Lösungsvorschlag Übung 2
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- Uwe Lorenz
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1 Lösungsvorschlag Übung Aufgabe : Dichte von Gasen a) Die Dichte ρ eines Gases ist definiert als der Quotient aus Masse m und Volumen V ρ = m V..) Die Masse eines Gases erhält man aus dem Produkt seiner Stoffmenge n mit seiner Molmasse M n M = m). Daraus folgt für die Dichte ρ ρ = n M V..) Formt man nun das ideale Gasgesetz pv = nrt nach der Stoffmenge n um so erhält man n = pv RT..3) Setzt man nun Gl..3) in Gl..) ein, so ergibt sich der gesuchte Zusammenhang für die Dichte ρ ρ p, T, M) = p M..4) RT b) Die Dichten der Gase O, N, CH 4, Cl und Ne erhält man durch Einsetzen von T = 98 K, p = bar und der entsprechenden Molmasse M in Gl..4). Mit MO ) = 3. g/mol erhält man ρo ) = p RT M = 5 Pa J mol K 98 K 3. g mol =.9 kg m 3.5) Analog berechnen sich die Dichten der verbleibenden Gase. Diese sind in Tabelle. aufgelistet. Tabelle.: Molmassen und Dichten der Gase O, N, CH 4, Cl und Ne bei T = 98 K und p = bar. Gas Molmasse Dichte O M = 3. g mol ρ =.9 kg m 3 N M = 8. g mol ρ =.3 kg m 3 CH 4 M = 6.4 g mol ρ =.65 kg m 3 Cl M = 7.9 g mol ρ =.86 kg m 3 Ne M =.8 g mol ρ =.8 kg m 3 Aufgabe : Molmassen und Isotope a) Die atomare Masseneinheit Symbol u) ist definiert als / der Masse des C-Atoms. Die Umrechung in Kilogramm erfolgt gemäss u = kg. Nützliche Anmerkung: Der Zahlenwert der Avogadrokonstanten N A ist der Zahlenwert des Kehrwertes von u, N A = gmol u = 6. 3 mol..)
2 b) Die drei Isotope 6 8Pb natürliche Häufigkeit: p 6 =.4), 7 8Pb p 7 =.) und 8 8Pb p 8 =.54) haben zusammen eine natürliche Häufigkeit von p 6 + p 7 + p 8 =.986, also beträgt die natürliche Häufigkeit des vierten Isotopes, da sich die Häufigkeiten zu ergänzen p x =..986 =.4 d.h..4%)..) Die Massen der bekannten Isotope, m 6 = u, m 7 = u und m 8 = u, hängen mit der mittleren Masse m = 7. u von natürlich vorkommendem Blei gemäss m = p 6 m 6 + p 7 m 7 + p 8 m 8 + p x m x = p 6 m 6 + p 7 m 7 + p 8 m 8 + p 6 p 7 p 8 )m x.3) zusammen, wobei m x die Masse des zu charakterisierenden Isotopes darstellt. Nun kann man nach m x auflösen und erhält m x = m p 6m 6 p 7 m 7 p 8 m 8 p 6 p 7 p 8.4) m u u u =.4.5) = 3.7 u..6) Da m x 4 u ist, handelt es sich beim vierten Isotop um 4 8Pb. Seine exakte Masse beträgt m 4 = u. c) In der Natur kommen zwei natürliche Isotope von Stickstoff und zwei von Wasserstoff vor. Das natürliche Vorkommen von superschwerem Wasserstoff Tritium) ist so gering, dass wir es für diese Teilaufgabe vernachlässigen können. Für den Bau eines Ammoniakmoleküls ergeben sich daraus 3 = 6 Kombinationsmöglichkeiten. Allerdings sind viele davon identisch Beispiel: 4 N H H H und 4 N H H H, etc.), sodass sich deren Anzahl auf 8 reduziert. Die natürlichen