Finanzmathematik Geldmarkt

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1 Finanzmathematik Geldmarkt Skriptum für ACI Dealing und Operations Certificate und ACI Diploma In Zusammenarbeit mit den ACI-Organisationen Deutschland, Luxembourg, Österreich und Schweiz Stand: 02. April 2010 Für den Inhalt verantwortlich: Finance Trainer International Ges.m.b.H.

2 FINANZMATHEMATIK GELDMARKT 1. Methoden der Zinsberechnung, Zinskurve und Quotierungen Methoden der Zinsberechnung Die Zinskurve Interpolation Quotierungen Finanzmathematik für den Geldmarkt Einfache Zinsberechnung Durchschnittszinsen Zinseszinsberechnung / erechnung von Effektivzinsen erechnung von Forward-Sätzen (unterjährig) erechnung von Forward-Sätzen (überjährig) Endwertberechnung (unterjährig) Endwertberechnung (überjährig) arwertberechnung (unterjährig) arwertberechnung (überjährig) Zinssatzberechnung aus arwert und Endwert (unterjährig) Zinssatzberechnung aus arwert und Endwert (überjährig) Umrechnung Diskontsatz in Zinssatz Umrechnung von Money-Market auf ond-methode und vice versa Umrechnung von unterjährigen in ganzjährige Zinszahlungen Umrechnung von ganzjährigen in unterjährige Zinszahlungen 22 FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 1 von 23

3 FINANZMATHEMATIK GELDMARKT 1. Methoden der Zinsberechnung, Zinskurve und Quotierungen 1.1 Methoden der Zinsberechnung Für Zinsberechnungen stellt sich allgemein die Frage, wie die Zinsen für eine Periode zu errechnen sind. Die Art dieser Ermittlung ist in den einzelnen nationalen Märkten unterschiedlich und variiert von Markt zu Markt. Grundsätzlich kann von der folgenden Formel ausgegangen werden: Z = K r T Z = Zinsbetrag K = Nominalbetrag (Kapital) r = Zinssatz (5,0 % = 0,05; 10,3 % = 0,103 etc.) T = Anzahl der Tage für die Zinsberechnung (Laufzeit) = erechnungsbasis (festgesetzte Anzahl der Tage pro Jahr) Für die erechnung der Tage (T) gibt es drei Methoden: a) ACT-Methode (Actual-Methode): Die tatsächlich verstrichenen Tage werden gezählt. Zinsperiode: 1. März 31. März 30 Tage als erechnungsgrundlage Zinsperiode: 1. März 1. April 31 Tage als erechnungsgrundlage b) 30-Methode: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet. Die Resttage innerhalb eines Monats werden subtrahiert. Zinsperiode: 1. März 31. März 30 Tage als erechnungsgrundlage Zinsperiode: 1. März 30. März 29 Tage als erechnungsgrundlage Zinsperiode: 1. März 1. April 30 Tage als erechnungsgrundlage FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 2 von 23

4 c) 30E-Methode: Jeder Monat wird mit 30 Tagen gerechnet. Der 31. eines Monats wird mit dem 30. gleichgesetzt. Resttage werden subtrahiert. Zinsperiode: 1. März 31. März 29 Tage als erechnungsgrundlage Zinsperiode: 1. März 30. März 29 Tage als erechnungsgrundlage Zinsperiode: 1. März 1. April 30 Tage als erechnungsgrundlage Diese Methode ist am Euromarkt und in einigen kontinentaleuropäischen Märkten üblich. Um die korrekte Anzahl von Tagen zu ermitteln, kann man auch auf die ISDA-Formel zurückgreifen. Sie lautet für die 30-Methode und 30E-Methode: D = (y2-y1)x+ (m2-m 1) 30 + (d2 d1) D y 1 y 2 m 1 m 2 d 1 d 2 = Anzahl Tage = Startjahr der Zinsperiode = Endjahr der Zinsperiode = Startmonat der Zinsperiode = Endmonat der Zinsperiode = Starttag der Zinsperiode = Endtag der Zinsperiode Dabei ist für d 1 und d 2 zu beachten: 30-Methode 30E-Methode d1 d1 = d1 = d2 d2 = 31 30, wenn d1 30 oder 31 ist d2 = Zinsperiode März Methode: D = ( ) + (3 3) 30 + (31 1) D = 30 30E-Methode: D = ( ) + (3 3) 30 + (30 1) D = 29 FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 3 von 23

