Mechanisch-thermische. Materialeigenschaften VL # 22

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1 Mechanisch-thermische Materialeigenschaften VL # 22 Vladimir Dyakonov dyakonov@physik.uni-wuerzburg.de Experimental Physics VI, Julius-Maximilians-University of Würzburg und Bayerisches Zentrum für Angewandte Energieforschung e.v. (ZAE Bayern) 3 Februar 202

2 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Einschub: Berechnung mittlerer Auslenkung Für den Zähler

3 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Einschub: Berechnung mittlerer Auslenkung Die Integrale mit den ungeraden Potenzen in u verschwinden aus Symmetriegründen Wir erhalten für die mittlere Auslenkung:

4 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Mittlere Auslenkung Mit zunehmender Temperatur werden höhere Schwingungszustände besetzt: N.B. In harmonischer Näherung <u>=0, d.h. die Gleichgewichtsposition der Atome bleibt gleich und wir haben keine thermische Ausdehnung

5 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Thermische Ausdehnung Die normierte Steigung der L(T)-Abhängigkeit nennt man thermische Ausdehnung: Der Volumenausdehnungskoeffizient ist gegeben durch Typische experimentelle Werte für αl liegen bei 0-5 K - bei RT Wir werden gleich sehen, dass für ein anharmonisches Potenzial die Phononenfrequenzen vom Volumen abhängen.

6 wendet, da bei Temperaturänderungen nur ) Veq/) durch T 2= BV B(dV/V 0(dV/V 0 ) 0 )' 2 T der Bulk-Modul Volumenänderung B(dV/V). Hierbei haben wir näher Thermische (vergleiche ausdrücken Zustandsgleichung der Probe dasseigenschaften (3.2.29)) können, mit undeinem ergibt Gleichgewichtsdruck des Kristallgitters thermische dv Ausgang = Ausde V, da Temperaturänderungen nur kleine Volumenänderung von T abhän. Hierbei haben elastischen wir näherungsweise Energie bei Volumenänderung V ' V 0 ver-dv durc Thermische vomder Ausdehnung Gleichgewichtsvolumen thermische Ausdehnungskoeffizient abhängen. kann nur dann Die s rkleine Gleichgewichtsdruck Volumenänderungen sich ( U eq /) von rungen T = abhängt, auftreten. B(dV/Vda 0 ) die Wir ' B(dV/V). Frequenzen sehen, Hier de nänderung Gleichgewichtsdruck dv durch be in eichgewichtsvolumen Schwingungsfrequenzen bei eine gt, da diemit Frequenzen wendet, Hilfe thermodynamischer daabhängen. bei 2 BV einem 0(dV/V von spannungsfreien T abhängt, Zustandsgrössen Die 0 ) 2 ausdrücken Zustand dabefindet. die Freque könne Thermo leitung der Temperaturänderungen freien Energie Anharmonizität F nach dem Volumen, Normalschwingungen zeigen: nur macht kleine d.h. ds Gleichgewichtsvolumen schwinden abhängen. muss. Wir können Diedie Anharmonizitä Beziehung der Schwingungsfrequenzen 2 Mit F = bei U einer TS erhalten Volumenänderung wir F = bem ie Anharmonizität dass dermacht Gleichgewichtsdruck sich also in einer von TÄnde- er= Volumenänderung abhängt, 2 U T da T erungen nur T S = U vomkleine Gleichgewichtsvolumen Volumenänderungen F U TS erhalten wir F bemerkbar. T + p und damit schließlich p = U T 3 T T S abhängen. auftreten. Die Anh W p T von T abhängt, da die Frequenzen = der Normalschwi. Da ferner Mit F dq = T Es gilt TdS dq = du + pdv und damit T S = U = U TS erhalten wir F T + p und damit schließlich p = = T U F T S T 4 V T. T S T. Da fern T Das gleiche Ergebnis T. Da ferner dq = du + pdv = TdS gilt, folgt T S T erhalten wir, indem w lt TdS dq = du 2 Mit F = U TS erhalten + pdv und  n e hw(n+/2)/k damit T S T BT = V e wir F U hw/2k T V BT /[. = U V F e hw/k BT ] eines gleiche. T T T nzen = U benutzen, um den thermischen T bei + p und damit schließlich p = F Ausdehnungskoeffizie einer T Volumenänderung nächst die freie Energie als bemerkbar. Funktion T der. inneren Energ T Ergebnis T S erhalten Energie wir, F osc indem = k B Twir ln Zvon osc = der k B T ln( Zustandssumme e hw/k BT )+ n+/2)/k = U B T = e hw/2kbt /[ damitezu hw/k F = BT U] eq eines +  harmonischen F osc, und der Oszillators Druck zu aus p = V T V = U Es gilt. T + p und damit schließlich p = F TdS = dq = du + pdv U und damit T S T T. T F 3 Es gilt TdS = dq = du + pdv und damit T S osc = k B T ln Z osc = k B T ln( e hw/k BT )+ 2 hw berechnen. Die freie Energ ir von der Zustandssumme Z F = U eq + osz =   F osc, und der Druck zu p = ( F/) n e E T = = U T T S T = U V T V. T V folgt3 Das gleiche Ergebnis erhalten. Dawir, ferner indem dq = wirdu von + pdv der = Zustan TdS hw(n+/2)/k 4 T V B n/k B T Das gleiche Ergebnis erhalten wir, indem= wir von ließlich p = T = F e hw/2k T. s harmonischen  n e Oszillators. BT /[ e hw/k 2 BT 3 Z ] eines T Tharmonischen Oszi hw(n+/2)/k T ausgehen BT p = gie F osc = k B T ln Z osc = k B T ln( = e e hw/2k und BT daraus /[ e seine hw/k c BT freie ] Walther-M eines harm d damit 2 hw berechnen. T S Energie Die freie = Energie k B T lndes Z osc Festkörpers = k B T ln( ergibt e hw/k sich BT )+ T = U 2 c Walther-Meißner-Institut hw b V T V hw/k 4U 0 BT T )+ T 2 hw T 0 berechnen. U(T0, V) 5. Die it zu F = U eq +  F osc, und. 0 der Druck zu p = ( F/) T. Mit (vergleiche (6..29)) ( F ' B(dV/V). Hierbei haben wir näherungsweise V ' rungen der Schwingungsfrequenzen bei einer Volu bhängen. Die Anharmonizität macht sich also in eine ( F/) damit T. zu F = U eq +  F osc, und der Druck zu p = wir, indem wir von der Zustandssumme Z osz =  n e ( U eq /) T = B(dV/V 0 ) ' B(dV/V). Hierbei haben w det, it einem da bei Ausgangsvolumen Temperaturänderungen von Vnur 0. Da kleine wir Volumenä die Ände gen der Schwingungsfrequenzen bei einer Volumenänderu

