Deskriptive Statistik

Transkript

1 Deskrptve Statstk Vorlesug - Kurzfassug Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades 0

2 Lteratur Eletug Dese Kursehet det der Vermttlug vo Grudketsse auf dem Gebet der beschrebede bzw. deskrptve Statstk als Telgebet der Wahrschelchketsrechug ud mathematsche Statstk. Mathematsche Statstk ud Wahrschelchketsrechug sd zwe uterschedlche Teldszple der Mathematk, de ohe eader cht dekbar sd ud uter dem Sammelbegrff Stochastk zusammegefasst werde. Aufgabe der Wahrschelchketsrechug st es, Gesetzmäßgkete des Zufalls zu utersuche, bzw. mathematsche Modelle dafür zu lefer. De Wahrschelchketsrechug st zuglech das theoretsche Fudamet der mathematsche Statstk. Dese wrd der Regel de Teldszple Beschrebede Statstk ud Schleßede Statstk utertelt. Währed es der Beschrebede Statstk um Methode der Aufberetug ud Darstellug vo Datemateral geht, stehe m Mttelpukt der Schleßede Statstk Verfahre, mt dere Hlfe vo Beobachtugsdate ees Merkmals a Objekte eer Grudgesamthet, d.h. vo der sogeate Stchprobe, auf de Vertelug der Merkmalswerte der gesamte Grudgesamthet geschlosse wrd. Deser Schluss wrd mt Hlfe vo Methode der Wahrschelchketsrechug durch Irrtums- bzw. Scherhetswahrschelchkete bewertet. De Stochastk hat lägst vele modere wsseschaftlche Teldszple Ezug gehalte, auch de Iformatk ud de Kommukatostechk sd ohe stochastsche Methode cht mehr dekbar. Stochastsche Methode fde her zum Bespel Awedug - probablstsche Aalyse vo Algorthme - be der Coderug bzw. der Iformatostheore - der Sprach- ud Sgalverarbetug - be der Mustererkeug bzw. Bldverarbetug - be der Modellerug vo Recher- bzw. Iformatosetze - be der Smulato komplexer Systeme, we z.b. Fertgugs-, Iformatos-, Verkehrssysteme usw. Darüber haus sd Methode der beschrebede Statstk fester Bestadtel vo Datebaksysteme geworde ud fde als Data-Mg-Verfahre Awedug. Wr gebe deser Kursehet zuächst ee Eführug de Methode der beschrebede (deskrptve) Statstk ud eem wetere Skrpt e Eführug de Wahrschelchketsrechug ud ege Methode der Schleßede Statstk. Für weter Methode der Stochastk, sbesodere der Schleßede Statstk verwese wr auf de m Lteraturverzechs agegebee weterführede Lteratur.

3 Lteratur LITERATUR. Deses (vorlesugsbegletede) Skrpt de Tele 0. Algebrasche Grudlage (Logk, Megelehre) I - Deskrptve Statstk, II Wahrschelchketsrechug, III - Ausgewählte Gebete der Stochastk der Iformatk IV - Ahag (A-Tabelle, B-Klausure, C-Lösuge zu de Übugsaufgabe). J.Schwarze: " Grudlage der Statstk I - Beschrebede Verfahre", " Grudlage der Statstk II - Wahrschelchketsrechug ud duktve Statstk" " Aufgabesammlug zur Statstk" alle 3 Bäde erschee be NWB-Studebücher -Wrtschaftswsseschafte, Verlag Neue Wrtschaftsbrefe - Here/Berl, L. Papula : "Mathematk für Igeeure", Bad 3 (Kaptel Wahrschelchketsrechug ud Statstk) 4. e-learg-system:

4 Ihalt INHALTSVERZEICHNIS Deskrptve (Beschrebede) Statstk GRUNDBEGRIFFE.... GEGENSTAND DER STATISTIK - GRUNDGESAMTHEIT UND STICHPROBE.... MERKMALE, MERKMALSAUSPRÄGUNGEN, SKALEN HÄUFIGKEITSVERTEILUNG DISKRETER ZUFALLSVARIABLEN HÄUFIGKEITSVERTEILUNG KLASSIFIZIERTER DATEN Vorschrfte zur Klassebldug De Klassehäufgketstabelle Das Hstogramm Auswertug vo Klassehäufgketstabelle, de Summehäufgketsfukto ÜBUNGSAUFGABEN... 6 STICHPROBENKENNWERTE LAGEPARAMETER (MITTELWERT, MEDIAN, QUANTILE, MODELWERT): Das arthmetsche Mttel Der Meda Das α - Quatl eer Beobachtugsrehe Der Modalwert Bemerkuge zu de Lagemaßzahle STREUUNGSMAßE Spawete (Rage) Quartlabstad, Zetlabstad Boxplots Streuug Stadardabwechug Der Varatoskoeffzet Egeschafte des arthmetsche Mttels ud der Stchprobestreuug - Hwese zur praktsche Berechug MAßZAHLEN FÜR KLASSIFIZIERTE DATEN Das arthmetsche Mttel De Streuug De Quatle ANWENDBARKEIT DER MAßZAHLEN FÜR DIE VERSCHIEDENEN SKALENTYPEN ÜBUNGSAUFGABEN ZWEIDIMENSIONALE VERTEILUNGEN - ZUSAMMENHANGSMAßE ZWEIDIMENSIONALE HÄUFIGKEITSVERTEILUNGEN KORRELATIONSMAßE Der Pearsosche Korrelatoskoeffzet Der Spearma sche Korrelatoskoeffzet für ordal skalerte Date ÜBUNGSAUFGABEN... 6 Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (/0) I

5 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Deskrptve (Beschrebede) Statstk Grudbegrffe. Gegestad der Statstk - Grudgesamthet ud Stchprobe Stochastk = Wsseschaftlche Methode zur Utersuchug ud Beurtelug zufällger Merkmale a rgedwelche Objekte. Das Iteresse der Statstk rchtet sch dabe e auf ezele Objekte, soder mmer auf ee (.A. große) Mege (bzgl. des teresserede Merkmals) glechartger Objekte, de sogeate Grudgesamthet. Zufällges Merkmal: Der Wert des Merkmals st be Auswahl ees Objektes cht edeutg voraussagbar! Erst ach Messug, Befragug, Utersuchug usw. ket ma de Merkmalswert für deses Objekt geau. Grudgesamthet: = Gruppe vo Objekte, de hschtlch ees Utersuchugszels als glechartg agesehe werde Bespel : Wr wolle wsse, we sch de Saarläder be der ächste Ladtagswahl verhalte werde. Merkmal: Wahlverhalte Objekt: Saarläder Grudgesamthet: Mege aller wahlberechtgte Saarläder. Wetere Bespele: Merkmal Objekt Grudgesamthet Lebesdauer Akku Akkus ees bestmmte Herstellers Zuverlässgket Festplatte Festplatte ees bestmmte Typs Azahl etreffeder Sgale pro Sek. Sekude alle Sekude ees bestmmte Zetabschttes Azahl des Buchstabes E deutscher Text Alle deutsche Texte eer bestmmte Läge Lestug m Fach Mathematk Studet Tabelle. alle Studete eer bestmmte Gruppe Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (0/0)

6 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Zel statstscher Utersuchuge: Aussage über de Häufgket des Auftretes jedes Merkmalswertes der Grudgesamthet treffe. (z.b. we vele wahlberechtgte Saarläder wähle CDU, SPD,... oder we häufg kommt welche Lebesdauer vor usw.). Zur Beurtelug des Merkmals Wahlverhalte (oder der Lebesdauer) ka ma cht alle Saarläder befrage (Akkus utersuche), soder ur ee Tel! Ma macht ee Stchprobe! Stchprobe: = Telmege vo Objekte der Grudgesamthet. De Auswahl erfolgt zufällg. Vo der Vertelug der Merkmalswerte der Stchprobe wrd da auf de Vertelug der Merkmalswerte der Grudgesamthet geschlosse. Grudfrage der Stochastk: We bestmmt ma de Stchprobe? (Stchprobeumfag) We aalysert ma de Stchprobe? (Verfahre) We schleßt ma vo der Stchprobe auf de Grudgesamthet? We groß st der Fehler (Irrtumswahrschelchket), de ma be desem Schluß macht? De 3 Telgebete der Stochastk: Beschrebede (Deskrptve) Statstk:= Emprsche ud grafsche Methode zur Aalyse vo Stchprobe Schleßede (Iduktve) Statstk: = Mathematsche Methode des Schleßes vo der Stchprobe auf de Grudgesamthet mt Agabe vo Irrtumswahrschelchkete Wahrschelchketsrechug:= Mathematsche Methode zur Beschrebug des Zufalls. Mathematsche Grudlage der Schleßede Statstk DESKRIPTIVE STATISTIK SCHLIEßENDE STATISTIK WARSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 3 HTW des Saarlades (0/0)

