anziehend (wenn qq 1 2 abstoßend (wenn qq Sorten Ladung: + / - nur eine: Masse, m>0 Kraft entlang Verbindungslinie wie El.-Statik Kraft 1 2 r

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1 3. Elektomagnetische Felde 3.. Elektostatische Käfte 3... Coulombgesetz eob.: el. geladene Köpe üben Kaft aufeinande aus Anziehung Abstoßung Was ist elektische Ladung???? Usache de Kaft? Histoisch: a.) Vesuch alle Käfte als Nahwikungskäfte zu ekläen (mit geheimnisvollen Hebeln, Stangen, Kugelschalen, Äthe kompliziet, widespüchlich gescheitet b.) Fenwikungskäfte (Newton, Gavitation!), math. beschieben duch Feld aus de Sicht de modenen Physik (Relativität, Quantenphysik) poblematisch ( wie, wie schnell kommt die Wikung von de Quelle zum Köpe, auf den eine Kaft wikt? Wie beiten sich Ändeungen im Raum aus?). Eine momentane Übetagung widespicht de Relativität! Heute: Fundamentale Wechselwikungen weden duch Austauschkäfte beschieben: zwischen wechselwikenden Teilchen weden (vituelle) Feldquanten (und damit Enegie u. Impuls) ausgetauscht ( Hunde Knochen ). Die elektomagnetische Wechselwikung wid duch Austausch von Lichtquanten, den Photonen, beschieben. Z.. WW zwischen Elekt. (einfachste Fall, Austausch eines einzelnen Photons γ) : γ e - Vegleich: Elektostatik Gavitation anziehend (wenn qq < ) ode nu anziehend abstoßend (wenn qq > ) Soten Ladung: / - nu eine: Masse, m> Kaft entlang Vebindungslinie wie El.-Statik e - Kaft wie El.-Statik Kaft qq Kaft mm F k qq mm = e F = γ e Pop.-Konstante in SI-Einheiten: Nm k = Nm γ= 667. C kg [Gl.3...] Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

2 Aus histoischen Günden wid statt k abe meist geschieben: 4πε Coulomb-Gesetz qq F = e πε 4 [Gl.3...] 3... Elektostatisches Feld Kaft auf Pobeladung q am Ot, ezeugt duch Ladung Q bei O: Q ( ) F = q e 4πε E( ) (Kaft zwischen zwei Punktladungen!) Ausduck in de Klamme { } : Eigenschaft, die dem Raum zugeodnet wid eine Ladung an diesem Ot efäht eine Kaft von q { K }! (vegl. Gavitation) FELD Elektost. Feld eine Punktladung bei O: E ( ) Q e Q = = 4πε 4πε 3 [Gl.3..3.] El. Feldstäke Kaft po Ladung : F E = [Gl.3..4.] q Feldlinien beginnen/enden an positiven/negativen Ladungen (/- Ladungen sind Quellen/Senken des Feldes Im feien Raum (ohne Ladungstäge) gibt es keine Quellen/Senken (Feldlinien beginnen/enden nu an el. Ladungen! Das elekto statische Feld hat keine Wibel, keine geschlossenen Feldlinien! - nu bei zeitl. veändel. E-Feld! Das elekto statische Feld ist ein k...es Feld (s. Kap..3..3)! Newton-Gesetze: Käfte weden vetoiell übelaget gilt auch fü E -Feld! Supepositionspinzip Fü ausgedehnte Ladungsveteilungen gelten (mit entsp. Abändeungen) die gleichen Fomeln wie fü ausgedehnte Massenveteilungen (s. Gav., Volumen-Integal ) Elektische Dipol Einfachst Anodnung elektische Ladungen: eine (Punkt-) Ladung elekt. Monopol Viele Moleküle (z.. H O) sind zwa elektisch neutal, abe die positiven/negativen Ladungen sitzen nicht an de gleichen Stelle Solche Ladungssysteme haben zwa kein Monopol-Feld (=Coulombfeld) abe ein Dipol-Feld. Elektische Dipol: Ladungen Q, -Q im Abstand d Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

