Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

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1 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2014/2015

2 1 Mengen 2 Relationen Definition Operationen Eigenschaften Äquivalenzrelationen Mehrstellige Relationen 3 Abbildungen 4 Algebraische Strukturen 5 Ordnungen und spezielle Relationen

3 FM2 (WS 2014/15, Geck) 19 Definition und Beispiel Definition 2.1 Mengen der Form R M 1 M k heißen k-stellige Relationen (über M 1,..., M k ). Bemerkungen: zunächst nur binäre Relationen (später weitere) Beispiel 2.2 (Studienergebnisse) Wir betrachten Relationen über folgenden Mengen Veranstaltungen = {RS, Logik, GTI, IS}, Notenwerte = {1.0, 1.3,..., 3.7, 4.0, 5.0} und Notennamen = {sehr gut, gut, befriedigend, ausreichend, nicht bestanden}. Die Ergebnisse von Anna und Bert werden beschrieben durch die Relationen Ergebnisse Anna = {(RS, 1.7), (Logik, 1.0)} und Ergebnisse Bert = {(RS, 3.0), (GTI, 5.0), (GTI, 4.0), (IS, 2.7)} und die Zuordnung von Notenwerten zu Notennamen durch die Relation Noten = {(1.0, sehr gut), (1.3, sehr gut), (1.7, gut),..., (5.0, nicht bestanden)}

4 FM2 (WS 2014/15, Geck) 20 Weitere Beispiele Beispiel 2.3 (Familienbande) Wir betrachten die Mengen Erwachsene = {Homer, Marge, Ned, Maude} und Kinder = {Bart, Lisa, Maggie, Rod, Todd} und darüber die binären Relationen Vater, Mutter Erwachsene Kinder: Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)} und Mutter = {(Marge, Bart), (Marge, Lisa), (Marge, Maggie), (Maude, Rod), (Maude, Todd)}. Bemerkung: Um die Zugehörigkeit eines Paares zu einer binären Relation zu notieren, wird gelegentlich die Infixnotation verwendet: mrn, falls (m, n) R. Beispiel 2.4 (Teilbarkeit) Wir betrachten die Teilbarkeitsrelation auf den natürlichen Zahlen N 0 : T = {(p, n) Es gibt ein q N 0 mit n = pq}. Unter Verwendung des Infixsymbols für T gilt etwa: 3 6, 3 12, 4 12, , 4 13, 8 4

5 FM2 (WS 2014/15, Geck) 21 Operationen: Definition und Beispiel Aus Relationen können durch verschiedene Operationen Relationen abgeleitet werden. Definition 2.5 Zu einer binären Relation R M N ist die Umkehrrelation definiert als Relation R 1 N M mit R 1 = {(n, m) (m, n) R}. Für binäre Relationen R M N und S N P ist die Komposition R S M P definiert als Relation R S = {(m, p) es gibt ein n N mit (m, n) R, (n, p) S} Beispiel 2.6 (Umkehrrelation) Für Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)} gilt Vater 1 = {(Bart, Homer), (Lisa, Homer), (Maggie, Homer), (Rod, Ned), (Todd, Ned)} Beispiel 2.7 (Komposition) Für Ergebnisse Bert Veranstaltungen Notenwerte und Noten Notenwerte Notennamen mit Ergebnisse Bert = {(RS, 3.0), (GTI, 5.0), (GTI, 4.0), (IS, 2.7)} Noten = {(1.0, sehr gut), (1.3, sehr gut), (1.7, gut),..., (5.0, nicht bestanden)} gilt ergibt sich die Komposition Ergebnisse Bert Noten Veranstaltungen Notennamen als {(RS, befriedigend), (GTI, nicht bestanden), (GTI, ausreichend), (IS, befriedigend)}

6 FM2 (WS 2014/15, Geck) 22 Operationen: Kurzaufgaben Zur Erinnerung: Definition 2.8 Zu einer binären Relation R M N ist die Umkehrrelation definiert als Relation R 1 N M mit R 1 = {(n, m) (m, n) R}. Für binäre Relationen R M N und S N P ist die Komposition R S M P definiert als Relation R S = {(m, p) es gibt ein n N mit (m, n) R, (n, p) S} Aufgaben Betrachten Sie die Relation Vater = {(Abe, Homer), (Homer, Bart), (Homer, Hugo), (Bart, Bart Jr.)}. Geben Sie die Umkehrrelation (Vater ) 1 an. Geben Sie die Komposition Vater Vater an. Geben Sie die Relation (Vater ) 1 Vater an. Geben Sie die Relation Vater (Vater ) 1 an.