7 U V T folgt 3 V nächst die freie Energie 2 als Funktion der inneren 3 Energie aus. Mit F = U Thermische Eigenschaften Z U des Kristallgitters T V folgt3 2 T T 3 p = 4U 0 T Z Thermische Ausdehnung T TT p = 4U 0 T 2 T 0 U(T0, V) Z T T T 0 U(T0, V) 5. 0 T p = 4U 0 Mit (vergleiche (6..29)) T T T 0 U(T0, V) 5. Mit (vergleiche (6..29)) 0 hui = U eq +  Mit (vergleiche (6..29)) hui = U eq +  2 hw 2 hw hw qr +  hwqr qr + k  e B T hwqr k e B T erhalten hui wir= dann U eq nach + Âeiniger 2 hw Rechnung hw qr +  4 hwqr erhalten wir dann nach einiger Rechnung k e B T 4 p = B dv erhalten p wir = dann B dv Vnach einiger Rechnung 4 V   p = B dv 2 hw w 2 hw w qr h Â. hwqr qr h k  e B T. hwqr k e B T Hierbei ist B = V( 2 U V  hw w eq / 2 ) T der Bulk-Modul qr h (vergleiche Â. (3.2.29)) und hwqr Volumenänderung Hierbei ist B = V( der 2 U eq Probe / 2 mit ) T der einem Bulk-Modul Ausgangsvolumen k e(vergleiche B T von (3.2.29)) V 0. Daund wir elastischen Volumenänderung Energieder bei Volumenänderung Probe mit einem Ausgangsvolumen dv durch von V 0. Da wir d elastischen Hierbei ist Energie B = V( bei 2 UVolumenänderung eq / 2 ) T Bulk-Modul durch(vergleiche 2 BV 0(dV/V 0 ) 2 ausdrück sich ( U 2 BV 0(dV/V(3.2.29)) 0 ) 2 eq /) T = B(dV/V 0 ) ' B(dV/V). Hierbei haben wir näherungsw ausdrück und wendet, sich Volumenänderung ( U eq da/) bei T Temperaturänderungen = B(dV/V Probe 0 ) mit ' B(dV/V). einemnur Ausgangsvolumen kleine Hierbei Volumenänderungen haben wir vonnäherungsw V 0. Da wir au dass wendet, derda Gleichgewichtsdruck bei Temperaturänderungen von T abhängt, nur kleine da Volumenänderungen die Frequenzen2 Nor auf

