Inhalt Prof. Dr.-Ing. Barbara Hippauf Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes; Physik, I, WS 2015/2016

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1 Inhl Kinemik: Einleiun Gedlinie Beweun, Geschwindikei Gedlinie Beweun, Beschleuniun Gedlinie Beweun, Vekodsellun Gleichfömi, edlinie Beweun Gleichmäßi, beschleunie Beweun Feie Fll Nichedlinie Beweun, Geschwindikei Nichedlinie Beweun, Beschleuniun Keisbeweun Schwinunen Physik, I, WS 15/16 1

2 Lieu M. Alonso, E. J. Finn: Physik; die Aufle, Oldenbou Vel,. Pul A. Tiple: Physik fü Wissenschfle und Inenieue, sechse Aufle, Spine Spekum Vel, 9. Hein, Min, Sohe: Physik fü Inenieue; Spine Vel, 1. Wolfn Demöde: Expeimenlphysik 1, Mechnik und Wäme; sechse Aufle, Spine Vel, 13.

3 Einleiun Die Lehe de Mechnik is zum oßen Teil ds Eebnis on Si Isc Newon. De im 17 Jhhunde die oße Synhese ollzo, die ls "Newonsche Pinzipien" beknn is. Auch ndee Wissenschfle hben zu Enwicklun des Foschis Bei eleise. Dzu ehöen Achimedes, Keple, Desces, Huyens, Lne, Hmilon, Mch und Einsein. Die Kinemik is die Lehe on de Beweun on Köpen. Zu Bescheibun weden zeibhänie Koodinen des/de Köpes/Köpe benöi. 3

4 Kinemik: Gedlinie Beweun Ein Köpe is zu einem ndeen eli in Beweun, wenn sich seine Le eli zum zweien Köpe mi de Zei ände. Mn s: Ein Geensnd befinde sich eli in Ruhe wenn sich seine elie Le mi de Zei nich eände. Ruhe und Beweun sind elie Beiffe. Sie hänen om Zusnd des Geensndes eli zum Köpe b. x Beweun is eli O A B x x' ' X ' X 4

5 Kinemik: Gedlinie Beweun Geschwindikei Gedlinie Beweun: De bewee Köpe bescheib eine Gede. Die Veschiebun x is eine Funkion de Zei f() und knn sich somi mi änden. O A x B Die Veschiebun x knn nei ode posii sein. x x' X Milee Geschwindikei m : ' ' Die milee Geschwindikei (Duchschniseschwindikei) m is definie ls: m x' x ' x 5

6 Kinemik: Gedlinie Beweun Geschwindikei Gedlinie Beweun: De bewee Köpe bescheib eine Gede. Die milee Geschwindikei m wähend eines besimmen Zeiinells is leich dem Vehälnis de Veschiebun x zum Zeiinell. Auenblickliche Geschwindikei : Um die uenblickliche Geschwindikei zu besimmen, muss so klein wie mölich sein. De Genzwe on x/ wid beechne: lim m lim x Ds is die Definiion de Ableiun om We x nch de Zei dx d Die uenblickliche Geschwindikei is leich de zeilichen Ableiun de Veschiebun. 6

7 Kinemik: Gedlinie Beweun Geschwindikei Wenn wi wissen wie sich die Geschwindikei zu Zei ände, können wi die Posiion x zu jedem Zeipunk duch Ineion ehlen: x dx' d' x x : : x-x : We on x zum Zeipunk Anfnswe on Veschiebun x x x x + d' idi d' i d is die Veschiebun des Köpes zum kleinen Zeiinell d. Die Veschiebun x-x knn posii ode nei sein, somi knn die Geschwindikei uch posii ode nei sein. Ds Vozeichen de Geschwindikei im Fll de edlinien Beweun zei in Richun de Beweun. Einheien de Geschwindikei: m/s 7