Häufigkeiten der verschiedenen Isotopomere erhält man, indem man das Produkt der natürlichen Häufigkeiten der einzelnen Isotope berechnet. Die erhaltenen Ergebnisse sind in Tabelle. zusammengefasst. Dabei müssen bei Isotopomeren, die unterschiedliche Wasserstoffisotope enthalten, zusätzlich noch die unterschiedlichen Anordnungsmöglichkeiten berücksichtigt werden, die zu ununterscheidbaren Molekülen führen Beispiel: 4 N H H H und 4 N H H H, etc.). Die Summe über die relativen Häufigkeiten aller Isotopomere ergibt, wie erwartet,. d) Betrachtet man die Luft als ein ideales Gasgemisch, kann man die Anzahl Gasteilchen N in V = m 3 bei p = bar und T = 33 K berechnen gemäss N = p V R T N A = 5 Pa m J mol K 33 K mol = ) Von diesen N Gasteilchen sind. 4 Anteile NH 3 -Moleküle, also N NH3 =.963. Diese NH 3 -Moleküle bilden eine natürliche Mischung aller Isotopomere von NH 3. Beachten Sie, dass es 3! = 6 Möglichkeiten gibt die drei Wasserstoffisotope im 4 N 3 H H H-Molekül anzuordnen. Die Zahl der 4 N 3 H H H-Isotopomere beträgt folglich N4 N 3 H H H = 6 p4 N p H p H p3 H N NH3 = = )
3 Tabelle.: Auflistung der relativen Häufigkeiten sämtlicher Isotopomere von NH 3, welche aus den natürlich vorkommenden Isotopen gebildet werden können. Isotopomer a N b H c H d H Nr. a, b, c, d) relative Häufigkeit 4,,, ) p4 N p 3 H = ,,, ) 4,,, ) 4,,, ) nicht unterscheidbar 3 p4 N p H p H = ,,, ) 3 4,,, ) 4,,, ) nicht unterscheidbar 3 p4 N p H p H = ,,, ) p4 N p 3 H = ,,, ) p5 N p 3 H = ,,, ) 6 5,,, ) 5,,, ) nicht unterscheidbar 3 p5 N p H p H = ,,, ) 7 5,,, ) 5,,, ) nicht unterscheidbar 3 p5 N p H p H = ,,, ) p5 N p 3 H =.35 4 Ein Kubikmeter Luft enthält also etwa 6 4 N 3 H H H-Moleküle bei p = bar, T = 33 K und einem Molenbruch von NH 3 n NH3 n tot =. 4. Aufgabe 3: Kräfte zwischen Proton und Elektron a) Der Betrag der Gravitationskraft F G ist allgemein gegeben durch F G = γ m m r, 3.) wobei γ = Nm kg die Gravitationskonstante ist. Einsetzen der Ruhemasse des Protons m p = kg, der Ruhemasse des Elektrons m e = kg und r = 5 pm liefert F G = γ m pm e r 3.) = Nm kg kg kg.5 m) 3.3) = N. 3.4) Der Betrag der elektrostatischen Coulomb-) Kraft ist allgemein gegeben durch F C = 4πɛ q q r, 3.5) 3
4 wobei ɛ = Fm die Dielektrizitätskonstante des Vakuums ist. Einsetzen der Elementarladung q e = q p =.6 9 C und r = 5 pm liefert F C = 4πɛ q eq p r 3.6) = Fm.6 9 C).5 m) 3.7) =.3 8 N. 3.8) b) Sowohl Coulomb- als auch Gravitationskraft sind proportional zum Produkt der wechselwirkenden Grössen und indirekt proportional zum Abstandsquadrat. Die Gravitationskraft ist wesentlich kleiner im vorliegenden Fall 4 Grössenordnungen) und kann daher bei der bei der Betrachtung von Atomen und Molekülen vernachlässigt werden. Aufgabe 4: Potentielle Energie a) Das potentielle Energie V x) in Abhängigkeit des Ortes x, V x) = b e ax) 4.) mit a =.5 m und b =.5 J, ist in Abbildung 4- dargestellt. b) Die Kraft, die an der Stelle x auf das Objekt wirkt, entspricht der negativen Ableitung 8 V x)/j x/m Abbildung 4-: Verlauf der durch Gleichung 4.) beschriebenen potentiellen Energie als Funktion von x 4