8 Anharmonisches Für ein anharmonisches Potenzial: Potenzial Grüneisen-Parameter hängen die Phononenfrequenzen vom Volumen ab. Setz wir den obigen Thermische Ausdruck (6.3.3) Eigenschaften für p in den Ausdruck des für Kristallgitters den thermischen Ausdehnung Für koeffizienten ein anharmonisches Potenzial hängen die Phononenfrequenzen vom Volumen ab. Setze wir den obigen Thermische Ausdruck (6.3.3) Ausdehnung für p in den Ausdruck für den thermischen Ausdehnung Abschnitt 6.3 koeffizienten a L = L = FESTKÖRPERPHYSIK p = = p.(6.3.2 a L = L T p L = 3V T p 3V p T T V 3B p = = T V p.(6.3.2 ein, so erhalten L wir: T p 3V T p 3V p T T V 3B T V oder für den Beitrag der Mode (q, r) ein, so erhalten wir: a L = 3B Â qr hw T n r(q). (6.3.2 a L c = 3B Â V,r (q) = qr hw T n r(q). (6.3.2 Hierbei α 0 haben nur wir wenn V hw qr B = die Moden T n r(q). V p T benutzt volumenabhängig und n r (q) ist sind! die Planck-Verteilung. Für die spezifisc Wärme erhielten wir (vergleiche (6..3)) Hierbei Man definiert haben wir nun B = den Grüneisen-Parameter V p T benutzt und n r (q) ist die Planck-Verteilung. Für die spezifisch Wärme Wie erhielten definieren wir (vergleiche (6..3)) c V = den Grüneisen-Parameter hui = einer Mode wie folgt: V T V Â hw qr (6.3.2 hwqr c V = V hui = T k e B T V w V T V Â r (q) hw qr g = (ln w r(q)) (6.3.2 hwqr w r (q) c T Walther-Meißner-Institut V k e B (ln V) T und c Walther-Meißner-Institut

9 und g Thermische Eigenschaften des Kristallgitters w r (q) V Thermische Ausdehnung g V w r (q) w r (q) = (ln w r(q)) (ln V) w r (q) = (ln w r(q)) (ln V) (6 und Gewichteter  g Mittelwert c V,r (q) von γ ist der Gesamt-Grüneisen-Parameter: g. (6 c V,r (q)  g c V,r (q)  g. Mit diesen Definitionen können wir den thermischen Ausdehnungskoeffizienten schreibe  c V,r (q) Mit diesen Definitionen können a V wir den thermischen Ausdehnungskoe a L = gc V 3B Setzen wir den Ausdruck (6.3.28) für den Grüneisen-Parameter in (6.3.3) ein, so erhalte nach Multiplikation mit V die Zustandsgleichung a V = gc V a L = gc V 3B = gc V B. (6 B. pv = BdV + gu(t). (6