7 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Bespel : Utersuchug des Wahlverhaltes der Saarläder: Was wäre, we ächste Sotag Ladtagswahle wäre? Werte Se de Wahlergebsse der Stchprobe ahad achfolgeder Abbldug aus! Schleße Se auf de Grudgesamthet aller wahlberechtgte Saarläder! Azahl Persoe Wevele Persoe muß ma befrage? We scher st der Schluß vo de Stchprobeergebsse auf de Grudgesamthet? 5 33 CDU SPD FDP Grüe Sost. Abb..: Verdchtug durch Häufgketstabelle De Schleßede Statstk lefert Aussage der Form: 'Mt 99% ger Scherhet wähle zwsche 50% ud 54% aller wahlberechtgte Saarläder de CDU.' Bespel : Glechmäßger Würfel Utersuche Se, ob Ihr Würfel glechmäßg st! We gehe Se vor? Mache Se ee Vorschlag ud führe Se h aus! Welche Grafke würde Se afertge? Welche Frage müsse Se sch stelle ud beatworte? Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 4 HTW des Saarlades (0/0)

8 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Bespel 3: Utersuchug der Zwschezete zwsche dem Etreffe zweer Sgale eer Empfägerstato. 40 Zete: 5.4, 3., 4.,.9,.., 9.3 We ka ma de Zete grafsch darstelle? Werte Se de folgede Grafk aus! Was st der typsche Vertelugsverlauf? Schleße Se auf de Vertelug der Grudgesamthet aller Zete! Welches Vertelugsmodell trfft für de Grudgesamthet zu? We vele Zete muss ma utersuche? We scher sd dese Ergebsse? Bespel 4: Utersuchug der Wrksamket zweer Medkamete M, M Werte Se de folgede Tabelle aus! Welches Medkamet st de gegebee Stchprobe besser? Schleße Se auf de Grudgesamthet aller Patete! verbessert cht verbessert M 98 M 55 Tabelle. Mt welchem Maß ka ma de Wrksamket der bede Medkamete vergleche? We vele Persoe muss ma utersuche? We scher sd dese Ergebsse? De Schleßede Statstk lefert Aussage der Form: 'Mt 99%ger Scherhet st M wrksamer als M.' Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 5 HTW des Saarlades (0/0)

9 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe. Merkmale, Merkmalsauspräguge, Skale Bezechuge : Merkmale:, Y,... Merkmalsauspräguge: x, y,... Merkmale werde am Objekt beobachtet: (Objekt) = x Bespel: = Hersteller, Y = Qualtät, Z = Lebesdauer, Objekt = Server Hersteller (Server) = Dell, Qualtät(Server) = gut, Lebesdauer(Server) = 6 Jahre Wr wolle reche wr orde de Merkmalswerte Zahle zu. Skalerug:= Zuordug vo Merkmalsauspräguge zu Zahlewerte Welche Recheoperatoe mt de Zahlewerte ach Skalerug durchgeführt werde dürfe, rchtet sch daach, welche Egeschafte de Merkmalswerte habe. Bem Merkmal Hersteller stehe z.b. de Merkmalswerte Dell, Semes ud Toshba glechberechtgt ebeeader, d.h. se lasse sch cht aorde ud es gbt kee Abstad zwsche de Merkmalswerte. Deshalb dürfe de he zugeordete Zahle auch cht ageordet, subtrahert, addert usw. werde. E solches Merkmal ee wr omalskalert. Für das Merkmal Temperatur kee wr de Skale: C (Grad Celsus), K (Kelv), F (Fahrehet). De Umrechug zwsche je zwe Skale S ud S erfolgt gemäß der Formel S = a S+b. Es gbt Temperaturuterschede,Temperature köe ageordet werde, ud es gbt ee Abstad zwsche de Temperaturwerte, de wr jeder Skala messe köe; de Abstäde sd bs auf de verwedete Maßehet a edeutg. Probleme gbt es aber wege der Nullpuktverschebug b- be der Bldug vo Verhältsse. Ageomme, wr würde zwe C gemessee Temperaturwerte x= 0 C, x=0 C, s Verhälts setze, so erhalte wr das Ergebs: x/x =. Wr köte u de gleche Messwerte aber auch K darstelle x--> y= K = 93 K; x--> y=0+73=83 K. Setze wr dese Kelv umgerechete Werte s Verhälts, so erhalte wr: y/y = 93/83. De Recheoperato Brüche blde, lefert also völlg uterschedlche Ergebsse Abhäggket vo der verwedete Skala. Um solche Probleme zu vermede, verlage wr, dass be statstsche Auswertuge der Temperatur, de Bruchrechug cht erlaubt st! E solches Merkmal ee wr tervallskalert. Für das Merkmal Lebesdauer kee wr de Skale Stude, Mute, Sekude, ms usw. De Umrechug zwsche je zwe Skale S ud S erfolgt gemäß der Formel S=aS. Da her kee Nullpuktverschebug vorhade st, sd m Gegesatz zur Temperatur bem Merkmal Lebesdauer Brüche edeutg, uabhägg vo der verwedete Skala (de Maßehet a kürzt sch be Brüche weg). E solches Merkmal ee wr proportoaltätsskalert. Je achdem, welche Egeschafte de Merkmalsauspräguge ees Merkmals habe, uterschede wr 4 Merkmals- bzw. Skaletype: Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 6 HTW des Saarlades (0/0)

10 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Nomalskala (omalskalerte Merkmale): Alle (Merkmals- bzw.) Skalewerte stehe glechberechtgt ebeeader. Es gbt kee Ordug, ur Uterschede. De Größe ud de Ordug der Zahle spele kee Rolle, d.h. se dürfe cht statstsche Auswertuge ebezoge werde. I statstsche Utersuchuge dürfe ur Häufgkete ermttelt werde. Alle Skale, welche de de Merkmalswerte ethaltee Uterschede ud Glechhete abblde, sd erlaubt; wr sage se sd zueader äquvalet. Bsp: Hersteller, Geschlecht, Farbe, Marke usw. Ordalskala (ordalskalertes Merkmal): Es gbt ee Ordug ud Uterschede de (Merkmals- ud damt) Zahlewerte der Skala. De Größe der Zahle spelt kee Rolle, d.h., de Zahlewerte selbst dürfe cht de statstsche Auswertuge ebezoge werde, se dürfe cht addert, subtrahert usw. werde. I statstsche Utersuchuge dürfe ur Aorduge ud Häufgkete ermttelt ud ausgewertet werde. Alle Skale, welche de de Merkmalswerte ethaltee Ordugsrelato abblde, sd erlaubt; wr sage, se sd zueader äquvalete Ordalskale. Bsp: Qualtätsgruppe, Lestuge, usw. Itervallskala (tervallskalertes Merkmal): Uterschede, Orduge, Größe ud Dffereze der (Merkmals- ud damt) Zahlewerte der Skala sd relevat ud dürfe statstsche Utersuchuge ebezoge werde. Dffereze sd bs auf de Maßehet edeutg. Der Nullpukt st cht edeutg. Zahleverhältsse dürfe deshalb cht statstsche Auswertuge ebezoge werde. Alle Skale S, de sch aus der Trasformato S =as + b aus eer gegebee Itervallskala S ergebe, sd erlaubt; wr sage, se sd zueader äquvalete Itervallskale. Bsp: Temperatur Proportoaltäts- (Verhälts-) skala (proportoaltätsskalertes Merkmal): Uterschede, Orduge, Größe, Dffereze ud Verhältsse sd relevat ud dürfe statstsche Utersuchuge ebezoge werde. Dffereze sd bs auf de Maßehet edeutg, Verhältsse sd edeutg. Alle Skale S, de sch aus der Trasformato S =as aus eer gegebee Proportoaltätsskala S ergebe, sd erlaubt, wr sage; se sd zueader äquvalete Proportoaltätsskale. Bsp: Läge, Zet, Gewcht, Druck, Sromstärke, Kapaztät, usw. Achtug: I statstsche Utersuchuge ees Merkmals dürfe ur solche statstsche Maßzahle verwedet werde, de uabhägg davo, welche der zueader äquvalete (erlaubte) Skale für deses Merkmal zugrudegelegt wrd, mmer das gleche Eergebs lefer. Deshalb st es wchtg, vor jeder statstsche Aalyse zuächst de Skaletyp ees Merkmals zu bestmme. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 7 HTW des Saarlades (0/0)