3 El.-Dipolmoment (Vekto!) : Feld eines Dipols am Aufpunkt ( ) : Übelageung des Felds zweie Punktladungen bei ± d d d Q E ( ) = E E = 3 3 4πε d d [Gl.3..6.] p= Q d [Gl.3..5.] d O p -Q Q speziell a.) Aufpunkt auf Dipol-Achse ( d!), weit weg vom Dipol, d.h. dann ist auch Ed, d.h. E in Richtung de Dipol-Achse! Q Q E = = 4πε 4πε p fü d << 4 3 πε d d d d b.) In de Mittelebenen ähnliche Rechnung (ÜUNG!) : E ( ) Welche Richtung hat das E-Feld in diese Ebene? >> d : p = 3 4πε [Gl.3..7.] [Gl.3..8.] 3 Dipolfeld fällt schnelle ab ( / ) als Feld eine Punktladung, Vofakto hängt vom Winkel zu Dipolachse ab! Elektische Kaftfluß und Gaußsche Satz eechnung elekt. Felde wid mittels Gaußschem Satz veeinfacht, insbes. dann wenn Symmetien ausgenutzt weden können wenn Metallflächen voliegen und zwischen diesen definiete Spannungen anliegen (dann ist nicht von voneheein bekannt, welche Ladungen sich dot an welche Stelle befinden!) em.: E-Feld steht an de Metallobefläche imme senkecht zu Obefläche - waum? Def.: Elekt. Kaftfluß Φ (SKALAR!!) ein Maß fü die Anzahl de Feldlinien, die duch eine Fläche a laufen θ = : Φ = E a θ : Φ = K θ = 9 : Φ = K Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.3/

4 Allgemein Φ = E a (Skalapodukt!) [Gl.3..9.] Dabei wid die Fläche beschieben duch den Vekto a : Richtung Fläche, Nomalenvekto (bei geschlossenen Flächen zeigt a nach außen!) ei gekümmten Flächen, nicht konstantem E Übegang zu infintesimalem Flächenelement und Integation übe die Gesamtfläche S ( Obeflächenintegal ): d Φ= E d a Φ = d Φ = E d a S S Gesamte Fluß eine Punktladung Q: Q e d a Φ = dφ = E da = πε 4 da ( K d a : Integal übe geschlossene Fläche) e d a Von Q aus gesehen ist d Ω= das Raumwinkelelement, de volle Raumwinkel ist 4π, Q Q d Ω= 4π Φ= 4π = 4πε ε ode Integation übe Kugelobefläche : Q Q Φ = dφ = E da = E( ) ( 4π ) = ( 4π ) = 4πε ε unabhängig vom Radius unabhängig von de Fom de einhüllenden Fläche nu abhängig von de gesamten eingeschlossenen Ladung Q mehee (Punkt-) Ladungen innehalb eine einhüllenden Fläche: E = E E E3 K E a ( E E E K) a Q Q Q3 d = 3 d = K ε ε ε Gaußsche Satz: E d a = Q ges ε [Gl.3...] em.: De Gaußsche Satz enthält das Coulomb-Gesetz, ist abe allgemeine, da e nicht die Richtungsunabhängigkeit (sphäische Symmetie) des E-Feldes voaussetzt. Im Falle eine Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.4/

5 uhenden Ladung (Isotopie keine Raumichtung bevozugt!) folgt aus Gauß und de Isotopie des Raumes das Coulomb-Gesetz. ei bewegten Ladungen ist das Feld nicht meh symmetisch sonden in de Ebene que zu Flugichtung konzentiet (ein elativistische Effekt!), so daß das Coulombgesetz nicht meh gilt- de Gaußsche Satz gilt auch dann noch! Kontinuieliche Ladungsveteilung: Ladungsdichte ρ : d q = ρ(, y, z) dv E da = ρ dv [Gl.3...] Übungsbeispiele zu Anwendung des Gaußschen Satzes eechnen Sie das elektostatische Feld. eine -langen Linienladung (lange dünne Daht), Ladung po Länge λ= Q l. eine -ausgedehnten Flächenladung (goße homogen geladene Fläche), Ladung po Fläche σ= Q A 3. von Flächenladungen ±σ (Abstand d) 4. eine homogen geladenen Kugel (Ladungsdichte ρ ) 5. eine (in y- u. z-richtung -ausged.) homogen gelad. Platte (Ladungsd. ρ ) de Dicke d 6. eines Zylindekondensatos (Innen-/Außenadius i / a) 7. eines Kugelkondensatos (Innen-/Außenadius / ) Wie ehält man bei 3., 6., 7. die Kapazität des Kondensatos i a ε Vol Elektostatisches Potential Köpe wid in einem Kaftfeld bewegt Abeit wid veichtet (vegl. Kap..3.) Auf Köpe wikt elektost. Kaft Fel = qe K. wid mit äußee Kaft gegen E- stat.-kaft von A nach bewegt: F F qe a = el = Abeit: W = Fa s = Fel s allg.: W = F s = q E d d s A a A (siehe auch: eechnung de potentiellen Enegie, Kap..3..5!) A A E F el F a F a Elektostatisches Feld hat keine Wibel jedem Raumpunkt kann eine skalae (Potential-) ϕ yz,, zugeodnet weden (vegl. auch: Landkate/Höhenlinien/Steigung ) : Funktion ( ) ϕ ϕ = q W = E s d [Gl.3...] A A A Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.5/