10 L 3B Â qr T r Thermische Eigenschaften des Kristallgitters V w Hierbei haben wir B = r (q) g V p T benutzt = (ln und w n r(q)) r (q) ist die Planck-Verteilung. Fü Wärme Thermische w erhielten wir Ausdehnung r (q) (ln V) (vergleiche (6..3)) und Abschnitt 6.3 g c V = V Â hui = T V Â g V c V,r (q) c T oder für den Beitrag der Mode (q, r) Â c V,r (q) = c V,r (q) V hw qr T n r(q). e hw qr FESTKÖRPERPHYSIK hwqr k B T Man definiert nun den Grüneisen-Parameter. Walther-Meißner-Institut Mit diesen Definitionen können wir den thermischen Ausdehnungskoeffizien a L = gc V 3B g V w r (q) a V w r (q) = gc V B. = (ln w r(q)) (ln V) Setzen wir den Ausdruck (6.3.28) für den Grüneisen-Parameter in (6.3.3) ei nach Multiplikation und mit V die Zustandsgleichung

11 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters 46 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 6: Thermische Eigenschaften Thermische Ausdehnung Silizium C α L (0-6 K - ) T (K) Es is nicht immer möglich ist, den Grüneisen-Parameter durch Messung der thermischen Ausdehnung und der spezifischen Wärme zu bestimmen. Besser ist die direkte Messung der Frequenzverschiebung der Gitterschwingungen bei Änderung des Volumens. Zum Beispiel kann der Grüneisen-Parameter der optischen Phononen zuverlässig bestimmt werden, indem man die Druckverschiebung von Raman-Spektren misst. Abbildung 6.3: Temperaturabhängigkeit des Längenausdehnungskoeffizienten von Silizium (nach Y. Okada, Y. Tokumaru, J. Appl. Phys. 56, 34 (984)). Wir möchten schließlich noch darauf hinweisen, dass der Längenausdehnungskoeffizient für bestimmte Kristalle ein kompliziertes Verhalten zeigen kann. Die thermischen Ausdehnungskoeffizienten in unterschiedliche Kristallrichtungen können unterschiedlich groß sein. Ferner kann der Längenausdehnungskoeffizient als Funktion der Temperatur sein Vorzeichen wech-

12 Dabei sorgt das Minuszeichen dafür, dass die Wärmeleitfähigkeit keine Gleichgewichtsgröß Thermische Eigenschaften des Kristallgitters raturgradienten getrieben und der Wärmetran Wärmeleitfähigkeit In Festkörpern wird Wärme sowohl durch Phononen als auch durch Elektronen transportiert Definition der Wärmeleitfähigkei In Metallen überwiegt üblicherweise der Beitrag der Elektronen. Wir definieren die Wärmeleitfähigkeit k eines Sind Isolatoren schlechte Wärmeleiter? Nein! schen treibendem Temperaturgradient rt un Bei tiefen Temperaturen ist die thermische Leitfähigkeit von einigen kristallinen Isolatoren (z.b. Al 2 O 3, SiO 2 ) größer als diejenige von Cu. J h = k rt.

13 6.4. Definition Thermische der Wärmeleitfähigkeit Eigenschaften des Kristallgitters Wir definieren Wärmeleitfähigkeit die Wärmeleitfähigkeit k eines Festkörpers als Proportiona schen treibendem Temperaturgradient rt und resultierender Wärmestrom Wir definieren die Wärmeleitfähigkeit κ eines Festkörpers als Proportionalitätskonstante zwischen treibendem Temperaturgradient T und resultierender Wärmestromdichte Jh: 248 R. GROSS UND A. MARX Kapitel 6: Thermische Eigenschaften J h = k rt. Dabei sorgt das Minuszeichen A dafür, dass die Wärme vom heißen zum ka fließt. Die Einheit der Wärmeleitfähigkeit ist W/m K. Eine Nebenbedingung zu (6.4.) ist üblicherweise die Forderung, dass kein stattfindet. Das heißt, es fließen genauso viele Teilchen von links nach re nach links: J l T = Jr T. Allerdings haben die vomx wärmeren Ende komme höhere mittlere Energie, so dass J l h 6= Jr h. Im Allgemeinen ist ferner k wie portkoeffizient Abbildung 6.4: Schematische eines Festkörpers Darstellung zum Wärmestrom eine tensorielle durch eine Querschnittsfläche Größe. Nur A. Im in isotropen F Zeitintervall t passieren alle Phononen die Querschnittfläche A, die sich in x-richtung bewegen und Skalar. sich innerhalb eines Zylinders der Länge v x t befinden. inneren Energie U des Phononensystems können wir deshalb die Wärmestromdichte schreiben