11 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Bespele: Merkmal Hersteller Qualtät Temperatur Merkmalsausprägug Dell Semes Toshba sehr gut gut befredged ausreched magelhaft ugeüged erlaubte (äquvalete) Skale o C, K, F erlaubte Skaletyp Reche- Operatoe =, Nomal =,, <, > =,, <, >, Ordal Itervall alle Skale, de durch Umrechug S = a o C + b etstehe, sd erlaubt Lebesdauer sek., m., Stude,... alle Skale, de durch Umrechug S = a * sek etstehe, sd erlaubt Tab..3 +, - =,, <, >, +, -, *, :, ud alle adere Recheoperatoe Proportoal Merkmale, dere Zahl möglcher Auspräguge edlch oder abzählbar sd, werde der Regel durch ee Ordal- oder Nomalskala abgebldet. Merkmale mt uedlch vele verschedee Auspräguge werde durch ee Itervalloder Proportoaltätsskala abgebldet. Ma et solche Merkmale auch metrsch skalert. Ee Ausahme blde das zufällge Merkmal: = Azahl vo...(rgedetwas) ud das zufällge Merkmal = Plazerug. Dese werde als proportoaltätsskalert betrachtet (Spezalfälle). Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 8 HTW des Saarlades (0/0)

12 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Def.: Uter eer zufällge Varable (Zufallsvarable, Zufallsgröße) verstehe wr ee Varable, de eem zufällge Merkmal zugeordet wrd ud dere Zahlewerte de Merkmalsauspräguge etspreche. Skalerug Bezechuge Merkmal Zufallsvarable, Y, Z Merkmalsausprägug Zahlewerte x, y, z Mege der Merkmalsauspräguge Werteberech,, Bespele: - Hersteller, = {,,3} Y - Lestug, = {,, 3, 4, 5} Z - Lebesdauer, = [ 0, ) Def.: Ee zufällge Varable, dere Werteberech ur edlch oder abzählbar vele Werte aehme ka, heßt dskrete Zufallsvarable (- Hersteller, Y-Qualtät). Ee zufällge Varable, dere Werteberech e zusammehägedes Itervall [a,b], a<b ethält, heßt stetge Zufallsvarable (Bsp. Temperatur, Lebesdauer). - dskret, falls = { a, a,..., a k,...} - stetg, falls e kotuerlches Itervall [a,b] ethält. Gebe Se jewels das Merkmal ud de Werteberech des Merkmals, sowe de Grudgesamthet a. Welcher Skaletyp legt her vor? Sd de Merkmale (bzw. Zufallsgröße) dskret oder stetg? a) Zet zwsche dem Etreffe zweer Nachrchte eer Vermttlugsstelle ms. b) Azahl der pro Mute etreffede Nachrchte c) Qualtätsgruppe vo Geräte ees bestmmte Typs (A (sehr gut),,f(magelhaft)) d) Typ des a eer Kreuzug etreffede Autos (PKW, LKW, Bus usw.) Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 9 HTW des Saarlades (0/0)

13 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe.3 Häufgketsvertelug dskreter Zufallsvarable Wr verwede folgede Bezechuge: dskrete Zufallsvarable (Merkmal) = { a,..., a k } Werteberech vo (a - Merkmalsausprägug) x,...,x Beobachtuge vo (Stchprobe vom Umfag, wrd auch als Urlste bezechet) elemetare statstsche Tätgket für dskrete Zufallsgröße: Auszähle, we vele Beobachtuge auf ee bestmmte Merkmalswert falle,d.h. es wrd de sogeate Häufgketstabelle aufgestellt. Bespel: Utersuchug des PC-Nutzugsverhaltes vo Persoe zwsche 5 - Jahre ( der BRD) = : Nutzugsverhalte, Gg: Alle Persoe der BRD zwsche 5- Skalerug: 0 Verbrgt 0 Stude täglch am Recher Verbrgt höchstesstude pro Tag am Recher Verbrgt mehr alsstude, aber höchstes Stude pro Tag am Recher 3 mehr als Stude pro Tag Stchprobe vo =00 Persoe der Gg: 0,,3,0,0,..., ( Urlste) a H (a ) absolute Azahl h (a ) relatve Azahl H() absol. Sum-mehäufgket h() relatve Summehäufgket , Tab..4: Statstsche Häufgketstabelle Tabelle.4. st de typsche Form eer Häufgketstabelle für dskrete Zufallsgröße. Aus deser Tabelle ka ma alle teresserede Iformatoe etehme. Z.B. st de Azahl der Persoe, de am PC stze, aber höchstes Stude am Tag am Recher verbrge 5%. De Azahl st 5. Der Atel der Persoe, de cht mehr als Stude pro Tag am Recher verbrge beträgt 95 %, de Azahl st 95. a) We vele Persoe verbrge zwsche ud Stude am Recher pro Tag? b) We vel % aller Persoe verbrge Zet am Recher? Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 0 HTW des Saarlades (0/0)

14 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe De allgemee Form eer statstsche Häufgketstabelle für ee dskrete Zufallsgröße = a,..., a k auf der Bass vo Beobachtuge x,...,x hat folgede Gestalt: { } a H (a ) absolute Azahl h (a ) relatve Azahl H() absol. Sum-mehäufgket h() relatve Summehäufgket a H (a ) h (a ) H (a ) h (a ) H (a )+ H (a ) h (a )+ h (a ) a k H (a k ) h (a k ).0 N.00 Tab..5: Allgemee Form der Häufgketstabelle Def.: De Aeaderrehug x,...,x vo beobachtete Merkmale heßt Urlste. Def.: H (a ) = absolute Häufgket vo a. H (a h (a ) = ) = relatve Häufgket vo a. H (a ) : Azahl aller x j mt x j = a, j =,..., h (a ): Atel aller x j mt x j = a, j =,..., ; (00 h (a )=%ualer Atel) De Gesamthet aller H (a ), =,...,k (bzw. h (a ), =,...,k) heßt absolute bzw. relatve Häufgketsvertelug vo bzgl. der Stchprobe x,...,x. Es glt: 0 H (a ), H k = ( a ) = ud 0 h (a ), h ( a ) = k = Def.: H( ) = H ( a ) j= h( ) = h ( a ) H() h() j= j j =,...,k =,...,k - absolute Summehäufgket - relatve Summehäufgket Azahl der Objekte (Stchprobewerte x ), de ee Merkmalswert a bestze. Atel der Objekte (Stchprobewerte x ), de ee Merkmalswert a bestze. Aus der Summehäufgket sd weder de ezele Häufgkete berechebar. Es glt: H (a ) = H() - H(-) h (a ) = h() - h(-) mt h(0) = H(0) = 0 =,...,k Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (0/0)

15 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Typsche grafsche Darstelluge der Häufgketsverteluge: Mt Hlfe der relatve Summehäufgket läßt sch de sogeate emprsche Vertelugsfukto (Summehäufgketsfukto) defere: Def.: Emprsche Vertelugsfukto (Summehäufgketsfukto): 0 für x < a F ( x) = h() für a x < a+, =,...,k - für x a k F (x) Atel der Objekte der Stchprobe mt eem Merkmalswert x F (x ) 0,9 5 0,5 0,4 0, 5 { 3 Abb.:.6: Emprsche Vertelugsfukto zum obge Bespel x Das Bld der emprsche Vertelugsfukto st ee Treppefukto. I jedem Merkmalswert a sprgt de Fukto um h (a ). Auch aus grafsche Darstellug ka ma z.b. folgedes etehme: Der Atel der Persoe, de cht mehr als Stude pro Tag am Recher stze, beträgt 95 %, de Azahl st 95. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (0/0)