6 de Punkt, an dem ϕ = gilt, kann beliebig gewählt weden Potentialdiffeenz (= Spannung!) zwischen zwei Punkten: U = ϕ ϕ = E d s A A Äquipotentiallinien (-flächen): ϕ, y, z = const. auf E-Feld! ( ) A V V Potential: Höhenliniendastellung des E-Feldes E -Feld (Vekto) u. ϕ-feld (Skala) bescheiben gleichen phys. Sachvehalt! E-Feld Integation Potential Potential Diffeentiation E-Feld φ= V φ=75 V φ=5 V φ=5 V φ= V E-Feld = Gefälle im Potential-Gebige Richtung : steilste Abfall des Potentials (R. des negativen Gadienten) ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) E = ( yz) E ϕ,, ( yz) E y = E = E y ( ) y = ϕ,, = gad ϕ = ϕ [Gl.3..3.] y Ez ϕ( yz,, ) ϕ( yz,, ) Ez = z z Dabei ist de Nabla-Opeato, fomal = [Gl.3..4.] y z Wid de Nabla-Opeato auf eine skalae Funktion (hie : ϕ ) angewendet, so wid dies fomal wie die Multiplikation des Vektos mit dem Skala ϕ intepetiet, wobei dann abe Multiplikation mit (etc.) wiede die patielle Diffeentiation nach (etc.) bedeutet. sp.:. Potential im Innen eines Plattenkondensatos: ϕ yz,, = 5 V / cm z ( ) K E = ( ) = KK gad ϕ Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.6/

7 . Potential eine Punktladung: E-Feld Q E ( ) = e 4πε Äquipotentialfl. sind konzent. Kugeln, Potential hängt nu von = y z ab wähle: ϕ= bei = Elektostat. Potential eine Punktladung y Q ϕ( ) ϕ {( ) = E e d = d 4πε = Q ϕ( ) = 4πε Übung: aus ( ) ϕ wiede das E-Feld beechnen! [Gl.3..5.] (s.a. Gnuplot-File coul_pot.plt ) auch fü Potential gilt Supepositionspinzip! mehee Punktladungen, ϕ = ϕ ϕ ϕ 3 K sp.: Potential eines Dipols: Potential zweie Punktladungen (Q, -Q) bei vesch. Positionen (s.a. Gnuplot-File dip_pot.plt ) Ladungsveteilung ρ( ) ϕ( ) = πε 4 Vol. d V Gaußsche Satz angew. auf kleinen Quade Ecken bei ( yz,, ),( yz,, ) K ( y, yz, z) Achtung: Das Symbol wid fü veschiedene math. Objekte vewendet. hie : (kleine) Veändeungen von, y, z :, y, z ϕ yz,, ) siehe unten!. Laplace-Opeato (angew. auf Fkt., z.. ( ) Quade E d a = Q ε Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.7/

8 echts / links hinten / vone oben / unten Q { E ( ) E ( ) } y z E ( y y) E ( y) z { E z z E z } y = { } ( ) ( ) y y z z ( ) ( ) E ( y y) E ( y) E ( z z) E ( z) E E lim K, lim K, lim K y y z z y z E E y E ρ z = y z dive ( yz,, ) ε y z Quellen/Senken des Feldes Ladungen Divegenz des E -Feldes Ladungensdichte Auch die Divegenz (eines Vektofeldes, hie des E -Feldes) läßt sich fomal mit dem Nabla Opeato scheiben. Mit elektostat. Potential ϕ ϕ ϕ E =, E y =, Ez = y z = ε Q y z ε div E = E! (Skalapodukt!) ρ( yz,, ) E = ε ϕ ϕ ϕ ρ div( E ) = = y z ε "Laplace Opeato ϕ" Poisson-Gl.: ϕ ϕ ϕ ρ y z = ε ρ ϕ = ε speziell im feien Raum (keine Ladungstäge): Laplace-Gleichung: ϕ ϕ ϕ = y z ϕ = [Gl.3..6.] [Gl.3..7.] Hie ist de Laplace-Opeato : fomal =, wobei abe auch de y z Opeato imme auf eine Funktion (hie : ϕ ) angewendet weden muß: ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = =! y z y z Fomal egibt sich de Laplace-Opeato als Quadat des Nabla-Opeatos: = = (Skalapodukt!) ( ) Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.8/

