Einführung in die Stochastik

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1 Prof. Dr. Has-Wolfgag He UNIVERSITÄT DORTMUND Fachbereich Mathematik Istitut für Etwicklug ud Erforschug des Mathematikuterrichts Eiführug i die Stochastik Skriptum zur Vorlesug im WS 00/003

2 Ihaltsverzeichis. WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Eiige stochastische Probleme Eiführede Bemerkuge Meiuge zur Statistik Historische Bemerkuge Sammel, Darstelle, Iterpretiere statistischer Date Darstellugsarte ud Kegröße Darstellugsarte Mittelwerte Streumaße Bewusste ud ubewusste Maipulatio vo Date Bewusste oder ubewusste falsche Darstellug i Histogramme ud Graphike Maipulative Iterpretatio objektiver Date Kombiatorik Die Produktregel der Kombiatorik Die kombiatorische Grudaufgabe Bemerkuge zu de Biomialkoeffiziete: Awedugsbeispiele Der Wahrscheilichkeitsbegriff Zufallsexperimete Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite Gleichwahrscheilichkeit Laplace-Experimete Beispiele für Laplace-Experimete Eigeschafte vo Laplace-Wahrscheilichkeite Geometrische Wahrscheilichkeite Wette ud subjektive Wahrscheilichkeite Ei Axiomesystem für Wahrscheilichkeite Reche mit Wahrscheilichkeite Bedigte Wahrscheilichkeit, Uabhägigkeit Ergäzuge ud Beispiele Mehrstufige Zufallsexperimete ud Pfadregel Beispiele zu de Pfadregel Bedigte Wahrscheilichkeite ud der Satz vo Bayes WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN Zufallsvariable Zufallsvariable ud ihre Wahrscheilichkeitsverteiluge Stochastische Kegröße vo Zufallsvariable Verküpfuge vo Zufallsgröße Defiitio Beispiele Erwartugswert ud Variaz für verküpfte Zufallsgröße Stadardisierte Zufallsgröße Die Ugleichug vo Tschebyscheff ud σ-umgebuge Biomialverteilug Galtobrett ud biomialverteilte Zufallsgröße Erwartugswert ud Variaz biomialverteilter Zufallsgröße... 89

3 3..3 Beispiele Das Berouillesche Gesetz der große Zahl Adere Verteiluge Hypergeometrische Verteilug Wartezeitprobleme ud Geometrische Verteilug Poisso-Verteilug Normal-Verteilug Lokaler Grezwertsatz vo De Moivre Der zetrale Grezwertsatz Stetige Zufallsgröße GRUNDLAGEN DER BEURTEILENDEN STATISTIK Teste Das Testproblem Eiseitige Tests Zweiseitige Tests Schätze Puktschätze Itervallschätze...

4 4. Wahrscheilichkeitsrechug. Eiige stochastische Probleme. Lebeserwartugsproblem Die mittlere Lebeserwartug vo mäliche Lebedgeburte hat vo 44,6 im Jahre 900 auf 66, im Jahre 970 zugeomme. Das heißt doch, dass die Mesche im Mittel um,6 Jahre älter werde, oder?. Geburtstagsproblem Wie viele Persoe müsse midestes zusammekomme, damit ich (mit faire Chace) darauf wette ka, dass midestes zwei Persoe am selbe Tag Geburtstag habe? 3. Lottoproblem Welche Chace habe ich, im Lotto 6 aus 49 geau 3 Richtige zu habe, ud welche für 6 Richtige plus Zusatzzahl? 4. De-Méré-Problem Die Erfahrug zeigt: Ma ka aussichtsreich darauf wette, dass beim mehrmalige Werfe eies Würfels spätestes bis zum vierte Wurf eie 6 fällt. Eie Doppel-6 beim Werfe zweier Würfel ist sechsmal selteer als eie 6 bei eiem Würfel. Ist es also aussichtsreich, darauf zu wette, dass beim mehrmalige Werfe zweier Würfel spätestes bis zum vierudzwazigste Wurf (de 6 4 = 4) eie Doppel-6 fällt? 5. Teilugsproblem Zwei Spieler führe eie Wettkampf durch. Wer zuerst 5 Eizelspiele gewoe hat, ist Gesamtsieger ud erhält eie Geldpreis vo 0.000,- DM. Durch höhere Gewalt muss der Wettkampf beim Stade vo 4 : 3 abgebroche werde. Wie soll der Geldpreis uter de beide Spieler aufgeteilt werde? 6. Dreitüreproblem Am Ede eier Quizsedug darf der Kadidat eie vo drei gleichaussehede Türe wähle. Hiter eier der Türe verbirgt sich der Hauptgewi, ei Auto, hiter de beide adere Türe befide sich Ziege. Nachdem der Kadidat eie Tür ausgewählt hat, öffet der Quizmaster eie der beide adere Türe ud zeigt eie Ziege. Da bietet er dem Kadidate die Möglichkeit, seie ursprügliche Wahl zu revidiere ud die adere och geschlossee Tür zu ehme. Was soll der Kadidat tu: Auf alle Fälle wechsel, auf alle Fälle die Erstwahl beibehalte, oder ist es sowieso egal? 7. Kugelproblem Zuerst Armi ud da Beate ziehe abwechseld blid eie Kugel (ohe sie wieder zurückzulege) aus eiem Sack mit 50 Kugel, davo 49 schwarz ud weiß. Wer zuerst die weiße Kugel zieht, hat gewoe. Hat Armi oder Beate die bessere Chace? 8. Geschwisterproblem Vo eier Familie weiß ich, dass sie zwei Kider hat, kee aber icht dere Geschlecht. Nu erfahre ich durch Zufall, dass eies der Kider ei Mädche ist. Wie groß ist die Chace, dass das adere Kid auch ei Mädche ist?

5 5 9. Wasserbeutelproblem 00 Viertklässler werfe Wasserbeutel auf 00 Drittklässler. Jeder Viertklässler wirft eie Beutel auf eie zufällig ausgesuchte Drittklässler ud trifft ih auch sicher. Wie viele Drittklässler werde wohl trocke bleibe? 0. Zollhudproblem Der Hud eies Zollbeamte bellt, we er Rauschgift erschuppert. 98% aller Rauschgift- Schmuggelfälle etdeckt er. I 3% aller Fälle, i dee kei Rauschgift geschmuggelt hat, bellt er versehetlich trotzdem. Die Erfahrug zeigt, dass bei % sämtlicher Grezübertritte Rauschgift geschmuggelt wird. Nu bellt der Hud bei eiem gerade akommede Grezgäger, beim ächste icht. Wie sicher ka der Zollbeamte sei, dass der erste tatsächlich Rauchgift schmuggelt, ud wie sicher, dass der zweite es tatsächlich icht tut?. Bertrad-Problem Ma zeichet gaz zufällig eie Sehe i eie gegebee Kreis. Wie groß ist die Chace, dass diese Sehe kürzer ist als eie Seite eies dem Kreis eibeschriebee gleichseitige Dreiecks? Behadlug im Skriptum: Nr. Seite Kapitel , b) , Beispiel g , Beispiel h , b) , Beispiel , Beispiel , Beispiel , Beispiel , Beispiel b