5 Für die erechnung der asis () gibt es drei Methoden: a) -Methode: Das Jahr wird mit Tagen gerechnet. Jahreslaufzeit: 1. März XY 1. März XZ sind 365 Tage asis Tage Jahreslaufzeit: 1. März XY 3. März *) XZ sind 367 Tage asis Tage *) z.. bei einem Wochenende b) 365-Methode: Das Jahr wird mit 365 Tagen gerechnet. Wie bei der -Methode, nur allgemein asis 365 Tage c) ACT-Methode: Im Geldmarkt (ISDA-Methode): Gerechnet wird mit der Anzahl der tatsächlichen Jahrestage (Schaltjahr 366, normales Jahr 365). Fällt ein Geschäft in zwei Jahre, von denen ein Jahr ein Schaltjahr ist, wird die Zinsberechnung in zwei Teile geteilt. 2. Januar Januar 04 Zinsberechnung ACT/ACT x + x Im Anleihemarkt (ISMA-Methode): Das Jahr wird mit den echten Tagen der Zinsperiode (mal die Anzahl der Zinsperioden) gerechnet. Anleihe mit halbjährlicher Zinszahlung: 1. März XY 1. Sept. XY sind 184 Tage asis: 368 (184 x 2) 184 x 368 FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 4 von 23

6 Generell finden im Markt verschiedene ACT-Methoden Anwendung. Die üblichsten sind die ISDA und die ISMA-Methode, die im Markt auch als Actual / Actual historical (ISDA) oder Actual / Actual ond (ISMA) bezeichnet werden. Von den neun theoretisch möglichen Kombinationen von T und sind allerdings nur fünf in Verwendung: ACT/365, ACT/, 30/, 30E/ und ACT/ACT. Die Tageskonventionen sind von Markt zu Markt unterschiedlich. In der folgenden Tabelle sind die Konventionen im Geld- und Kapitalmarkt aufgelistet. eim Kapitalmarkt sei jedoch darauf hingewiesen, dass diese Konventionen zwischen dem internationalen bzw. dem Heimmarkt und den unterschiedlichen Instrumenten in der Spezifikation differieren können. Vor dem Handel daher bitte unbedingt die Konditionen nochmals klären! Geldmarkt Geldmarkt Kapitalmarkt Australien ACT/ Norwegen ACT/ Euro ACT/ACT Euro ACT/ Polen ACT/365 UK Gilts: s.a. ACT/ACT*) Neuseeland ACT/ Schweden ACT/ Japan 30/ oder ACT/ACT UK ACT/365 Schweiz ACT/ Schweden 30/ oder 30E/ Hong Kong / Singapur ACT/365 Tschechien ACT/ Schweiz 30/ oder 30E/ Japan ACT/ USA ACT/ USA 30/ oder ACT/ACT *) semi-annual FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 5 von 23

7 Halbjährliche Anleihe, Nominale mit 7,5 % Zinsen p. a., letzter Kupon am 1. Mai, nächster Kupon am 1. November (Anzahl der Tage: 184). Am 31. Mai sind damit folgende Zinsen angefallen: erechnungsmethode Verrechnungstage / Tage pro Jahr Zinsberechnung ACT/365 30/365 ACT/ 30/ 30/ 30/ 30E/ 29/ ACT/ACT 30/ , 075 = 6164, , 075 = 62, , 075 = 62, , 075 = 60, , = 6114, 1.2 Die Zinskurve Die Zinskurve (bzw. Renditekurve) stellt die Zinssätze für verschiedene Laufzeiten eines Finanzinstrumentes dar. So zeigt beispielsweise die undkurve die Renditen von Deutschen undesanleihen (kurz und) mit unterschiedlichen Laufzeiten. Aufgrund der Vielzahl von unterschiedlichen Instrumenten gibt es auch eine Vielzahl unterschiedlicher Zinskurven wie z.. Interest Rate Swap (IRS)-Kurve, Pfandbriefkurve, T-ond-Kurve, EURIOR-Kurve etc.. Drei typische Formen von Zinskurven werden unterschieden: Ansteigende Zinskurve (normale, steile, positive Zinskurve): Die Zinsen für kurze Laufzeiten sind niedriger als für lange Laufzeiten. Flache Zinskurve Die Zinssätze für unterschiedliche Laufzeiten sind gleich hoch. Inverse Zinskurve Die Zinssätze für kurze Laufzeiten sind höher als die Zinsen für lange Laufzeiten. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 6 von 23