16 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe.4 Häufgketsvertelug klassfzerter Date Bsher sd wr davo ausgegage, dass der Stchprobeumfag der Beobachtuge der Zufallsgröße wesetlch größer st, als de Azahl =k der möglche Werte, de aehme ka. Nu betrachte wr geau de umgekehrte Fall, dass wesetlch gerger st, als de Zahl k der möglche Werte für. Das st vor allem der Fall, we e stetges Merkmal st. Her umfasst der Werteberech vo sogar (überabzählbar) uedlch vele Werte bzw. (a,b,), st vel kleer als (es st = ). I.a. werde desem Fall be eer Stchprobe x,..., x vom Umfag alle Werte voeader verschede se, bzw. ur wege Beobachtuge auf e ud deselbe Merkmalswert falle ud ma ka durch bloßes Auszähle, d.h. durch ee Häufgketstabelle, we se Abschtt.3. beschrebe wurde, kee Edruck über de Häufug vo Merkmalswerte bekomme. Bespel: Es soll de utersucht werde, we de Zet, de zum Telefoere beötgt wrd vertelt st, d.h. welchem Berech de meste Persoe telefoere ud welche Bereche es wesetlche Abwechuge vom Normverhalte gbt. Urlste: Dauer vo 40 Telefoate ( Sekude) Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 3 HTW des Saarlades (0/0)

17 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Häufgketstabelle: Dauer (Sek.) Azahl H (K ) Tabelle.7 Stelle Se de absolute Häufgkete eem Stabdagramm dar! We beurtele Se de Aussagefähgket des Dagramms? Um ee Edruck vo der Vertelug der Merkmalswerte zu bekomme, werde de Merkmalsauspräguge klassfzert ud de Häufgket cht mehr ezele Merkmalsauspräguge soder de Klasse zugeordet. Wr zerlege dazu de Werteberech k dsjukte Klasse (Itervalle): = K K... K k, K K j = für j. ud zähle aus, we vele Beobachtuge welche Klasse falle. I folgede Tabelle wrd ahad useres Bespels de Abhäggket des Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 4 HTW des Saarlades (0/0)

18 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Iformatosgews über de Vertelug der Dauer vo 40 Telefoate vo der gewählte Klassebrete bzw. Klassezahl demostrert. Häufgketsverteluge der Dauer vo 40 Telefoate: Klassebrete: 5 Dauer (Sek.) Azahl Häufgket Summe Abb Tab..8 Klassebrete: 9 Dauer (Sek.) Azahl Häufgket Summe 40 Klassebrete: 30 Tabelle.9 Dauer Häufgket Tab Abb Abb..9 Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 5 HTW des Saarlades (0/0)

19 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe I de Tabelle.8 ud.9 sd Klasseeteluge mt der Klassebrete 5 bzw. 9 Sek. gebldet worde. De etsprechede Hstogramme zege ee symmetrsche Vertelug ud ee Häufug m mttlere Berech. Tabelle.0 zegt ee Klasseetelug der Klassebrete 30 Sek. ur Klasse. Her erket ma wederum kee Häufuge. Es gehe zu vele Iformatoe verlore. Wähle wr also zu klee Klassebrete (zu vele Klasse) (Tabelle.7), so erket ma kee Häufuge. Dasselbe gescheht be der Wahl zu großer Klassebrete (zu weg Klasse) (Tabelle.0)..4. Vorschrfte zur Klassebldug Es gbt kee allgemegültge Vorschrft zur Wahl der Klasse, de für jede Art eer statstsche Aalyse agewedet werde ka. Im Deutsche DIN-Isttut ( Berl) fdet ma für uterschedlchste statstsche Problemstelluge uterschedlche DIN-Vorschrfte zur Wahl der Klassezahl ud Klassebrete. We sch kee spezelle Agabe zur Klassebldug aus der Problemstellug ergebe (we z.b. a der jetzge Stelle userer Vorlesug), so verwede wr folgede Faustregel zur Klassebldug: Wahl der Klassezahl k: Faustregel : k 5 k!!! (optoal: k 0) > 5! Mache kee statstsche Aalyse mt zu wege Date!! I jedem Fall wrd k auf ee gazzahlge Wert auf- oder abgerudet. Wahl der Klassegreze/ Reduktoslage: De Klassegreze solle so gewählt werde, dass ke Wert auf ee Klassegreze fällt. (z.b., dem ma se zwsche zwe Werte legt (½- Messgeaugket!)). Das wrd z.b. errecht, dem ma de utere Wert u a der erste Klasse K gemäß u a =x m - ε/ festlegt, wobe ε de Messgeaugket st ud da de Klassebrete B auf de Messgeaugket aufrudet. u a wrd als Reduktoslage bezechet. Wahl der Klassebrete: Ma wählt der Regel ee kostate Klassebrete B = K für =,...,k. Se x m klester Wert ud x max größter Wert der Stchprobe. I Abetracht, dass ke Wert auf ee Klassegreze falle solle, zerlege wr cht de Berech x m bs x max, soder de Berech vo x m - ε/ bs x max + ε/ k Klasse, wobe ε de Messgeaugket st. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 6 HTW des Saarlades (0/0)

20 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe (x max - x m + ε ) Klassebrete = B = k Ma rudet B da auf de Messgeaugket auf! Vorschrft : Klassezahl: k, muss : 5 k, ka : k 0, k wrd auf ee gazzahlge Wert gerudet Reduktoslage: u a = x m - ε/, wobe ε de Messgeaugket st (x max - x m + ε ) Klassebrete: B =, k B wrd auf de Messgeaugket aufgerudet..4. De Klassehäufgketstabelle De allgemee Form eer statstsche Häufgketstabelle für ee stetge Zufallsgröße auf der Bass vo Beobachtuge x,...,x hat folgede Gestalt: K H (K ) absolute Azahl h (K ) relatve Azahl H() absolute Summehäufgket h() relatve Summehäufgket K H (K ) h (K ) H (K ) h (K ) H (K )+ H (K ) h (K )+ h (K ) K k H (K k ) h (K k ).0.00 Tab..: Allgemee Form der Klassehäufgketstabelle De Begrffe der absolute ud relatve Häufgket blebe erhalte, bezehe sch aber u auf de Klasse K ud cht mehr auf ee Merkmalswert a. Jede Klasse st charaktersert durch hr Klassegreze: o a - obere Greze der Klasse K. u a - utere Greze der Klasse K. o u ( a = a + ), =,...,k hre Klassebrete: K = ( a a ), =,...,k. o u Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 7 HTW des Saarlades (0/0)

21 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Def.: H (K ) Azahl aller x j mt x j K, j=,..., Absolute Klassehäufgket der Klasse K. h (K ) = H ( K ) Atel aller x j mt x j K, j=,..., Relatve Klassehäufgket der Klasse K. Es glt: 0 H (K ), 0 h (K ) k = H ( K ) =, h ( K ) = k = De Gesamthet der H (K ), h (K ), =,...,k bezechet ma als (Klasse-)Häufgketsvertelug vo der Stchprobe. I der tabellarsche Darstellug werde we be dskrete Zufallsgröße weder de Summehäufgkete mt ebezoge. Def.: H( ) = H ( K ) j= h( ) = h ( K ) H() h() j= j j - absolute Summehäufgket - relatve Summehäufgket Azahl der Objekte (Stchprobewerte), dere Merkmalswert x j a o st. Atel der Objekte, de ee Merkmalswert x j a o bestze. Stelle Se de Klassehäufgletstabelle für de 40 Telefoat- Gesprächsdauer auf! We würde Se de Häufgkete grafsch darstelle? Lösug: Klassezahl: 40 = 6, 3 k = 6 (wr rude we üblch). Reduktoslage: x m = 9, x max = 76, Messgeaugket ε= u Wr wähle: a =x m -/ ud zerlege de Berech vo 8,5 76,5 6 Klasse Klassebrete: B = = 9, 67 B = 0 (aufrude) 6 Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 8 HTW des Saarlades (0/0)