6 6. Eiführede Bemerkuge.. Meiuge zur Statistik Bejami Disraeli (804 88, britischer Schatzkazler, Romacier) There are there kids of lies: lies, damed lies, ad statistics Adrew Lag (844 9, schottischer Gelehrter ud Schriftsteller) Wir beutze die Statistik wie ei Betrukeer eie Laterepfahl: vor allem zur Stütze useres Stadpuktes ud weiger zum Beleuchte eies Sachverhalts. Otto Fürst vo Bismarck (85 898) Ich glaube ur de vo mir selbst gefälschte Statistike Aus der Siemes-Broschüre Argumete : Ei Ufall mit Kerschmelze ist für heutige Kerkraftwerke mit etsprecheder Sicherheitstechik aufgrud der extreme Uwahrscheilichkeit praktisch ausgeschlosse. Glaube macht selig? (aus SPIEGEL /994, Hohlspiegel, ) Der Gewier der Spaische Weihachtslotterie 993 wurde gefragt, woher er gewusst habe, welches Los er kaufe müsse: Ich habe solage gesucht, bis ich die Losummer 48 gefude habe. Wieso die 48? Ich habe siebe Nächte hitereiader vo der Nummer 7 geträumt, also habe ich 7 mal 7 gerechet, ebe die 48!.. Historische Bemerkuge Statistik: Ich würfle mal ud bereche... Verfahre, um empirische Date zu gewie, darzustelle, zu verarbeite, zu aalysiere,.. Wahrscheilichkeitstheorie: Ich sage für die Zukuft voraus... Bestimmug eies Maßes für de Grad der Möglichkeit des Eitreffes och uverwirklichter Ereigisse. Stochastik: Mathematik des Zufalls, Sammelbegriff für die Gebiete Statistik ud Wahrscheilichkeitstheorie Experimete, die wir heute als Zufallsexperimete bezeiche, hat ma bereits i der Atike ausgeführt. Beispielsweise gab es Glücksspiele, dere Züge mit Tierkoche, de Astragale, aus der Fußwurzel vo Schafe oder Ziege erwürfelt wurde (vgl. Bild i Egel, Stochastik, S. 37). Auch wurde für wichtige Etscheiduge Lose gezoge. Ei Beispiel hierfür fidet sich im Alte Testamet (Lev 6,8). Isbesodere versuchte ma mit Astragali ud Lose die Zukuft ud de göttliche Wille zu erforsche. Im Alte Rom gab es scho Versicheruge. Die Kaiser Nero ud Augustus verastaltete Lotterie mit kostbare Gewie alässlich der Saturalie. Es bestad allerdigs kei Bedürfis zu eier Theorie des Glücks ud Rates.

7 7 Statistische Frage habe ihre Ursprug im Staatswese, z.b. Volkszähluge, Erhebug vo Bevölkerugszahle. J. Graut (60 674) aalysierte umfagreiche Geburts- ud Sterbeliste, sucht Gesetzmäßigkeite beim Geschlechterverhältis. E. Halley (656 74, Astroom) utersucht Sterbetafel als Grudlage für Leibrete Wahrscheilichkeitstheorie als Wisseschaft ist sehr viel jüger, wegleich sie ihre Ursprüge i Glücksspiel-Probleme scho vor dem 3. Jahrhudert hat. Eies dieser sehr alte Probleme ist das Teilugsproblem (vgl.. Problem 5). Bekat ist auch das Problem des Chevalier de Méré, mit dem er sich 654 a Blaise Pascal (63 65, Paris) wadte: Was ist wahrscheilicher, bei 4 Würfe mit eiem Würfel midestes eie 6 zu werfe, oder bei 4 Würfe mit Würfe midestes eie Doppel-6 zu werfe (vlg.. Problem 4). Dieses Jahr 654 sieht ma aufgrud des Briefwechsels zwische Fermat ud Pascal zum Teilugsproblem ud zum Problem des Chevalier de Méré ud ihre auch heute aerkate Lösuge als Geburtsstude der Wahrscheilichkeitstheorie als Wisseschaft a. Pierre de Fermat (60 665) war übriges Parlametsrat i Toulouse. Eier aus der große Beroulli-Familie, Jacob ( ) erkate das Gesetz der große Zahl ud wadte es scho auf statistische Frage a. P.S. Laplace (749 89) verdake wir die Defiitio der Wahrscheilichkeit als Quotiete güstiger ud möglicher Fälle: p = g ; dabei müsse allerdigs alle Fälle gleichwahrscheilich sei. Wichtige Beiträge leistete m C.F. Gauss ( ), geat seie ur Gausssche Normalverteilug, Streumaße ud Fehlerrechug. R.v. Mises ( ) versuchte, de Begriff der Wahrscheilichkeit allgemei als Grezwert relativer Häufigkeite zu defiiere, ei Versuch, der scheiter musste. Erst A.v. Kolmogoroff ( ) etwarf 93 sei heute och akzeptiertes Axiomesystem auf megetheoretischer Grudlage. Wie Hilbert bei de Grudlage der Geometrie verzichtet auch Kolmogoroff bei de Grudlage der Wahrscheilichkeit auf die otologische Bidug der Grudbegriffe. Zu historische Frage vgl. auch H. Küttig: Beschreibede Statistik ei historischer Abriss, S. 7 6 i der Glatfeld-Festschrift Beiträge zum Lere ud Lehre vo Mathematik (Hrsg. Padberg).

8 8.3 Sammel, Darstelle, Iterpretiere statistischer Date Ziel dieses Abschitts ist die Sesibilisierug für eiige Probleme bei de viele Graphike ud Statistike, dee wir täglich kofrotiert sid. Die mathematische Grudlage sid sehr eifach..3. Darstellugsarte ud Kegröße.3.. Darstellugsarte Date eies Merkmals mit de Auspräguge x,..., x s (z.b. Stimmezahl m i für die Partei x i bei eier Wahl) werde erhobe. Aus de absolute Häufigkeite m i werde die relative Häufigkeite h i = m i mit = m + m m s berechet. Bekate Darstellugsarte solcher Date sid Strichliste, Kreisdiagramme, Liiediagramme, Stabdiagramme, Histogramme (Balkediagramme), Stamm-ud-Blatt-Darstellug,... Als Beispiel werde im folgede Date der Ladtagswahl i Sache am verschiede dargestellt (ob die jeweilige Darstellug für diese Date Si macht, sei dahigestellt): CDU 56,9 % Grüe,6 % SPD 0,7 % FDP, % PDS, % Sostige 6,5 % Kreisdiagramm (Wikel etspricht Ateil)

9 9 Liiediagramm (Häufigkeitspolygo) Summeliiepolygo Stabdiagramm (Säulediagramm) i drei verschiedee Auspräguge: - Computer-Darstellug - Ausprägug Stabdiagramm

10 0 - Ausprägug Histogramm (Balkediagramm) P(B / A) Histogramme diee der vergröberte, aber übersichtlichere Darstellug vo Merkmale mit viele Auspräguge oder stetige Merkmale durch Klasseeiteilug: Die Stichprobewerte x,..., x werde i s Klasse [a, a [, [a, a 3 [,..., [a s, a s [ eigeteilt. Falle m j Werte i die Klasse [a j, a j+ [, so berechet sich die Höhe d j des Histogramms über dieser Klasse aus der Gleichug m j d j (a j+ a j ) =. Die Date im folgede Beispiel gebe die jährliche Milchleistug vo Kühe i dz a. Diese Date werde i 8 Klasse eigeteilt ud i folgedem Diagramm dargestellt. Die Rechtecksfläche über de Teilitervalle ist gleich der relative Klassehäufigkeit. Bei gleiche Klassebreite ist auch die Höhe proportioal zur Klassehäufigkeit.

11 Dieselbe Milchleistugsdate sid i der folgede Abbildug i der kompakte ud ü- berschtliche Stamm- ud Blatt-Darstellug zusammegefasst: Dabei ist z.b. die 6. Zeile so zu lese, dass die Milchleistuge 9,0 dz, 9, dz ud 9,9 dz vorkomme.

12 Oft werde Date icht absolut soder prozetual dargestellt. Missverstädisse köe auftrete, we es um % vo % geht. Typische Beispiele sid Aalyse vo Wahlergebisse: Eie der übliche Gewi-Verlust-Agabe ist Die Partei A hat % gewoe. Was bedeutet die Aussage? 40 % 4 %: Zuahme um,5 % 4,5 % 5,5 %: Zuahme um, %.3.. Mittelwerte Als übersichtliche Kegröße gelte Mittelwerte. Damit ist fast immer das arithmetische Mittel gemeit: s s Summe aller Werte mx + m x msx s mix i x = = = = h ix i. Azahl der Werte i= i= Ausrutscher bei de Date köe aber de Iformatioswert diese Mittelwerts sehr verfälsche: Die folgede Date möge das moatliche Eikomme vo 9 Persoe darstelle:.500,.00,.00,.300, 5.000,.000,.400,.600,.500. Durch de Ausrutscher ist der Mittelwert die weig aussagekräftige Zahl Auf diese Art ud Weise wird z.b. festgestellt, dass die Lehrerversorgug a Schule ausreiched ist, dass das durchschittliche Eikomme gut ist usw. Bei diese Date wäre der Media (oder Zetralwert) die bessere Kegröße. Die Date werde als Ragreihe der Größe ach geordet. Der Media ist die mittlere Zahl bei ugerader Azahl vo Werte, der Mittelwert der beide mittlere Zahle bei gerader Azahl vo Werte. Im obige Beispiel ist die geordete Datereihe.000,.00,.00,.300,.400,.500,.500,.600, mit dem Media.400. Ei weiteres Beispiel, wo der Mittelwert falsche Iformatioe vermittel ka, ist das Lebeserwartugsproblem (vgl... Problem ): Grudlage sid die folgede Zahle.[Borovic 99, S. 43] aus eier Absterbeordug, wie sie i Statistische Jahrbücher zu fide sid: Vo.000 mäliche Lebedgeboree sterbe im Alter vo Jahr I der Tat hat der Mittelwert vo 44,6 im Jahre 900 auf 66, im Jahre 970 zugeomme. Diese Durchschittszahle ka ma aber icht als typisches Sterbealter iterpretiere. Die 900-Verteilug mit Zetrum 44, 6 ist icht eifach um,6 verschobe, die Mesche also alle um,6 Jahre älter geworde sid. Das folgede Histogramm zeigt, dass die starke Erhöhug des arithmetische Mittels ur durch die radikale Abahme der Säugligssterblichkeit bewirkt wurde, währed die Verteilug der über Füfjährige sich ur leicht zu höhere Werte verschobe hat.