14 Gleichgewichtswert hni abweicht. Wir wollen nun den Wärmestrom als Funktion de v x weichung (q) = v x ( q) folgt. Hierdurch verschwindet die Summe in (6.4.2). Wir müssen hniunshni zunächst Thermische 0 vom thermischen die Gleichgewicht ausdrücken: Eigenschaften dhni Frage stellen, wie sich in einem bestimmten Raumge des Kristallgitters Ein ändern endlicher kann. Hierzu Wärmestrom existiert nur dann, wenn die mittlere Phononenzah Gleichgewichtswert J hni 0 h,x = tragen zwei Prozesse = hni bei: Erstens können mehr + hni oder weniger. nen in dieses Gebiet abweicht. Wir wollen nun den Wärmestrom als Funktio weichung Boltzmann-Transporttheorie V Â hinein- hw(hni statt hni dt hinausdiffundieren. 0 ) v x. t Zweitens können Phononen t durch D( Phononen-Prozesse hni hni 0 invom andere thermischen Phononen zerfallen. Gleichgewicht Wir können Diffusion ausdrücken: also schreiben: Zerfall Diese Gleichung stellt einen Spezialfall der B Wir müssen dhni uns J h,x = V Â zunächst die Frage stellen, wie hni sich in einem bestimmten Raumg = hni hw(hni + hni hni 0. (6. änderndt kann. Hierzu t tragen zwei t Prozesse ) v x. bei: Erstens können mehr oder weniger P nen in dieses Gebiet hinein- auch Diffusion statt zurhinausdiffundieren. Beschreibung Zerfall Zweitens des Ladungstransport können Phononen durch Abschnitt 6.4 FESTKÖRPERPHYSIK Phononen-Prozesse Diese Gleichung stellt ineinen andere Spezialfall Phononen der zerfallen. Boltzmann-Transportgleichung Wir können also schreiben: dar, die wir spä Wir auch müssen zur Beschreibung uns zunächst Wir die Frage stellen, wie hni sich in einem bestimmten R änderndhni kann. Hierzu tragen zwei Prozesse bei: Erstens können mehr oder wenig = hni des Ladungstransports werden im Folgenden + hni in Festkörpern verwenden nur so genannte werden. st Wir werden im Folgenden nen in dieses dt Gebiet t hinein- zeitlich nur so stattnicht genannte t hinausdiffundieren. ändert, stationäre. Zustände d.h. dhni behandeln, bei denen sich( Zweitens können Phononen d Diffusion Phononen-Prozesse zeitlich nicht ändert, in d.h. andere dhni dt = 0. Wir werd machen. Das heißt, wir beschreiben dt = Phononen 0. den Wir Zerfall werdender zerfallen. ferner Phononen Wir für diedurch können zeitliche eine also Änderung einzige mittlere schreiben: der Pho Ze nenbesetzungszahl fallszeit t, die unabhängig durch Zerfallsprozesse von der Energieeinen ist. Wir einfachen sehen, dass Relaxationsansatz die Zerfallsrate proportion Diese zur Abweichung Gleichung stellt einen Spezialfall der Boltzmann-Transportgleichung dar, die wir s auchdhni zur Beschreibung = hni vom thermischen des Ladungstransports + hni Gleichgewicht ansteigt. in Festkörpern verwenden werden. Der Diffusionsterm hni hängt hni mit dem. Wir dt im Folgenden t = 0 Temperaturgradienten zusammen. In nur hni so genannte t stationäre Zustände hni behandeln, hni bei denen (6. t sic Diffusion t Zerfall Zerfall = 0 einem Zeitinterva Dt werden alle Phononen, die sich ursprünglich an der Stelle x v x Dt befunden haben, am O zeitlich x ankommen. nicht ändert, Wir können d.h. deshalb dhni dt = t 0. schreiben: Wir werden ferner für die zeitlichet Änderung der P Diese nenbesetzungszahl Gleichung stellt durch einen Zerfallsprozesse Spezialfall c Walther-Meißner-Institut Zerfall der einen Boltzmann-Transportgleichung einfachen Relaxationsansatz dar, die auch zur hni Beschreibung des Ladungstransports in Festkörpern verwenden werden. = lim Wir werden hni t Dt!0 im Folgenden hnidt = nur hni [hn(x v xdt)i hn(x)i] so 0 Diffusion genannte stationäre Zustände c behandeln, Walther-Me bei den( t zeitlich nicht Zerfall ändert, d.h. dhni hni t dt = 0. Wir hni = v x = werden 0 T v x ferner für die zeitliche Änderung (6.4. d nenbesetzungszahl durch Zerfallsprozesse x T einen x einfachen Relaxationsansatz c Walther-Meißner-Institut nenbesetzungszahl durch Zerfallsprozesse ein Hierbei haben wir hni durch hni 0 ersetzt, nachdem wir den Temperaturgradienten T x ei