22 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe K äquvalete Klasse K H (K ) absolute Azahl h (K ) relatve Azahl H() absolute h() relatve (8,5;8,5) [9,9) [9,8] 4 4/40 4 4/40 (8,5;38,5) [9,39) (8,38] 7 7/40 /40 (38,5;48,5) [39,49) (38,48] 3 3/40 4 4/40 (48,5;58,5) [49,59) (48,58] 9 9/ /40 (58,5;68,5) [59,69) (58,68] 5 5/ /40 (68,5;78,5) [69,79) (68,78] / Tab..: Klasse-Häufgketstabelle für de 40 Gespräche Summehäufgket Summehäufgket.4.3 Das Hstogramm De typsche grafsche Darstellugsform der Klassehäufgketsvertelug st das Hstogramm. Auf der x- Achse werde de Klasse (Itervalle) abgetrage. Auf der y-achse werde über jeder Klasse als Höhe de sogeate relatve Häufgketsdchte h ( K ) K abgetrage. Es etstehe so über jeder Klasse K ee Säule, wobe h ( K ) de Höhe der K Säule darstellt. Offeschtlch etsprcht da der Flächehalt jeder Säule hrer zugehörge relatve Häufgket h (K ) (sehe Abbldug.0). der Atel h (K ) der Date x,...,x, de K hefalle, st glech der Fläche über K. Def.: h * h ( K ) ( K ) = - relatve Häufgketsdchte. K h * ( K ) st de auf de Klassebrete bezogee Klassehäufgket. Es st oft üblch, de Häufgkete a der Stelle der Klassemtte m Hstogramm mteader zu verbde, wobe lks ud rechts ee zusätzlche Klasse mt der Klassehäufgket 0 ageomme wrd. De Le bldet das sogeate Häufgketspolygo. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 9 HTW des Saarlades (0/0)

23 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe h * ( K ) h (K ) = h() - h(-) Häufgketspolygo K Abbldug.0 Zeche Se das Hstogramm für de Klasseetelug Tabelle. der 40 Gesprächsdauer!.4.4 Auswertug vo Klassehäufgketstabelle, de Summehäufgketsfukto Beatworte Se uter Verwedug der Klasseetelug Tabelle. folgede Frage zu de 40 Zetdauer! a) We vele Gespräche habe ee Dauer bs zu 48 Sek.? b) We vele Gespräche habe ee Dauer vo mehr als 39 ud bs zu 68 Sek.? Ncht sofort etehme ka ma der Klassehäufgketstabelle. Agabe über Zwschewerte, z.b. We vele Gesprächsdauer lege zwsche 40 ud 70 Sek.? Wäre alle Beobachtugsdate x, =,...,, bekat, so ka ma de gesuchte Azahl durch de emprsche Vertelugsfukto F (x) (= Atel aller Date x, =,...,, für de glt: x x) bestmme: ( F 70) F (40)) ( Beatworte Se mt Hlfe der emprsche Vertelugsfukto (x) F ud Tabelle.7 folgede Frage: We vele Telefoate habe ee Dauer vo mehr als 40 bs 70 Sek.? I der Regel werde be große Stchprobeazahle de ezele Date x, =,...,, cht gespechert, soder ur de Klassehäufgketstabelle 'aufgehobe'. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 0 HTW des Saarlades (0/0)

24 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Dadurch gehe Iformatoe verlore. Es sd cht mehr de geaue Werte der Beobachtugsdate x bekat, soder ur och, we vele vo he eer Klasse K lege. Damt st auch cht mehr bekat, we vele Beobachtugsdate eem belebge Itervall (a,b] lege. Um dese Azahl aus der Klasse-Häufgketstabelle abzuschätze, wrd ee Modellaahme getroffe: ' De Beobachtuge x sd jeder Klasse glechmäßg vertelt'. Uter deser Aahme approxmere wr de emprsche Vertelugsfukto F (x) durch de ~ ~ sogeate Klassesummehäufgketsfukto F ( x ). Mt Hlfe deser Fukto F ( x ) ka ma de Atele (ud damt Azahl) der ursprüglche Stchprobedate, de eem Itervall (a,b] lege, oder a bzw. >b sd, abschätze, sehe Abblduge.,.. Def.: Summehäufgketsfukto für klassfzerte Date (Klassesummehäufgketsfukto): u 0 x < a ~ F ( x) = h( ) + b x K o x > a k b = ( x a = (x - a K u u ) h ) h * ( K (K Es glt: x h( ) < x h( ) K ) ) Dese Fukto gbt ee Abschätzug für de Atel der Beobachtugswerte x j a der Stchprobe a, de de Wert x cht überschrete (x j x), sehe Abb... h * ( K ) ~ F (x) b a u Abb.. x o a k Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (0/0)

25 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe h * ( K ) ~ ~ h ([a,b]) = F (b) - F (a) = Atel der Beobachtuge x,...,x, de das Itervall (a,b] falle Abb. a b ~ Beatworte Se mt Hlfe der Klassesummehäufgketsfukto F ( x ) ud Tabelle. folgede Frage: Wevele Gespräche habe ee Dauer vo mehr als 40 bs zu 70 Sek.? Lösug: ~ ~ De Azahl st: 40 ( F (70) (40)). Dabe sd: ~ 38 F (70) = F 70 68,5 ~ ,5 = 0,9575 ud F (40) = + =0, ~ ~ Wr erhalte als Ergebs: 40 ( F (70) (40)) = 40(0,9575-0,3375) = 5,35 5 Gespräche. F Bemerkug: De Berechug der Azahl der Telefoate, dere Dauer >40 ud 70 Sek., st keeswegs edeutg. I Abetracht der Tatsache, dass de Gesprächsdauer gazzahlg sd, köte wr z.b. de Azahl aller Gespräche, dere Dauer größer als 40 ud kleer ~ ~ oder glech 70 Sek. st auch we folgt bereche: 40 ( F (70,5) (40,5 )). F Wolle wr de Azahl aller Gespräche bereche, dere Dauer 40mm ud 70 Sek.st, ~ ~ ~ ~ so köte wr bereche: 40 ( F (70,5) (39,5 )) oder 40 ( F (70) (39,5)). F F De uterschedlche Formel führe zu uterschedlche Ergebsse, aber der Utersched st mmal. ~ D.h., de Verwedug der Klassesummehäufgketsfukto F ( x ) führt zu eer relatv grobe Abschätzug er gesuchte Atele ud Azahle, de keeswegs edeutg sd. Ma köte z.b. geauso statt 40 jede adere Zahl aus [40,4) als utere Greze des der obge Blestft-Aufgabe betrachtete Itervalls (40,70] Sek. wähle ud statt 70 z.b. jede adere Zahl aus dem Itervall [70, 7). Weterh ka ma statt der Klasseetelug, de Tabelle. der lke Spalte steht, ee der bede äquvalete Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk HTW des Saarlades (0/0)

26 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Klasseeteluge für de Berechug der Klassesummehäufgketsfukto zugrude lege. De Uterschede de jewelge Ergebsse werde um so gerger ausfalle, je größer der Stchprobeumfag st. Beatworte Se uter Verwedug der Klasseetelug Tabelle. folgede Frage zu de 40 Telefoate! - We vele Telefoate habe ee Dauer bs zu 50 Sek.? We vele Telefoate habe ee Läge > 30 bs zu 60 Sek.? Verwede Se verschedee Methode ud vergleche Se Ihre Ergebsse utereader ud mt de exakte Ergebsse, de aus der Stchprobe erhalte werde. ~ De Klassesummehäufgketsfukto F ( x ) lässt sch bequem grafsch darstelle. Dazu werde de relatve Klassesummehäufgkete h() a de obere Klassegreze abgetrage. De utere Greze der. Klasse bekommt de Wert 0. Aschleßed werde de Werte durch Gerade mteader verbude. ~ Abbldug.3 zegt de Klassesummehäufgketsfukto F ( x ) für das Bespel der 40 Telefoate., 0,96 0,8 0,6 0,4 0, 0 8,5 38,5 58,5 7078,5 Abb..3: Klassesummehäufgketsfukto der Dauer der 40 Telefoate. Iteressert etwa der Atel der Gespräche, dere Dauer höchstes 70 Sek. beträgt, so fdet ma mt Hlfe der Summehäufgketsfuktoe dese gesuchte Atel zu 0,96. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 3 HTW des Saarlades (0/0)

