Zur Erinnerung. Winkelmaße: Radiant und Steradiant. Stichworte aus der 3. Vorlesung:

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1 Zu Einneung Stichwote aus de 3. Volesung: inkelaße: Radiant und Steadiant die (gleichföige) Keisbewegung als beschleunigte Bewegung (Richtungsändeung von v) Dastellung de kineatischen Gößen duch die Einheitsvektoen e t und e n. inkelgeschwindigkeit ω als polae Vekto: ω gibt Richtung de Dehachse an, v = ω Zusaenhang von Beschleunigung a, Küungsadius ρ, Geschwindigkeit v und deen Ändeung dv/ fü allgeeine (kulinige) Bahn, hegeleitet duch Betachtung von aufeste und köpe-fixiete KS. Expeientalphysik I SS 4-

2 essung von Käften essung von übe Beschleunigung i.d. Regel unpaktisch - statische ethoden eist besse Vefoung elastische Köpe, z.b. ede Dehnung eine ede: x D ( x x) Stationäe Zustand ges ede Gavitation assenbestiung: ede Gav. x D ( x x) x g ( g,,) Gav. D ( x g D ( x x) g x) Bestiung de asse Expeientalphysik I SS 4-

3 essung von Käften Dehnungsesssteifen: Expeientalphysik I SS 4-3

4 Vektoielle Käftebilanz fü a = efodeliche Gegenkaft G G Bedingung fü a = : g g = g die Koponenten g heben sich auf die Koponenten g addieen sich zu G Expeientalphysik I SS 4-4

5 Zugkäfte bei Aufhängung an Dähten Z Z g Z Z g z,i >> g Expeientalphysik I SS 4-5

6 Addition von Käften Vektoielle Käftebilanz: Zugkäfte bei Aufhängung an Dähten: Expeientalphysik I SS 4-6

7 .6 Gundgleichungen de echanik Ipuls p: Definition des Bewegungszustandes eines Köpes: p v Zentale Göße in de echanik Zusaenhang it de Kaft: dp enn, dann gilt: also: d p ( v) d d v dv dp p dv a a dp dp p const. Expeientalphysik I SS 4-7

8 Newton sche Axioe(). Newtonsche Axio:. Newtonsche Axio: 3. Newtonsche Axio: Jede Köpe vehat i Zustand de Ruhe ode de gleichföigen gadlinigen Bewegung, solange keine Kaft auf ihn wikt ( = de Ipuls p v eines käftefeien Teilchens ist zeitlich konstant) Eine auf ein Teilchen wikende Kaft füht zu Ändeung seines Ipulses p dp Einheit de Kaft: kg Newton N s (3) actio = eactio zwei Köpe, die nu iteinande (abe nicht it andeen Köpen) wechselwiken, üben aufeinande gleich goße, abe entgegengesetzt geichtete Käfte aus. p p Expeientalphysik I SS 4-8

9 assentägheit Vesuch zu assentägheit : schnell ziehen langsa ziehen uss duch uss nicht beschleunigt weden, beschleunigt weden est dann kann zunehen = g + Expeientalphysik I SS 4-9

10 Newton sche Axioe(): actio = eactio Gavitationsgesetz: Käfte und sind de Betage nach gleich! (auch bei <<<!!) Da a wid die kleine asse stäke beschleunigt. das Apfel-Ede Poble : Expeientalphysik I SS 4-

11 Newton sche Axioe(3): actio = eactio edewaage: Luftkissenfahbahn: a Expeientalphysik I SS 4-

12 Newton sche Axioe(4): actio = eactio Rakete: Gundlage: Ipulsehaltung ( veeinfachte Dastellung!!) dp dv v d s. Detöde Bd., Kap..6.3 v a Rakete a v Ausstögeschwindigkeit des Teibstoffes = konstant Rakete v d Popotional zu elativen assenändeung (bei v = konst.) (Vegleich asse Luft i Expeient) Expeientalphysik I SS 4-

13 .6. Schwee und täge asse Täge asse: Eigenschaft eines Köpes de asse ohne Kafteinwikung i Bewegungszustand zu vehaen Schwee asse: Tägheit täge asse T Gewicht eine asse veusacht duch (Gavitationsanziehung) g Gav. schwee asse s s kg G kg 9,8 9, 8 N s essungen, die abzielen auf essung von (a) Tägkeit und (b) Gewicht, zeigen : T T s Einstein postuliet T S da beide Gößen ununtescheidba (Gedanken-Vesuch) Expeientalphysik I SS 4-3