7 FM2 (WS 2014/15, Geck) 23 Eigenschaften (1/3) Definition 2.9 (Totalität, Eindeutigkeit) Wir betrachten eine binäre Relation R M N. Sie heißt linkstotal, wenn es zu jedem m M ein n N mit (m, n) R gibt; rechtstotal, wenn es zu jedem n N ein m M mit (m, n) R gibt; linkseindeutig, wenn es für alle n N mit (m, n) R und (k, n) R stets m = k gilt; rechtseindeutig, wenn es für alle m M mit (m, n) R und (m, p) R stets n = p gilt. Beispiele 2.10 Die Relation Vater Erwachsene Kinder über den Mengen Erwachsene = {Homer, Marge, Ned, Maude} und Kinder = {Bart, Lisa, Maggie, Rod, Todd}, Vater = {(Homer, Bart), (Homer, Lisa), (Homer, Maggie), (Ned, Rod), (Ned, Todd)}, ist rechtstotal und linkseindeutig, aber weder linkstotal noch rechtseindeutig. Fragen Ist die Teilbarkeitsrelation T = {(p, n) Es gibt ein q N 0 mit n = pq} linkstotal, rechtstotal? linkseindeutig, rechtseindeutig?

8 FM2 (WS 2014/15, Geck) 24 Eigenschaften (2/3) Nun: Beschränkung auf binäre Relationen auf einer Menge M Definition 2.11 (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität) Wir betrachten eine binäre Relation R M M. Sie heißt reflexiv, wenn (m, m) R gilt; irreflexiv, wenn (m, m) R gilt; symmetrisch, wenn (m, n) R stets (n, m) R impliziert; asymmetrisch, wenn (m, n) R stets (n, m) R impliziert; antisymmetrisch, wenn (m, n) R und (n, m) R stets m = n impliziert; transitiv, wenn (m, n) R und (n, p) R stets (m, p) R impliziert (jeweils für alle m, n, p M). Beispiel 2.12 (Teilbarkeitsrelation) Die Teilbarkeitsrelation T = {(p, n) Es gibt ein q N 0 mit n = pq} ist reflexiv (1 1, 2 2,... ) antisymmetrisch transitiv (2 6, )

9 FM2 (WS 2014/15, Geck) 25 Eigenschaften (3/3) Zur Erinnerung: Definition 2.13 (Reflexivität, Symmetrie, Transitivität) Wir betrachten eine binäre Relation R M M. Sie heißt reflexiv, wenn (m, m) R für alle m M gilt; irreflexiv, wenn (m, m) R für alle m M gilt; symmetrisch, wenn (m, n) R stets (n, m) R impliziert; asymmetrisch, wenn (m, n) R stets (n, m) R impliziert; antisymmetrisch, wenn (m, n) R und (n, m) R stets m = n impliziert; transitiv, wenn (m, n) R und (n, p) R stets (m, p) R impliziert (jeweils für alle m, n, p M). Beispiel 2.14 (Vergleichsrelation) Die Relation < N 0 N 0 mit < = {(m, n) es existiert ein c N mit m + c = n} ist irreflexiv (x x) asymmetrisch (x < y y x) transitiv (x < y, y < z x < z)

10 FM2 (WS 2014/15, Geck) 26 Äquivalenzrelationen: Definition, Beispiel Definition 2.15 (Äquivalenzrelation) Eine binäre Relation R auf einer Menge M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Bemerkung: Für jede Menge M existieren (triviale) Äquivalenzrelationen: die Identität id = {(m, m) m M} und die Allrelation all = {(m, n) m, n M}. Interessanter sind die folgende Klassen von Äquivalenzrelationen. Definition 2.16 (Zahlentheoretische Kongruenz) Für jedes k N ist die Kongruenz modulo k die Relation k N 0 N 0, wobei m k n genau dann gilt, wenn m und k denselben Rest bei Division durch k besitzen. Beispiele 2.17 Zwei Zahlen m, n stehen genau dann in Relation m 2 n, wenn sie entweder beide gerade oder beide ungerade sind: 0 2 2, , ; 1 2 4, ,