13 Zwei weitere Mittelwerte der Date y,..., y seie ur der Vollstädigkeit halber erwäht: Das geometrische Mittel y i.3..3 Streumaße i= ud das harmoische Mittel y y 5 Mädche ud 5 Juge habe jeweils mit eiem Peilgerät die Höhe des Schulhauses gemesse.. Ergebis: x x x 3 x 4 x 5 x Mädche 0,5 9, Juge Wie ka ma die qualitative Aussage, die Mädche habe besser gemesse, quatifiziere? - Spaweite: Differez größter ud kleister Wert (empfidlich auf Ausreißer); im Beispiel bei de Mädche, 6 bei de Juge. - Maximaler Abstad vom Mittelwert max x i - x (empfidlich auf Ausreißer); im Beispiel bei de Mädche, 4 bei de Juge. (x - Mittelwert der Differeze i= x) i (silos, das stets = 0). x - Mittlere lieare Abweichug (Mittelwert der Beträge der Differeze) Prizip sivoll, aber Beträge schlecht maipulierbar); im Beispiel 0,6 bei de Mädche, bei de Juge. i= x i (im

14 4 - Mittlere quadratische Abweichug (empirische Variaz) (Mittelwert der Quadrate der (x i x) Differezequadrate, Idee vo Gauss) s : = ; i= im Beispiel,5 bei de Mädche, 6 bei de Juge. Die bestechede Idee dieses Asatzes ist es, dass der Mittelwert x für eie Messreihe x,..., x derjeige Schätzwert ist, der die quadratische Fuktio Q mit Gleichug Q(x) = (xi x) miimiert (was ma leicht durch quadratische Ergäzug achreche ka. i= - Empirische Stadardabweichug s := s (begrüdet wege der Eiheit); im Beispiel,6 bei de Mädche, 5, bei de Juge. - Erwäht sei der für Messwertaalyse iteressate Stadardfehler x = s.3. Bewusste ud ubewusste Maipulatio vo Date I de viele graphische Darstelluge i Zeituge ud Zeitschrifte, die us täglich begege, werde oft objektive Date bewusst oder ubewusst falsch dargestellt oder maipuliert..3.. Bewusste oder ubewusste falsche Darstellug i Histogramme ud Graphike Die folgede Beispiele stamme aus Zeituge ud Zeitschrifte: - Die Peugeot-Azeige suggeriert aufgrud des maipulativ gewählte y-achsemaßstabs eie besoders iedrige Verbrauch der Peugeot-Fahrzeuge. Die ormale Darstellug daruter zeigt, dass der Uterschied fast verschwidet:

15 5 - Bei der Graphik Wie lage lehrt der Lehrer, wie lage lert der Schüler (SPIEGEL vom 7.0.9) ist auch der y-achsemaßstab maipulativ gewählt. Ma fertige eie ormale Graphik a!

16 6 - Bei der Azeige der damalige Budesregierug Seit 983 stabile Gebühre ist der x- Achsemaßstab maipulativ gewählt (vgl. Azeige ud korrekte Darstellug):

17 7 - Bei de Graphike Reiseziel Deutschlad ud Sie lebe vom Tourismus (Offeburger Tageblatt vom ) ist icht klar, was die Balloe bzw. die Mäche darstelle solle? Sid die Date proportioal zu Läge, Flächeihalt oder Volume?

18 8 - Beim Histogramm Altersverteilug bei Ufallursache (auto, motor ud sport 5/994, S. 84 f) sid scheibar gleichbreite Itervalle abgebildet, obwohl uterschiedlich breite Jahrgäge zusammegelegt wurde..3.. Maipulative Iterpretatio objektiver Date Fliege ist am sicherste.

19 9 I eiem Bericht ach dem dritte Airbus-Absturz i Folge im Jahr 99 iterviewte der SPIEGEL de damalige Airbus-Chef Mehdor (vgl. Ausschitt, SPIEGEL 5/99, S. 9 f). Im letzte Satz beweist Mehdor, dass Fliege die sicherste Art der Fortbewegug ist. Wir setzte die Richtigkeit der Date voraus: Auto 9,6 9 Bah,35 Tote pro 0 Persoe-km Flugzeug,3 Bei eier fiktive Jupiterreise argumetiere wir geauso: Es sid Hi- ud Zurück km. Je Reise sid 4 Raumfahrer dabei, also 5,040 9 Persoe-km pro Reise. Die. ud. Reise verlaufe gut, die 3. Reise edet mit eiem Ufall ud 4 Tote, also habe wir 4 Tote auf 5,0 9 Persoe-km. Damit trete bei Jupiter-Reise 0,5 Tote pro 0 9 Persoe-km auf, womit sie der Mehdorsche Argumetatio folged - wesetlich sicherer als Fliege sid. Ei aderes, vielleicht sivolleres Argumet zur Beurteilug köte ja die Azahl der Tote pro Zeiteiheit im jeweilige Fahrzeug sei ( ich habe Agst, solage ich im Flugzeug sitze ). Nehme wir als Durchschittsgeschwidigkeite Auto 50 Bah 80 km/h, Flugzeug 800 so erhalte wir eie total adere Aussage: 9 0 Auto: 9,6 Tote auf 50 h also 0,98 Tote auf 06 h Bah: Flugzeug: 9 0,35 Tote auf 80 h also 0,88 Tote auf 06 h,3 Tote auf h also.04 Tote auf 06 h Ei weiteres Argumet wäre das Abzähle vo Starts ud Laduge (wo die meiste Ufälle mit Flugzeuge passiere).

20 Subjektive Darstellug objektiver Date Die folgede beide Graphike Doppelte ud halbe Preise stelle dieselbe objektive Date graphisch uterschiedlich dar: Die Ware A verdoppelt ihre Preis vo 990 bis 996. Die Ware B halbiert ihre Preis vo 990 bis 996. Die Oppositio argumetiert, dass die Preise steige, wogege die Regierug vo fallede Preise spreche ka, beide aufgrud objektiver Date.

21 .4 Kombiatorik.4. Die Produktregel der Kombiatorik Beispiel: Torstes Barbiepuppe besitzt 3 Pullover ud Hose. Wie viele Möglichkeite gibt es, der Puppe eie Pullover ud eie Hose azuziehe? Lösug: (Etscheidugs-)Baum: P P P3 H H H H H H Zu jedem der 3 Pullover ka Torste eie der Hose auswähle (oder: Zu jeder der Hose... ). Isgesamt gibt es also 3 = 6 Möglichkeite. Etscheidug Etscheidug Pullover : Hose : 3 Möglich- Möglichkeite keite Die Verallgemeierug ist die Produktregel der Kombiatorik Es seie acheiader ud uabhägig voeiader Eizel-Etscheiduge zu treffe, wobei es jeweils r i (i =,..., ) Etscheidugs-Möglichkeite gebe. Da gibt es isgesamt r r... r Etscheidugs-Möglichkeite. Begrüdug ud Veraschaulichug am Baum:. Etscheidug. Etscheidug -te Etscheidug r Möglich- jeweils r jeweils r keite Möglichkeite Möglichkeite zusamme r r... r Ede des Baumes.