9 Elektostatik (und viele andee techn./wiss. Pobleme) : Lösung de Laplace-Gleichung fü gegebene Randbedingungen! sp. fü Poisson- bzw.laplace-gleichung: Feld im Plattenkondensato - nu -abhängig! -dimensional, ϕ ϕ( ) d ϕ d ϕ = =-E( ) = E. = const d d ϕ ϕ Randbed. : ϕ =, D = U ( ) = E ( ) ϕ( ) = : U ϕ =, E = D U ϕ( ) = D ähnlich: Feld in Raumladungszone eines Halbleites abe jetzt: ρ! -dim. :Kabel, Leitung lang (in z-richtung), End-Effekte venachlässigba, ϕ = ϕ( y) unabhängig von z! 3-dim.: ϕ = ϕ( yz) Randbed.: Lösung? ode ϕ ϕ = y,, von allen 3 Kood. abh.! vogeg. Spannungen de Metallteile Potentialtheoie, Gaußsche Satz, analog. phys. Poblem (z.. Seifenblasen) numeische eechnung z.. Relaationsvefahen ϕ ϕ ϕ = y z,, Relaationsvefahen Potential wid auf Gittepunkten beechnet, y a (Gitteabstand: a) beliebige Punkt (,y) auf Gitte Mittelwet de ϕ s de 4 (3-dim.: 6) Nachbapunkte: { ( a, y) (, y a) (, y a) ( a, y) } ϕ = ϕ ϕ ϕ ϕ 4 a Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.9/

10 Taylo-Entwicklung ϕ ϕ 3 ϕ = { ϕ( y, ) 4 a a K a K ϕ ϕ 3 ϕ( y, ) y a y a K a K ϕ ϕ 3 ϕ( y, ) y a y a K a K ϕ ϕ 3 ϕ( y, ) } a a K a K ϕ = { ϕ( ) 4 4 y, ϕ ϕ 3 a Ka K} ϕ(, y) ϕ y 4443 Laplace-Op. ϕ =! Laplace-Gl. ϕ ϕ y = Potential auf beliebigem Gittepunkt = Mittelwet aus Nachbapunkten! Iteationsvefahen:. Randbedingungen auf entsp. Gittepunkten (Potential auf Metallflächen) fest vogeben. Nicht-Randpunkte mit beliebigen Potentialweten initialisieen (z.. alle = Volt) 3. Nacheinande fü jeden Nicht-Randpunkt Potential duch Mittelwet aus Nachbaweten esetzen 4. Schitt 3. wiedeholen, bis Potentialwete sich nicht meh änden Das so gefundene Potential ist eine Lösung de Laplace-Gleichung! und efüllt die Randbedingungen! eispiel Hinweis: siehe File RELAXATN.XLS (eechnung und Gafik mit MS-Ecel) Fü iteative eechnungen ( Zikelbezüge ) müssen Sie folgende Einstellungen vonehmen eechnen auf efehl Iteationen eechnung staten mit F9! (Wa in Vs. XXX bei Etas / Optionen / eechnen zu finden, abe ill und seine Mannen änden dies egelmäßig!) Wenn Sie die Anzahl de Iteationen begenzen (z.. auf 5), dann können Sie sich Zwischenegebnisse in Ruhe ansehen. Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