14 .6.3 Bewegungsgleichung in eine beliebigen Kaftfeld Allgeeine Bewegungsgleichung in eine beliebigen Kaftfeld: a dv a Also (t) dv a t t ' v( t) c ( t) v( t ' t t t ' ' ( t) c c dv ' ) ' (t) dv und können zeitabhängig sein a const. ( t) at vt enn und Anfangsbedingungen v, Expeientalphysik I SS 4-4

15 Atwoodsche allaschine Bestiung de Edbeschleunigung: Käfteansatz: ) a ( ) g ( G, G, l g g Resultieende Beschleunigung: a g Reduzieung de allbeschleunigung u den akto Expeientalphysik I SS 4-5

16 Otsabhängige Käfte z.b. Entfenung von de Ede übe Distanzen vegleichba ode göße als de Edadius Vaiation de Gavitationskaft (hat nu adiale Koponente) ( ) G ˆ a( ) G Gesucht: bei otsabhängige Beschleunigung Tennung de Vaiablen : -di: v() dv d a dv dv d d ˆ v dv d G v dv G d v linke Seite enthält nu die Vaiable v echte Seite enthält nu die Vaiable nicht nicht v Expeientalphysik I SS 4-6

17 Otsabhängige Käfte Lösung: v dv G d v dv G d Anfangsbedingungen: v G c R v v v G R c c v G R wegen: a( R) G g und G R g R folgt v g R v gr v fü ax. kosische Geschwindigkeit: ax R v Rg ax ( v ) ax v, Rg. ks Expeientalphysik I SS 4-7

18 Kaftfelde Definition: Jede Punkt des Raues kann eindeutig ein Vekto zugeodnet weden. ( ) ( x, y, z) Zentalkaftfeld: ichtig und inteessant: ( ) f ( ) ˆ - die Kaft zeigt ie auf ein festes Zentu - Stäke de Kaft hängt (nu) von ab. - f() < : Kaft ist attaktiv (z.b. Gavitation) - f() > : Kaft ist epulsiv (z.b. Ladungen + + ) - Zentalkaftfelde sind kugelsyetisch Expeientalphysik I SS 4-8

19 Kaftfelde Gavitationskaftfeld: anziehend, attaktiv Coulob-Kaftfeld: abstoßend, epulsiv Expeientalphysik I SS 4-9

20 Nicht zentale Kaftfelde Dipol-Kaftfeld: Kaft auf (negative) Pobeladung in de Nähe von elektische Dipol eldlinien, geben jeweils die Richtung de Kaft an Gavitations-Kaftfeld Ede < > ond: E G E E ˆ E G ˆ E G E E ˆ E ˆ Expeientalphysik I SS 4-

21 Hoogenen und inhoogene Kaftfelde Inhoogenes Kaftfeld: Gavitationskaftfeld hängt von ab. Hoogenes Kaftfeld: Kaft auf elektische Ladung i Inneen eines Plattenkondensatos Näheungsweise auch hoogen: Gavitations-Kaftfeld nahe de Edobefläche So lange Beschleunigung a unabhängig von h ist (i Rahen de essgenauigkeit!), kann das Kaftfeld als hoogen angesehen weden. Expeientalphysik I SS 4-

22 Bewegung in Kaftfelden Bewegung eines assenpunktes von P nach P entlang de vogegebenen Bahnkuve in eine Kaftfeld () Definition de Abeit: Einheit: Linienintegal:, P d Abeit (P > P ) P N Joule J d Linienintegal x dx y dy Nu die Kaftkoponente paallel zu Bahnkuve leistet einen Beitag zu Abeit! x x y y z z z dz Expeientalphysik I SS 4-

23 Linienintegal () (x) x x A A i = x i (x i ) läche I = i A i = x i x E x E x A x (x) dx Integal längs eine Achse (geade Linie) Expeientalphysik I SS 4-3

24 z Linienintegal () y z = (x,y) = läche A s ds B y = S(x) = Pfad I = B (x,y) ds = (x,s (x))ds S(x) A x Expeientalphysik I SS 4-4

25 Abeit und Leistung d x x x dx y y y dy z z z dz d Skalapodukt d wenn d Vozeichen de Abeit: d d d d Abeit ist ein Skala! Leistung: = Abeit po Zeit ittlee Leistung, oentane Leistung: Einheit. P, d, P t J att s P P d d d d v Expeientalphysik I SS 4-5