8 Kinemik: Gedlinie Beweun Geschwindikei Schnellikei: Schnellikei Enfenun/Zei Bemekunen: Die duchschniliche Schnellikei h nich den leichen We wie die duchschniliche Geschwindikei. Die Veschiebun x-x uch in de Zei - df nich mi de Enfenun ewechsel weden, die im leichen Zeium zuückele wude. Beispiel: Ein Auo fäh on A nch B. B lie 1 km südlich on A. De Fhe mch einen Umwe und fäh übe C. C is 5km nödlich on A enfen. Die zuückelee Enfenun is km. Abe die Veschiebun (dieke Absnd) is 1 km. Die duchschniliche Schnellikei beä bei 4 Sunden 5 km/h. Die duchschniliche Geschwindikei be beä 5 km/h on A nch B. 8

9 Kinemik: Gedlinie Beweun Beschleuniun Milee Beschleuniun m : Annhme: Zum Zeipunk befinde sich de Geensnd bei A mi de Geschwindikei. Zum Zeipunk ' befinde sich de Geensnd bei B mi de Geschwindikei '. Dnn il fü die milee (duchschniliche) Beschleuniun: O A x x B x' ' ' X m ' ' Die milee Beschleuniun (Duchschnisbeschleuniun) m wähend eines besimmen Zeiinells is leich dem Vehälnis de Ändeun de Geschwindikei zu Läne des Zeiinells. 9

10 Kinemik: Gedlinie Beweun Beschleuniun Auenblickliche Beschleuniun : Um die uenblickliche Beschleuniun zu besimmen, muss so klein wie mölich sein. De Genzwe on / wid beechne: lim m lim Ds is die Definiion de Ableiun on nch de Zei. d d Die uenblickliche Beschleuniun is leich de zeilichen Ableiun de Geschwindikei. 1

11 Kinemik: Gedlinie Beweun Beschleuniun Wenn wi die Beschleuniun zu Zei kennen, können wi die Geschwindikei zu jedem Zeipunk duch Ineion ehlen: d' d' : : - : We on zum Zeipunk Anfnswe on Ändeun de Geschwindikei + d' d is die Ändeun de Geschwindikei des Köpes zum kleinen Zeiinell d. idi d' i Die Ändeun de Geschwindikei - knn posii ode nei sein, somi knn die Beschleuniun uch posii ode nei sein. Einheien de Beschleuniun: m/s 11

12 Kinemik: Gedlinie Beweun: Vekodsellun de Geschwindikei und de Beschleuniun u u dx d u u d d Die Vekoen und zeien in Richun om Einheiseko u ode in eneeneseze Richun. u P > Beschleunie Beweun X u > Beschleunie Beweun P X u X u P < Vezöee Beweun < Vezöee Beweun P X 1

13 Kinemik: Beweunsypen: Gleichfömie, edlinie Beweun Wenn ein Geensnd in leichfömie, edlinie Beweun is, is seine Geschwindikei konsn. Es ib lso keine Beschleuniun. d d x x + d' x x + ( ) 13

14 Kinemik: Beweunsypen: Gleichfömie, edlinie Beweun x x + ( ) x 14

15 Kinemik: Beweunsypen: Gleichfömie, edlinie Beweun cons 15

16 Kinemik: Beweunsypen: Gleichmäßi, edlinie, beschleunie Beweun Wenn ein Geensnd leichmäßi edlini, beschleuni wid, is seine Beschleuniun konsn. d d d konsn d d d + d' dx d + ( ) 16

17 Kinemik: Beweunsypen: Gleichmäßi, edlinie, beschleunie Beweun mi: d x d dx d + ( ) dx [ + ( )]d x x d' + ( ' )d' x x 1 + ( ) + ( ) Eliminieun on : ( ) + ( x x ) 17

18 Kinemik: Beweunsypen: Gleichmäßi, edlinie, beschleunie Beweun x x 1 + ( ) + ( ) Mi x,, ls Anfnswee leich Null il dnn: x 1 Die Veschiebun eines leichmäßi, beschleunien Köpes ände sich qudisch mi de Zei. Wenn und x esez wid il: + und 1 x + 18