11 3.. Magnetische Käfte 3... ewegte elektische Ladungen Stom, Spannung, Widestand, Ohmsches Gesetz, Stomkeise, Kichhoffsche Regeln etc. kennen Sie aus de Schule bzw. weden in E-Technik ausfühlich behandelt! Die entsp. Zusammenhänge weden hie als bekannt voausgesetzt. U.U. sollten Sie diese Kapitel in Ihem Physikbuch abe doch noch mal kuz duchblätten! Wieviele Elektonen sind in einem Daht? Wie schnell bewegen sie sich? Ne N A Elektonen-Dichte in einem Leite: ne = = Z ρ V M [Gl.3..8.] sp. Cu: Z = 9 N A = 6. 3 /mol ρ = kg/m³ M = kg/mol n e = Z /m³ ( =.5 3 /m³ ) (abe: nu von 9 e - tägt zum Stom bei!) SEHR GROSSE LADUNGSDICHTE iesige elektostatischen Käfte zwischen zwei Leiten? NEIN, denn de Leite ist insgesamt elektisch neutal, abstoßende - - abstoßende - anziehende - anziehende Käfte heben sich GENAU auf!!! u- - gleichen sich aus! Wie genau ist diese Ladungskompensation? Könnten wi feststellen, ob sich etag de Elekonen- u. Potonenladung geingfügig untescheiden (z.. qe = q p. )???? sp.: Cu-Kugeln, je V = mm3 Q p = Q e = 4 C! cm Abstand Käfte von ± 9 N heben sich gegenseitig auf! etag von Elekonen- u. Potonenladung seh genau gleich! Übung: Wie goß müßte de Unteschied sein, damit die elektostat. Abstoßung stäke als die Gavitation (z.. zw. Ede u. Mond) wid? Stom Ladungen bewegen sich FAQ: wie schnell? I Stomdichte (Stom/Queschnittsfläche) : J = = A n q v e e e [Gl.3..9.] (Stomdichte-Vekto: J = ne qe ve ) ei bekannte Elekonendichte kann damit fü geg. Stomdichte die Elektonengeschw. beechnet weden! sp. Cu ( Leitungsekt./Atom): n e = /m3 Queschnitt A = mm, I = 4 A (ziemlich viel fü mm²) I ve == 3 mm / s! An e e ziemlich langsam!!! Zusammenfassung: im Leite sind SEHR VIELE elekt. Ladungen, diese bewegen sich SEHR LANGSAM SEHR GROSSE elektostat. Käfte heben sich SEHR GENAU weg, weil de Leite insgesamt SEHR GENAU elektisch NEUTRAL ist Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

12 Wi wissen (?): Ein elekt. Stom bewikt Käfte auf andee Stöme (allgemeine: auf andee bewegte Ladungen q) Wohe kommt das? Waum kommt es daauf an, ob sich eine Ladung q bewegt ode nicht? Wenn die Geschwindigkeiten so klein sind, dann können wi (nicht nu in Gedanken) mit gleiche Geschwindigkeit nebenhe laufen, in unseem ezugssystem uht dann die Ladung! Wie könnten wi uns eine Kaft auf die (dann fü uns uhende) Ladung q ekläen? ei Käften, die von de Geschwindigkeit abhängen, sollten wi übe das vewendete ezugssystem nachdenken (siehe auch Kap.!). Wie goß klein sind elativistische Effekte bei 3 mm/s? 3 v 3 m/s β = = 8 = c 3 m/s γ = = β ( ) 5. Nicht mit Taschenechne nachechnen waum? γ = Ist diese Effekt venachlässigba? wenn daduch die alance von ± 9 N gestöt wid: NEIN! Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

13 Rechnung: Modell eines Leites (Daht) und eines mit de Geschw. v paallel zum Daht fliegenden Köpes mit de Ladung q : positive Ladungen im Daht uhen negative Ladungen (Elektonen) bewegen sich mit Geschw. v e positive / negative Ladungen haben Abstand d / d - voneinande Modell: feste Abstand, eal: d / d - mittlee Abstand I d d q v. Daht ist elektisch neutal: e e λ λ =, = d = d d d (λ : Linienladung = Ladung/Länge ) Im Labosystem haben positive / negative Ladungen gleichen Abstand: d = d - AER: positive Ladungen sind in Ruhe, negative Ladungen bewegen sich.. De eobachte im Labo sieht den Abstand zwischen den bewegten Elektonen Loentz-kontahiet! Diese (kontahiete) Abstand ist so goß wie de zwischen den (uhenden) positiven Ladungen : d d d = v e = β ( :Abstd. im e - Ruhesystem, β ) c d < d d Daaus beechnen wi d =. [Gl.3...] β Aus de Sicht eines bewegten eobachtes, de sich mit de Geschw. v bewegt (fü diesen eobachte uht die Ladung q (s. Skizze) Spezialfall (veeinfacht die Rechnung!!!) : v= v e, d.h. auch die Elektonen im Daht uhen fü diesen speziellen eobachte (allg. Fall : siehe Liteatu, z.. Oea). Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.3/

