. es gilt auch E( X X > ε) 0 ud somit X X. 3

4 f.s. Die Umkehrug gilt icht: Für das Beispiel aus a) gilt X X ud somit auch X X, aber E( X X ) = E( X ) = = für alle. Aufgabe 4 (3+3=6 Pukte) Es seie X N (µ, σ 2 ) ud Y N (λ, σ 2 ) ormalverteilte Zufallsvariable auf R mit Erwartugswerte µ, λ R. Durch uabhägige Messuge X,..., X bzw. Y,..., Y soll eigeschätzt werde, ob die Erwartugswerte übereistimme (µ = λ) oder voeiader abweiche (µ λ). Als Schätzer für die Differez ν = µ λ der Erwartugswerte wähle wir die mittlere Differez T (X, Y,..., X, Y ) = (X i Y i ). a) Ist der Schätzer T erwartugstreu ud kosistet? b) Nu sei = 00 ud σ 2 = 2. Wir formuliere die Hypothese H 0 : µ = λ ud H : µ λ. Bestimme Sie eie sivolle determiistische Test ϕ zum Irrtumsiveau α = Lösug: a) Aufgrud der Liearität des Erwartugswertes gilt ( ) E(T ) = E (X i Y i ) = ((E(X i ) E(Y i ))) = (µ λ) = (µ λ) = µ λ, d.h. T ist erwartugstreu. Weiter gilt ach dem schwache Gesetz der große Zahl (X i Y i ) E(X Y ) = µ λ, d.h., T ist kosistet. b) Es sei z = T (X, Y,..., X, Y ) R das Ergebis der Messug. Der Wert z ist (als Durchschitt ormalverteilter Zufallsvariable) wieder ormalverteilt mit Erwartugswert λ µ (siehe a)) ud Variaz V(z) = 2 V(X Y ) = (V(X) + V(Y )) = ( ) = Uter der Nullhypothese H 0 gilt λ µ = 0 ud somit z N (0, 0.0). Ei sivoller determiistischer Test leht die Nullhypothese ab, sobald der gemessee Wert z zu sehr vom Erwartugswert 0 abweicht. Wir bestimme daher die Testfuktio ϕ : R {0, } mit { 0 : z < ε ϕ(z) = : sost. Dabei muss die kritische Zahl ε so gewählt werde, dass der Fehler erster Art maimal α ist, also P 0 ( z > ε)

5 wobei P 0 das Wahrscheilichkeitsmaß gegebe H 0 ist. Aus z N (0, 0.0) folgt 0z N (0, ) ud somit P 0 ( z > ε) 0.05 P 0 ( z ε) 0.95 P 0 ( ε z ε) 0.95 P 0 ( 0ε 0z 0ε) 0.95 F 0, (0ε) F 0, ( 0ε) F 0, (0ε) 0.95 F 0, (0ε) Ablese aus der Tabelle ergibt = F 0, (.96), also 0ε =.96 ud ε =