8 8,000% 7,000% 6,000% 5,000% 4,000% normal (ansteigend) invers flach 3,000% 2,000% 1,000% 0,000% 3 Mo. 6 Mo. 1 J. 2 J. 3 J. 4 J. 5 J. 7 J. 10 J. Zinskurventheorien Zur egründung der verschiedenen Verläufe von Zinskurven gibt es drei Theorien: Die Erwartungstheorie geht davon aus, dass Erwartungen über zukünftige Zinsänderungen das Angebot und die Nachfrage nach Titeln mit verschiedenen Laufzeiten unterschiedlich beeinflussen. Dadurch ergeben sich unterschiedliche Zinssätze für die unterschiedlichen Laufzeiten. Gemäß der Liquiditätspräferenztheorie wird für eine längere Veranlagung eine Prämie verlangt. Demnach weist die Zinsstruktur auch bei neutralen Erwartungen bezüglich zukünftiger Zinsänderungen eine positive Steigung auf. Die Marktsegmentierungstheorie geht davon aus, dass in den verschiedenen Laufzeitsegmenten unterschiedliche Gruppen von Marktteilnehmern agieren, wodurch sich unterschiedliche Zinssätze in den einzelnen Segmenten ergeben. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 7 von 23

9 1.3 Interpolation Da nicht für jede beliebige Laufzeit eine entsprechende enchmark zur Verfügung steht, müssen Zinssätze mitunter angenähert werden. In der Folge zeigen wir die einfachste Methode der erechnung von Zinssätzen für unübliche Laufzeiten mit der linearen Interpolation auf. r= r k rl rk + Tl T k ( T T ) r = Zinssatz in Dezimalen T= Laufzeit in Tagen für die zu berechnende Periode r k = Zinssatz in Dezimalen, kurze Periode T k = Laufzeit in Tagen für die kürzere Periode r l = Zinssatz in Dezimalen, lange Periode T l = Laufzeit in Tagen für die längere Periode k Wir ermitteln einen Zinssatz für ein Depot von 1½ Monaten (46 Tage) aus folgenden Zinssätzen: 1 Monat 3½ % (31 Tage) 3 Monate 3¾ % (92 Tage) 0,0375 0,035 r = 0,035 + = ( 46 31) 3, Der Vorteil der dargestellte Methode der linearen Interpolation liegt in ihrer Einfachheit. Allerdings wollen wir auch auf Methoden hinweisen, die die Nichtlinearität der Zinskurve berücksichtigen: Logarithmische Interpolation Cubic Spline FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 8 von 23

