Schwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare Felder Kurvenintegrale. Aufgabe 9.2 Aufgabe 9.

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1 9. Mehrdimensionale Analysis 1/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 2/42 Schwerpunkte des Kapitels Differentialrechnung für skalare Felder Integralrechnung für skalare Felder Kurvenintegrale Themen und egriffe grafische Darstellung, Höhenlinie Definitionsbereich, Wertebereich Stetigkeit Differenzierbarkeit partielle Ableitungen Gradient Richtungsableitung Tangentialebene totales Differential Fehlerrechnung 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 3/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 4/42 Aufgabe 9.2 Aufgabe 9.1 Welche Teilmengen M R 3 werden durch die folgenden Ausdrücke beschrieben? a) y = 2, b) y + z = 0 und c) x 2 + y 2 z = 0. estimmen Sie für die folgenden Funktionen den Definitionsbereich Df und den Wertebereich Wf a) z = f(x, y) = e x2 + y 1 und b) z = f(x, y) = ( 4 x 2 y 2) 1/2. Skizzieren Sie den Definitionsbereich.

2 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 5/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 6/42 Aufgabe 9.3 Läßt sich der Funktionswert der Funktion f(x, y) = 1 cos(x2 + y 2 ) für x 0 und y 0 (x 2 + y 2 ) 2 an der Stelle (0,0) so festlegen, dass f an dieser Stelle stetig ist? Aufgabe 9.4 Gegeben sei die Funktion f(x, y) = xe y/x. a) estimmen Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung. b) estimmen Sie f. c) erechnen Sie die Hesse-Matrix Hf. 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 7/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 8/42 Aufgabe 9.5 Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 4x 2 + y a) estimmen Sie den Definitionsbereich Df und den Wertebereich Wf der Funktion f. b) estimmen und skizzieren Sie Höhenlinien von f. c) eschreiben Sie den Graphen von f (Art der Fläche). d) estimmen Sie f sowie f(p0) in P0(1/2,1). Deuten Sie das Ergebnis für f(p0). e) erechnen [ ] Sie die Richtungsableitung von f in P0 in Richtung 3 r =. 4 Fortsetzung von Aufgabe 9.5 f) In welche Richtung ist vom Punkt P0 aus der Anstieg minimal, maximal bzw. gleich Null? g) estimmen Sie die Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt P0. h) estimmen Sie die Gleichung der Tangente an die Höhenlinie im Punkt P0. i) Stellen Sie die Formel für das totale Differential auf.

3 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 9/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 10/42 Aufgabe 9.6 Das Volumen einer Kugel soll auf 0,1% genau bestimmt werden. Wie genau muss der Radius bestimmt werden, wenn man für π = 3, die Näherungswerte a) 3,14 bzw. b) 3,142 verwendet? Themen und egriffe Kettenregel Kurven in der Ebene implizit gegebene Funktionen Extremwertaufgaben ohne Nebenbedingungen Extremum, Sattelpunkt Definitheit einer Matrix Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren Eliminationsmethode 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 11/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 12/42 Aufgabe 9.8 Aufgabe 9.7 estimmen Sie mit Hilfe der Kettenregel die Ableitung df dt für mit f(x, y) = x 2 y 2 + xy a) x = x(t) = cos t und y = y(t) = sin t bzw. b) x = x(t) = sin t und y = y(t) = t 4 cos t jeweils für 0 t < 2π. Eine Kurve γ in der Ebene sei implizit gegeben durch F (x, y) = y 2 x 3 x 2 = 0. a) Für welche Werte (x, y) ist die Kurve γ definiert?. b) Untersuchen Sie das Symmetieverhalten von F (x, y). c) estimmen Sie den Anstieg der Tangente an die Kurve γ im Punkt x = 1 im ersten Quadranten. d) Stellen Sie die Geradengleichung t(x) für diese Tangente auf. e) An welchen Stellen hat die Kurve γ horizontale bzw. vertikale Tangenten? f) Für welche Werte von x ist F (x, y) nicht explizit nach y auflösbar? g) estimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen der Tangente an die Kurve γ im Ursprung und der positiven x-achse im ersten und vierten Quadranten.