22 Die Produktregel ist ei wichtiges Hilfsmittel schwer überschaubare Mege abzuzähle. Dabei trete 4 typische Fälle auf..4. Die kombiatorische Grudaufgabe Ei Fahrradschloss hat ei 3-stelliges Zahleschloss gibt es?. Wie viele Eistellmöglichkeite Lösug: je 0 Ziffer, also 0 3 = 000 Eistellmöglichkeite. Verallgemeierug: Es gibt k Möglichkeite, k-tupel eier -elemetige Mege zu bilde (Aordug vo k Elemete eier -elemetige Mege mit Wiederholug). Wie viele Wörter lasse sich aus de vier Buchstabesteie A, B, E, R bilde? Lösug: 4 Möglichkeite für de. Stei, 3 Möglichkeite für de. Stei, Möglichkeite für de 3. Stei, Möglichkeit für de 4. Stei, also 4 3 = 4! = 4 Möglichkeite. Verallgemeierug: Es gibt! Möglichkeite, die Elemete eier -elemetige Mege ohe Wiederholug azuorde (Permutatioe (ohe Wiederholug)). Beim Requitett muss ma die Reihefolge der erste 3 Pferde vo 5 Pferde beim Zieleilauf vorhersage. Wie viele Möglichkeite gibt es? Lösug: 5 Möglichkeite für Platz, 4 Möglichkeite für Platz, 3 Möglichkeite für Platz 3, = 730 Möglichkeite. Zur Struktur: also ( ) = = !! = 5! ( 5 3)! Verallgemeierug: Es gibt ( )... ( k + ) Mege ( )! = Möglichkeite k Elemete aus eier -elemetige ( k)! k ohe Wiederholug azuorde (k-permutatioe eier -elemetige Mege).

23 3 Wie viele verschiedee 6er-Tipps gibt es beim Zahlelotto 6 aus 49? Lösug: Zuächst zieht ma 6 Kugel der Reihe ach: Möglichkeite. Bei eiem Tipp kommt es icht auf die Reihefolge a, das heißt, 3, 5, 0, 40, 49 ud 49,, 0, 40, 3, 5 sid derselbe Tipp. Geauer führe alle 6er Permutatioe mit deselbe 6 Ziffer, also 6!, zum selbe Tipp: Es gibt also isgesamt = 6! 49! = 43!6! 49! 49 = = (49 6)! 6 verschiedee Tips beim Lotto. Diese oft beötigte Zahle vom Typ 49 49! = 6 (49 6)!6!! = k ( k)! k! 49 über 6 über k heiße Biomialkoeffiziete. Verallgemeierug: Es gibt = k! ( k)! k! k-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. Deutug der vier Grudaufgabe im Uremodell! k mal ziehe mit Zurücklege k mal ziehe ohe Zurücklege.4.3 Bemerkuge zu de Biomialkoeffiziete: Der Fall k = legt die Defiitio 0! = ahe. Der Fall k = 0 legt die Defiitio 0 = ahe. Biomische Formel (a + b) = a + ab + b Ihre Verallgemeierug klärt de Name Biomialkoeffiziete : ( a + b) = k= 0 a k k b k (a,b IR, IN)

24 4 Ma ka Biomialkoeffiziete im Pascalsche Dreieck aorde: allg.: Jede Zahl ist die Summe der beide darüber liegede. Es gilt ämlich + + = + + k k k ( ) 0 k (achreche!) Ma ka offebar auch schreibe )!!(! k k k = Klar ist die Symmetrie k k k, = 0,..., = Awedug: Eie -elemetige Mege hat Teilmege..4.4 Awedugsbeispiele a.) Wie viele Möglichkeite gibt es, 4 rote, 3 schwarze ud 5 gelbe Spielsteie i eie Reihe zu lege? Lösug: Ma hat = Plätze zu belege. 4 Möglichkeite für die rote, da 3 8 für die schwarze; es bleibe 5 5 Möglichkeite für die gelbe, also = Möglichkeite. Ei aderer Asatz: 3! 4!5!!. Verallgemeierug?

25 5 b.) Ma hat DM, DM ud 5 DM Müze. Wie viele Möglichkeite gibt es, vier Müze i eie Automate eizuwerfe? Lösug: Müze Nr.,, 3 (Geldwert irrelevat). Tupel T = a a a 3 a 4 mit a a a 3 a 4 3 ( )( )( ) T R = a a + a + a Vierer Teilmege,,..., 6 { } also gibt es = = = 5 verschiedee Tupel T 4 Verallgemeierug: k Objekte vo Arte kombiiere (im Beispiel k = 4, = 3). Es gibt k + k Möglichkeite. Uremodell: je k Kugel mit Nr.,,...,. Es werde auf eie Griff k Stück gezoge. c.) Beim Zahlelotto 6 aus 49 gibt es folgede Räge: (vgl. Lotto-Problem, Nr. 3, S.3). Rag: 6 Richtige. Rag: 5 Richtige mit Zusatzzahl 3. Rag: 5 Richtige 4. Rag: 4 Richtige 5. Rag: 3 Richtige Wie sid die Chace für die 5 Räge? Wie ist die Chace, keie eizige Zahl der 6 Richtige agekreuzt zu habe? Bemerkug: Geauer müsste ma für de 3. Rag sage 5 Richtige ud Zusatzzahl falsch. Lösug: Für die Gewizahle {z,..., z 6 } gibt es Die Chace für de erste Rag ist also = = Ziel-Möglichkeite , Die Azahl der Möglichkeite für geau k Richtige (k = 0,..., 6): Da müsse k Zahle i der Gewimege {z,..., z 6 } ud 6 k Zahle i der Restmege {z 7,..., z 49 } liege Dafür gibt es Möglichkeite. k 6 k Richtige (. Rag): = Möglichkeit. 6 0

26 Richtige: = 6 43 = 58 5 Möglichkeite.. Rag: Zusätzlich Zusatzzahl z 7 richtig, also 5 Zahle i {z,...,z 6 }, 6 Zahl =z 7, also = 6 Möglichkeite. 5 6 Damit Chace für. Rag 6 = 0, Rag: es bleibe 58-6 = 5 Möglichkeite, 5 damit Chace für 3. Rag 0, Rag: = Möglichkeite, Chace 4 0, Rag: = Möglichkeite, Chace 3 3 0, Keie richtige Zahl: k = 0, = Möglichkeite, also eie Chace vo 0, d.) Fußball-Toto: bei der er Wette ist für Begeguge vorherzusage, ob die Heimmaschaft gewit (), verliert () oder uetschiede spielt (0). Wie viele Tipps mit x Fehler (0 x ) gibt es? Lösug: Ei Tipp ist ei -er Tupel über der Mege {0,, }, also isgesamt 3 = mögliche Tipps. Es seie x Ergebisse falsch, -x richtig vorhergesagt. Es gibt Möglichkeite, x x der Ergebisse falsch vorherzusage. Bei jedem falsche Ergebis gibt es och Möglichkeite für "falsch", also x falsche Tipps mit x falsche Vorhersage. x

27 7 x x x Beachte: Der Asatz eier gleiche Chace bei alle Tipps ist ur bei eiem absolute Fußball-Laie sivoll (Modellasatz!). e.) Rubbellose (i Bade-Württemberg): Die bis Mai 986 gültige Teilahmebediguge der seit dem laufede staatliche Losbrieflotterie Bade-Württemberg besage, dass die Lotterie i Serie vo jeweils Millioe Lose zu je DM aufgelegt wird. Weiter heißt es, dass die Gewie eier Serie ach folgedem Gewipla ausgeschüttet werde: Azahl der Gewie Eizelgewi DM DM 000 DM 00 DM 0 DM 5 DM DM Freilos Gewisumme isgesamt DM DM DM DM DM DM DM DM Das eischlägige Gesetz verlagt eie Auszahlquote vo 40%. Etspricht dem der Spielpla? Lösug: Das Fiazmiisterium berechet gemäß dem Gesetz eie Gewisumme vo 40%: Eiahme: Gewisumme DM DM (Summe der rechte Spalte) also 40 %, wie das Gesetz es verlagt. I Wirklichkeit werde die Freilose icht bezahlt soder sofort gege ei aderes Los getauscht, d. h. die Eiahme sid ur DM, die Auszahluge ur DM, also 3,8%. Nach eiem iteressate Briefwechsel, i de auch ei Leistugskurs Stochastik eies Heidelberger Gymasiums eigeschaltet war, musste das Fiazmiisterium Bade-Württemberg de Gewipla abäder. Nach dem eue Gewipla ist der Gewier eies Freiloses icht mehr gezwuge, dieses gege ei Freilos eizutausche. Statt desse ka sich der Spieler auch DM auszahle lasse. Der wohl weitaus größte Teil der Spieler wird jedoch weiterhi eie Freilosgewi gege ei eues Los eitausche, also auf die Auszahlug vo DM verzichte. Für solche Spieler bleibt letztlich alles beim Alte, ach wie vor habe sie eie Auszahlugserwartug vo 3,8% des eigesetzte Betrages. Spielerfreudlicher wäre die Regelug, a Stelle der Freilosgewie etwa 40 weitere Gewie zu je 000 DM ud zusätzliche Niete eizuführe. Die allermeiste Gewier vo 000 DM dürfte ämlich ihre Gewi icht i weitere Lose ivestiere.