10 1.4 Quotierungen Zinssätze werden oft in asispunkten quotiert, die über oder unter einer bestimmten enchmark liegen können. eispielsweise könnte eine ank zu LIOR - 3 Punkte Geld leihen oder eine Dollaranleihe könnte zur Quotierung T+50 emittiert werden, das bedeutet 50 asispunkte über der Rendite einer vergleichbaren US-Treasury-ill. Ein asispunkt ist 1/100 von 1,0 %, also 0,01 %. Die Angabe des Zinssatzes für Geldmarktgeschäfte erfolgt auf einer p.a. asis, wobei die Zinsen im Nachhinein am Ende der jeweiligen Laufzeit auf das Kapital gezahlt werden. Die dabei entrichteten Zinsen nennt man auch einfache Zinsen. Geldmarktgeschäfte werden üblicherweise bis zu einer Laufzeit von einem Jahr abgeschlossen. In jenen Fällen, in denen die Laufzeit von Krediten oder Einlagen im Geldmarktbereich zwölf Monate übersteigt, werden die Zinsen zunächst jährlich und dann bei Fälligkeit bezahlt. eispielsweise werden die Zinsen für ein genommenes 18-Monats- Depot erstmals nach 12 Monaten und zum zweiten Mal nach 18 Monaten bezahlt, also nach dem Ende der 6-Monats-Frist im zweiten Jahr. Einfache Zinsen für eine bestimmte Periode werden auf das gegebene Kapital bzw. auf einen gegebenen Nominalbetrag gerechnet. Unterschiedliche Zinsberechnungsmethoden für einzelne Instrumente sind jederzeit möglich und beeinflussen den absoluten Wert eines asispunktes. Was ist der Wert eines asispunktes bei einem EUR Jahresdepot? Da EUR am Geldmarkt mit ACT/ gerechnet wird, muss der Wert eines asispunktes x 0,0001 x 365/ = 101,39 EUR sein. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 9 von 23

11 2. Finanzmathematik für den Geldmarkt 2.1 Einfache Zinsberechnung Die Formel für die einfache Zinsberechnung (einmalige Zinszahlung und Laufzeit unter einem Jahr) lautet: T Z= K r Z = Zinsbetrag K = Nominalbetrag (Kapital) r = Zinssatz (5,0 % = 0,05; 10,3 % = 0,103 etc.) T = Anzahl der Tage für die Zinsberechnung (Laufzeit) = erechnungsbasis (festgesetzte Anzahl der Tage pro Jahr) ank A gibt ein 1-Monats-Depot zu 3,0 % (EUR 5 Mio.). Der Kredit startet am 1. Oktober und endet am 1. November. Die tatsächliche Laufzeit dieser Periode in Tagen ist 31. Als erechnungsbasis werden Tage pro Jahr angenommen. Wie hoch sind die Zinsen in Absolutbeträgen auf diesen Kredit? 31 Z = ,03 = ,67 Am 1. November wird der Kreditnehmer entweder Zinsen von EUR ,67 bezahlen und das Kapital verlängern ( roll over ) oder den Kredit mit Kapital inklusive Zinsen in Höhe von EUR ,67 zurückzahlen. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 10 von 23

12 2.2 Durchschnittszinsen Wurden Gelder zu unterschiedlichen Zinsen über mehrere Zeitperioden aufgenommen oder veranlagt, kann der Durchschnittszinssatz folgendermaßen berechnet werden: T1 T2 T3 Tn DZ = r1 + r2 + r rn T N DZ = Durchschnittszins r 1,r 2,...rn = Zinssätze in Dezimalen der einzelnen Perioden = erechnungsbasis TN = Gesamtlaufzeit in Tagen T 1,T 2,...T n = Anzahl der Tage der einzelnen Perioden T N = Gesamtlaufzeit in Tagen ei dieser Durchschnittsberechnung werden keine Zinseszinsen berücksichtigt. Sie haben CHF zu folgenden Zinssätzen für das letzte Jahr veranlagt: 2. Januar 2. April (90 Tage) zu 2,50 % 2. April 2. Juli (91 Tage) zu 2,75 % 2. Juli 2. Oktober (92 Tage) zu 2,875 % 2. Oktober 2. Januar (92 Tage) zu 3,0 % Was ist der Durchschnittszinssatz? , , , ,03 = 2,78288 % 365 FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 11 von 23

