Seminar Quantitatives Risikomanagement

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1 Seminar Quantitatives Risikomanagement Multivariate Modelle II Toni Bastgen Mathematisches Institut der Universität zu Köln Sommersemester 2008 Betreuung: Prof. Schmidli, J. Eisenberg

2 Inhaltsverzeichnis 3 Sphärische und Elliptische Verteilungen Sphärische Verteilungen Elliptische Verteilungen Eigenschaften elliptischer Verteilungen Verteilungs- und Korrelationsschätzer Testen Elliptischer Symmetrie Dimensionsreduzierungstechniken Faktor-Modelle Regressionsanalyse von Faktormodellen

3 2 3.3 Sphärische und Elliptische Verteilungen Sphärische Verteilungen Definition 3.18 Ein Zufallsvektor X = (X 1,...,X d ) T hat eine sphärische Verteilung wenn für jede orthogonale Abbildung U R d d UX = d X. Somit sind sphärische Verteilungen drehinvariant. Auch die folgenden Eigenschaften sind als Def. üblich. Theorem 3.19 Es sind äquivalent: (1) X ist sphärisch (2) Es gibt eine Funktion ψ mit einer skalaren Variablen, so dass für alle t R d gilt: φ X (t) = E(e itt X ) = ψ(t T t) = ψ(t t 2 d ) (3) a R d : a T X d = a X 1. Proof. (1) (2): Ist X sphärisch, so gilt für jede orthogonale Matrix U φ X (t) = φ UX (t) = E(e itt UX ) = φ X (U T t). Also hängt φ X (t) nur von der Länge von t ab (2). (2) (3): Es gilt φ X1 (t) = E(e itx 1 ) = φ X (te 1 ) = ψ(t 2 ). Nun folgt für jedes a R d φ a T X(t) = φ X (ta) = ψ(t 2 a T a) = ψ(t 2 a 2 ) = φ X1 (t a ) = φ a X1 (t). (3) (1): Für bel. orthogonale Matrix U gilt φ UX (t) = E(e i(ut t) T X ) = E(e i UT t X 1 ) = E(e i t X 1 ) = E(e itt X ) = φ X (t).

4 3 ψ heißt charakteristischer Generator und beschreibt einen sphärisch verteilten Zufallsvektor eindeutig. Notation: X S d (ψ) Beispiel 3.20 (Multivariate Normalverteilung) Ein Zufallsvektor X mit der Standardnormalverteilung N d (0, I a ) ist sphärisch. φ X (t) = E(e itt X ) = exp( 1 2 tt t). Es folgt X S d (ψ) mit ψ(t) = exp( 1 2 t) Beispiel 3.21 (Mischverteilung) Zufallsvektor X mit X M d (0, I d, Ĥ) (standardisierte, unkorrelierte Normal- Varianz-Mischverteilung) ist sphärisch. Also ist ψ(t) = Ĥ(1 2t), es gilt Theorem 3.22 φ X (t) = e itt µ Ĥ( 1 2 tt Σt) = Ĥ(1 2 tt t) X M d (0, I d, Ĥ( )) X S d(ĥ(1 2 )). X hat genau dann eine sphärische Verteilung, wenn es die stochastische Repräsentation X d = RS hat. Dabei ist S gleichverteilt auf der Einheitssphäre S d 1 = {s R d : s T s = 1}, R 0 ist eine radiale Zufallsvariable, unabhängig von S. Es bezeichne S + d (ψ) die Unterklasse der sphärischen Zufallsvektoren X mit P(X = 0) = 0. Korollar 3.23 Sei X = d RS S + d (ψ), dann gilt ( X ) d= X, (R, S). X

5 4 Proof. ( X, X ) ( = RS, X RS ) = (R, S) RS Beispiel 3.24 X N d (0, I d ). Wegen X T X χ 2 d ist auch R2 χ 2 d. Nun wird E(S), Cov(S) berechnet: 0 = E(X) = E(R)E(S) E(S) = 0 I d = Cov(X) = E(R) 2 Cov(S) Cov(S) = I d d wegen E(R 2 ) = d (weil R 2 X 2 d ). Hat nun X eine sphärische Normal-Varianz-Mischverteilung X M d (0, I d, Ĥ), so können wir die Verteilung von R 2 = d X T X wie folgt kalkulieren: Wegen X = d W Y, mit Y N d (0, I d ) und W unabhängig von Y, folgt R 2 = d W R 2 mit R 2 χ 2 d und W und R unabhängig. Nun können wir die Verteilung von W R 2 kalkulieren und erhalten somit R Elliptische Verteilungen Definition 3.26 X hat eine elliptische Verteilung wenn X = d µ + AY, wobei Y S k (ψ) und A R d k und µ R d sind eine Matrix und ein Vektor mit konstanten Einträgen. Elliptische Verteilungen sind also affine Transformationen von sphärischen Verteilungen. φ X (t) = E(e itt X ) = E(e itt (µ+ay ) ) = e itt µ E(e i(at t) T Y ) = e itt µ ψ(t T Σt),