19 Kinemik: Beweunsypen: Gleichmäßi, edlinie, beschleunie Beweun + 19

20 Kinemik: Beweunsypen: Gleichmäßi, edlinie, beschleunie Beweun Dsellun de Veschiebun We x 1 x + hie:, x Zei

21 Zusmmenfssun de wichisen Beziehunen fü die edlinie Beweun Gleichfömie edlinie cons Beweun x x + ( ) Gleichmäßi beschleunie Beweun Feie senkeche Beweun cons + ( x x + ( ) 1 ) + ( ) ( y y + ( ) 1 ) ( ) 1

22 Feie Fll, Beispiel edlienie, leichmäßi beschleunie Beweun X B x 1 m C

23 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Geschwindikei Ein Teilchen bescheibe eine ekümme Bhn. Zu Zei is ds Teilchen bei A OA. Zu Zei ' is ds Teilchen bei B OB. Ds Teilchen h sich enln s bewe. Die Veückun is be duch '- AB eeben. O Z s A s ' ' B m Die Veschiebun innehlb des Zeiinells: '- is '- AB. Die milee Geschwindikei m is uch ein Veko: P X O Y m ' ' Die milee Geschwindikei m is ein Veko pllel zu Veückun. 3

24 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Geschwindikei Auenblickliche Geschwindikei : Um die uenblickliche Geschwindikei zu besimmen, muss so klein wie mölich sein. De Genzwe on / wid beechne: lim m lim T m m ' B m B' B u T A d d Die momenne Geschwindikei is bei eine ekümmen Beweun ein Veko nenil zu Bhn. Die momenne Geschwindikei bei de ekümmen Beweunsfom is leich de zeilichen Veändeun des Oekos des Teilchens. 4

25 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Geschwindikei x, y, z Einheisekoen u x + u y + u z x y z x,y,z Koodinen des beween Teilchens Die Komponenen de Geschwindikei in X,Y,Z: x dx d y dy d z dz d s (siehe Bild) is die Bhn enln de Kue O A. Wenn sich ds Teilchen enln de Kue s bewe, dnn is die Veschiebun on A nch B (Boen) om Teilchen s. P X O Z O s A s ' Y ' B m s lim ds d 5

26 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Geschwindikei ds is die Veschiebun enln de ekümmen Bhn zu Zei d. Deshlb is ds eleichb mi dx bei eine edlinien Beweun. s lim ds d u T ds d ekümme Beweun u T T m m ' B m B' B u dx d d u u d edlinie Beweun A 6

27 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beschleuniun Bei eine nichedlinien Beweun ände sich fs imme die Geschwindikei in Richun und Be. In Be, weil ds Objek schnelle ode lnsme weden knn. In Richun, d die Geschwindikei nenil zu Bhn eläuf. Milee Beschleuniun m : Annhme: Zum Zeipunk befinde sich de Geensnd bei A mi de Geschwindikei. Zum Zeipunk befinde sich de Geensnd bei B mi de Geschwindikei. Dnn il fü die milee (duchschniliche) Beschleuniun: m m is ein Veko pllel zu. X Z O A m ' B Y ' ' 7

28 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beschleuniun Auenblickliche Beschleuniun : lim m lim d d u x x + u y y + u z z x d d x y d d y z d d z Die uenblickliche (momenne) Beschleuniun is ein Veko mi de leichen Richun wie die momenne Ändeun de Geschwindikei. 8

29 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beschleuniun Beziehun zwischen Beschleuniun und Geschwindikei bei eine kummen Bhn Die uenblickliche (momenne) Beschleuniun is ein Veko mi de leichen Richun wie die momenne Ändeun de Geschwindikei. Die Geschwindikei ände sich mi de Kümmun. Dduch zei die Beschleuniun imme in Richun de konken Kuenseie (Tlseie). Die Beschleuniun is wede nenil zu Bhn, noch is sie senkech zu ih. 9

30 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beschleuniun Zwei Beschleuniunskomponenen: Die Tnenilbeschleuniun: T läuf pllel zu AT Ändeun des Bees de Geschwindikei: T Die Zenipelbeschleuniun: N eläuf pllell zu Nomlen AN Ändeun de Richun de Geschwindikei: Nomlbeschleuniun N T + N T d d N R T N R : : : A T N N T Be Tnenilbeschl. Be Zenipelbeschl. Rdius Bhnkümmun C 3