14 ewegte eobachte. e - Abstand ist jetzt d (Abstand göße, Dichte kleine ). bewegen sich Abstände Loentz-kontahiet! d = d β (Abstand kleine, Dichte göße ) d < d 3. Wg. den veändeten Abständen ist die Linienladung im bew. System nicht Null. e e λ = = d d d = λ = λ β β e β e β d β e e β da = = λ d d Die im bew. System auftetende Linienladung ist abh. von de Geschwindigkeit! Fage: Wohe kommt eigentlich die Übeschußladung? Die Linienladung λ ezeugt ein elektostatisches Feld (E-Feld) eechnung des E-Feldes (im Abstand vom Daht) z.. mit Gaußschem Satz: λ E ( ) = πε Auf (im bew. System) uhende Ladung q wikt die elektostatische Kaft λ λ = = = β F qe q q πε πε β = q ( λ v) v πεc 3 β = I 4 34 Auf die Ladung wikt eine Kaft, die popotional zu Stom I und Geschwindigkeit v ist! diese Kaft bewikt eine eschleunigung des Köpes mit de Ladung q, diese ist natülich auch im Labosystem beobachtba. (Kaft und eschleunigung müssen alledings auch noch L-tansfomiet weden. Im Egebnis kein goße Unteschied, lediglich bei Es ist F = q c I v πε ε β wid das duch = esetzt) [Gl.3...] Diese Gl. gilt auch wiede fü den (oben nicht duchgeechneten) Fall, daß v und v e veschieden sind! (Die Elektonen-Geschwindigkeit v e ist in I vesteckt) µ c = ( = 7 4π ) die sog. magn. Feldkonstante. Am [Gl.3...] Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.4/

15 Die duch den Stom I bewikte Kaft auf die Ladung q kann damit folgendemaßen geschieben weden: µ I F = q { v = q π v LORENTZ-KRAFT [Gl.3..3.] µ I Dabei ist = ein neues Feld, das (abhängig von Stom I u. Abstand ) die Wikung π auf eine bewegte Ladung bescheibt! heißt magn. Induktion, magn. Flußdichte ode einfach -Feld. De egiff magnet. Feldstäke ist im dt. Spachgebauch fü das H- Feld vegeben. Im Vakuum gilt = µ H. Das Magnetfeld ist eine fü paktische eechnungen unentbeliche Göße. Das -Feld elaubt es, die Wechselwikung zwischen bewegten Ladungen zu bescheiben, abe Wi haben bei de Heleitung de Loentzkaft abe kein Magnetfeld gebaucht, sonden das E-Feld im bewegten ezugssystem beechnet! Ob eine Kaft als magnetische ode als elektische Kaft escheint (ode beides), ist eine Fage des ezugssystems! Magnetismus ist also letzten Endes ein elativistische Effekt! Elektomagnetische Felde können alledings auch andes betachtet weden (indem man z.. von de L-Kaft zwischen bewegten Ladungen ausgeht und dann das ezugssystem wechselt ). Duch L-Tansfomation eines -Feldes egibt sich ein E-Feld. Elektische und magnetische Käfte bzw. Felde sind zwei Escheinungsfomen des selben physikalischen Phänomens, des Elektomagnetismus. eim Übegang zwischen vesch. ezugssystemen müssen die elektischen und magnetischen Felde Loentz-tansfomiet weden! (Fomeln dazu Liteatu) Auf diese Vewandtschaft zwischen E- und -Feld beuht u.a. das Induktionsgesetz ode die Ausbeitung von elektomagnetischen Wellen im Raum! Die Feldgleichungen de elektomagnetischen Felde wuden von Mawell vo de Relativitätstheoie gefunden, sind abe estaunlicheweise elativistisch koekt (siehe Kap..3)! Fagen: Welche Richtung hat die Loentzkaft? Untescheiden Sie q >, q <! Was ändet sich, wenn q in die andee Richtung fliegt? Hat eine zu v e bzw. J senkechte Komponente de Geschwindigkeit v einen Einfluß auf die L-Kaft? Fälle...!!! 3... Magnetfeld, magn. Induktion, Loentzkaft bewegte elektische Ladungen Loentzkaft auf andee bewegten Ladungen L-Kaft kann mittels MAGNETFELD ( magn. Induktion ode magn. Flußdichte ) - Feld beechnet weden. V s kg [] = T ( = Tesla), T= = m A s [Gl.3..4.] Zum Vegleich -Feld. Edmagnetfeld (am Äquato): ca. 3-5 T. Kenspintomogaph (supaleitende Spule) : ca..5 T Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.5/