28 8 Der Leser möge u selbst darüber befide, ob der eue Gewipla die Spieler maipuliert: Spielbediguge ab Gewiausschüttug, Gewiauszahlug () Das Spielkapital eier Serie beträgt zwei Millioe DM. Davo werde 4,5 v. H. ach folgedem Gewipla ausgeschüttet: Azahl der Gewie Eizelgewi DM DM DM 000 DM 500 DM 00 DM 0 DM 0 DM 5 DM DM DM Gesamt-Gewisumme DM DM DM DM DM DM DM DM DM DM DM DM () Gewie bis eischließlich 00 DM werde i der Aahmestelle, i der das Gewilos erworbe wurde, gege Rückgabe des Loses ausgezahlt. (3) Gewie ab 500 DM werde vo der Staatliche Sport-Toto GmbH, Postfach , 7000 Stuttgart 0, ach Rückgabe des Gewiloses über die Aahmestelle, i der das Gewilos erworbe wurde, oder ach Eisedug des Gewiloses a die Gesellschaft zugestellt. Die Aahmestelle bestätigt de Erhalt des Gewiloses, ohe damit zugleich de Gewiaspruch azuerkee. (4) Die Zustellug bzw. Auszahlug der Gewie durch die Gesellschaft bzw. ihre Aahmestelle erfolgt mit befreieder Wirkug a de Besitzer des Gewiloses.

29 9.5 Der Wahrscheilichkeitsbegriff.5. Zufallsexperimete Uterscheide Experimete der Physik (uter gleiche Bediguge beliebig wiederholbar, (starker) Determiismus) Zufallsexperimete (kei kausaler Zusammehag, Ausgag uvorhersehbar, ur vo Zufall abhägig). Beschreibug durch Festlegug der zu beobachtede Merkmalsauspräguge ((zuächst) edlich viele Ergebisse, Ausgäge oder Ausfälle). Diese werde i der Mege Ω aller mögliche Ergebisse, dem Ergebisraum zusammegefasst. Wichtig: Die Wahl vo Ω bei eiem Zufallsexperimet hägt auch vom Iteresse des Experimetators ab. Durch Festlegug vo Ω werde stochastische Realsituatioe mathematisch modelliert. Beispiele für Zufallsexperimete: a.) Riemer-U-Würfel werfe Ω = Ω = { S S, U, U, B, D}, { S, U, B, D} b.) Riemer-Quader werfe Ω = {,,3,4,5, 6} Ω = {, 6,, 5, 3, 4} Ω 3 = {gerade, ugerade} 3 Ω 4 = {Primzahl, keie Primzahl} c.) Würfel mit Farbwürfel Ω = {gelb, violett, grü, schwarz, blau, rot}

30 30 d.) Müze werfe Ω = {WW, ZZ, WZ} Ω = {W W, Z W, W Z, Z Z } Ω 3 = {0,, } (Azahl vo Wappe ) Ω 4 = {Ja, Nei} (Ausgag gleich?) Die Megeschreibweise für de Ergebisraum ist sehr praktisch. Betrachtet ma zum Beispiel beim Würfel mit eiem ormale Würfel das Ereigis eie Primzahl fällt, so ka ma dies als Teilmege E = {, 3, 5} des Ergebisraums Ω = {,, 3, 4, 5, 6} beschreibe. Ei Ergebis, zum Beispiel es fällt die 6, wird durch eie eielemetige Mege, das Elemetarereigis E = {6} beschriebe. Wir idetifiziere i der mathematische Modellierug also Ereigisse mit de sie beschreibede Ergebismege, so dass Ereigis ei Begriff im mathematische Modell wird. Defiitio der übliche Begriffe: a.) Ergebisraum eies Zufallsexperimets: Mege Ω aller mögliche Ergebisse des Zufallsexperimets. b.) Ereigis: Teilmege E Ω, Ereigisraum: (Ω) Potezmege vo Ω, Elemetarereigis: Eielemetige Teilmege { ω } Ω c.) Sicheres Ereigis Ω. Umögliches Ereigis. d.) Uvereibare Ereigisse: E, E Ω mit E E =. e.) Gegeereigis eies Ereigisses: E Ω : Komplemet E = Ω \ E. f.) Ud-Ereigis zweier Ereigisse: E, E Ω : E E. Oder-Ereigis: E E. Wichtige Sprechweise: Ma sagt, dass bei eiem Zufallsexperimet das Ereigis E eigetrete ist, we das aufgetretee Ergebis ω zu E gehört: ω E. Beispiel: Würfel mit Ω = {,,3,4,5,6 } E = {,4,6} Augezahl gerade ; = { 3,6} Ud-Ereigis E = { 6} Oder-Ereigis E = {,3,4,6} Gegeereigis {,3,5 } E 3 teilt Augezahl. E Augezahl gerade ud durch 3 teilbar. E Augezahl gerade oder durch 3 teilbar. E Augezahl ugerade =

31 3.5. Häufigkeite ud Wahrscheilichkeite Beispiel: Ei Riemer-U-Würfel wurde 000 Mal mit folgede Ergebisse geworfe: Obeliegede Seite D S S U U B Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit 6.3% 8.85% 9.75% 3.4% 4.6% 47.% Stelle die Häufigkeite graphisch dar (Kreisdiagramm, Säulediagramm,...). Allgemei: Ei Zufallsexperimet wird -mal durchgeführt, dabei tritt das Ereigis E k-mal auf. ( E) H = k absolute Häufigkeit vo E, k h ( E) = relative Häufigkeit vo E. Eigeschafte vo relative Häufigkeite (klar!): () 0 ( E) h für alle E Ω. () h ( Ω) = ; ( ) = 0 h. (3) h ( E) h ( E) = für alle E Ω. (4) h ( E E ) = h ( E ) h ( ) h für E = ; speziell: + E m E ( E) = ({ ω }) für = { ω,..., }; isbesodere: ({ ω} ) = h i= i E ω m Empirisches Gesetz der große Zahle: ω Ω h. Mit wachseder Versuchszahl stabilisiert sich die relative Häufigkeit eies gegebee Ereigisses im Allgemeie bei eier bestimmte Zahl p, die relative Häufigkeite uterscheide sich immer weiger vo dieser Zahl. Beispiel: Müze werfe, E = Kopf obe Diese Zahl p ka ma sivollerweise als die Wahrscheilichkeit p = P(E) vo E asehe. Relative Häufigkeite biete demach gute Näherugs- oder Schätzwerte für Wahrscheilichkeite. Ma bezeichet Wahrscheilichkeite, die ma derart a posteriori aus relative Häufigkeite erhält, auch als empirische (oder statistische) Wahrscheilichkeite.

