Statistik für Ingenieure (IAM) Version 3.0/

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1 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Vaazaalye Mt de efache Vaazaalye (ANOVA Aaly of Vaace) wd de Hypothee gepüft, ob de Mttelwete zwee ode mehee Stchpobe detch d, de au omaletelte Gudgeamthete gezoge wede, de deelbe Mttelwet betze De Vaazaalye t omt ee Eweteug de t-tet, mt dem ja u zwe Guppe uteucht wede köe Im Gegeatz zu efache Vaazaalye, be de ee Stchpobe bzgl ee ezele Vaatouache Guppe utetelt wd, lae ch de Guppe be de doppelte Vaazaalye och zuätzlch ach wetee Gechtpukte uteglede Somt ka glechzetg de Eflu mehee Vaatouache uteucht wede (zb de Eflu o Mageumgehalt ud Wämebehadlug auf de Fetgket o AlSMg) Be de efache Vaazaalye wd ee Stchpobe om Umfag Guppe utetelt Dabe wede de Elemete de Guppe we folgt bezechet: x Guppe,x,, x,x,, x x Guppe x,x,, x Guppe Dabe glt: W etze wete oau, da de Guppe o Zahle au omaletelte Gudgeamthete ettamme, de alle deelbe Vaaz σ betze, de alledg cht bekat zu e baucht E oll gepüft wede, ob de Mttelwete,, de Gudgeamthete glech d Da oblem löe w mt folgede Abetaletug ode we w päte ehe wede mt eem etpechede Computepogamm Efache Vaazaalye Tet de Hypothee H, de omaletelte Gudgeamthete gleche Vaaz habe alle deelbe Mttelwet () Wähle ee Sgfkazzahl α (5% ode %) () Beeche de Mttelwete x de Guppe Hebe t,, x x xk k 4 -

2 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Al Mttelwet de geamte Stchpobe bekomme w da: x x () W beeche de Quadatumme zwche de Mttelwete de Guppe ( x x ) ud de Quadatumme ehalb de Guppe Damt blde w de üfgöße ( xk x ) k ( ) ( ) () Betmme de Löug c de Glechug ( V c) au ee geegete Tafel fü de F-Vetelug mt ( -, - ) Fehetgade It c, o ehme w de Hypothee a, aote wd e ewofe, dh w ehme a, da de Mttelwete cht alle glech d Abetaletug : Efache Vaazaalye Bepel : Be Fole, de au ee Ttalegeug hegetellt wede, oll gepüft wede, ob de Zugfetgket a alle Stelle deelbe t E wude e Fole uteucht De Egebe d de folgede Tabelle dagetellt Metelle Guppe (Ecke) Guppe (Mtte) Guppe (Kate) Mewete Guppemttelwete: 6, x 5, x 9 x Mttelwet de geamte Stchpobe: x 6,8 4 -

3 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 De Quadatumme zwche de Guppe lautet: ( x x ) + ( x x ) + ( x x ) 66,67 4[ ] Fü de Quadatumme ehalb de Guppe ehalte w: 4 k k Somt folgt fü de üfgöße: ( x x ) ( 7 6) + ( 4 6) + + ( 4 9) 58,75,8, ,58 Wege ud folgt df (,9) Au ee etpechede Tafel fü de F-Vetelug ehalte w demach al Löug de Glechug ( V c),95 c 4,6 Da < c, ehme w de Hypothee H: a Mt de Vaazaalye folgt au de ogelegte Stchpobe, da de Zugfetgket de Fole a de echedee Metelle u zufallbedgt chwakt; dh de Uteched de Mewete t cht gfkat Dee Egeb ehalte w auch ohe goße Recheaufwad, we w dee Aalye mt MS-Excel duchfühe W wähle dazu al Aalye-Fukto de Efaktoelle Vaazaalye ud ehalte folgede Augabe: Aoa: Efaktoelle Vaazaalye ZUSAMMENFASSUNG Guppe Azahl Summe Mttelwet Vaaz Zele Zele 4 5,5 8,96667 Zele , ANOVA Steuuguache Quadatumme Fehetgade (df) Mttlee Quadatumme üfgöße -Wet ktche F- Wet Zwche de 66, ,8, ,5768 4, Guppe Iehalb de Guppe 58, , Geamt 574, Da de p-wet göße al,5 t, ehme w de Hypothee H: µ µ µ a 4 -