6 5 wobei Σ = AA T. Notation: X E d (µ,σ, ψ) mit µ als Ortsvektor, Σ als Verteilungsmatrix und ψ als charakteristischem Generator. Bemerkung 3.27 Die Kenntnis von X und µ lässt nicht eindeutig auf die elliptische Verteilung E d (µ,σ, ψ) schließen, sondern Σ und ψ hängen von einer positiven Konstanten ab. Zum Beispiel kann die multivariate Normalverteilung als E d (µ,σ, ψ) oder E d (µ, cσ, ψ( /c)) beschrieben werden mit ψ(u) = exp( 1 2 ) und c > 0 bel. Aus Def und Theorem 3.22 folgt Satz 3.28 X E d (µ,σ, ψ) genau dann, wenn es S, R, A gibt, so dass X = d µ + RAS wobei (i) S auf der Einheitssphäre S k 1 = {s R k : s T s = 1} gleichverteilt ist, (ii) R 0, eine radiale Zufallsvariable, unabhängig von S, (iii) A R d k mit AA T = Σ. Ist Σ positiv definit, so gilt: X E d (µ,σ, ψ) Σ 1 2 (X µ) Sd (ψ). Hat nun der sphärische Vektor Y die Dichtefunktion g, dann hat X = µ + Σ 1 2 Y die Dichte f(x) = 1 ( ) g (x µ) T Σ 1 (x µ). Σ 1 2

7 6 Außerdem ergibt sich für eine nicht singuläre elliptische Verteilung ( ) ( ) (X µ) T Σ 1 Σ 1 2(X µ) d (X µ) = R, S (X µ) T Σ 1 (X µ) mit S gleichverteilt auf S d 1 und R als unabhängige skalare Zufallsvariable. Satz 3.29 Sei X E d (µ,σ, ψ), Σ sei positiv definit und Cov(X) endlich. Dann gilt für jedes c 0 mit P ( (X µ) T Σ 1 (X µ) c ) > 0: ρ ( X (X µ) T Σ 1 (X µ) c ) = ρ(x) Proof. X (X µ) T Σ 1 (X µ) c d = µ+rσ 1 2S R 2 c mit R d = (X µ) T Σ 1 (X µ) und S unabhängig von R, verteilt auf S d 1. So gilt X (X µ) T Σ 1 (X µ) c d = µ + RΣ 1 2 S, mit R = R R 2 c. Also bleibt die Verteilung elliptisch mit Verteilungsmatrix Σ (nach Satz. 3.28) Eigenschaften elliptischer Verteilungen Linearkombinationen Sei X E d (µ,σ, ψ), B R k d und b R d bel., so gilt: BX + b E k (Bµ + b, BΣB T, ψ) Quadratische Formen Sei X E d (µ,σψ), Σ nicht singulär, so ist Q = (X µ) T Σ 1 (X µ) = d R 2, wobei R die radiale Zufallsvariable der stoch. Repräsentation ist. Ist nun X N d (µ,σ), so ist R 2 χ 2 d. Faltungen Seien X, Y unabhängig mit X E d (µ,σ, ψ), Y E d ( µ,σ, ψ), dann ist X + Y E d (µ + µ,σ, ψ) mit ψ(u) = ψ(u) ψ(u). Das funktioniert nur, solange die Verteilungsmatrizen bis auf einen konstanten Faktor gleich sind.