13 2.3 Zinseszinsberechnung / erechnung von Effektivzinsen Wird ein Kapitalbetrag über mehrere Perioden veranlagt, ohne dass die Zinsen am Ende einer Periode gezahlt werden, so erhöht sich der in der nächsten Periode veranlagte etrag um die Zinsen. Diese bilden dann ihrerseits einen Teil des Kapitals und damit der Verzinsungsbasis für die nächste Periode. Man spricht von Kapitalisierung bzw. Zinseszinsen. Die allgemeine Formel für die Zinseszinsberechnung lautet: T1 T2 T3 Tn EZ = 1+r 1 1+ r2 1+r r n 1 T N EZ T 1,...T n T N r 1....r n = Effektivzins = Anzahl der Tage der einzelnen Perioden = erechnungsbasis = Gesamtlaufzeit in Tagen = Zinssätze in Dezimalen der einzelnen Perioden Sie haben CHF zu folgenden Sätzen für das letzte Jahr veranlagt. Die Anschlussveranlagung gilt jeweils für das Kapital und die bereits angefallenen Zinsen: 2. Januar 2. April (90 Tage) zu 2,5 % 2. April 2. Juli (91 Tage) zu 2,75 % 2. Juli 2. Oktober (92 Tage) zu 2,875 % 2. Oktober 2. Januar (92 Tage) zu 3,0 % Wie hoch ist der Effektivzins? EZ = 1+0, , , ,03 1 = 2,8124% 365 Der Effektivzins ist 2,8124%. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 12 von 23

14 2.4 erechnung von Forward-Sätzen (unterjährig) Ein Forward-Forward-Satz (oder einfach Forward-Satz) ist ein Zinssatz für eine zukünftige Zinsperiode, z.. ein Zinssatz für eine 6-monats Veranlagung, die in 3 Monaten startet. Diese Forward-Sätze können von den aktuellen Zinssätzen abgeleitet werden. Durch eine 9-monatige Veranlagung und eine 3-monatige Refinanzierung ist dieser Effekt schon heute erzielbar. Somit ergeben sich Forward-Forward-Sätze direkt aus Niveau und Steilheit der Zinskurve. Die Formel für die erechnung der unterjährigen Forward-Sätze lautet: Tl 1 + rl FS= 1 Tk 1 r k + T l k FS r l r k T l T k T l-k = Forward-Satz = Zinssatz in Dezimalen, lange Laufzeit = Zinssatz in Dezimalen, kurze Laufzeit = Anzahl der Tage, lange Laufzeit = Anzahl der Tage, kurze Laufzeit = erechnungsbasis = Tage zwischen kurzer und langer Laufzeit erechnung des Forward-Satzes für GP, startend in 3 Monaten, für eine Laufzeit von 3 Monaten. Zinsen GP: 3 Monate = 7½ % (91 Tage) 6 Monate = 7¾ % (183 Tage) , FS = 1 = 7,85049 % , Der Forward-Satz für ein 3-monats Depot, das in 3 Monaten startet, ist 7,85049%. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 13 von 23

15 2.5 erechnung von Forward-Sätzen (überjährig) Aus einem kurzen und einem längeren Zinssatz kann ein sogenannter Forward-Zinssatz (auch Forward-Forward-Zinssatz) ermittelt werden. Formel für die überjährige Ermittlung: FS= ( 1+ rl ) ( 1+ r ) k N n 1 ( N n) 1 FS r l N r k n = Forward-Satz = Zinssatz in Dezimalen, lange Laufzeit = Laufzeit in Jahren, lange Periode = Zinssatz in Dezimalen, kurze Laufzeit = Laufzeit in Jahren, kurze Periode Anmerkung: Die genaue erechnung erfolgt mit Zero-Sätzen. Für längere Laufzeiten können die Abweichungen ohne erücksichtigung von Zeros sehr groß werden. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 14 von 23

16 2.6 Endwertberechnung (unterjährig) Ausgehend vom heutigen Wert (auch arwert oder Kapital), wird der zukünftige Wert ermittelt. Der Geldwert, der am Ende der Laufzeit eines Kredits oder aufgenommenen Depots fällig wird, beinhaltet Kapital plus angelaufene Zinsen. Dieser Wert wird auch Endwert des Kredits oder der Veranlagung genannt. Wenn beispielsweise GP 100 heute für 1 Jahr zum Zinssatz von 4,0 % p.a. investiert werden, erhält man nach Ende eines Jahres einen etrag von GP 104 (ACT/365). Der arwert dieser Veranlagung beträgt GP 100. Der Endwert dieser Veranlagung beträgt GP 104. Formel für die einfache Endwertberechnung: T EW = K 1 + r oder T EW= K+ K r EW = Endwert der Veranlagung K = Kapitalbetrag r = Zinssatz in Dezimalen T = Anzahl der Tage der Zinsperiode = erechnungsbasis Also ist der Endwert einer Veranlagung der Kapitalbetrag (K) plus anteilige Zinsen. Ein genommenes Depot über EUR 1 Mio. zu einem Zinssatz von 6,0 % p.a. für 92 Tage (ACT/) wächst am Laufzeitende zu einem etrag von: 92 EW = ,06 = ,33 FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 15 von 23