4 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 We w be de doppelte Vaazaalye, be de de Guppe och p Klae utetelt wede, ogehe müe, ka de folgede Abetaletug etomme wede Doppelte Vaazaalye Tet de Hypothee H, de p omaletelte Gudgeamthete gleche Vaaz habe alle deelbe Mttelwet () Wähle ee Sgfkazzahl α (5% ode %) () W beeche p p p k x k x, p k x k x p, ( x k x ) k ud daau () W etze, zwe üfgöße ud p ( )( p ) Damt bekomme w de ud () Betmme de Löug c de Glechug ( V ) α c au ee geegete Tafel fü de F-Vetelug mt [, ( )(p )] Fehetgade It c, o wd ageomme, da zwche de Zele ke gfkate Uteched beteht It > c, wd ageomme, da e olche Uteched beteht () Betmme de Löug c de Glechug ( V ) α c au ee geegete Tafel fü de F-Vetelug mt [p, ( )(p )] Fehetgade It c, o wd ageomme, da zwche de Spalte ke gfkate Uteched beteht It > c, wd ageomme, da e olche Uteched beteht It c ud c, o wd de Hypothee H: alle Mttelwete µ,,µ p d glech, ageomme Aote w de Hypothee H ewofe Abetaletug : Doppelte Vaazaalye 4-4

5 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Bepel : I de folgede Tabelle d de Wete de Stom [ma], de auf dem Schm ee betmmte Typ o Feehöhe ee gegebee Hellgket heouft, aufgefüht W uteuche, ob de Eflu de Glaat ode de hophoat gfkat t Glaat I II III hophoat A B C D W beutze MS-Excel ud wähle al Aalye-Fukto de Zwefaktoelle Vaazaalye ohe Mewedeholug Excel lefet folgede Augabe: Aoa: Zwefaktoelle Vaazaalye ohe Mewedeholug ZUSAMMENFASSUNG Azahl Summe Mttelwet Vaaz Glaat I ,75 77,58 Glaat II 4 5 5,5,9667 Glaat III 4 5 6,5 54, hophoat A 76 5, 758, hophoat B hophoat C hophoat D ANOVA Steuuguache Quadatumme (SS) Fehetgade (df) Mttlee Quadatumme (MS) Zele 5, ,58 Spalte 4 4 Zufallfehle 8,5 6,58 Geamt 86, Steuuguache üfgöße (F) -Wet ktche F-Wet Zele 5,57, ,4498 Spalte,795955, , Aalye de Zele: Da de üfgöße (F) göße al de ktche F-Wet t ( > c ), ehme w a, da zwche de Zele e gfkate Uteched beteht W hätte da auch damt begüde köe, a de p-wet klee al,5 t 4-5

6 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Aalye de Spalte: Da de üfgöße (F) klee al de ktche F-Wet t ( c ), ehme w a, da zwche de Spalte ke gfkate Uteched beteht W hätte da auch damt begüde köe, a de p-wet göße al,5 t Geamtaalye: Da > c ehme w geamt a, da e gfkate Uteched beteht; ud zwa bezüglch de Glaat We w beet ewäht habe, ka de Vaazaalye auch be Regeopobleme agewedet wede W bezehe u auf de Notato m Kaptel 9 ud etze () ( ) y, ( ) xy ud I de folgede Abetaletug wd fü ee leae Regeo de Hypothee getetet, de Regeokoeffzet α de Gudgeamthet t glech Null: Vaazaalye ud leae Regeo Tet de Hypothee H: α gege de Alteate A: α () Wähle ee Sgfkazzahl α (5% ode %) () Au de gegebee Stchpobe {(,y ),, ( x, )} () Al üfgöße etze w:, ud x x y beeche w mt () ( ) () Betmme de Löug c de Glechug ( V c) α au ee geegete Tafel fü de F-Vetelug mt [, ( - )] Fehetgade It c, o wd de Hypothee H: α ageomme, aote wd H ewofe ud de Alteate A: α ageomme Abetaletug : Vaazaalye ud Regeo Bepel : Ee beteblche Meug lefete de folgede Egebe: 4-6