27 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Abschleßedes Bespel: Es soll de Vertelug des Bruttomoatsverdestes der Beschäftgte eer Frma utersucht werde. Dazu werde 50 Beschäftgte befragt. I Tabelle.3 sd de zugehörge Klasseetelug der Bruttomoatsverdeste ud de Klassehäufgket tabellarsch ud grafsch dargestellt. H(K) Azahl der 50 Beschäftgte Klasse Nr Bruttomoatsverdest EURO 500 bs 800 über 800 bs 00 über 00 bs 400 über 400 bs 700 über 700 bs 000 über 000 bs 300 über 300 bs 600 über 600 bs 900 über 900 bs 300 über 300 bs 3500 Beschäftgte Azahl H (K ) Atel h (K ) 0,04 0,05 0,088 0,8 0,60 0,68 0,56 0,4 0,080 0,00 50,000 h(k) Atel der 0,0 Beschäftgt Summehäufgkete Beschäftgte Kumulerte Kumulerter Azahl H() Atel h() Tabelle.3 Klassehäufgketstabelle 0,04 0,076 0,64 0,9 0,45 0,60 0,776 0,900 0,980, ,5 0,0 0,05 Abb..4: Hstogramm mt Klasse kostater Brete sowe das etsprechede Häufgketspolygo (gestrchelter Lezug) 5 bs 8 8 bs bs 4 4 bs 7 7 bs 0 0 bs 3 3 bs 6 6 bs 9 9 bs 3 3 bs 35 h( K) * h( K ) 300 = Bruttoverdest 00 EURO 0,0007 0,0005 0,0003 Abb..5: Hstogramm der relatve Häufgketsdchte 0, bs 8 8 bs bs 4 4 bs 7 7 bs 0 0 bs 3 3 bs 6 6 bs 9 9 bs 3 3 bs 35 Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 4 HTW des Saarlades (0/0)

28 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe, 0,8 0,6 0,4 0, Abb. 6 Bruttomoatsverdest 00 EURO a) Wevele Beschäftgte habe ee Bruttoverdest vo bs zu 000 EURO? (3 bzw. 45,%) b) Wevele Beschäftgte habe ee Bruttoverdest vo mehr als 000 ud 600 EURO? (94-3 = 8 bzw. 77,6-45,% = 3,4%) c) Wevele Beschäftgte habe ee Bruttoloh vo höchstes 900 EURO? ~ (sehe Abb. 6 oder: F (900) = 0,9 + 0,6 = 0, 4 ) 300 d) We groß st der Atel der Empfäger, de ee Bruttoloh vo mehr als 700 ud 900 EURO bekomme: ~ ~ ( F (900) F (700) = 0,4 0,9 = 0, 08 0,8% oder ca. 7 Beschäftgte) e) Wevel % der Beschäftgte habe ee Bruttoverdest bs 00 DM? ~ F (00) 00% = 0,076 00% = 7,6% Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 5 HTW des Saarlades (0/0)

29 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe.5 Übugsaufgabe. Sd folgede Merkmale dskret oder stetg? a) De durch ee wahlberechtgte Perso der BRD gewählte Parte be der Budestagswahl. b) Kraftstoffverbrauch ees Persoekraftwages auf 00 km. c) Zahl der pro Stude eer Empfägerstato etreffede Sgale. e) Lebesdauer eer bestmmte Leuchtstoffröhreart. f) Plazerug bem 00-Meter-Lauf (vo Studete der HTW) Gebe Se jewels das Merkmal, de Objektmege ud de Werteberech des Merkmals a. Welche Art Skalerug legt her vor?. A eem Bakschalter werde de Kudeaküfte (Azahl der pro 0-Mute- Zettervall akommede Kude) beobachtet. Für 40 derartge Zettervalle erhält ma folgede Ergebsse: 0, 0,, 3, 4,,,,,,,, 3, 0,, 0,, 3,,,, 0,,, 6,, 0,, 3,,, 4,, 3,, 0, 3, 0,,, Ermttel Se absolute ud relatve Häufgkete der Kudeaküfte ud stelle Se Häufgketsvertelug ud Summehäufgketsfukto grafsch dar! Festplatte ees bestmmte Typs wese folgede Lebesdauervertelug auf: Lebesdauer Azahl der Jahre Festplatte bs 33 über bs 4 76 über 4 bs über 6 bs 8 37 über 8 bs 0 50 Tab.: Lebesdauervertelug Stelle Se dese Häufgketsvertelug als Hstogramm ud de dazugehörede Summehäufgketsfukto grafsch dar ud bestmme Se de Atel der Festplatte mt eer Lebesdauer vo mehr als 5 Jahre! 4. Werte Se achstehede Urlste aus! Stelle Se de absolute, relatve Klassehäufgkete, sowe de relatve (Klasse-) Summehäufgkete tabellarsch ud grafsch (Hstogramm, Summehäufgketsfukto) dar! Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 6 HTW des Saarlades (0/0)

30 Deskrptve Statstk-Grudbegrffe Tab.: Zet zwsche dem Etreffe zweer Sgale eer Empfägerstato Sekude x 375,3 39,5 467,9 503, 59, 657,8 738,5 749,6 75,0 765,8 77,5 799,4 799,6 803,9 808,7 80,5 8, 848,6 867,0 904,3 98,3 935,4 95, 964,9 968,8 006,5 04,7 89,0 5,6 407, 5. Bestmme Se zu Aufgabe 4 jewels A) uter Verwedug der 30 Stchprobedate ud B) uter Verwedug der Klasseetelug a) de Atel der Zete, de mehr als 400 ud 600 Sek. betrage! b) We vele (Azahl) Zete sd > 600 Sek.? c) We hoch st der Atel der Zete, de 400 Sek. cht überschrete? d) Welcher Wer wrd vo 0 % der beobachtete Zwschezete überschrtte? Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 7 HTW des Saarlades (0/0)

31 Stchprobekewerte Stchprobekewerte Häufgketsverteluge stelle ee Zusammefassug ( Verdchtug ) der Urdatelste dar. Häufg st ma jedoch och dara teressert, dese Häufgketsverteluge och kapperer Form zu charaktersere. Des st durch de Berechug statstscher Maßzahle möglch. Dese Maßzahle charaktersere kapper Form de Gestalt der Häufgketsverteluge. Wr uterschede zwsche Lagemaße (Maßzahle, welche de Lage auf der x-achse beschrebe) ud Streuugsmaße (Maßzahle, welche de Varabltät der Date beschrebe). ~ x 0,5 se der Wert, der de Stchprobe (Wertemege) telt: d.h. 50 % der Date lege lks ud 50 % lege rechts vo ~ x 0,5. Da st ~ x 0,5 e Lageparameter. De Abstäde: ~ x0,5 x m ud x max ~ x 0,5 sage etwas über de Streuug um ~ x 0,5 aus. Wr erkee dara, daß z.b. de Vertelug rechtsschef se muß, falls ~ x0 x < x x,5 m max ~ 0,5 glt. Dese Abstäde sd Streuugsparameter! h ( K ) K 0,5 Flächehalt x m ~ x 0, 5 x max Abb... Lageparameter (Mttelwert, Meda, Quatle, Modelwert):.. Das arthmetsche Mttel Se e zufällges Merkmal ud se x,...,x ee Stchprobe vo vom Umfag. Def.: Uter dem arthmetsche Mttelwert der Stchprobe verstehe wr de durchschttlche Stchprobewert x = x. = Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 8 HTW des Saarlades (0/0)

32 Stchprobekewerte Bespel: Legt e Agestellter de Weg zwsche Wohug ud Arbetsstätte a 5 Tage, 0, 6, ud 7 Mute zurück, da beträgt de durchschttlche Zet, de er für de Weg beötgt: ( ) x = 5 Nachtele des arthmetsche Mttels: = 3,4 Mute Das arthmetsche Mttel st cht mmer das aussagekräftgste Mttel. Betrachtet ma zum Bespel ee Gruppe vo 0 Persoe, vo dee 9 e Jahresekomme vo je Euro ud ee e Jahresekomme vo Euro bezeht, so st das arthmetsche Mttel x = = EURO zur Charakterserug deser Persoegruppe weg svoll. Gbt es also sogeate Ausreßer, d.h. Werte, de wet weg vom Zetrum der Vertelug etfert lege oder hat de Vertelug ke edeutges Zetrum (z.b. e Gpfel), so st das arthmetsche Mttel weg aussagekräftg. Passeder st der m folgede Abschtt deferte Meda... Der Meda Der Meda (Zetralwert) x 0, 5 st grob gesagt der Wert eer Beobachtugsrehe, der der der Größe ach geordete Beobachtugsrehe der Mtte steht. Damt ma de Stchprobe orde ka, muss das Merkmal mdestes ordal skalert se! Se x,...,x de Stchprobe ud hre der Größe ach geordete Rehefolge se x [] < x [] <... < x []. Für de Meda eer Stchprobe gbt es verschedee exakte Deftoe. Wr gebe her a: De erste Defto legt de emprsche Vertelugsfukto F (x), de de Atel aller Beobachtugsdate agbt, de x sd. Def.: Der Meda x eer Stchprobe st der kleste Wert der Stchprobe, für de glt: F (x) 0,5. Er wrd als x 0,5 bezechet. I folgeder Grafk st das für de agegebee berets geordete Stchprobe veraschaulcht. De emprsche Vertelugsfukto st ee Treppefukto, de Zahl auf der lke Sete der Treppestufe gehört zur Stufe dazu, de auf der rechte Sete eer Stufe gehört zur ächste Stufe. Der Meda st der Wert, der zu der Sprugstelle gehört, durch de de Gerade y = 0,5 geht. I userem Bespel st das x 0,5 =. Legt dese Gerade auf eer Treppestufe, so st der Meda der x-wert der zur lke Sete der Stufe gehört. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 9 HTW des Saarlades (0/0)