17 2.7 Endwertberechnung (überjährig) Die Formel für die erechnung des Endwertes für Laufzeiten länger als ein Jahr lautet: ( 1 ) EW = K + r N EW K r N = Endwert = Kapitalbetrag = Zinssatz in Dezimalen p.a. = Laufzeit in Jahren Anmerkung: Diese erechnung unterstellt, dass die Wiederveranlagung zum gleichen Zinssatz erfolgt. 2.8 arwertberechnung (unterjährig) Als arwert wird der heutige Wert eines zukünftigen Zahlungsstromes bezeichnet. Ausgehend vom Endwert wird also durch Abzinsen oder Diskontieren der heutige Wert ermittelt. EW W= T 1 + r W EW r T = arwert (Kapital) = Endwert = Zinssatz in Dezimalen = Anzahl der Tage = erechnungsbasis Wir wissen, dass die aktuelle Rendite eines EUR Commercial Papers 5,5 % beträgt. Der Endwert in 2 Monaten (61 Tage) beträgt Was ist der aktuelle Wert dieses Commercial Papers? W = = , ,61 Der arwert beträgt ,61. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 16 von 23

18 2.9 arwertberechnung (überjährig) ei mehrjähriger Laufzeit kann der arwert folgendermaßen berechnet werden: W = EW + r N ( 1 ) Der arwert von EUR 1 in 5 Jahren, bei einem Zinssatz von 6,0 % beträgt: W = 1 (, ) = 0, Zinssatzberechnung aus arwert und Endwert (unterjährig) Wenn wir sowohl Endwert, arwert und Laufzeit eines Geschäftes kennen und es keine zwischenzeitlichen Cash-Flows gibt, kann aus den beiden Zahlungen auch die aktuelle Rendite (der aktuelle Zinssatz) herausgerechnet werden. ( EW W) r = W EW = Endwert W = arwert = erechnungsbasis T = Anzahl dertage r = Zinssatz T Ein EUR Commercial Paper hat eine Restlaufzeit von 82 Tagen. arwert = Endwert = ( ) r = = 5,5001% Anmerkung: Diese erechnungsmethode gilt nicht bei Geschäften mit mehreren Cash-Flows. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 17 von 23

19 2.11 Zinssatzberechnung aus arwert und Endwert (überjährig) Aus arwert, Endwert und Laufzeit eines Geschäftes kann der Zinssatz ermittelt werden. Für zwischenzeitliche Zinszahlungen wird dabei eine Wiederveranlagung zum errechneten Zinssatz unterstellt. EW r = N 1 W oder EW W 1 N 1 EW W N = Endwert = arwert = Laufzeit Zu welchem Zinssatz müssen 50 Mio. EUR heute angelegt werden, um nach 10 Jahren (inkl. Zinseszinsen) 100 Mio. EUR zurückzuerhalten? r = r = 7,17735 % Anmerkung: Diese erechnungsmethode unterstellt die Wiederveranlagung der Zinszahlungen zum gleichen Zinssatz. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 18 von 23