32 3 Mit Hilfe vo Wahrscheilichkeite ka ma da auch verüftige Progose abgebe: We ich ei Zufallsexperimet mal durchführe, so erwarte ich, dass ei bestimmtes Ereigis E mit Wahrscheilichkeit p = P (E) dabei ugefähr p - mal eitritt ( p, somit k k p ). Dies gilt atürlich ur für große. Beispiel: Beim Riemer-U-Würfel ka ma aufgrud der Date i der Tabelle ud uter Beachtug der Teilsymmetrie zum Beispiel asetze P(D) = 6,3 %, P(S ) = P(S ) = 9,3 %, P(U ) = P(U ) = 4,0 %, P(B) = 47, %. Beachte: Diese Zahle sid subjektive Schätzuge der iewohede, ubekate Wahrscheilichkeite! Der Wahrscheilichkeitsbegriff ist och icht formal defiiert worde. Die Idee vo Richard vo Mises, die Wahrscheilichkeit als Grezwert der relative Häufigkeite zu defiiere, wirft ulösbare mathematische Probleme auf, isbesodere: - Nur edliche Azahl vo Versuche möglich. - Stabilisierug der relative Häufigkeite ur i. a., da beliebig viele Ausreißer möglich, d. h. keie Kovergez im aalytische Sie (vgl. Folie)..5.3 Gleichwahrscheilichkeit.5.3. Laplace-Experimete Bei mache Zufallsexperimete ka ma aus Symmetrie- (oder Idifferez-)Grüde alle Ergebisse a priori als gleichberechtigt asehe. Beispiele: Werfe eies ( gute ) Würfels, Lotto, Ziehe aus eier Ure,... Experimete, dee diese Laplace-Aahme zugesproche wird, heiße Laplace- Experimete; der zugehörige Ergebisraum wird da auch Laplace-Raum geat. Die Laplace-Aahme läßt sich icht beweise, soder ur aufgrud vo Versuche mehr oder weiger zuverlässig bestätige (Stabilisiere sich die relative Häufigkeite sämtlicher Elemetarereigisse bei derselbe Zahl?). Es hadelt sich also um eie Modell-Aahme. Defiitio: Sei Ω ei edlicher Laplace-Raum, ud sei E Ω ei Ereigis. Die Zahl P ( E) = E heißt die Laplace-Wahrscheilichkeit vo E. Ω Ma et die Elemete vo E auch die für E güstige (Azahl g = E ) ud die Elemete vo Ω die für E mögliche Ergebisse (Azahl m = Ω ). Daher sagt ma kurz g Azahl der güstige P ( E) = =. m Azahl der mögliche

33 Beispiele für Laplace-Experimete a.) Würfel: = {,..., 6}, = {, 4, 6} Ω E Augezahl gerade E 3 p = P( E) = = = 0, 5. Ω 6 b.) 3-Türe-Problem (Problem 6, S. 3): P( Nicht-Wechsel ) =, de der Kadidat wählt gleichberechtigt zwische 3 3 gleichberechtigte Möglichkeite, eie davo ist güstig. Der Quizmaster ist irrelevat. P( Wechsel ) = 3, de der Kadidat gewit geau da, we er ursprüglich eie Niete gewählt hat, d. h. i zwei vo drei Fälle. Stochastisch gleichwertiges Experimet: Der Kadidat wählt für sich zwei Türe ud et dem Quizmaster die dritte! P( Müze werfe, ob wechsel ) =, de der Kadidat wählt jetzt gleichberechtigt zwische zwei Türe, die ursprügliche Wahl ist irrelevat. c.) Lotto-Problem (Problem 3, Seite 3, vgl. auch Beispiel c (.4.4, Seite 5 ud 6). Die dort berechete Chace etspreche geau dem Modell der Laplace-Wahrscheilichkeite. d.) Werfe vo Müze, Ω = {WW, WZ, ZZ}. Idee: Laplace Aahme P({WW}) = P({WZ}) = P({ZZ}) = 3 Versuche zeige: Die relative Häufigkeite stabilisiere sich icht bei diese Zahle, die Laplace Aahme ist icht verüftig. Die Mege Ω lässt sich jedoch zu eiem Laplace Raum verfeier, idem WZ i W Z ud W Z aufgeteilt wird. Der eue Raum ist, wie Versuche zeige, sivoll als Laplace Raum zu sehe. Ω = {W W, W Z, W Z, Z Z } mit P({W W }) =... = 4. Dies bestätigt auch ei Baum bzw. eie Tabelle aller Möglichkeite: W W Z W W W Z Z W Z Müze Müze Damit verüftiger Asatz P({WW}) = P({ZZ}) =, P({WZ}) =. 4 W Z Z Z

34 34 e.) Beim Werfe vo Würfel sid ach folgedem Argumet die Summe ud gleich wahrscheilich: Ω = { ab / a, b {,..., 6}, a b}, Augesumme : E = {56}, Augesumme : E = {66}. Dies etspricht aber icht der Spielwirklichkeit, wo viel häufiger vorkommt. Folglich ist Ω kei Laplace Raum. Verbesserug durch uterscheidbare Würfel ud Fälle: Also Ω = { / a, b {,..., 6 } ab, Ω = 36 Augesumme : E = {56, 65}, Augesumme : E = {66}, also P(E ) = 0, 056, P(E ) 36 = 0, f.). De-Méré-Problem (Aalog zu e) Nach folgeder Überlegug vo de Méré sid beim Werfe dreier Würfel die Augesumme ud gleich wahrscheilich: Ω = { abc / a, b, c {,...,6}, a b c} Abzähle vo Ω: 6 = 0 Möglichkeite aus 3 verschiedee Ziffer, 3 6 = 30 Möglichkeite aus verschiedee Ziffer, 6 Möglichkeite aus Ziffer, also Ω = 56. Augesumme : E = {46, 55, 36, 45, 335, 344}, Augesumme : E = {56, 46, 55, 336, 345, 444}, also P(E ) = P(E ) = 6 0, I der Realität ist aber E etwas häufiger als E! Das heißt, dass Ω kei Laplace-Raum ist. Werde die 3 Würfel als uterscheidbar ageomme, so erhält ma de Laplace-Raum: Ω = { abc / a, b, c {,..., 6 } mit Ω = 6 3 = 6. Jetzt erhält ma Augesumme : E = {46, 64, 46, 46, 64, 64, 55,...} Augesumme : E = {56, 65, 56, 56, 65, 65,...} Mit E = 7, E = 5, also P(E ) = 7 0, 5, P(E ) 6 = 5 0, 6 6. g.). De Méré-Problem (Problem 4, Seite 3) 4 mal Werfe mit eiem Würfel: Ω = {,...,6} 4, Ω = 6 4 = 96 E Bis zum 4. Wurf midestes eie {,...,5}, = 5 65 E = E =,

35 P(E ) = = 0, mal mit Doppelwürfel werfe: [, ], Ω = ( 6 ) = 36 Ω = {..., 6} E : bis zum 4. Wurf midestes eie Doppelsechs E = {{,..., 6} \{6,6}} 4 = P(E ) = 0, Der eifache Proportioalschluss vo de Méré ist also falsch! h.) Teilugsproblem (Problem 5, Seite 3) Aufteilug des Geldpreises z. B. a) : aufgrud vo Uwisseheit; b) 4:3 etspreched Spielstad; c) : etspreched fehlede Siege. Bei gleicher Spielstärke der beide Spieler erscheit folgede Möglichkeit agemesse: d) Spieler A führe 4:3 gege Spieler B. Zweimal Müzwerfe simuliere Fortsetzug des Wettkampfs. W bedeute Spieler A gewit, Z bedeute Spieler B gewit. Klar: Geau da wird Spieler B Gesamtsieger, we ZZ fällt. Also P( Spieler B Gesamtsieger ) = 4 ud P ( Spieler A Gesamtsieger ) = 4 3. Daher Aufteilug 3:, d.h DM für Spieler A ud DM für Spieler B. Zugehöriger Baum 5:4 A gewit 4:4 4:3 4:5 B gewit 5:3 A gewit Eigeschafte vo Laplace-Wahrscheilichkeite Aufgrud der Defiitio der Laplace-Wahrscheilichkeite sid diese Eigeschafte trivial. Sie sid später Grudlage für die Defiitio des allgemeie Wahrscheilichkeitsbegriffs. () 0 P ( E) für alle E Ω. () P ( Ω) = ; P( ) = 0. (3) P( E) P( E) = für alle E Ω. P E E = P E + P für E = ; speziell: (4) ( ) ( ) ( ) P E m E ( E) = P( { ω }) für alle = { ω,..., }; isbesodere: ({ ω} ) = i= i E ω m ω Ω P.