31 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beschleuniun Is die Beweun leichfömi, dnn is cons und T. Is die Beweun edlini (Richun on ände sich nich), dnn is N d de Rdius de Kue is. A T T C N T + N T d d N R T N R : : : N Be Tnenilbeschl. Be Zenipelbeschl. Rdius Bhnkümmun 31

32 Kinemik: Heleiun Beschleuniun ' Die nenile Komponene on : PS ' cos θ Tnene ' Die nomle Komponene on : SQ ' sin θ A s B S P θ ' Q Fü die milee Beschleuniun il: ' cos θ Tnenil komponene Nomle R θ A Nomlkomponene ' sin θ C 3

33 Kinemik: Heleiun Beschleuniun Fü die Tnenilkomponene de Beschleuniun il mi:, θ lim cos θ 1 ' T lim lim d d Tnenil komponene ' cos θ T lim ' cos θ T d d 33

34 Kinemik: Heleiun Beschleuniun Fü die Nomlkomponene de Beschleuniun il mi:, sin θ θ,' N lim θ mi θ s R Nomlkomponene ' sin θ N lim ' sin θ lim 1 s R N R 34

35 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Konsne Beschleuniun Bei eine in Be und Richun konsnen Beschleuniun il: d' d' : Geschwindikei bei Die Geschwindikei zu jedem Zeipunk ( ) + ( ) d' [ + ( ' )] d' d' + ( ' )d' 35

36 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Konsne Beschleuniun Die Posiion des Teilchens zu jedem Zeipunk: 1 + ( ) + ( ) Im llemeinen Fll können die Geschwindikei und die Beschleuniun uneschiedliche Richunen ufweisen. Deshlb is nich pllel zu. lie be imme in eine Ebene, die duch und definie is. De Endpunk des Vekos lie imme in de Ebene pllel zu o und. Die Ebene eh duch den Punk de duch o definie is. Die Beweun bei konsne Beschleuniun läuf in eine Ebene b. Die Beweunsbhn wid duch eine Pbel beschieben. 36

37 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beweun eines Geschosses Hie is die Giionsbeschleuniun zei in Y-Richun (Abbildun). -u y x cosα sinα esez x x y y y Y y P(x,y) A h x Be de Geschwindikei zu Zei : x + y α x R B X Koodinen des Teilchens ls Funkion on de Zei : x x 1 y y 37

38 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beweun eines Geschosses Die Zei die ds Geschoss buch um die mximle Höhe zu eeichen bei A: y y Die mximle Höhe is dnn: 1 y y sin α h sin α α sin Y y A P(x,y) h α x R x B X 38

39 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beweun eines Geschosses Die Zei die ds Geschoss buch um zu Boden zu elnen (Punk B) wid eeich wenn y esez wid (Fluzei): y 1 y y sin α Die Reichweie OB esme zuückelee Enfenun in de Hoizonlen: We fü die Fluzei einsezen in: 1 Y y α x P(x,y) A h R x B X x x cosα x x R α cosα sin 39

40 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beweun eines Geschosses Die Reichweie OB esme zuückelee Enfenun in de Hoizonlen: We fü die Fluzei einsezen in: R α cosα sin Y y P(x,y) A h x Ode mi: sin α sinα cosα α x R B X R α sin 4

41 Kinemik: Nichedlinie Beweun: Beweun eines Geschosses Y A P x O 4 x y y B X 41

42 Kinemik: Keisfömie Beweun: Winkeleschwindikei Die Geschwindikei is nenil zu R CA. Messunen de Enfenun uf de Keisbhn s Rθ ds d R dθ d R A s ω dθ d Winkeleschwindikei C θ O X Winkeleschwindikei ω zeiliche Ändeun des Winkels de duch R (Rdius) übesichen wid. Die Winkeleschwindikei wid in d/s neeben. ω R 4