4 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 13/42 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 14/42 Aufgabe 9.9 estimmen Sie für die folgenden Funktionen die lokalen Extrema a) f(x, y) = xy + 50 x + 20 y für x 0, y 0 und b) f(x, y, z) = x 4 + 2y 2 + z 2 y(2x 2 + 8) + 4z für x, y, z R. Aufgabe 9.10 In einem Stadion soll eine 400 m lange Laufbahn, bestehend aus zwei Geraden und zwei Halbkreisen, so angelegt werden, dass die Fläche des Rechtecks im Inneren maximal wird. Wie lang sind die Geraden? Wie groß ist die Fläche des Rechtecks? 9. Mehrdimensionale Analysis Differentialrechnung für skalare Felder 15/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 16/42 Aufgabe 9.11 Welche Punkte der Ellipse x 2 + y2 4 = 1 haben vom Punkt P (2,0) extremalen Abstand? Geben Sie die minimalen und maximalen Abstände an. Hinweis: Lösen Sie die Aufgabe sowohl mit der Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren als auch mit der Eliminationsmethode. Themen und egriffe Doppelintegrale Integrationsgebiet Normalbereich kartesische Koordinaten Polarkoordinaten Flächenberechnung estimmung des geometrischen Schwerpunktes

5 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 17/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 18/42 Erinnerung: estimmte Integrale (Einfachintegrale) f x Doppelintegrale f(x, y) dx dy =? a b Zur erechnung des Doppelintegrals ist es erforderlich, die Menge b f(x) dx = F (b) F (a) a, b R, a < b, a wobei F (x) die Stammfunktion der Funktion f(x) bezeichnet F (x) = f(x). R 2, das Integrationsgebiet bzw. den Integrationsbereich, als Normalbereich darzustellen. 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 19/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 20/42 Normalbereich bzgl. x und y = { (x, y) R 2 : a x b, c y d }, a, b, c, d R, a < b, c < d b d d b f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy a c c a Normalbereich bzgl. x = { (x, y) R 2 : gu(x) y go(x), a x b }, a, b R, a < b b go(x) f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx a gu(x) y d d g 0 x c y c g u x x x a x b x

6 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 21/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 22/42 Normalbereich bzgl. y = { (x, y) R 2 : hl(y) x hr(y), c y d }, c, d R, c < d d hr(y) f(x, y) dx dy = f(x, y) dx dy c hl(y) d y h r y Aufgabe 9.12 Skizzieren Sie folgende ereiche in der x, y-ebene a) 1 = { (x, y) R 2 : 3y 2 x 4, 1 y 2 }, b) 2 = {(x, y) R 2 : 1 x 3, 12 x y 56 } x, c) 3 = {(r, ϕ) [0, ) [0,2π) : 12 r ϕ, 23 } π ϕ π. c h l y x 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 23/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 24/42 Polarkoordinaten Wir setzen f(x, y) dx dy =? x,y x = x(r, ϕ) = r cos ϕ y = y(r, ϕ) = r sin ϕ Aufgabe 9.13 eschreiben Sie den folgenden ereich in kartesischen Koordinaten. 2 Dann gilt f(x, y) dx dy = f(x(r, ϕ), y(r, ϕ)) r dr dϕ, 1 x,y r,ϕ = f(r cos ϕ, r sin ϕ) r dr dϕ, wobei x r,ϕ r,ϕ = {(r, ϕ) [0, ) [0,2π) : (r cos ϕ, r sin ϕ) x,y}

7 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 25/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 26/42 Aufgabe 9.14 eschreiben Sie den folgenden ereich sowohl in kartesischen Koordinaten als auch in Polarkoordinaten Aufgabe 9.15 erechnen Sie das Integral I = (x + y) dy dx mit = { (x, y) R 2 : x 2 y x + 2, 1 x 2 }. estimmen Sie den Normalbereich für die vertauschte Integrationsreihenfolge. 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 27/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 28/42 Aufgabe 9.16 Gegeben sei der folgende ereich in der x, y-ebene. a 1 Wie muss man den Wert a > 0 wählen, damit der geometrische Schwerpunkt des ereiches auf der y-achse liegt? 1 Themen und egriffe Dreifachintegrale Normalbereich kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten Volumenberechnung geometrischer Schwerpunkt Masseberechnung Masseschwerpunkt

8 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 29/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 30/42 Aufgabe 9.17 Gegeben sei der ereich im ersten Quadranten der x, y-ebene, der durch die Kurven x 2 + y 2 = 4, y = 1 3 x und x = 0 begrenzt wird. erechnen Sie das Volumen V des Körpers K über dem ereich, der oben von der Fläche z = 2xy abgeschlossen wird, sowohl unter Verwendung von kartesischen Koordinaten als auch Polar- bzw. Zylinderkoordinaten. Zylinderkoordinaten I = I = x,y,z f(x, y, z) dx dy dz =? x = x(r, ϕ, z) = r cos ϕ y = y(r, ϕ, z) = r sin ϕ z = z(r, ϕ, z) = z f(x(r, ϕ, z), y(r, ϕ, z), z(r, ϕ, z)) r dr dϕ dz r,ϕ,z = f(r cos ϕ, r sin ϕ, z) r dr dϕdz, r,ϕ,z wobei r,ϕ,z = {(r, ϕ, z) [0, ) [0,2π) R : (r cos ϕ, r sin ϕ, z) x,y,z} 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 31/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 32/42 Zylinderkoordinaten: Geometrische edeutung von r, ϕ und z Aufgabe 9.18 Ein Körper K R 3 sei nach oben durch die Fläche x 2 + y 2 + z 2 9 = 0 und nach unten durch die Fläche x 2 + y 2 = 8z begrenzt. a) Skizzieren Sie einen Schnitt durch den Körper K in der x, z-ebene. b) erechnen Sie das Volumen V des Körpers K.