16 Ein Magnetfeld wid duch bewegte elekt. Ladungen (Stom) ezeugt bewikt eine Kaft auf bewegte elekt. Ladungen (Loentzkaft) Wo sind bei einem Pemanentmagneten / einem Stück Eisen / die bewegten Ladungen vesteckt? Ein stomduchflossene geade Leite ezeugt ein -abhängiges - I Feld aus konzentischen Ringen de Stäke ( ) = µ. π Richtung: tangential, Rechte-Hand-Regel! Die -Feldlinien haben keinen Anfang u. kein Ende, sie sind stets geschlossen. Das -Feld ist also quellenfei ( div = )! I () Anmekung/Egänzung: eechnung von -Felden aus gegebene Stomveteilung µ I Die Gleichung ( ) = gilt nu fü einen einzelnen, geaden Leite. Sie entspicht π Q deshalb etwa dem Coulomb-Gesetz ( E ( ) = ) in de Elektostatik (ode dem 4πε Newtonschen Gavitationsgesetz). In de Elektostatik (bzw. Gavitation) haben wi gelent (?), daß wi auch das Feld von Ladungs- (Massen-) Veteilungen mit komplizietee Geometie mit Hilfe des Supepositionspinzips und dem Coulombgesetz (Newtonschen Gavitationsgesetz) beechnen können. Diese Methode entspicht in de Magnetostatik das iot-savatsche Gesetz: -Feld, das von einem inf. Leitestück d s, in dem de Stom I fließt, im Abstand µ ( d s e ) ezeugt wid: ( e : Einheitsvekto in Richtung d = I 4π ) [Gl.3..5.] Duch Integation (nicht imme ganz einfach ) ehält man dann. In de Elektostatik kann das Poblem de Feldbeechnung in Spezialfällen duch Ausnutzung gewisse Symmetien stak veeinfacht weden (Gaußsche Satz: E da = ρ dv ). In de Magnetostatik kann in solchen Fällen das ε Vol. Duchflutungsgesetz ode Ampeesche Gesetz (Mathe: Stokessche Satz) vewendet weden: ds = µ J a C d. Das Flächenintegal übe die Stomdichte J egibt den Fläche Stom, de vom geschlossenen Integationsweg C des -Linienintegals ( d s) C eingeschlossen wid. Damit wid d s = µ I C. Diekte Anwendung diese eziehung : Stommeßzange! Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.6/

17 Die Feldbeechnung in de Elektostatik wid wesentlich veeinfacht, wenn an Stelle von E zunächst das (skalae) Potential ϕ beechnet wid (eechnung z.. duch Lösung de Laplace-Gl.). In de Magnetostatik kann in ähnliche Weise zunächst ein Vektopotential A beechnet weden (z.. duch Lösung de Laplace-Gl. fü A, Ay, Az). Auf Einzelheiten kann hie nicht weite eingegengen weden! Liteau: z.. Oea, Kap.8. Fü die Loentz-Kaft auf eine bewegte Ladung q gilt F q F v F F v F F v q (q > ) Diese 5 eziehungen lassen sich zu eine einzigen Vekto-Gl. zusammenfassen: Loentzkaft: F q( v ) = [Gl.3..6.] Einige duch die L-Kaft bewikte Effekte Die L.-Kaft wikt auch zwischen stomduchflossenen Leiten. Diese ist abhängig von den Stomichtungen abstoßend anziehend Ein senkecht zum -Feld velaufende, vom Stom I duchflossene Leite (Länge l, Queschnittsfl. A, Anz. de Elektonen N, Elektonendichte n) F = N e v = n la e v. efäht die Kaft ( ) ( ) { ( ) ( ) Mit I = ena v egibt sich daaus e F Vol. = I l [Gl.3..7.] Die bewegten Ladungstäge in einem Leite in einem Magnetfeld weden duch die L- Kaft im Leite abgelenkt (que zu Stomichtung) Hall - Effekt! Induktion: ewegt sich ein Leite que zu einem -Feld, so weden die Ladungen so lange duch die Loentz-Kaft F veschoben, bis sich ein elekt. Gegenfeld E aufgebaut hat und die elektostatische Kaft F E die L-Kaft kompensiet: q ( v ) qe =, an den Enden des Leites entsteht eine Potentialdiffeenz vom etag U = ϕ = l E = lv! Wie bescheibt ein mitbewegte eobachte diesen Effekt? em.: Fü den mitbewegten eobachte uhen die Ladungen im Daht, also gibt es keine Loentzkaft! F E F e - E - v Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.7/

