8. Differentiation. f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) lim

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1 8. Differentiation Sei I R ein Intervall. Eine Funktion f : I R eißt in x 0 I differenzierbar (Steno: diffbar), wenn der für x I, x x 0 erklärte Differenzenquotient f(x) f(x 0 ) =: f,x0 (x) nac x 0 stetig fortgesetzt werden kann. Wir nennen dann f(x) f(x 0 ) lim =: f (x 0 ) x x 0 die Ableitung von f in x 0. Ist f in jedem x 0 I diffbar, dann eißt f auf I diffbar, und f : I R wird zu einer Funktion. Ist f stetig, dann eißt f auf I stetig diffbar. Satz Ist f in x 0 diffbar, dann auc stetig in x 0. Dies ergibt sic aus der Darstellung f(x) = f(x 0 ) + ( ) f,x0 (x), denn alle drei Terme rects sind in x 0 stetig. Beispiele. Die Funktionen f(x) =, g(x) = x, (x) = x 2 sind diffbar auf R mit f (x) = 0, g (x) =, (x) = 2x, denn durc Einsetzen allein ergibt sic scon für x x 0, und f,x0 (x) = 0, g,x0 (x) =,x0 (x) = x2 x 2 0 = x + x 0, was mit x = x 0 die Formel (x 0 ) = 2x 0 bestätigt. Änlic können wir für die Funktion f : R\{0} R, x x recnen, denn für x 0 0 ist f,x0 (x) = x x 0 x x 0 xx = 0 =. xx 0 Also ist x auf R\{0} stetig diffbar, Ableitung ist x 2 Satz 2 Seien f, g : I R in x 0 I diffbar. Dann sind auc f + g und f g in x 0 diffbar, und es gelten (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ), (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + g (x 0 )f(x 0 ) Die Regel für die Differentiation eines Produkts eisst Produkt- oder Leibnizregel. Für die Summe zweier Funktionen ergibt sic der Satz aus die Produktregel kann aus f+g,x0 (x) = f,x0 (x) + g,x0 (x), f(x)g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = ( (f(x) f(x 0 )) + f(x 0 ) ) g(x) f(x 0 )g(x 0 ) = (f(x) f(x 0 ))g(x) + f(x 0 )(g(x) g(x 0 ))

2 nac Division durc abgelesen werden, denn dann ergibt sic fg,x0 (x) = f(x) f(x 0) g(x) + f(x) g(x) g(x 0). Wir gewinnen jetzt einige neue Beispiele. Für jedes n N sind die Monome f(x) = x n auf R differenzierbar mit f (x) = nx n. Für n = und 2 ist dies scon bekannt und ergibt sic jetzt mit Induktion auc für größere n. Polynome sind Funktionen der Gestalt p(x) = a n x n a 0 mit Koeffizienten a j R. Nac Satz 2 sind diese diffbar auf R mit p (x) = na n x n + (n )a n x n a. Satz 3 Die Funktionen exp, cos und sin sind auf R stetig diffbar mit exp = exp, sin = cos, cos = sin. Scritt. exp ist diffbar in 0 mit exp (0) =, denn aus exp,0 (x) = exp x x 0 = x ) (x + x2 2! + x3 3! = + x2! + x2 3! +... kann lim x 0 exp,0 (x) = abgelesen werden. Scritt 2. Sei x 0 R beliebig. Dann ist exp(x) exp(x 0 ) = exp(() + x 0 ) exp(x 0 ) = exp(x 0 ) exp(), mit = ergibt aus Scritt lim x x 0 ( exp(x 0 ) exp() ) = exp(x 0 ) lim 0 exp() Scritt 3. Die Funktionen cos und sin sind in 0 diffbar, es gilt cos (0) = 0, sin (0) =, denn aus 7 wissen wir sin,0 (x) = sin(x) 0 x 0 für x 0. Das Argument für cos ist änlic. Scritt 4. Additionsteoreme anwenden. Mit = ist cos,x0 (x) = cos(x) cos(x 0) = cos(x 0 + ) cos(x 0 ) = (cos(x 0) cos() sin(x 0 ) sin() cos(x 0 )) = cos(x 0 ) cos() auc ier ist das Argument für sin dasselbe. sin(x 0 ) sin() sin(x 0 ), Satz 4 (Kettenregel) Seien I, J R Intervalle, f : I J sei in x 0 I diffbar, g : J R sei in f(x 0 ) diffbar. Dann ist g f : I R in x 0 diffbar mit (g f) (x 0 ) = g (f(x 0 )) f (x 0 ). 2