9 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 33/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 34/42 Aufgabe 9.19 Aus einer Kugel mit dem Radius a > 0 wird ein kegelförmiger Körper K herausgeschnitten (siehe Skizzen). a Kugelkoordinaten, Variante 1 I = f(x, y, z) dx dy dz =? x,y,z x = x(r, ϕ, ϑ) = r cos ϕ cos ϑ, r > 0, Abstand, Radius y = y(r, ϕ, ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, ϕ [0,2π), geographische Länge z = z(r, ϕ, ϑ) = r sin ϑ, ϑ [ π/2, π/2], geographische reite I = f(x(r, ϕ, ϑ), y(r, ϕ, ϑ), z(r, ϕ, ϑ)) r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ Α a y r,ϕ,ϑ = f(r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) r 2 cos ϑ dr dϕ dϑ, wobei r,ϕ,ϑ Wie groß ist das Volumen V des Körpers K? r,ϕ,ϑ = {(r, ϕ, ϑ) : (r cos ϕ cos ϑ, r sin ϕ cos ϑ, r sin ϑ) x,y,z} 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 35/42 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 36/42 Kugelkoordinaten, Variante 1: Geometrische edeutung von r, ϕ und ϑ Kugelkoordinaten, Variante 2 I = f(x, y, z) dx dy dz =? x,y,z x = x(r, ϕ, ϑ) = r cos ϕ sin ϑ, r > 0, Abstand, Radius y = y(r, ϕ, ϑ) = r sin ϕ sin ϑ, ϕ [0,2π), geographische Länge z = z(r, ϕ, ϑ) = r cos ϑ, ϑ [0, π], Polabstand I = f(x(r, ϕ, ϑ), y(r, ϕ, ϑ), z(r, ϕ, ϑ)) r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ r,ϕ,ϑ = f(r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) r 2 sin ϑ dr dϕ dϑ, wobei r,ϕ,ϑ r,ϕ,ϑ = {(r, ϕ, ϑ) : (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) x,y,z}

10 9. Mehrdimensionale Analysis Integralrechnung für skalare Felder 37/42 9. Mehrdimensionale Analysis Kurvenintegrale 38/42 Kugelkoordinaten, Variante 2: Geometrische edeutung von r, ϕ und ϑ Themen und egriffe Kurven in der Ebene und im Raum Parametrisierung Längenelement Länge einer Kurve Kurvenintegral 1. Art geometrischer Schwerpunkt einer Kurve 9. Mehrdimensionale Analysis Kurvenintegrale 39/42 9. Mehrdimensionale Analysis Kurvenintegrale 40/42 Aufgabe 9.21 Aufgabe 9.20 erechnen Sie die Länge der Kurve γ, die durch die Gleichung [ ] t γ(t) = mit f(t) = 1 f(t) 4 t2 1 ln t, 1 t 4, 2 gegeben ist. Gegeben sei die Kurve γ : [0,2π] R 3 mit sin t γ(t) = cos t. t a) Welche Länge hat die Kurve? b) erechnen Sie das Kurvenintegral I = xyz ds. γ c) estimmen Sie den geometrischen Schwerpunkt der Kurve γ.

11 9. Mehrdimensionale Analysis Kurvenintegrale 41/42 9. Mehrdimensionale Analysis Kurvenintegrale 42/42 Aufgabe 9.22 Themen und egriffe Kurvenintegral 2. Art Arbeitsintegral Wegunabhängigkeit Integrabilitätsbedingung Potentialfelder und Potentiale erechnen Sie das Kurvenintegral In = 2x cos ( x 2 + y ) dx + cos ( x 2 + y ) dy, n = 1,2, γn entlang der Wege [ ] t γ1(t) = t 2, 0 t 2, bzw. [ ] t γ2(t) =, 0 t 2, 2t vom Punkt P = (0,0) zum Punkt Q = (2,4). Ist das Kurvenintegral wegunabhängig? Falls ja, so bestimmen Sie In mit Hilfe einer Stammfunktion.