15 rsetzt, nachdem Für kubische wir den oder Temperaturgradienten isotrope Festkörper x einwir einen stationären Zustand und lokales thermisches können wir hv x i =  hw tv 2 hni Für kubische Thermische 0 T folgenden x nnen oder isotrope Eigenschaften Festkörper können des Kristallgitters Setzen wir hv 2 xi = 3 v2 setzen 6 wir die T hv 2 Ausdrücke x. Ausdruck xi = (6.4.4) bis (6.4.6) in (6.4.3) ein, (6.4.7) 3 v2 für setzen 6 die Wärmestrom und erhalten dadurch folgenden Boltzmann-Transporttheorie Ausdruck für die Wärmestrom isotrope Festkörper können wir hv 2 xi = 3 T v2 setzen 6 und erhalten dadurch J k für J h,x = 3V  hw tv 2 hni0 x. die Wärmestrom h,x = 3V  hw tv 2 hni0 T T T x.(6.4.7) x..  hw tv 2 hni0 T (6.4.8) er können Benutzen T wir hv 2 x xi wir = wir. (6.4.8) 3ferner v2 ferner setzen den 6 den undausdruck erhalten c V = dadurch c V V  = hw V  hw T hni0 (vergleiche T hni0 ( trom rden Ausdruck c V = die mittlere freie Weglänge ` = vt ein, so er V 0 Definitionsgleichung  hw T hni0 (vergleiche (6..3)) die ühren T die V  sche hw Wärme T hni0 und führen die mittlere freie Weglänge ` = v (vergleiche (6.4.) folgenden (6..3)) Ausdruck für diefür spezifidie Wärmeleitfähi x. mittlere freie Weglänge ` = vt ein, so erhalten (6.4.8) wir aus unserer g (6.4.) folgenden Ausdruck für die Wärmeleitfähigkeit: Definitionsgleichung (6.4.) folgenden Ausdruck für die Wä Weglänge ` = vt ein, so erhalten wir aus unserer sdruck für die Wärmeleitfähigkeit: k = 3 c V v `. c V = V  hw T hni0 (vergleiche (6..3)) für die spezifie freie Weglänge ` = vt 3 c V v `. v `. k = (6.4.9) ein, so erhalten wir aus unserer n Ausdruck Wirfür sehen, die Wärmeleitfähigkeit: dass die spezifische Wärme der Phononen und deren Gruppe spezifischentscheidende Wärme der Phononen Rolle für unddie deren Wärmeleitfähigkeit Gruppengeschwindigkeit spielt. eine Phononen nah le für diewir optische Wärmeleitfähigkeit sehen, Phononen dass die (6.4.9) spielt. tragen spezifische Phononen deshalb wenig nahe Wärme amzum Zonenrand der Wärmetransport Phononen oder und bei. Ein de

16 sche Wärme und führen die mittlere freie Weglänge ` = vt Definitionsgleichung Thermische Eigenschaften (6.4.) folgenden des Ausdruck Kristallgitters für die Wär Wir können das Ergebnis (6.4.9) auch sehr einfach aus der Boltzmann-Transporttheorie k = 3 c V v `. Spezifische Wärme der Phononen und deren Wir sehen, dass die spezifische Wärme der Phononen und der Gruppengeschwindigkeit spielen eine entscheidende entscheidende Rolle für die Wärmeleitfähigkeit Rolle für die Wärmeleitfähigkeit spielt. Phon optische Phononen Phononen nahe am tragen Zonenrand deshalb oder optische wenig zum Wärmetransp aber auch Phononen dietragen mittlere wenig freie zum Wärmetransport Weglänge bei der Phononen. Diese w Phononen Eine wichtige bestimmt, Rolle spielt die die wir mittlere weiter freie Weglänge unten noch im Detail disk der Phononen. Diese wird durch die Streuprozesse der Phononen bestimmt Kinetische Gastheorie