5 der potentiellen Energie an dieser Stelle, dv x) F x) = dx = d dx 4.) { b e ax) } 4.3) = b e ax) d dx e ax ) 4.4) = b e ax) d dx e ax 4.5) = ab e ax) e ax. 4.6) c) Die Kraft an verschiedenen Orten x kann durch Einsetzen in Gleichung 4.6) erhalten werden. Für x =.5 m erhält man F x) = ab e ax) e ax 4.7) ) F.5 m) =.5 m.5 J e.5 m.5 m) e.5 m.5 m) 4.8) = N. 4.9) Für x = m, x = m und x = m erhält man analog F m) = N, F m) =.57 N und F m) = N. d) Da die kinetische Energie sowohl am Anfang als auch am Ende der Bewegung Null ist, entspricht die Arbeit W, die verrichtet werden muss, der Änderung der potentiellen Energie V des Objektes, W = V x e ) V x a ). 4.) Ein Ausdruck für V x a ) und V x e ) kann aus Gleichung 4.) erhalten werden, so dass sich mit x a = m und x e = m ergibt. W = b e axe) b e ax a ) 4.) = b { e ) e ) } 4.) = b { ) ) } 4.3) = b 4.4) =.5 J 4.5) 5
6 Aufgabe 5: Radioaktiver Zerfall a) Die Konzentration des Cäsiums [Cs]t) nimmt mit der Zeit ab, d. h. ihre Änderung ist kleiner Null, <. 5.) dt Die Geschwindigkeitskonstante k ist per Definition positiv. Da die Konzentration ebenfalls positiv ist, muss das Minuszeichen eingeführt werden, damit die Gleichung 5.) aus der Aufgabenstellung erfüllt ist. b) In Gleichung 5.3) aus der Aufgabenstellung sind die Variablen bereits separiert. Durch unbestimmte Integration erhält man = kdt 5.) [Cs]t) [Cs]t) = k dt 5.3) ln[cs]t) = kt + a, 5.4) wobei a die Integrationskonstante ist. Durch Umstellen nach [Cs] erhält man [Cs]t) = e kt+a = e a e kt. 5.5) Einsetzen von t = in diese Gleichung zur Bestimmung der Integrationskonstanten a liefert [Cs]) = e a, 5.6) so dass schlussendlich [Cs]t) = [Cs]) e kt 5.7) gilt. Alternativ ist auch eine Lösung der Differentialgleichung durch bestimmte Integration möglich: [Cs]t) [Cs]) d[cs]τ) t [Cs]τ) = k dτ 5.8) ln[cs]t) = ln[cs]) kt 5.9) [Cs]t) = [Cs]) e kt. 5.) Beachten Sie, dass hier τ als Integrationsvariable gewählt wurde, da t zur Definition der Integrationsgrenzen benötigt wird. 6
7 c) Gleichung 5.) muss bestimmt in den Grenzen [Cs]) und [Cs]) bzw. und τ / integriert werden, [Cs]) [Cs]) [Cs]t) = k τ / dt 5.) ln[cs]t) [Cs]) = kt τ / 5.) [Cs]) { } ln [Cs]) ln[cs]) = kτ / 5.3) ln [Cs]) = kτ / 5.4) ln = kτ /. 5.5) d) Die Geschwindigkeitskonstante k kann mittels der Halbwertszeit τ / durch Umstellen von Gleichung 5.5) nach k bestimmt werden, Einsetzen von τ / = 3.3 a liefert ln = kτ / 5.6) k = ln. τ / 5.7) k = ln 3.3 a =.9 a = 7.7 s. 5.8) 7
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