8 Verteilungs- und Korrelationsschätzer µ, Σ und die Korrelationsmatrix P sollen geschätzt werden. Bisher wurden X und S als Schätzer für Erwartungswert und Kovarianzmatrix betrachtet, nun werden effektivere Schätzer gesucht. M-Schätzer Maronnas M-Schätzer schätzen Ort (ˆµ) und Verteilung (ˆσ). Für jede Beobachtung X i wird Di 2 = (X i ˆµ) T ˆΣ 1 (X i ˆµ) kalkuliert. Um verbesserte Schätzungen zu erlangen, werden monoton fallende Gewichtsfunktionen W j : R + R, j = 1, 2 benutzt, um Beobachtungen mit großen D-Werten zu entkräften. M-Schätzer für Ort und Verteilung (1) Startschätzer: ˆµ [1] = X, ˆΣ [1] = S (Standard Schätzer); Iterationszähler: k = 1 (2) Für i = 1,...,n setze D 2 i = ( X i µ [k]) T ( Σ [k] ) 1 ( Xi ˆµ [k]) (3) Setze mit ω 1 als Gewichtsfunktion. (4) Setze ˆµ [k+1] = Σn i=1 ω 1(D 1 )X i Σ n i=1 ω 1(D i ) ˆΣ [k+1] = 1 n Σn i=1ω 2 ( D 2 i ) ( X i ˆµ [k]) ( X i ˆµ [k]) T wie Gewichtsfunktionen. (5) Setze k = k+1 und wiederhole die Schritte (2) (4) bis die Schätzer konvergieren. Für ω 1 und ω 2 waehlt man häufig ω 1 (X) = (d + ν)/(x 2 + ν) = ω 2 (X 2 ) für positive Konstanten ν. Benutzt man diese ω 1, ω 2 so führt der Algorithmus zu einer multivariaten t d (ν, µ,σ) Verteilung mit bekannten Freiheitsgraden.

9 8 Korrelationsschätzer nach Kendall s tau. Diese Methode zur Schätzung der Korrelation basiert auf Kendall s Rang-Korrelations-Koeffizient: ρ τ (X 1, X 2 ) mit Zufallsvariablen X 1, X 2 (formale Def. in 5.2) Wenn (X 1, X 2 ) E 2 (µ,σ, ψ), dann ρ τ (X 1, X 2 ) = 2 π arcsin(ρ) (Prop.5.37) Beispiel 3.31 (Effektive Korrelationsschätzung für stark abweichende Daten.) Korrelation einer Risikofaktoränderung bestimmter Daten über 90 Tage. Bei identischer Verteilung sollte diese Zeitspanne ausreichen, um die wahre Korrelation zu schätzen. Bild 3.5: Ergebnisse eines Simulationsexperiments, dass 3000 bivariate Proben t-verteilter Daten mit 3 Freiheitsgraden und Korrelation ρ = 0, 5 (sich stark auseinanderziehende elliptische Verteilung) oben: Werte des Pearson-Korrelationskoeffizienten weichen zum Teil stark ab. unten: Kendall s tau Methode bringt Schätzer hervor, die nah am Wert 0, 5 liegen Testen Elliptischer Symmetrie Wie findet man heraus ob identisch verteilte Datenvektoren X 1,...,X n E d (µ,σ, ψ)- verteilt sind? Für alle Methoden werden Schätzer ˆµ und ˆΣ benötigt (siehe 33.4 um ˆµ und ˆΣ zu berechnen). Allgemein kann nicht von unabhängigen identisch verteilten Zufallsvektoren ausgegangen werden. Aber wir nehmen an, dass die Zufallsvektoren zumindest identisch verteilt sind. Selbst wenn die Daten unabhängig wären, würde die Abhängigkeit schon dadurch entstehen, dass Schätzer für µ und Σ durch die ganze Datenmenge beeinflusst werden. Stabiler Korrelationsschaetzer: eine Erforschungsmethode (basiert auf Prop. 3.29)