18 ewegung im Magnetfeld Wie bewegt sich z.. ein Elektonenstahl in einem Magnetfeld? F = q v Wegen ( ) bewikt die L.-Kaft eine Nomalbeschleunigung (senk. zu Geschw.!), veändet also nu die Richtung, nicht den etag de Geschw.! liegt de eschl.-vekto imme in de Ebene senk. zu! hängt de eschl.-vekto nu von v, de Geschw.-Komponente senk. zu ab. Rechneisch v = v v F = q[ ( v v ) ] = q[ v ] q[ v ] 3 = F = q v F = q v [ ] eispiel - homogenes -Feld in z-richtung: F q v a = = vy m m v v y q a = v m z (*) a q m 4 v = 34 v y eschleunigungsvekto in -y-ebene v z ist konstant! eschl. nu abh. von - u. y-komp. de Geschw., nicht abh. von v z ewegungen in de Ebene senkecht zu (...) entlang de -Achse (gleichf. Geschw.) sind unabhängig voneinande! Wi betachten voläufig nu die Ebene senkecht zu : Loentzkaft Nomalbeschleunigung Geschw.-etag konstant! Geschw.-et. konst. Loentzkaft (et.) konst. gleichfömige Keisbewegung! v Rechnung: mit (*) ehält man Gleichungen fü die Geschw.- Komponenten ( a = v &! ) v& v& y q = m v q = m v y () () q F O v Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.8/

19 Dies sind gekoppelt DGl. fü v und v y. Um eine Gl. mit eine unbek. Funktion zu ehalten diffeenzieen wi () noch einmal nach t und setzen () ein : q v&& & m v = y q v&& = v m 4 34 = ωc v&& ω cv = Die ist die die DGl. eines hamonischen Oszillatos mit de Lösung v ( ) t = v ( ct ) Eine ähnliche Gl. ehält man ( wie? ) fü v y : v ( t) = v ( t ) y cos ω ϕ [Gl.3..8.] sin ωc ϕ. [Gl.3..9.] Die Geschwindigkeits-Komponenten in - u. y- Richtung sind also jeweils hamonische Funktionen de Zeit mit de Keisfequenz ω c. Entspechendes gilt fü die Koodinaten u. y selbst. Als Übelageung ehält man in de -y-ebene eine Keisbewegung mit de Keisfequenz/Winkelgeschwindigkeit ω c q = m Zyklotonfequenz [Gl.3..3.] Die Zyklotonfequenz heißt Zyklotonfequenz weil sie z.. die Fequenz eines Zyklotons ist. Alles kla? Lesen Sie doch mal in Ihem Physikbuch nach, was ein Zykloton ist! Die Zyklotonfequenz hängt nu von Ladung, Masse, Magnetfeld ab, nicht von de Geschwindigkeit (fü v<< c)! Die Geschwindigkeit beeinflußt dagegen den ahnadius R = v ω. [Gl.3..3.] c Mit dem Impuls (senk. zu p ) p = mv egibt sich R =. [Gl.3..3.] q em.: Wenn die elativistische Fomel fü p vewendet wid, so gilt die letzte Fomel auch fü elativistische Geschwindigkeiten! Insgesamt ehält man duch Übelageung de ewegung entlang de -Achse und de ewegung in de Ebene senkecht zu eine Heli. Fü z$ und Mittelpunkt bei (,y ) R sin( ωct ϕ ) t ( ) = R cos( ωct ϕ) y [Gl ] vz t Fü inhomogene -Felde muß die ahn i.allg. numeisch beechnet weden, mit de L-Kaft kann dann nu de lokale ahnkümmungsadius beechnet weden. Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S.9/

20 3...3 Magn. Dipolmoment Magnetische Momente µ Magnetfeld eines Stabmagneten N S N und µ Magnetfeld eines Keisstoms ähneln (in einige Entfenung) dem E-Feld eines elekt. Dipols. I magnetisches Dipolfeld Ähnlich wie beim elekt. Dipol (el. Dipolmoment p= Q d ) wid zu escheibung de Stäke des Dipols ein magn. Dipolmoment eingefüht. Es egibt sich im Falle des Keisstoms aus Stomstäke und Fläche de Leiteschleife: µ= A I (I: Stom, A : Fläche de Leiteschleife) [Gl ] Richtung: Rechte-Hand-Regel Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./

21 In einem etenem Magnetfeld wikt auf ein Magn. Dipolmoment (z.. auf eine Leiteschleife) ein Käftepaa. Dieses bewikt ein Dehmoment, das vesucht, µ paallel zu zu dehen: M = µ [Gl ]. µ M F F Wid de Dipol gegen dieses Dehmoment gedeht, so muß Abeit veichtet weden. Ein magn. Dipol hat deshalb in einem etenen Magnetfeld eine zusätzliche potentielle Enegie von (E= bei 9 bzw. ohne Feld) α α E = Mdα = µ sinαdα = µ cosα π π E = µ Physik_3 Elektomagnetische_Felde.doc, Pof. D. K. Rauschnabel, HHN,..5 :4:S./