33 Stchprobekewerte Meda: x 0,5 = De zwete Varate der Meda-Defto st de Folgede: Def.: Der Meda der Stchprobe st defert durch: x für ugerade + x 0,5 = x + x + für gerade Dese Varate werde wr m Folgede für usere Bespele ud Übugsaufgabe verwede. x[5] + x[6] Für das Bespel der obge Grafk: 0,,,,,,3,4,4,5 ergbt sch x 0,5 = =. Für das obe ageführte Bespel ees Agestellte, der a 5 Tage de vo seer Wohug zur Arbetbeötgte Zet festhält, ergbt sch de geordete Beobachtugsrehe ud folglch der Meda x 0,5 = x[ 3] = Mute. Vortel des Medas: Er st relatv uempfdlch gegeüber Ausreßer. Bereche Se de Meda des Ekommes eer Gruppe vo 0 Persoe, vo dee 9 e Jahresekomme vo je Euro ud ee e Jahresekomme vo Euro bezeht! Was bedeutet der errechete Wert? Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 30 HTW des Saarlades (0/0)

34 Stchprobekewerte..3 Das α - Quatl eer Beobachtugsrehe Uter dem α-quatl eer Beobachtugsrehe x,...,x versteht ma grob gesagt de Wert x,(0 < α < ), de α 00% der (bzw. α ) Beobachtugswerte cht überschrete. α Se x [] < x [] <... < x [] de geordete Stchprobe. I Aaloge zur Defto des Medas gbt es auch her verschedee Deftoe. Wr gebe davo a: De erste Varate verwedet weder de emprsche Vertelugsfukto F (x), de de Atel aller Beobachtugsdate agbt, de x sd: Def.: Das α-quatl eer Stchprobe st der kleste Wert x der Stchprobe, für de glt: F (x) α. Er wrd als x bezechet. α Bereche Se das 0.75-Quatl der Stchprobe 0,,,,,,3,4,4,5! Skzzere Se das Quatl der Grafk für de emprsche Vertelugsfukto auf der vorge Sete! De. Defto etsprcht der. Defto für de Meda. Dese Defto werde wr m Folgede für alle Bespele ud Übugsaufgabe zugrude lege. Def. : Der Wert ( x[ k ] + x[ k+ ] ) falls k = α ee gaze Zahl st x α = x[k] falls α kee gaze Zahl st ud k de auf heßt α-quatl der Beobachtugsrehe x,...,x. α folgede Zahl st Der Meda st damt e spezelles, ämlch geau das 0,5-Quatl der Beobachtugsrehe. Wr bezeche das 0,5-Quatl als uteres Quartl. 0,75- Quatl als oberes Quartl. 0,- 0,- 0,3-...0,9-Quatl als Dezetle. Bereche Se de Meda des Ekommes eer Gruppe vo 0 Persoe, vo dee 9 e Jahresekomme vo je Euro ud ee e Jahresekomme vo Euro bezeht! Was bedeutet der errechete Wert?..4 Der Modalwert Be bestmmte Date we der Geschlechtszugehörgket, Beruf etc. ka ma kee Mttelwert, Meda usw. blde, da de Date ur omal skalert sd. E Lagemaß, das auch für solche Merkmale defert st, st der Modus oder Modalwert. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 3 HTW des Saarlades (0/0)

35 Stchprobekewerte Def.: Der Modalwert x mod st der häufgste Wert eer Vertelug. = a, a,... so glt Ist dskret mt { } h (x mod ) h (a j ) für alle Merkmalsauspräguge a,...,a k. Be grupperte Date st der Modalwert de Klassemtte der am dchteste besetze Klasse; wr schrebe desem Fall auch x mod ' statt x mod. Bemerkug: I mache Fälle erfülle mehrere Auspräguge dese Bedgug, d.h. der Modalwert st cht edeutg. Gebe Se de Modalwert folgeder Stchprobe a:, 0, 6, ud 7..5 Bemerkuge zu de Lagemaßzahle Be mehrgpflge ud sbesodere u-förmge Verteluge sd m Gegesatz zu egpflge Verteluge de Lagemaße oft cht charakterstsch für de Häufgketsvertelug: Bespel: De Lebesdauer der Mesche m Mttelalter etsprach eer u-förmge Häufgketsvertelug: h B 5 Jahre t Abb.. De Säuglgssterblchket war sehr hoch, aber daach hatte ma gute Chace, e recht hohes Alter zu erreche. De Aussage: Im Mttelalter wurde de Mesche m Durchschtt 5 Jahre alt mplzert ee falsche Vorstellug vo der damalge Lebeserwartug. De Lagemaße dee sbesodere zur ähere Charakterserug egpflger Verteluge See x - das arthmetsche Mttel, x - der Meda, x mod - der Modalwert. 0,5 Def.: Ee Häufgketsvertelug heßt rechtsschef oder lksschef, falls lksschef oder rechtsstel, falls symmetrsch, falls x > x 0 > x,5 x < x 0 < x,5 x = x 0 = x,5 mod mod mod Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 3 HTW des Saarlades (0/0)

36 Stchprobekewerte rechtsschef lksschef symmetrsch x mod x x ~ x 0, 5 ~ x 0, 5 x mod x Abb..3. Streuugsmaße Lagemaße gebe.a. weg Auskuft über de Gesamtstruktur eer Häufgketsvertelug. Se beschrebe ur das Zetrum eer Vertelug, gebe aber kee Auskuft darüber, wewet e kokreter Merkmalswert vo eem solche Zetrum abweche ka. starke Streuug gerge Streuug x x Abb..4 Maße, de de Abwechug vo eem Zetrum eer Häufgketsvertelug beschrebe, heße Streuugsmaße oder Dspersosmaße. De gemesame Agabe vo Lage- ud Streuugsmaße ergebe ee recht präzse Vorstellug vo der gesamte Vertelug... Spawete (Rage) See x,...,x ee Stchprobe, x m der kleste ud x max der größte Wert der Stchprobe. R := x max - x m Es st ur svoll, de Spawete verschedeer Beobachtugsrehe zu vergleche, we se gleche Stchprobeumfag bestze! De Spawete st ke sehr gutes Streuugsmaß, de es gehe ur zwe Werte der Vertelug e. Se st sehr empfdlch gegeüber Ausreßer! Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 33 HTW des Saarlades (0/0)

37 Stchprobekewerte.. Quartlabstad, Zetlabstad S Q = x 0 x heßt Quartlabstad der Stchprobe.,75 0,5 S Q st cht so empfdlch gegeüber Ausreßer. S Q gbt de Berech a, dem etwa de Hälfte (50 %) aller Beobachtuge lege. S Q 0 = x0 x0, S Q 0 = x30 x0, S Q 0 = x40 x30,... heße Zetlabstäde. De Zetlabstäde gebe jewels de Berech der Stchprobe a, dee jewels 0% der Stchprobedate lege...3 Boxplots Oft charaktersert ma ee Stchprobe bzw. ee Häufgketsvertelug verefacht durch ee sogeate Boxplot. Dazu werde der kleste Wert x m ud der größte Wert x max der Stchprobe, sowe de Quartle ud der Meda auf der reelle Zahlegerade abgetrage, sehe Abb..8. Abb..5 I jedem der etstehede 4 Abschtte lege jewels 5% der Date. De Abstäde der 5 Werte ergebe ee Edruck vo Lage, Schefe bzw. Symmetre ud Streuug der Vertelug. Folgede Abbldug zegt de Gestalt ees Boxplots be eer ahezu symmetrsche Vertelug (Hstogramm). I desem Fall spegel sch de Abstäde symmetrsch um de Meda x 0.5. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 34 HTW des Saarlades (0/0)