20 2.12 Umrechnung Diskontsatz in Zinssatz Einige Instrumente (unter anderem US-Treasury-ills) werden mit Diskontsatz quotiert, d.h. die Zinsberechnung erfolgt auf den Endwert, nicht auf das investierte Kapital. Um diese mit Instrumenten die auf Renditebasis quotiert werden (z.. Interbank Depots) vergleichen zu können, muss der Diskontsatz in einen Zinssatz (Rendite) umgerechnet werden. r r= d T 1 r d R r d T = Zinssatz p.a. = Diskontierungssatz in Dezimalen = Anzahl der Tage = erechungsbasis Der Diskontierungssatz eines US-Treasury-ills ist 5,0 %, Laufzeit 92 Tage. Was ist der vergleichbare Zinssatz? 0,05 r = = 5,06472% ,05 Der Diskontsatz von 5,00% ergibt eine Rendite von 5,06472% FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 19 von 23

21 2.13 Umrechnung von Money-Market auf ond-methode und vice versa Im Regelfall ist die asis für Zinszahlungen im Kapitalmarkt und im Geldmarkt unterschiedlich. Daher ist die Umrechnung von Zinszahlungen notwendig. Kennen wir die Geldmarktzinsen, so können wir aus diesem Zinssatz einen Kapitalmarktzins berechnen und umgekehrt: r KM T GM KM = rgm r r GM GM TKM T KM = KM T KM GM GM r KM r GM = Zinssatz Kapitalmarkt = Zinssatz Geldmarkt T GM = Anzahl der Tage pro Jahr Geldmarkt GM = erechnungsbasis Geldmarkt T KM = Anzahl der Tage pro Jahr Kapitalmarkt KM = erechnungsbasis Kapitalmarkt Der Kapitalmarktzins von 3,50 % (asis 30/) soll mit einem Geldmarktzins (act/) verglichen werden. 3,50% = 3,45205% 365 Anmerkung: Im Regelfall ist der vergleichbare Geldmarktsatz für eine Periode (z.. 1 Jahr) immer niedriger als der Kapitalmarktsatz, weil die Geldmarktzinsen auf mehr Tage berechnet werden (ACT statt 30-Methode). FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 20 von 23

22 2.14 Umrechnung von unterjährigen in ganzjährige Zinszahlungen Zinszahlungen müssen nicht immer jährlich anfallen, sondern können auch täglich, wöchentlich, monatlich, quartalsweise oder halbjährlich ausbezahlt werden. ei Anleihen fallen beispielsweise die Zinszahlungen mitunter halbjährlich an. Um diese unterjährigen Zinssätze mit Jahreszinssätzen (einmalige jährliche Zinszahlung) vergleichbar zu machen, wird aus dem Nominalzins der Effektivzinssatz errechnet. ei einmaliger Zinszahlung p.a. ist der Nominalzins gleich dem Effektivzinssatz. NZ EZ = 1 + ZP ZP 1 EZ = Effektivzins p.a. in Dezimalen NZ = Nominalzins p.a. in Dezimalen ZP = Zinsperioden p.a. (z.. 2 für halbjährlich, 4 für quartalsweise,.. etc.) Sie legen EUR auf ein Jahr zu 6,00% an und vereinbaren quartalsweise Zinszahlungen. Welchen Effektivzinssatz ergibt diese Veranlagung? 0,06 EZ = = 6,13636% Ein Quartalszinssatz von 6,0 % entspricht einem Jahreszinssatz von 6,14 %. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 21 von 23

23 2.15 Umrechnung von ganzjährigen in unterjährige Zinszahlungen Um ganzjährige Zinszahlungen in unterjährige Zinszahlungen umzurechnen, verwendet man folgende Formel: r UJ r = ZP1 rgj 1 ZP UJ + ZP rgj = Zinssatz p.a., unterjährig, für Zinsperiode = Anzahl der Zinsperioden im Jahr = Zinssatz p.a., ganzjährig, in Dezimalen Der Zinssatz von 6,00 % einer Anleihe mit ganzjähriger Zinszahlung soll in einen Nominalzinssatz mit halbjährigen Zinszahlungen umgewandelt werden. ( 1+ 0,06 1) 2 5,9126% 2 ruj = = Eine Anleihe mit 6,00% jährlich bringt den gleichen Ertrag wie eine Anleihe mit 5,9126% halbjährlich. FINANCE TRAINER International Finanzmathematik Geldmarkt / Seite 22 von 23