36 Geometrische Wahrscheilichkeite Sie sid eie Verallgemeierug der Laplace-Wahrscheilichkeit. Beispiele: a.) Drehe eies Glücksrades: Ma ka z. B. sivoll festlege: P( Pfeil zeigt auf schwarz ) Flächeihalt schwarzer Sektor = Flächeihalt Kreis Wikel im schwarze Sektor = 360 Bogeläge zu schwarzem Sektor =. Kreisumfag b.) Bertrad-Problem (Problem, Seite 3) Kreisradius sei r. Ma überlegt elemetargeometrisch sofort: Seite des gleichseitige Dreiecks halbiert Radius, Seiteläge ist a = 3r (ach Pythagoras). r A r/ Die gesuchte Wahrscheilichkeit sei p. Wir werde 3 verschiedee Modellieruge mache: ) a) Wähle P auf Kreis beliebig. Klar: Alle Sehe kürzer als a, die vo P ausgehe, ede auf Kreisboge, der des Umfags ausmacht 3 (etsprechede Argumetatio für Wikel). Also: p = 3 b) Aders: Alle Sehe kürzer a, die vo P ausgehe, liege i Kreisabschitte über de P Dreiecksseite. Also: p = Fl Kreisabschitte Fl Kreis = ( πr 3 A 3 a r) πr = π

37 37 ) 3) Wähle beliebige Durchmesser. Klar: Alle Sehe kürzer als a ud sekrecht zum Durchmesser liege i desse. Ud 4. Viertel. Also: p =. Aders: Etspreched über Fläche (wie ebe!). Also: 3 p =. 3 π Klar: Alle Sehe kürzer als a liege im Kreisrig mit ierem Radius r (Ikreis!). Also: p = Fl Kreisrig Fl Kreis πr = πr 4 πr = 3 4. Nicht-Eideutigkeit der Lösug resultiert aus Nicht-Eideutigkeit der Fragestellug: Was heißt gaz zufällig?.5.4 Wette ud subjektive Wahrscheilichkeite Teilugsproblem, Spielstad 4 : 3, Spiel soll fortgesetzt werde. Ich wette 0 DM auf de Gesamtsieg vo Spieler B. Was muss mei Freud auf de Sieg vo Spieler A setze, damit die Wette fair ist? Vorausgesetzt sid gleiche Spielstärke der Spieler A ud B). 3 Chaceverhältis: P ( B gewit ) : P ( A gewit ) = : = : Also muss der Freud 3 0 DM = 30 DM setze, damit sich Gewi ud Verlust lagfristig ausgleiche (im Mittel verliere ich bei 4 Spiele 3 mal 0 DM ud gewie eimal 30 DM). Meie Wettquote, d.h. das Verhältis vo Auszahlug (ohe Eisatz) ud Eisatz im Gewifalle, beträgt 3 :, also das Reziproke des Chaceverhältisses. Verallgemeierug: a a b Sei P ( E) =. Ich wette auf E. Es gilt P ( E) = P( E) = = (b = c a). c c c Somit beträgt mei Chaceverhältis a b P ( E) : P( E) = : = a : b (wobei a + b = c). c c Eie faire Wettquote ist da offesichtlich b : a, d.h. pro eigesetzte DM erhalte ich im Gewifall a b DM ausbezahlt (ud zudem meie Eisatz zurück).

38 38 Umgekehrt: Beträgt die Wettquote b : a, so ist das Chaceverhältis P ( E) P( E) a : b a dies liefert wege P( E) = P( E) ach leichter Rechug P( E) = (ud P( E) Sei E Ω ei Ereigis. Folgede Aussage sid gleichwertig: () Die Wettquote beim Wette auf E beträgt b : a. () Das Chaceverhältis ist P ( E) : P( E) = a : b. a (3) Es ist P( E) =. a + b a + b : =, ud b = ). a + b Ma ka Wahrscheilichkeite also auch über Chaceverhältisse oder (och besser) über Wettquote quatifiziere (das eie reziprok zum adere). Das tut ma isbesodere bei Ereigisse, die icht zu wiederholbare Zufallsexperimete gehöre, soder eimalig sid. Diese Wahrscheilichkeite drücke da eie idividuelle, subjektive Vertrauesgrad i das Eitrete solcher Ereigisse aus. Ma et solche Wahrscheilichkeite subjektive Wahrscheilichkeite. Natürlich darf ma Chaceverhältisse bzw. Wettquote (ud damit subjektive Wahrschei- P E = P E lichkeite) icht völlig beliebig festsetze. Z.B. muß sivollerweise stets ( ) ( ) gelte; ist meie Wettquote für E da b : a, so muss ich für E eie Wettquote a : b ehme. Beispiele: a.) Ich wette 3 :, dass Pete Sampras 998 Wimbledo gewit. D.h. ich quatifiziere meie subjektive Wahrscheilichkeit für E: P. S. gewit zu P ( E) = = = 40% b.) Wettervorhersage: Die Regewahrscheilichkeit für morge beträgt 30 %. P E : P E = 3 :. E: es reget, ( ) ( ) Ei Axiomesystem für Wahrscheilichkeite Der bisherige Wahrscheilichkeitsbegriff ist bisher ihaltlich mit der Realität verbude: objektivistisch mit Häufigkeite ud Laplaceaahme ud subjektivistisch als idividuelle Progose. Um eie heutige mathematische Asprüche geügede Defiitio der Wahrscheilichkeit zu erhalte, muss diese otologische Bidug aufgegebe werde. Dies geschieht durch de Asatz vo Kolmogorov (vgl. Axiomesystem vo Hilbert für die Geometrie).

39 39 Defiitio: Axiomesystem vo Kolmogorov Gegebe sei eie (höchstes abzählbare) Mege Ω (der Ergebisraum eies Zufallsexperimets). Eie Fuktio P: P(Ω) IR, die jeder Teilmege E Ω (d.h. jedem Ereigis) eie reelle Zahl P(E) zuordet, heißt ei Wahrscheilichkeitsmaß (Wahrscheilichkeitsverteilug) auf Ω, we gilt: () 0 P ( E) für alle E Ω. () P ( Ω) =. (3) P ( E E ) = P( E ) + P( E ) falls E E =. Die Zahl P(E) heißt da die Wahrscheilichkeit vo E Ω. gilt P ({ }), ud wird festgesetzt ( ) ({ }) ω Ω ω E Bemerkuge: a) Aalog zu de Hilbertsche Geometrie-Axiome sid Kolmogorovs Axiome icht willkürlich soder aus de Häufigkeits-Eigeschafte abgeleitet. b) Ω ist bei us im Allgemeie edlich. Bei überabzählbarem Ω (z. B. Ω = IR) wird die Defiitio komplizierter. c) Ei Wahrscheilichkeitsmaß P ist durch seie Werte für die Elemetarereigisse eideutig festgelegt. Wird jedem ω Ω eie Zahl P({ω}) [0;] zugeordet, wobei ω = P E : = P ω, so ist P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω, ud umgekehrt. d) Eiige Folgeruge aus de Axiome: Sei P ei Wahrscheilichkeitsmaß auf Ω. Da gilt (4) P ( ) = 0. (5) P( E) P( E) = für alle E Ω. P E E = P E + P E P E E für alle E, E Ω. Beweis: P E = P E = P E + P, also P ( ) = 0. (6) ( ) ( ) ( ) ( ) Ad (4): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 Ad (5): = P Ω = P E E = P E + P E, da E E =. Ad (6): ( ) E ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 E ( E E ) = P( E ( E \ E )) = P ( ) ( E ) P( E E ) P + P P \ (*) 3 P E E E E = P E \ E + P E 3 \ E ( E ) (( \ ) ( )) ( ) ( ) ( E ) ( E E ) P( E ) P( E ) =, also = ; Eisetze i (*) liefert (6). Die Eigeschaft (6) heißt allgemeier spezieller Additiossatz für E E E E. =

40 40 a) Die folgede Folie gibt eie Überblick über die Möglichkeite, eie Wahrscheilichkeitsverteilug P festzulege.