38 Stchprobekewerte h * ( K ) Hstogramm x 0,5 zugehörger Boxplot x m x max x 0,5 x 0, 75 (De Brete des Kästches hat kee Bedeutug!) Abb..6 Skzzere Se de Gestalt des Boxplots be lks- ud rechtsstele Hstogramme! Ma verwedet Box-Plots auch zum 'schelle' Verglech mehrerer Häufgketsverteluge, sehe Abbldug.7. Lebesdauer x max x max ~ x 0, 5 ~ x 05 ~ x 0, 5 x m ~ x 0, 75 x max ~ x 05 ~ x 05 ~ x 0, 75 x m x m Typ Typ Typ 3 Abb..7 Lebesdauerverteluge verschedeer Festplattetype m Verglech Iterpretere Se de Abbldug.7, d.h. vergleche Se de 3 Festplattetype mteader! Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 35 HTW des Saarlades (0/0)

39 Stchprobekewerte..4 Streuug De Streuug st ee Maßzahl für de Varabltät, de Date auf metrschem Nveau voraussetzt. Se mmt Bezug auf de Mttelwert. De Streuug st der mttlere quadratsche Abstad der Date vo hrem Mttelwert: Def.: s = ( x x) = = = x x heßt Streuug (Stchprobevaraz) der Stchprobe x,...,x. Bemerkuge:. I s geht der quadratsche Abstad e. Dadurch werde größere Abstäde stärker bewchtet, als kleere.. De Begrüdug dafür, dass der Formel für s durch (-) ud cht durch dvdert wrd, lefert de schleßede Statstk (sehe Kaptel III). Ma ka zege, dass der Schluss vo der Stchprobe auf de Grudgesamthet be obger Formel besser (m Se ees wohldeferte Gütekrterums) st, als we ma / statt /(-) verwedet...5 Stadardabwechug Def.: s = s Stadardabwechug. De Stadardabwechug st ees der gebräuchlchste statstsche Streuugsmaße. Se st de Wurzel aus der Streuug. Se hat de gleche Dmeso we der Mttelwert. Bemerkug: Mt Hlfe des arthmetsche Mttels x ud der Stadardabwechug s eer Stchprobe lässt sch für Zufallsgröße, dere Vertelug der Beobachtuge (Realseruge) vo der Grudgesamthet ee bestmmte Form hat, der Berech abschätze, dem sämtlche Beobachtuge vo lege. Sd de Beobachtuge vo zum Bespel alle glechhäufg ud begrezt auf edlches Itervall (wr spreche vo eer Glechvertelug), so sd de Itervallgreze gerade durch x ± s 3 abschätzbar. Sd de Beobachtuge vo alle symmetrsch ud cht glechmäßg um e Mttelwert vertelt (wr spreche vo eer Normal- bzw. Gaußvertelug), so st der Werteberech vo durch x ± 3s abschätzbar. De Begrüdug für dese Sachverhalte lefert de Wahrschelchketsrechug (sehe Kaptel II). Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 36 HTW des Saarlades (0/0)

40 Stchprobekewerte..6 Der Varatoskoeffzet De Streuug ud Stadardabwechug beutze wr als Bezugspukt des arthmetsche Mttels ud messe de mttlere Abwechug vom Mttelwert. Für ee Mttelwert x = 0000 st de Stadardabwechug s = 0 ee gerge Abwechug, für ee Mttelwert x = stellt s = 0 ee große Abwechug dar. Um de Größe der Stadardabwechug relatv zum Mttelwert beurtele zu köe, verwedet ma de Varatoskoeffzete: Def.: v s = Varatoskoeffzet x v st e vom Mttelwert beregtes Streuugsmaß. v eget sch besoders zum Verglech der Streuuge verschedeer Meßrehe. Für usere bede Bespele obe erhalte wr: 0 0 v = = 0, 00 ud v = = Egeschafte des arthmetsche Mttels ud der Stchprobestreuug - Hwese zur praktsche Berechug Es gelte folgede Aussage:. De Summe der Abwechuge eer Mege vo Zahle vo hrem arthmetsche Mttel st glech Null: j= ( x j x) = 0. De Summe der quadratsche Abwechuge der Zahle vo hrem arthmetsche Mttel st kleer als de Summe der quadratsche Abwechuge vo eer belebge adere Zahl: ( x j x) ( x j a) j= j= für alle a R 3. Werde de Ezelwerte eer leare Trasformato uterzoge: * x = a x b, j j + so uterlegt der Mttelwert der gleche Trasformato: * * es glt: x = x j = a x + b. j= Für de Streuug s * der trasformerte Date erhält ma: s * = a s. Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 37 HTW des Saarlades (0/0)

41 Stchprobekewerte Bespel: Ee Autovermetug berechet für hre Wage ee feste Tagesgebühr vo b = 40 EURO ud ee Klometersatz vo a= 0,40EURO/km. Ferer se bekat, dass de Wage täglch m Durchschtt x = 50 km zurücklege be eer Stadardabwechug vo s = 5 km. De durchschttlche täglche Eahme pro Wage ergebe sch da als * x = a x + b = 0, = 40 EURO be eer Stadardabwechug vo s*=a s =0,40 5= EURO. 4. Stadardserug: De learetrasformato x Es glt: x * = 0 ud s * =. * = x x s ee wr Stadardserug. Zur Berechug vo x ud s: 5. Es berechet sch lechter s = = x x 6. Hat ma scho Werte x ud s für x,...,x ermttelt ud kommt och e Wert x + hzu, so sd folgede Formel ützlch: x = ( x x) s+ = ( + )( x + x) + s () () 7. Hat ma für zwe Stchprobe vom Umfag ud Mttelwerte x, x ud Streuuge s, s gegebe, so bereche sch der Mttelwert ud de Streuug der gemesame Stchprobe vom Umfag = + gemäß: x = ( x + x ) ( + ) ( x x) + ( x x) ( ) s + ( ) s s = + (4) + + (3) Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 38 HTW des Saarlades (0/0)

42 Stchprobekewerte Bespel.: E Uterehme stellt zwe Betrebstele Refe glecher Sorte her. Es st de durchschttlche Lebesdauer vo 00 Refe zu bestmme, wobe 0 m erste ud 80 m zwete Betrebstel utersucht werde. Für de bede Betrebstele ergab sch: x = 4 Jahre bzw. x = 5 Jahre ud s = 0.0 ud s = De mttlere Lebesdauer der Gesamt-Stchprobe vo 00 Refe beträgt da: x = ( ) 00 = 4, 8 Jahre. Bereche Se de Streuug für das Bespel! a) Bewese Se de Formel (3) ud (4)! b) Zege Se, dass () aus (3) ud () aus (4) folgt!.3 Maßzahle für klassfzerte Date Alle o.g. Maßzahle ka ma ur bereche, we de Stchprobedate x,...,x bekat sd. Be stetge Zufallsgröße legt häufg ur och de Klassehäufgketstabelle vor, aber cht aber de Stchprobe. I desem Fall werde de o.g. statstsche Maßzahle aus der Klassehäufgketstabelle geschätzt (= äherugswese bestmmt). We das gescheht, wrd m folgede beschrebe..3. Das arthmetsche Mttel Bestze Beobachtugswerte de gleche umersche Wert a, so empfehlt es sch, se be der Mttelwertbldug zusammezufasse. Ist e dskretes Merkmal ud = { a,..., a k }, so glt offebar: k x = x = a H ( a ) = a h ( a ) = = = k Ist e stetges Merkmal ud lege de Date klassfzerter Form ud als Urlste vor, so glt offebar: x = x j = k j= = x H ( K ). Dabe st x der Mttelwert der Klasse : x = H ( K ) x K j x j. Legt de Urlste cht mehr vor, soder ur och de Klasseetelug, so verwedet ma Prof. Dr. rer. at. B. Grabowsk 39 HTW des Saarlades (0/0)