3 Screibe und mit y 0 = f(x 0 ) genauso f(x) f(x 0 ) = ( ) f,x0 (x) g(y) g(y 0 ) = (y y 0 ) g,y0 (y). Dann ergibt sic g(f(x)) g(f(x 0 )) = (f(x) f(x 0 )) g,y0 (f(x)) = ( ) f,x0 (x) g,f(x0)(f(x)), und wir können ablesen. g f,x0 = f,x0 (x) g,f(x0)(f(x)) Als erstes Beispiel betracten wir eine Funktion f : I R, die in x 0 I diffbar ist mit f(x 0 ) 0. Dann ist auc f(x) in x 0 diffbar, und es gilt: denn y ( ) (x 0 ) = f (x 0 ) f f(x 0 ) 2, ist diffbar mit Ableitung y 2, den Rest liefert die Kettenregel. Kombinieren wir diese Regel mit der Leibnizregel, ergibt sic die Quotientenregel: Seien f, g : I R in x 0 diffbar, g(x 0 ) 0. Dann ist f g in x 0 diffbar, und es gilt: ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g g(x 0 ) 2 Wir wollen noc prüfen, ob die Umkerfunktion einer streng monotonen differenzierbaren Funktion wieder differenzierbar ist. Dazu brauct man eine weitere Voraussetzung, denn x x 3 ist auf R streng monoton wacsend und diffbar, die Umkerfunktion 3 x ingegen ist in 0 nict diffbar. Satz 5 Sei I R ein Intervall, f : I R streng monoton und differenzierbar mit f (x) 0 auf I. Dann ist auf J = f(i) die Umkerfunktion f : J R definiert, im selben Sinne monoton, diffbar, und es gilt (f ) (x) = f (f (x)). Dies ergibt sic mit y = f(x), y 0 = f(x 0 ) aus f (y) f (y 0 ) = y y 0 f(x) f(x 0 ) f (x 0 ). Das vielleict wictigste Beispiel ist die Exponentialfunktion. Wir wissen bereits, dass exp : R (0, ) streng monoton wäcst und auf den angegebenen Intervallen eine bijektive Abbildung ist; ferner ist exp = exp stets positiv. Es gibt also eine diffbare Umkerfunktion, den (natürlicen) Logaritmus log : (0, ) R, die ebenfalls monoton wäcst mit log (x) = exp log(x) = x. 3

4 Ser änlic kann sin : ( π 2, π 2 ) (, ) beandelt werden, wieder ist dies eine bijektive Abbildung zwiscen den beiden Intervallen, sin ist streng monoton wacsend mit sin (x) = cos(x) > 0. Desalb ist auc arcsin : (, ) ( π 2, π 2 ) streng monoton wacsend und diffbar mit arcsin (x) = cos(arcsin(x)) = = sin 2 (arcsin(x)) x 2 Die Ableitung wird u.a. in der Kurvendiskussion eingesetzt. Sei f : I R eine auf einem Intervall I definierte Funktion. Gibt es δ > 0 gibt mit f(x) f(x 0 ) für alle < δ, dann eisst x 0 I lokales Maximum von f. Analog ist lokales Minimum erklärt. Ein lokales Extremum ist ein lokales Minimum oder Maximum. Satz 6 Ist f in x 0 diffbar und at dort ein lokales Extremum, dann ist f (x 0 ) = 0. Beweis: Der Differenzenquotient at für x < x 0 und x > x 0 versciedene Vorzeicen. Satz 7 (Mittelwertsatz der Differentialrecnung) Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) diffbar. Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f(b) f(a) b a = f (ξ). Man siet sofort, dass es genügt, den folgenden Spezialfall zu begründen: Satz 8 (Satz von Rolle) Sei f : [a, b] R stetig und auf (a, b) diffbar mit f(a) = f(b) = 0. Dann gibt es ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. Fall : f(x) = 0 für alle x. Dann f (x) = 0 auf I. Fall 2: es gibt x mit f(x) > 0. Dann gibt es ξ (a, b), wo f sein Maximum annimmt. Nac dem vorigen Satz ist dann f (ξ) = 0 Fall 3: at f negative Werte, betracte f und wende Fall 2 an. Dieser Satz ist ser wictig. Hier einige direkte Anwendungen: Ist f : I R diffbar auf I mit f (x) > 0 für alle x I, dann ist f streng monoton wacsend. Denn für x < y gibt der Mittelwertsatz f(y) f(x) = f (ξ)(y x) > 0. Sei f : I R diffbar auf dem Intervall I, es gelte f (x) = c für alle x I. Dann ist f(x) = cx + d mit geeignetem d R. Zur Begründung wäle x 0 I fest, x I. Der Mittelwertsatz gibt dann f(x) f(x 0 ) = c( ). Sei f : I R auf dem Intervall I diffbar, es gelte f (x) = f(x) für alle x I. Dann gilt: f(x) = c exp(x) mit geeignetem c R. Zur Begründung untersceiden wir 3 Fälle. Im ersten gebe es ein x 0 mit f(x 0 ) > 0, wegen der Stetigkeit von f ist dann f(x) > 0 zumindest für kleine Werte von. Dort ist nac Kettenregel = f (x) f(x) = (log(f)) (x), 4

5 also nac dem vorigen Absatz log(f(x)) = x + d, was f(x) = exp(x + d) = exp(x) exp(d) zur Folge at. Zumindest für kleine Werte von x x 0 folgt die Beauptung mit c = exp d > 0. Die Funktion f(x) = c exp x löst aber f = f und ist auf ganz R positiv. Hat f negative Werte, dann ist: g = f ebenfalls eine Lösung von g = g, auf die wir den bereits erledigten Fall anwenden können. Hat scliesslic f weder positive noc negative Werte, entsprict dies dem Fall c = 0. Höere Ableitungen: Ist f wieder diffbar, dann eißt f (x) = (f ) (x) zweite Ableitung. Soweit existent, setze ( f (n) (x) = f (n )), dies ist die n-te Ableitung. Hier ist speziell f () = f, mancmal wird auc f (0) = f gescrieben. Auc die zweite Ableitung lässt sic geometrisc interpretieren: da die erste Ableitung die Steigung des Grapen misst, liefert die zweite Ableitung Information, wie sic die Steigung ändert, d.. wie der Grap gekrümmt ist. Ist etwa f (x) > 0 auf einem Intervall I, dann liegt die Sene zwiscen zwei Punkten des Grapen stets oberalb von f, solce Funktionen eißen konvex. (Gegenteil: konkav) Ändert sic das Krümmungsveralten von konvex zu konkav, sprict man von einem Wendepunkt. Ist f stetig, muss f (x) = 0 gelten. Diese Bedingung wird äufig benutzt, solce Wendepunkte aufzufinden. 5