41 4.6 Reche mit Wahrscheilichkeite.6. Bedigte Wahrscheilichkeit, Uabhägigkeit Zwei- Beispiele solle die Problematik klarmache: Neulich erfuhre wir durch die Wettervorhersage, dass es am Samstag mit füfzigprozetiger Wahrscheilichkeit ud am Sotag ebefalls mit füfzigprozetiger Wahrscheilichkeit rege werde. Mei Freud, ei promovierter Jurist meite daraufhi, dass es da ja mit hudertprozetiger Wahrscheilichkeit rege werde. Es bereitete mir viel Mühe, dem recht eigebildete, aber ulogische Juriste sei mathematisches Missverstädis klar zu mache ud ih mit Hilfe eier Müze zu überzeuge, dass es am Wocheede ur mit der Wahrscheilichkeit ( / /) = 0,75 rege werde. Nachts wachte ich mit eiem schlechte Gewisse auf ud überlegte, wer der Dummkopf gewese sei. Ist wirklich der doppelte Müzwurf das adäquate Modell, d.h. sid die Ereigisse "Sa mit Rege", "So mit Rege" uabhägig? Kommt icht vielleicht ei Tiefdruckgebiet, das us we icht Samstags, so doch Sotags mit Rege überschütte wird? Obwohl am Freitag für jede der beide Tage die Wahrscheilichkeit je ur 50% ist, ka sie am Samstag, a dem es icht reget, für de Sotag 00% sei. Es ist icht so ohe weiteres klar, ob beide Ereigisse uabhägig oder abhägig sid. (Beispiel ach Joh A. Paulos: Zahleblid - Mathematisches Aalphabetetum ud seie Kosequeze. Heye 990 S. 44 f) Der Arzt ach der Utersuchug zu seiem Patiete: "Also, die Lage ist ziemlich erst. Sie sid sehr krak. Statistisch gesehe überlebe 9 vo 0 Mesche diese Krakheit icht." Der Patiet erbleicht. "Sie habe aber Glück", beruhigt ih der Arzt. "Ich hatte scho eu Patiete mit de gleiche Symptome, ud die sid alle tot". (Beispiel ach George Polya). Hier wird vorgegaukelt, die Ereigisse seie voeiader abhägig. Tausede vo Lottospieler, die auf lage icht gezogee Zahle setze, uterliege demselbe Irrtum, geauso wie die viele Roulettespieler, die ach 0maligem Rouge hoffugsvoll auf Noir setze. Die umgagssprachliche Begriffe das eie bedigt das adere, das eie ist vo adere (u-)abhägig muss zuerst präzisiert werde (was da zu Verstädisprobleme führe ka). Beide Defiitioe, bedigte Wahrscheilichkeit ud Uabhägigkeit, lehe sich a die Verhältisse bei Laplace-Experimete a, wo sich der Umgagssprachliche Si am leichteste präzisiere lässt. Bedigte Wahrscheilichkeit: Wie groß ist die Wahrscheilichkeit für das Eitreffe vo A, we ich scho weiß, dass B eigetrete ist? Bezeichug: P(A/B) oder P B (A). Der Begriff bedigte Wahrscheilichkeit ist recht subtil: - So, wie wir ih gerade defiiert habe, scheit er ihaltlich festzuliege. Leider habe wir zuächst keie Möglichkeit, solche Wahrscheilichkeite zu bereche. Ziel ist also, aus

42 4 der (vorher auch immer) gegebee Wahrscheilichkeitsverteilug P: (Ω) [0, ] die Wahrscheilichkeite P(A/B) für alle A, B (Ω) zu bereche. - Beschräke wir us auf (edliche) Laplace-Experimete, so köe wir die bedigte Wahrscheilichkeite leicht bereche, was ma am eifachste ahad eies Vediagramms eisieht: P ( A / B) A B A B = = : B Ω B Ω = P ( A B) P( B) Ω A B - Jetzt erhebt ma die deduzierte Formel für Laplace-Experimete zur Defiitio bedigter Wahrscheilichkeite bei beliebige Wahrscheilichkeitsverteiluge; P Defiitio: Für P(B) 0 heißt P(A/B) = ( A B ) P( B) bedigte Wahrscheilichkeit (für das Eitrete vo A uter Bedigug B). Usere Hoffug ist, dass diese Defiitio das trifft, was ma gefühlsmäßig meit! Beispiele: A: ist US-Staatsbürger, 3) 50 % aller Fraue sid verheiratet B: hat Muttersprache Eglisch 50 % aller Verheiratete sid Fraue P(A/B), P(B/A)? A: ist Vater B: ist mälich P(A/B), P(B/A)? Ma beachte, dass durch P(*/B) eie eue Wahrscheilichkeitsverteilug auf Ω defiiert wird (was ma auch leicht ahad der Kolmogorov Axiome achreche ka). Die Uabhägigkeit vo Ereigisse lässt sich jetzt leicht fasse: Zwei Ereigisse (die sivollerweise 0 ud Ω sei solle) sid uabhägig voeiader, we die Wahrscheilichkeit des Eitretes des erste uabhägig davo ist, ob das zweite eigetrete ist oder icht, d.h. P(A) = P(A/B) = P(A B) / P(B) ud aalog für B. Äquivalet dazu ist die übliche Defiitio: A, B heiße stochastisch uabhägig, falls A, B Ω ud P(A) P(B) = P(A B) gilt. Leicht folgt: - mit A; B sid auch A, B; A, B ud A, B uabhägig. - sid A, B uvereibar, so sid sie abhägig!

43 43 Veraschaulichug a Ve-Diagramme (bei Laplace-Experimete) A, B uvereibar, also A, B abhägig Ω A B B zieht A ach sich, also A, B abhägig Ω B A.6. Ergäzuge ud Beispiele Mit Vierfeldertafel lasse sich Frage der bedigte Wahrscheilichkeit P(A/B) besoders übersichtlich darstelle: Die folgede Tabelle gibt die Schülerdate des Lessig-Gymasiums a: Lessig-G. A Mädche A Juge Summe B Oberstufe B Uterstufe 03 5 Summe Übertrage auf Wahrscheilichkeite stehe i der Vierfeldertafel: B ( A B) A A A A P P( A B) ( B) B P( A B) P( A B) ( B) P ( A) ( A) P B 0,3 0,48 0,6 P B 0,385 0,354 0,739 P 0,498 0,50 Die Defiitio der bedigte Wahrscheilichkeit ergibt u z. B. sofort P(A/B) = P(A B)/P(B) = 0,3/0,6 = 0,433. Auch die Uabhägigkeit lässt sich i der Vierfeldertafel überprüfe: Falls A ud B uabhägig sid, gilt P(A B) = P(A) P(B) usw., d.h. die Vierfeldertafel zeigt eie Multiplikatiostafel der Wahrscheilichkeite P(A) usw.:

44 44 A B P(A) P(B) P( A) P( B) P(B) B P( A) P( B) P( A) P( B) P ( B) P(A) P ( A) Ist bekat (oder ka vorausgesetzt werde), dass A, B uabhägig sid, so köe eue Wahrscheilichkeite berechet werde (Defiitio als Recheregel!). Warug: Für die Uabhägigkeit vo mehr als Ereigisse reicht es icht, P(A... A ) = P(A )... P(A ) zu defiiere, soder die Formel muss für alle Schitte gelte. Versuch: A, B, C uabhägig, we P(A B C) = P(A) P(B) P(C). Beispiel: Ure U = {a, b, c}, U = {,, 3, 4}, Ω = {a, a,...,c4}, Ω = A = {b, b, c, c}, A = 4, P(A) = /3 B = {a, a, b, c, c, c3}, P(B) = / C = {a, a, a3, b, b, b3}, P(C) = / A B = {b, c, c}, P(A B) = /4 A C = {b, b}, P(A C) = /6 B C = {a, a, b}, P(B C) = /4 A B C = {b}, P(A B C) = / A Es gilt zwar P(A B C) = P(A) P(B) P(C), aber P(A) P(B) = 6 4 = P(A B). Defiitio: A,..., A uabhägig: <=> für alle mögliche Schitte gilt P(A i... A is ) = P(A i )... P(A is ). Das folgede Beispiel zeigt, dass die Defiitio der Abhägigkeit icht eimal bei Laplace-Experimete ubedigt aschaulich ist. Werfe -mal eie Müze ud betrachte die beide folgede Ereigisse: A = es kommt höchstes eimal Zahl B = jede Seite kommt midestes eimal vor. Lösug: Ω = {W, Z}, Ω =, P(E) = für jedes Elemetarereigis E. A = { ZW...W, WZW...W,..., W...WZ}, B = Ω\{WW...W, ZZ...Z}, + A = +, P(A) = B =, P(B) =