7 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 x [cm] y [cm] W fühe ee Regeoaalye mt MS-Excel duch, be de auch de ogeate ANOVA-Table augegebe wd Regeo-Stattk Multple Koelatokoeffzet,4785 Betmmthetmaß,7767 Adjutete Betmmthetmaß,67456 Stadadfehle,8 Beobachtuge ANOVA (df) Quadatumme Mttlee Quadatumme üfgöße (F) F kt Regeo,449554,449554,5587,89 Redue 6, ,45749 Geamt,6664 Koeffzete Stadadfehle t-stattk -Wet Utee 95% Obee 95% Schttpukt -6,69744, ,4, , ,5868 X Vaable,949554,885784, ,89 -,64988,4559 Excel gbt de ANOVA-Tabelle folgede Schema de Vaazaalye zu Zelegug a: Auf de Regeo Abwechug o de - Regeo (Redue) Geamt - Vaato (df) Quadatumme Duchchttuadate ( - ) üfgöße ( ) ktche Wet c Da,5587 >,89, lehe w de Hypothee H: α ab Mt Hlfe de Vaazaalye köe w auch de Aahme tete, ob de Regeo, de w betachte, lea t Dazu fae w de Stchpobe 4-7

8 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 {( x,y ),,( x, )} S y dejege aae guppewee zuamme, de deelbe x-wet habe Um da zu edeutlche, betachte w folgede Bepel: Stchpobe S {(,5), (,6), (,4), (4,), (,6), (,), (4,7)} Guppe - (,4) (,5) (,6) Guppe - (,6) (,) Guppe - (4,7) (4,) Fü jede dee Guppe beeche w de y-mttelwet y, wobe de Guppeumme bezechet It de Regeo lea, o müe de beechete Mttelwete y "zemlch geau" auf ee Geade lege Um da mathematch geau zu fomulee, etze w: Stchpobeumfag Azahl de Guppe, alo Azahl de zahlemäßg echedee x-wete Azahl de y-wete de -te Guppe y j j-te y-wet de -te Guppe y Mttelwet de y-wete de -te Guppe, alo y y j j y Mttelwet alle y-wete, alo y y Kla t, Fee etze w: ( y j f ( x )) j, x de Glechug de leae Regeogeade, de zu Stchpobe S emttelt wude W zelege zwe Betadtele dabe t f ( ) wobe ( y f ( x )) +, ud ( y j y ) j Damt köe w u folgede Abetaletug agebe, wobe w we Kaptel 9 oauetze, da fü jede fete X x de Zufallaable Y omaletelt t ud de Vaaz cht o x abhägt 4-8

9 Stattk fü Igeeue (IAM) Veo 74 Tet auf Leatät de Regeo mt Hlfe de Vaazaalye Tet de Hypothee H: De Regeo t lea ute de obe geate Voauetzug () Wähle ee Sgfkazzahl α (5% ode %) () Au de gegebee Stchpobe {(,y ),, ( x, )} () Al üfgöße ehalte w da x y beeche w, ud ( ) ( ) () Betmme de Löug c de Glechug ( V c) α au ee geegete Tafel fü de F-Vetelug mt [( - ), ( - )] Fehetgade It c, o wd de Hypothee H ageomme, aote wd H ewofe Abetaletug 4: Tet auf Leatät de Regeo W ehalte damt folgede Schema de Vaazaalye: Auf de Regeo - Abwechug o de - Regeo (Redue) Geamt - Vaato (df) Quadatumme Duchchttuadate ( - ) ( - ) üfgöße ( ) ( ) ktche Wet c Lede t dee Tet Excel cht oegetellt E t abe ke oblem dee Tet zu pogammee (klee Übugaufgabe) Da obe bechebee Tetefahe ka auch auf de chtleae Regeo übetage wede W köe zb tete, ob de Regeokue e olyom m-te Gade t Dazu müe de Abetaletug 4 de Fehetgeade df [( - ), ( - )] duch df [( - m - ), ( - )] eetzt wede (ee Geade t übge e olyom -te Gade) Fee mu be de Beechug o de etpechede Fuktoglechug fü f egeetzt wede 4-9

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