Die Lösungsmenge besteht aus allen n-tupeln reeller Zahlen x 1

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1 III. Lineare Gleichungssysteme ================================================================= 3. Einführung Definition : Die Gleichungen () a x + x a n x n = b x + x n x n = a ij, b i ( i m, j n) R (m) a m x + a m x a mn x n = b m bilden ein reelles, lineares Gleichungssystem aus m Gleichungen mit n Unbekannten. Ist b i =, i m, dann heißt das System homogen. Die Lösungsmenge besteht aus allen n-tupeln reeller Zahlen x x, die beim...x n Einsetzen jede Gleichung in eine wahre Aussage überführen. Lineare Gleichungen löst man mit dem Additions- und Subtraktionsverfahren. Folgende Fälle sind möglich a) Die Umformungen führen auf eine Gleichung mit einer Unbekannten x i. Dann besitzt das Gleichungssystem genau ein -Tupel als Lösung. b) Die Umformungen führen auf einen Widerspruch. Dann besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. c) Die Umformungen führen auf eine Gleichung mit k > Unbekannten. Dann werden k Unbekannte durch Parameter ersetzt. Man enthält dann unendlich viele parameterabhängige Lösungen.

2 Beispiele : a) Eindeutig lösbares Gleichungssystem () x + 3x + x 3 = 4 3x x 3x 3 = 4x x + 4x 3 = 6 () + 3 4x + x 3 = 8 (4) x x 3 = x x 3 = (5) (4) + (5) 4x = x =,5 x =,5 in (5) x 3 =,5 x =,5 und x 3 =,5 in () x = L = (,5,5) b) Nicht eindeutig lösbares Gleichungssystem () x + x x 3 = 4 x x = x + 3x 5x 3 = 5 () 4x x = Parametrisierung von : x = a x = a (5) x = a und x = a in () x 3 = a 4 L = (a a a 4)a R

3 c) Unlösbares Gleichungssystem () x x + 3x 3 = x + x = 3 3x x + 4x 3 = 4 () 3 x + x = 6 (4) (4) steht im Widerspruch zu L = d) Überbestimmtes Gleichungssystem () (4) x + x = x + x 3 = x + x 3 = x + x + x 3 = 3 x x = (4) () + (4) x =,5 x =,5 in () x =,5 x =,5 in x 3 =,5 Alles in (4),5,5,5 = 3 (f) Also L =

4 e) Unterbestimmtes Gleichungssystem () x x + x 3 = x + x x 3 = () 3x + 3x 3 = 3 x + x 3 = Parametrisierung von : x = a x 3 = + a x = a und x 3 = + a in () x =,5,5a L = (,5 a a + a)a R

5 3. Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und mit zwei Unbekannten - Determinanten Wir bestimmen die allgemeine Lösung eines normalen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten : a x + b x = c () x + x = () a x + b x = c b b x b x = b (4) + (4) a x b x = c b (a b )x = c b Analog ergibt sich (a b )x = a c Fallunterscheidung : A a b Es gibt ein Lösungspaar : x = c b und x a = a c a b B a b = und c b =. Dann ist auch a c = und wegen x = bzw. x = gibt unendlich viele Lösungen. Man setzt dann x = a und bestimmt aus einer der beiden Gleichungen x in Abhängigkeit von a. C a b = und c b. Dann ist auch a c und es gibt keine Lösungen.

6 Satz : Das Gleichungssystem a x + b x = c () x + x = hat genau dann eine einzige Lösung, wenn D = a b = a b ist. Die Lösungen lauten dann x = c b a b = D D und x = a c a b = D D Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen, wenn D = und D = bzw. D = Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn D = und D bzw. D Beispiel : Bestimme die Lösungsmenge von () kx + x = x + x = k, k R in Abhängigkeit vom Parameter k. k k Es ist D = = k, D, = = k und D k = = k k

7 . Fall : k Dann ist x = D D = k k = und x = k k = k + L = ( k + )k R. Fall : k = D = D = D = Es gibt unendlich viele Lösungen. Es ist () = : x + x = Parametrisierung : x = a x = a L = (a a)a R Folgerung : a Zwei Vektoren b und im Vektorraum der reellen -Tupel sind also genau dann linear abhängig, wenn a b = ist.

8 3.3 Lineare Gleichungsysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten Definiert man dreireihige Determinanten gemäß a b c a b b b = a + c + b a b c, dann gilt für das lineare Gleichungssystem a x + b x + c x 3 = d () x + x + x 3 = d x + x + x 3 = d 3 Satz: A Das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar, wenn D = a b c ist. Die Lösungen lauten dann mit D = d d d 3 b c und D = a d d d 3 c sowie D 3 = a b d d d 3 x = D D x = D D x 3 = D 3 D B Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn D = und D = und D = und D 3 = C Das Gleichungsystem besitzt keine Lösung, wenn D = oder D oder D oder D 3

9 Beispiel : Ermittle die Lösungsmenge von () x x + 3x 3 = x x + x 3 = x 4x 3 = Es D = 3 4 = = 4 d.h. das Gleichungssystem ist eindeutig lösbar. D = 3 4 = D = 3 4 = 7 D 3 = = x = 3 x = 7 4 x 3 = L = 3,75, Beispiel : () ax x + x 3 = x + x = x + x 3 = a) D = a = a 3 = a = 3 Das Gleichungssystem ist für a 3 eindeutig lösbar.

10 D = = x = a 3 = 3 a D = a = a + x = a a 3 D 3 = a = a x 3 = a a 3 b) Sei a = 3. () 3x x + x 3 = x + x = x + x 3 = () + ergibt x + x 3 = im Widerspruch zu. L = Beispiel : Ermittle die Lösungsmenge von () kx x + x 3 = kx + x 3 = x x + x 3 = in Abhängigkeit vom Parameter k. Lösung : Es ist D = k k = k k sowie

11 D = k = 3k + 3, D = k = k + und D 3 = k k = k k D = k = k =. Fall : k, Dann ist x = D. Analog erhält man und D = 3k + 3 k k = 3 x k = x k 3 = k k 3 Also L = ( k k k k ) k R. Fall : k = D = D = D = D 3 = Dann hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen. Einsetzen von k = ergibt schließlich L = aa a R 3. Fall : k = D =, D, D, D 3 Dann ist das Gleichungssystem unlösbar. Beispiel : () Gegeben ist das Gleichungssystem ax x + x 3 = b x + x = ax x 3 = b a) Für welche Werte von a besitzt das Gleichungssytem genau eine Lösung? b) Bestimmen Sie alle Werte von b, für die das System dann unendlich viele Lösungen besitzt.

12 Lösung : a) D = a a = 4a + = a =,5 b) D = b b = 3b + = b = 3 D =,5 b b = 3b = b = 3 D 3 =,5 b b =,5b + = b = 3 Anwendung : Satz : Die Vektoren a, b und c mit den Koordinatendarstellungen a = a b = b c = c bzgl einer Basis eines dreidimensionalenn Vektorraums sind genau dann linear abhängig, wenn D = a b c = Ansonsten sind sie linear unabhängig.

13 Beweis : Das Gleichungssystem, das sich aus λ a + λ b + λ 3 c = o ergibt, hat die triviale Lösung λ = λ = λ 3 =. Ist D =, dann muss es folglich unendlich viele Lösungen geben, und damit existiert eine nichttriviale Nullsumme. Beispiel : 4 7 Die Vektoren mit den Koordinatendarstellungen, 5, denn sind linear unabhängig, = ( ) ( ) = 96