QUADRATISCHE FUNKTIONEN

Transkript

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2 QUADRATISCHE FUNKTION DARSTELLUNG MIT DER FUNKTIONSGLEICHUNG Allgemeine Form - Vorzeichen von a gibt an, ob die Funktion nach oben (+) oder unten (-) geöffnet ist. Der Wert (Betrag) von gibt an, ob die Funktion enger 1 oder weiter 1als eine Normalparabel ist. - Schnittstelle mit der y-achse - verschiebt die Symmetrieachse /2 Scheitelpunktsform ² - Vorzeichen von a gibt an, ob die Funktion nach oben (+) oder unten (-) geöffnet ist. Der Wert (Betrag) von gibt an, ob die Funktion enger 1 oder weiter 1als eine Normalparabel ist. sind die Koordinaten vom Scheitelpunkt der Funktion. Achtung Wechsel des Vorzeichens von!

3 QUADRATISCHE FUNKTION DARSTELLUNG MIT DER FUNKTIONSGLEICHUNG Allgemeine Form Scheitelpunktsform ²

4 QUADRATISCHE FUNKTION Was sind quadratische Funktionen? Die höchste Potenz ist das Quadrat (²). Es sind Funktionen mit einem lokalen Extremwert. Diesen bezeichnen wir als Scheitelpunkt der Funktion. Wie an jedem anderen lokalen Extremwert ändert sich die Monotonie. Zur Bestimmung des Scheitelpunktes benötigen wir zunächst die Symmetrieachse x s der Funktion. Das ist die x-koordinate vom Scheitelpunkt und die y-koordinate erhalten wir, wenn der Funktionswert f(x s )an dieser Stelle berechnet wird. Dabei gilt / 2, dann berechnen. So erhalten wir den Scheitelpunkt. Bei der Darstellung in Scheitelpunktsform geht es einfacher,.

5 QUADRATISCHE FUNKTION Nullstellen von quadratischen Funktionen, andere Schnittstellen und Schnittpunkte Nullstellen, sind die Stellen einer Funktion wo der Funktionswert (y) gleich Null ist. Bei der Berechnung dieser Stellen auf der x-achse gehen wir davon aus, 0. (Ersetzten). Beispiel 2 ² 4 16, hier wird durch die 0 ersetzt. 0 2 ² 4 16, nun kann diese quadratische Gleichung mit der p, q Formel gelöst werden 1 4und 2 2. Dies sind die Nullstellen der Funktion. Die Schnittpunkte mit der x-achse erhalten wir, wenn die y-koordinate ergänzt wird und Die Schnittstelle mit der y-achse lässt sich hier sehr einfach ablesen. 16, damit schneidet die Funktion die y-achse an -16. Der Schnittpunkt 0 16.

6 Scheitelpunkt der Funktion / Extremwert der Funktion Der Scheitelpunkt stellt den Extremwert dar (Maximum oder Minimum). Hier ändert sich die Monotonie der Funktion. Wir benötigen dazu den x-wert vom Scheitelpunkt, Symmetrieachse x s. Bei einer nach unter geöffneten Funktion (a ist negativ) haben wir ein Maximum. Umgekehrt bei einer nach oben geöffneten Funktion (a ist positiv) ein Minimum.

7 Maximum Es folgt die Monotonie, bis zu Symmetrieachse steigend 2 fallend 2 Minimum Es folgt die Monotonie, bis zu Symmetrieachse fallend 2 steigend 2

8 Lage der Funktionen Zunächst untersuchen wir die Lage zwischen einer linearen und einer quadratischen Funktion. Immer, wenn es um die Beziehungen zwischen Funktionen geht, bedeutet es, die Funktionen werden gleichgesetzt. Wir nehmen an, es gibt gleiche Funktionswerte, diese sind dann gleich. Sollte es dann keine Lösung geben, so haben wir keinen Schnittpunkt, bei einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt und bei zwei Lösungen gibt es zwei Schnittpunkte.

9 2 4und ,nach dem Auflösen zur Normalform werden wir feststellen, es gibt keine Lösung. Damit ist die lineare Funktion bezüglich der quadratischen Funktion eine Passante. (keinen gemeinsamen Punkt) y f(x)=x²-2x y=2x x -1-2

10 2 1und ,nach dem Auflösen zur Normalform werden wir feststellen, es gibt genau eine Lösungen 1 2. Um den Schnittpunkt zu bestimmen, müssen wir nun noch den Funktionswert, an dieser Stelle berechnen, also ist der Schnittpunkt der beiden Funktionen. Es spielt keine Rolle mit welcher Funktion wir diesen Funktionswert bestimmen, nimmt man beide Funktionen hat man ein Kontrolle! Damit ist die lineare Funktion bezüglich der quadratischen Funktion eine Tangente. (einen gemeinsamen Punkt) y f(x)=x²-2x+3 y=2x x

11 2 3und ,nach dem Auflösen zur Normalform werden wir feststellen, es gibt genau zwei Lösungen 1 0und 2 4. Um die Schnittpunkte zu bestimmen, müssen wir nun noch die Funktionswerte an den diesen Stellen berechnen, also 1 3und ; sind die Schnittpunkte der beiden Funktionen. Es spielt keine Rolle mit welcher Funktion wir diese Funktionswerte bestimmen, nimmt man beide Funktionen hat man eine Kontrolle! Damit ist die lineare Funktion bezüglich der quadratischen Funktion eine Sekante. (zwei gemeinsame Punkte) y y=2x f(x)=x²-2x x

12 Lage der Funktionen Jetzt untersuchen wir die Lage zwischen zwei quadratischen Funktion. Auch hier werden die Funktionen gleichgesetzt. Wir nehmen auch hier an, es gibt gleiche Funktionswerte, diese müssten dann gleich sein. Sollte es dann keine Lösung geben, so haben wir keinen Schnittpunkt, bei einer Lösung gibt es einen Schnittpunkt und bei zwei Lösungen gibt es zwei Schnittpunkte.

13 2 3und ² 2 3,nach dem Auflösen (eventuell) zur Normalform werden wir feststellen, es gibt keine Lösung. Damit gibt es auch keinen Schnittpunkt zwischen den Funktionen y f(x)=x²-2x x g(x)=-x²+x -1-2

14 2 3und ² 2 3,nach dem Auflösen (eventuell) zur Normalform werden wir feststellen, es gibt eine Lösung. 1, das ist die Stelle wo sich beide Funktionen schneiden. Der Schnittpunkt wird berechnet, wenn wir den Funktionswert an dieser Stelle bestimmen. Es bleibt offen für welche Funktion wir uns entscheiden, der Schnittpunkt y f(x)=x²-2x+3 g(x)=x²+x x

15 8 y 2 3und ,nach dem Auflösen (eventuell) zur Normalform werden wir feststellen, es gibt zwei Lösungen. 1 0und 2 1,5, das sind die Stellen wo sich beide Funktionen schneiden. Die Schnittpunkte werden berechnet, wenn wir den Funktionswert an diesen Stellen bestimmen. Es bleib offen für welche Funktion wir uns entscheiden, ,5 2, ,5 2,25 sind die Schnittpunkte. 7 f(x)=x²-2x x g(x)=-x²+x+3-2