17 Soll nun Wärme durch das Phononensystem von einer Seite eines Kristalls auf die andere und bei hohen Temperaturen die Abnahme der mittleren freien Weglänge das Verhalten dominiert ergibt Thermische sich folgendes Bild: Eigenschaften des Kristallgitters Wärmeleitzahl von hochreinem NaCl über der Temperatur Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit

18 sche Wärme und führen die mittlere freie Streuung Weglänge an Defekten, ` = Obe vt Definitionsgleichung Thermische Eigenschaften (6.4.) folgenden des Ausdruck Kristallgitters für die Wär Temperaturabhängigkeit der 252 Wärmeleitfähigkeit In Metallen kommt dann als wich die wir erst später diskutieren wo k = 3 c V v `. Wir sehen,. Temperaturabhängigkeit dass die spezifische der spezifischen Wärme einen Wärme der Drei-Phonon-Prozess cphononen V undein der P der Defekte und deren Streuqu Phononen in ein neues umgewan entscheidende 2. Temperaturabhängigkeit Rolle für der diemittleren Wärmeleitfähigkeit freien von spielt. Phon vermuten, Weglänge der Temperatur dass l dieser völlig umso una häu optische Phononen tragen deshalb wenig heißt, diezum Streuwahrscheinlichkei Wärmetransp Streuprozesse Wie bei der Streuung von Phot aber auch die mittlere freie Weglänge Weglänge der Phononen. Diese w länge lässt sich die Streuung v Phononen In Nichtmetallen bestimmt, sind die wichtigsten wir weiter Streuprozesse unten für noch Phononen: im Detail disk Phonon-Phonon-Streuung Kinetische Gastheorie Streuung an Defekten, Oberflächen etc. Lord Rayleigh Phonon-Phonon-Streuung: Defek In monische Effekte Wechselwirkun Streuung an Defekten: von Phononen. Die Wahrschei Rayleigh berechnen. Für den Durchmesser ` des Streuzentrum µ n ph (T). ` µ n D w 4. Wir haben aber in Abschnitt 6.2 Wir können das Ergebnis (6.4.9) auch se undsehr Umklappprozesse einfach ausunters der

19 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Kristallfehler Kristallfehler Wärmeleitzahl = /3 C v l Begrenzung der freien Weglänge l der Phononen durch: (i) Kristallgrenzen Nanostrukturen bzw. sehr tiefe Temp. (ii) unterschiedliche Isotope z.b. Ge, C (iii) chemische Verunreinigungen (iv) Gitterfehler (v) amorphe Strukturen z.b. Glas Bsp: hochreines KF Bsp zu (i): KCl bei tiefer Temp. - Abnahme wg. Abnahme C Abnahme wg. Umklapp- (i) Abnahme C bei tiefer Temp. (ii) l Kristallgröße d Umklapp- Prozesse

20 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit Streuprozesse In Nichtmetallen sind die wichtigsten Streuprozesse für Phononen: Phonon-Phonon-Streuung Streuung an Defekten, Oberflächen etc. K y K y K K K 2 K 2 K 3 K x K 3 K +K 2 K x G Normal-Prozess Umklapp-Prozess Beim Umklapp-Prozess reicht der Wellenvektor des erzeugten Phonons aus der ersten Brillouin.Zone heraus. Die beiden beteiligten Phononen müssen einen ausreichend große Wellenvektor aufweisen.