43 Kinemik: Keisfömie Beweun: Winkeleschwindikei Die Winkeleschwindikei is ein Veko senkech zu Beweunsebene. Reche-Hnd-Reel Is die Winkeleschwindikei konsn, dnn hndel es sich um eine leichfömie Keisbeweun: Z ω ω cons Winkeleschwindikei Die Beweun is peiodisch und ds Teilchen duchläuf den Keis in eeelen Zeiinellen. R A Die Peiode T is die Zei die fü einen Umluf ebuch wid (Umlufzei). Die Fequenz f is die Umkehun de Peiode f 1/T Einhei on f Hz (Hez) 43

44 Kinemik: Keisfömie Beweun: Winkeleschwindikei Wenn die Winkeleschwindikei ω konsn is dnn il: θ dθ ' ω d θ ' θ θ + ω( ) Fü den Fll, θ il: θ ω θ ω Fü eine nze Umdehun T und θ π π ω T 44

45 Kinemik: Keisfömie Beweun: Beispiel Winkelbeschleuniun Ände sich die Winkeleschwindikei ω eines Teilchens mi de Zei, dnn is die Winkelbeschleuniun α: ω : Winkeleschwindikei bei dω α d d d θ Einhei Winkelbeschleuniun α 1/s Is die Winkelbeschleuniun α konsn dnn il fü die Winkeleschwindikei ω: ω ω d ω' α d' ω ω + α ) ( 45

46 Kinemik: Keisfömie Beweun: Beispiel Winkelbeschleuniun Fü den Winkel zu jedem Zeipunk il dnn: ω : Winkeleschwindikei bei θ θ dθ' ω d' + α ( ' )d' Winkelposiion zu jedem Zeipunk il dnn: 1 θ θ α + ω( ) + ( ) Wenn o und θ θ ω + α 1 46

47 Kinemik: Geschwindikei und Beschleuniun bei de keisfömien Beweun Ein Teilchen bewe sich leichfömi uf eine Keisbhn (Abbildun). R sinγ mi ω R ω sinγ ω C Z ω ω ω R A ω d d ω ω ω ( ω ) d d Bei de leichfömien Keisbeweun is die Beschleuniun senkech zu de Geschwindikei und zei nch Innen. T X O γ Y 47

48 Kinemik: Geschwindikei und Beschleuniun bei de keisfömien Beweun d d ω ω ω ( ω ) d d Die Beschleuniun die duch diese Gleichun beschieben wid, is die Zenipelbeschleuniun N. D ω senkech zu is, il: N ω R N R Bei de leichfömien Keisbeweun, is de Be de Geschwindikei konsn. Die Usche fü die Ändeun de Geschwindikei is die Richunsändeun de Beweun. 48

49 Kinemik: Geschwindikei und Beschleuniun bei de keisfömien Beweun Bei eine leichmäßi, beschleunien Keisbeweun, ände sich de Be und die Richun de Geschwindikei. Die Ändeun des Bees de Geschwindikei füh zu eine nenilen Beschleuniun T. dω T R Rα d Rω T Rα N R Die Ändeun de Richun de Geschwindikei füh zu eine nomlen (zenipelen) Beschleuniun N. N ω R N R 49

50 Kinemik: Geschwindikei, leichmäßie Beschleuniun in de Keisbhn Bei eine leichmäßi, beschleunien Keisbeweun ände sich die Geschwindikei in Be und Richun. Die Ändeun des Bees de Geschwindikeiskomponene wid duch die Tnenilbeschleuniun T beschieben. Die Ändeun de Richun de Geschwindikeiskomponene wid duch N beschieben. d d d ω d d d dω d ( ω ) + ω d d T N 5

51 Zusmmenfssun de wichisen Beziehunen fü die Keisbeweun Gleichfömie Keis- Beweun α ω cons cons θ θ + ω( ) Gleichmäßi, beschleunie Keis- Beweun Gleichmäßi, beschleunie Keis- Beweun α cons ω ω + α( ) + ( ) 1 θ θ + ω( ) + α( ωr ) N ω R dω T R Rα d 51

52 Geschwindikei und Beschleuniun n einem Punk uf de Edobefläche 6, m R cos λ ω λ : : : Winkeleschwindikei Eddius Geophische Beie om Punk A Quelle: Alonso, Finn 5