26 Abeit bei einfachen Bewegungen Begfaht eines Autos: h P P, d gd g sin P P s d, g sin s g h Vozeichen? Expeientalphysik I SS 4-6

27 Abeit bei einfachen Bewegungen Dehnung eine ede: Bei Ausdehnung: Abeit gegen die edekaft: x D( x x) x x ' dx' D( x' Hook sches Gesetz ( x) x) dx' ( x) D ( x x) x x x ü ededehnung i Gültigkeitsbeeich des Hook schen Gesetzes steigt die efodeliche Abeit quadatisch it Δx = (x x ) an. Expeientalphysik I SS 4-7

28 Expeientalphysik I SS 4-8 Konsevative und nicht konsevative Kaftfelde Ringintegal: Abeit längs eines geschlossenen eges: Konsevatives Kaftfeld: Nicht-konsevatives Kaftfeld: Linienintegal übe einen geschlossenen eg Abeit ist unabhängig vo eg Abeit ist abhängig vo eg eg b b eg a a d d ) ( ) ( b eg b eg a a d d ) ( ) (??? ) ( P P P d ) ( P P P d ) ( P P P d

29 Konsevative Kaftfelde Hoogenes Kaftfeld: Abeit ist unabhängig vo eg. Zentalkaftfeld: (Nu Kaftkoponenten paallel zu Bahnkuve liefen einen Beitag zu Abeit Expeientalphysik I SS 4-9

30 Nicht-konsevative Kaftfelde Lainae Stöung: Abeit ist abhängig vo eg. Das Kaftfeld () ist eindeutig definiet, fü den angegeben eg (gestichelt) gilt ( ) d Das Kaftfeld ist nicht-konsevativ. Reibungskäfte: R R v Reˆ v, ( ) d ( ) eˆ ds eˆ eˆ R R t R t t Bewegung eines Objektes auf Untelage it Reibung t ds R s Abeit ist popotional zu zuückgelegten eg! Expeientalphysik I SS 4-3

31 .7.3 Potentielle Enegie Abeit in konsevativen Kaftfelden bei konstante Ausgangspunkt P ist nu abhängig vo Endpunkt P. Abeit ist eine unktion von P ( Potentielle Enegie ). Definition: d, pot E pot () E () Abeit, fü den Tansfe >> ist gleich de Diffeenz de potentiellen Enegien in Punkt und Punkt. E pot : nu fü konsevative Kaftfelde definiet! Nullpunkt: eie ahl des Nullpunktes, da nu die Diffeenz fü die Abeit wichtig ist! Expeientalphysik I SS 4-3

32 Potentielle Enegie Vozeichen: E( ) E() Zufuh von Enegie von außen E( ) E() Abeit wid vo Syste geleistet. z z Beispiel: Schweefeld de Ede: z z dz g z z g dz g z z z Abeit wid geleistet! g( z z) da z z z a b ü E( z E( z ) ) E( z ) E( z ) Abnahe de potentiellen Enegie! Expeientalphysik I SS 4-3

33 Potentielle Enegie Vozeichen: E( ) E() Zufuh von Enegie von außen E( ) E() Abeit wid vo Syste geleistet. z z Beispiel: Schweefeld de Ede: z z dz g z z g dz g z z z Zufuh von Enegie! g( z z) da z z z a b ü E( z E( z ) ) E( z ) E( z ) Zunahe de potentiellen Enegie! Expeientalphysik I SS 4-33

34 Abeit und potentielle Enegie i Gavitationsfeld de Ede :, d G d G Abeit fü Tansfe von P nach P, bez. Diffeenz de potentiellen Enegien in P und P eiheit zu ahl des Nullpunktes,, d G d G E pot ( ) d E pot ( ) Beachte: E pot () ist negativ Expeientalphysik I SS 4-34

35 Enegiesatz de echanik Kinetische Enegie: a t t t t v v v t t v vv vdv Ekin v v v v v t t E kin v () E ( Bewegungsenegie ) auf beiden Seiten kin dv () dv Zusaenhang it potentielle Enegie: v d v E kin E pot t t d E pot ( P P) Enegiesatz: E kin ( P ) E pot ( P ) Ekin( P ) E pot ( P ) Expeientalphysik I SS 4-35

36 Atwoodsche allaschine Bestiung de Edbeschleunigung: Enegieansatz: E pot E kin gh ( ) v gh ( ) v gh v v gh eie all v ha a g Expeientalphysik I SS 4-36

37 Enegieehaltung adenpendel, edependel: Enegiebilanz: Expeientalphysik I SS 4-37