Beispiel 4: Theorie II. Ordnung

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Jutta Heintze
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1 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 1 von 10 Beispiel 4: Theorie II. Ordnung Nachweis: Stabilität des Systems nach Theorie II. Ordnung. Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung, ohne Imperfektion F Ed = kn im rechten Stiel, sonst alle N, M, V = 0 Alle Stäbe HEB 500, S 235

2 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 2 von Allgemeines Grundsätzlich darf man den Nachweis nach Theorie II. Ordnung führen, der dann den Stabilitätsnachweis ersetzt. Dabei gibt es 2 Möglichkeiten: 1.1. Nach (7(a)): Setzt man die Imperfektionen für das System und Bauteile (Riegel und Stützen) gleichzeitig an, brauchen keine Stabilitätsnachweise für Bauteile mehr geführt werden Nach (7(b)): Setzt man die Imperfektionen nur für das System an, müssen noch Stabilitätsnachweise für die Bauteile geführt werden. Hier werden nur Systemimperfektionen angesetzt. Hinweis: Man muss eine Berechnung nach Theorie II. Ordnung durchführen, wenn die Gleichung (5.1) nicht erfüllt ist. Dazu benötigt man, was allerdings ein erheblicher Aufwand ist, bereits die Knicklast des Systems F cr! cr = F cr F Ed 10 für die elastische Berechnung cr = F cr F Ed 15 für die plastische Berechnung Gl. (5.1) mit: E = kn/cm² I y = cm 4 L cr = 840 cm (Verfahren siehe Beispiel 2)

3 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 3 von 10 Nach (5) α cr < 3,0 muss eine genauere Betrachtung nach Theorie II. Ordnung erfolgen. Hinweis: Den Teil bis hier kann man sich ersparen, wenn man sofort nach Theorie II. Ordnung rechnet! 2. Stab-Imperfektionen nach Abschnitt Anfangsschiefstellung nach (3) a): ϕ = ϕ 0 α h α m Gl. (5.5) Dabei ist: der Ausgangswert ϕ 0 = der Abminderungsfaktor für die Höhe h von Stützen 2 3 α h = 2 h 1,0 hier: α h = 2 3 = 1,15 α h = 1 der Abminderungsfaktor für die Anzahl der Stützen in einer Reihe α m = 0, m hier: α m = 0, = 1 Im vorliegenden Fall ergibt sich somit eine Anfangsschiefstellung von: ϕ = = 1 200

4 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 4 von 10 Anstatt der Schiefstellung wird eine horizontale Ersatzkraft nach DIN EN , Bild 5.4 ausgesetzt: H Ed = kn = 25 kn 200 Vorkrümmung nach (3) b) und (6) Bei Tragwerken, die empfindlich auf Verformungen reagieren, sind in der Regel für jedes Bauteil mit Druckbeanspruchung zusätzlich lokale Vorkrümmungen anzusetzen, wenn folgende Bedingung gilt: λ > 0,5 A f y N Ed Gl. (5.8) Betrachtung der rechten Stütze: Schlankheitsgrad: ϵ = 235 f y λ = L cr i 1 λ 1 = 235N/mm² = 1,0 1,0 235N/mm² Gl. (6.50)

5 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 5 von 10 λ 1 = π E f y = 93,9 ϵ = 93,9 1,0 = 93,9 λ = L cr λ 1 i y = 300cm 93,9 21,2cm = 0,151 Normalkraft N Ed: N Ed = F Ed + H Ed h l 3 m = kn + 25 kn = kn 5 m Nach Einsetzen der Werte wird ersichtlich, dass die Ungleichung nicht erfüllt ist. 239 cm² 23,5 kn/cm² λ = 0,206 < 0,5 = 0, kn Deshalb muss keine Vorkrümmung berücksichtigt werden. Für die linke Stütze und den Rahmenriegel braucht diese Bedingung nicht geprüft werden, da keine Normalkraft N Ed einwirkt.

6 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 6 von Ersatzsystem (1) M B = 0 0 = H Ed 3,0m + A V 5,0m A v = H Ed 3,0m 5,0m = 25kN 3,0m 5,0m = 15 kn (2) V = 0 0 = F Ed + A V + B v = 0 0 = 5.000kN + ( 15kN) + B v B v = 5.015kN (3) M C,rechts = 0 0 = F Ed 5,0m B V 5,0m + B H 3,0m B H = (B V F Ed ) 5,0m 3,0m = (5.015kN 5.000kN) 5 = 25 kn 3 (4) H = 0 0 = H Ed A H B H A H = 25kN 25kN = 0

7 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 7 von 10 1-Zustand zur Berechnung der weiteren Schiefstellung

8 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 8 von 10 Überlagerung der Biegemomente des Lastzustands und des 1- Zustands: f = M 0 M EI dx f = f = 1 EI 1 3 M M 0 l R + 1 EI 1 3 M M 0 l S 500 cm kn 300 kncm kncm cm cm cm kn 300 kncm kncm cm cm4 f = 0,26 cm Näherung für Schnittgrößen nach Theorie II. Ordnung in der rechten Stütze q = f II f I = 0,26 300cm 200 = 0,17 II M y,ed I = M y,ed 1 1 q = 75 knm 1 1 0,17 = 90,36 knm

9 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 9 von 10 Schnittgrößen Theorie ll. Ordnung: Nachfolgend muss noch der Stabilitätsnachweis für die rechte Stütze als Einzelbauteil (Ersatzstab mit Knicklänge L = 3,0m nach EN (a)) nach EN geführt werden. Daran schließen sich dann die Tragfähigkeitsnachweise auf Querschnittsebene an (vgl. Beispiel 1).

10 Beispiel: Theorie II. Ordnung Blatt: Seite 10 von 10 Referenzen [1] DIN EN : Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten Beuth Verlag, 2005 [2] Schneider Bautabellen für Ingenieure Werner Verlag, 16. Auflage, 2004

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