10 9 Wir versuchen ρ(x h(x) > c), h(x) = (x ˆµ) T ˆΣ 1 (x ˆµ) für verschiedene Werte c 0 zu schätzen. Für elliptisch verteilte Daten erwarten wir nun, dass die Schätzer über einer Reihe verschiedener c-werte stabil bleiben. Für ˆµ und ˆΣ soll dabei wieder ein effizienterer Schätzer als der Standard-Korrelationsschätzer gewählt werden. QQplots Diese Methode beruht auf dem Zusammenhang zwischen nicht-singulären elliptischen und sphärischen Verteilungen. Seien µ und Σ bekannt, so testen wir X auf elliptische Symmetrie, indem wir die Daten { } Σ 1 2(X i µ) : i = 1,...,n auf spährische Symmetrie testen. Wir { prüfen ob die Daten Y i = ˆΣ } 1 2(X i ˆµ) : i = 1,...,n mit einer sphärischen Verteilung uebereinstimmen, während wir Schätzungsfehler vernachlässigen. Setzen wir nun R i = Y i und S i = Y i / Y i, dann ist zu prüfen, ob die S i -Daten auf der Einheitsphäre S d 1 gleichverteilt sind und die Paare (R i, S i ) unabhängig sind. Lemma 3.32 Sei T(Y ) eine Statistik, s.d. T(aY ) = T(Y ) a > 0, dann hat T(Y ) dieselbe Verteilung für alle spärischen Vektoren Y S + d (ψ). Proof. Nach Theorem 3.22 gilt T(Y ) d = T(RS); T(RS) = T(S) gilt nach Voraussetzung. Weil die Verteilung T(Y ) nur von S und nicht von R abhängt, muß sie für alle Y S + d (ψ) dieselbe sein. Dieses Resultat wird genutzt für Statistiken T(Y ) mit T(Y ) = T(aY ) für alle a > 0, deren Verteilung bekannt ist wenn Y N d (0, I d ). Zwei Beispiele sind T 1 (Y ) = d 1 2Y, Y = (1/d 1) d (Y i Y ) 2 i=1 1 d d i=1 Y i

11 10 T 2 (Y ) = Für Y N d (0, I d ) und somit Y S + d (ψ) ist T 1(Y ) t d 1 und T 2 (Y ) Beta ( 1 2 k, 1 2 (d k)). K i=1 d i=1 Y 2 i Y 2 i 3.4 Dimensionsreduzierungstechniken Diese sind in der multivariaten statistischen Analysis ein zentrales Thema und werden für Ökonomische Modelle gebraucht Faktor-Modelle Durch solche werden d-dimensionale Zufallsvektoren X durch eine kleinere Reihe von allgemeinen Faktoren beschrieben. Definition 3.33 (Linearfaktormodelle) Der Zufallsvektor X folgt einem p-faktormodell, wenn er zersetzt werden kann als X = a + BF + ǫ wobei (i) F = (F 1,...,F p ) T allgemeine Faktoren mit p < d, mit positiv definiter Kovarianzmatrix; (ii) ǫ = (ǫ 1,...,ǫ d ) T Zufallsvektor spezieller Fehlerterme, die unkorreliert sind mit Erwartungswert 0; (iii) B R d p ist eine Matrix konstanter Ladefaktoren und a R d ein Vektor mit Konstanten; (iv) Cov(F, ǫ) = E ( (F E(F))ǫ T) = 0. Punkte (ii), (iv) sind wichtig, es wird keine Unabhängigkeit, sondern nur Unkorreliertheit verlangt. Ist X multivariat normalverteilt und genügt dem Faktormodell, dann ist es möglich eine Version des Faktormodells zu finden,

12 11 bei der F und ǫ Gauss-verteilt sind. Wobei die Fehler voneinander unabhängig angenommen werden dürfen. Faktormodelle implizieren eine besondere Struktur für die Kovarianzmatrix Σ von X: Σ = Cov(X) = BΩB T + γ, wobei Ω die Kovarianzmatrix von F und γ die von ǫ darstellt, welche diagonal ist. Gilt das Faktormodell, so können die allgeimeinen Faktoren trnasformiert werden, s.d. sie orthogonal sind mit Erwartungswert 0. Setzt man F = Ω 1/2 (F E(F)) und B = BΩ 1/2, so lautet das Faktormodell: X = µ + B F + ǫ mit µ = E(X), Σ = B (B ) T + γ Regressionsanalyse von Faktormodellen Sei X t = a + BF + ǫ t, t = 1,..., n ein Modell, bei dem a, B zur Zeit t geschätzt werden sollen. Es gibt zwei Möglichkeiten der Regression Univariate Regression X t,j sei die Beobachtung des Instruments j zur Zeit t: X t,j = a j + b T j F t + ǫ t,j t = 1,..., n. Nun wird eine lineare Regression durchgeführt. Multivariate Regression Setze X = X T 1. X T n } {{ } n d, F = 1 F T 1. } 1 Fn T {{ } n (p+1). ( a T, B 2 = B T ) } {{ } (p+1) d, E = ǫ T 1. ǫ T n. }{{} n d Es gilt: X = FB 2 + E, wobei B 2 die Matrix der zu schätzenden Parameter ist.