11 FM2 (WS 2014/15, Geck) 27 Äquivalenzklassen Definition 2.18 Für eine Äquivalenzrelation R auf einer Menge M ist die Äquivalenzklasse [m] R eines Elementes m die Menge zu m äquivalenter Elemente in M: [m] R = {n M (m, n) R}. Beispiel 2.19 Betrachten wir die Äquivalenzrelation 2 auf der Menge N 0, so besitzt diese die Klassen [0] 2 = {2n n N 0 }= {0, 2, 4, 6,... } und [1] 2 = {2n + 1 n N 0 }= {1, 3, 5, 7,... }. Fakt 2.20 Aufgrund der Symmetrie jeder Äquivalenzrelation R auf einer Menge M gilt für alle m, n M, dass genau dann n [m] R gilt, wenn m [n] R ist. Folgerung: m und n sind genau dann äquivalent, wenn sie dieselben Äquivalenzklassen besitzen eine Äquivalenzklasse wird durch jedes ihrer Elemente gleichermaßen beschrieben; die Elemente nennen wir auch Repräsentanten der Klasse

12 FM2 (WS 2014/15, Geck) 28 Äquivalenzklassen und Partitionen Äquivalenzklassen und Partitionen sind eng miteinander verwandt Aufgabe Zeigen Sie, dass für eine Äquivalenzrelation R auf M mit Elementen m, n M gilt: (m, n) R [m] R [n] R =. Fakt 2.21 (Partition und Äquivalenzklassen) Die Klassen einer links- bzw. rechtstotalen Äquivalenzrelation R auf einer Menge M bilden eine Partition von M, den Quotienten M/ R = {[m] R m M} Jede Partition M = {M i i I} einer Menge M induziert eine Äquivalenzrelation R M = {(m, n) es gibt ein i I mit m M i und n M i }. Beispiel 2.22 ({0,..., 11}/ 3 )

13 FM2 (WS 2014/15, Geck) 29 Äquivalenzklassen: Beispiel Q Die rationalen Zahlen Q können durch Bildung von Äquivalenzklassen auf Paaren aus Z Z + konstruiert werden: Definition 2.23 Wir definieren die Äquivalenzrelation auf Z Z + durch (p, q) (r, s) p s = q r. Die Äquivalenzklasse von (p, q) bezeichnen wir durch p q. Es gilt dann Q = (Z Z +)/. Operatoren auf Äquivalenzklassen können über ihre Repräsentanten definiert werden. Beispiel 2.24 (Addition rationaler Zahlen) Für die Klassen p q, p q Q sei die Summe p q + p q definiert als pq +p q qq. Es gilt etwa = 3 6 = 18 = 18 Zu beachten: Wohldefiniertheit der Operatoren (Unabhängigkeit von den Repräsentanten) Beispiel 2.25 (Wohldefiniertheit der Addition) Die Elemente (2, 3) und (4, 6) aus Z Z + repräsentieren dieselbe Klasse 2 3 Q. Es sollte also bei Rechnung mit dasselbe Ergebnis (die Klasse 18 ) herauskommen.

14 FM2 (WS 2014/15, Geck) 30 Äquivalenzklassen: Beispiel Q (Wohldefiniertheit von +) Zu zeigen: Es gelte für Repräsentanten (p, q) (r, s) und (p, q ) (r, s ) (also für die Klassen p q = r p s und q = r s ), dann soll auch p q + p q = pq +p q qq = rs +r s ss = r s + r s gelten. Erinnerung: Die Gleichheit der Klassen gilt genau dann, wenn ihre Repräsentanten (pq + p q, qq ) und (rs + r s, ss ) äquivalent sind. Wir wissen: (a) wegen p q = r s gilt ps = qr (b) wegen p q = r s gilt p s = q r Nachrechnen: (pq + p q)(ss ) = pq ss + p qss (Ausmultiplizieren) = qq rs + p qss (Eigenschaft (a)) = qq rs + qq r s (Eigenschaft (b)) = (rs + r s)(qq ) (Zusammenfassen) Folglich gilt (pq + p q, qq ) (rs + r s, ss ).

15 FM2 (WS 2014/15, Geck) 31 Äquivalenzklassen: Verhältnisse Definition 2.26 Seien R und S Äquivalenzrelationen auf derselben Menge M, dann heißt R Verfeinerung von S, wenn für alle m, n M aus (m, n) R auch (m, n) S folgt. Bemerkung: Obige Bedingung ist äquivalent zu: für alle m M gilt [m] R [n] S. Wenn R feiner ist als S, wird S auch gröber als R genannt. Beispiel 2.27 ({0,..., 11}/ 6 ist Verfeinerung von {0,..., 11}/ 3 )