21 Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Temperaturabhängigkeit der Wärmeleitfähigkeit Abschnitt 6.4 FESTKÖRPERPHYSIK 253 Abbildung 6.5: Wärmeleitfähigkeit von Silizium. Links: hochreines Si (nach C.J. Glassbrenner, G. A. Slack, Phys. Rev. 34, 058 (964)). Rechts: Hochreines natürliches Silizium (nach M. G. Holland, Phys. Rev. 32, 2460 (963); 4 W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 7, 209 (997)) sowie isotopenreines (99.7%) 28 T ³ Si (nach W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 7, 209 (997)). 0 4 und dann µ e QD/T ansteigt und dann unterhalb 0 3 einer von der Probengröße und Probenreinheit abhängigen Temperatur 0 3 sättigt. (W / m K) (W / m K) Um die Temperaturabhängigkeit von k zu 0 2 erhalten, müssen wir noch die Temperaturabhängigkeit von c V berücksichtigen. Wir haben in Abschnitt 6. gesehen, dass c /T V für T Q 0 D in etwa konstant 0 2 ist und für T Q D proportional zu T 3 verläuft. Für den mittleren Temperaturbereich erhalten Si wir, anhängig vom verwendeten Modell, unterschiedliche T Si Abhängigkeiten für c V. Die Details sind hier allerdings nicht nat Si so wichtig, da die exponentielle T-Abhängigkeit der mittleren freien Weglänge das Verhalten Rechnung dominiert. für 28 Si Insgesamt erwarten Rechnung für nat Si wir folgende Temperaturabhängigkeit 0 der Wärmeleitfähigkeit: T (K) T / D 8 Abbildung 6.5: Wärmeleitfähigkeit von Silizium. Links: hochreines Si (nach C.J. Glassbrenner, G. A. Slack, >< T für T Q Phys. Rev. 34, 058 (964)). Rechts: Hochreines natürliches Silizium D (Ph-Ph-Streuung) (nach M. G. Holland, Phys. k µ Rev. 32, 246 (963); W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 7, 209 (997)) sowie isotopenreines (99.7%) T 28 Si (nach W.S. Capinski, Appl. Phys. Lett. 7, 209 (997)). >: n e Q D/T mit n ' 0 3 für T Q D (Ph-Ph-Streuung). (6.4.20) T 3 für T n Q D (Ph-Defekt-Streuung) und dann µ e Q D/T ansteigt und dann unterhalb einer von der Probengröße und Probenreinheit abhängigen Temperatur sättigt.

22 7.3.3 (ii) Kristallfehler Thermische Eigenschaften des Kristallgitters Isotopeneffekt: statistische Verteilung unterschiedlicher Isotope wirkt wie Gitterfehler 254 R. GROSS UND A. MARX verbesserte Kapitel Wärmeleitung 6: Thermischein Eigenschaften isotopenreinen Materialien Kristallfehler: Fremdatome, Isotopenstreuung Bsp : natürliches Ge = Ge 70 Ge 72 Ge 73 Ge 74 Ge 76 20% 27% 8% 37% 8% (W / m K) (a) (b) (d) (e) (W / m K) J h [00] (a) (b) (c) Bsp 2: natürlicher Diamant = C 2, C 3 ideale Wärmeleitfähig nur für isotopenreines 0 (c) Ge T 3 -Verhalten für T<5K ~ T 3 -Modell für C V 0 2 Ge T (K) T (K) Abbildung 6.6: Wärmeleitfähigkeit von Germanium. Links: hochreines Ge mit unterschiedlic Abbildung 6.6: Wärmeleitfähigkeit von Germanium. Links: hochreines Ge mit unterschiedlicher Akzeptor-Dotierung; (a) 0(a) 3, (b) 0 35, (b) (c) ,,(c) (d) und 6, (e) (d) cm (nach und J.A. (e) Carruthers cm 3 (nach J.A. Carruth et et al., Proc. Royal Soc. Soc (957)). 502 Rechts: (957)). Hochreines Rechts: natürliches Hochreines Germanium natürliches und isotopenreines Germanium und isotopenrein Ge; (a) 99.99%, (b) 96.3%, (c) natürliches Ge (nach V.I. Ozhogin et al., Pisma Zh. Eksp. Teor. Fiz. Ge; (a) 99.99%, (b) 96.3%, (c) natürliches Ge (nach V.I. Ozhogin et al., Pisma Zh. Eksp. Teor. F 63, (996)). 63, (996)).