, Jahr. 2. Jahr. 3. Jahr Jahr. 5. Jahr. 6. Jahr. Summe 1 039,50 E. Pflichtaufgabe 2

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1 Pflichtaufgabe 1 a) Zinsen im 1. Jahr: Lösungen ,01 E x = x = 06,8E Gewinn nach Abzug der Steuern: 116,01 E 06,8 E = 99,7 E Vom Gewinn bleiben 99,7 übrig. mit Verhältnisgleichung x,00% = E E %, E x = x = 150E mit Dreisatz % E : 1% E % E % 150E Guthaben nach dem 1. Jahr: Durch die Zinsen erhöht sich das Guthaben E E = 5150 E Zinsen im. Jahr: Das neue Guthaben von wird mit,1 % verzinst. b) Zinsen und Guthaben bis zum 6. Jahr beim Bundesschatzbrief Typ A: Beim Bundesschatzbrief vom Typ A werden die Zinsen am Ende eines jeden Jahres ausgezahlt. Dadurch bleibt das Guthaben unverändert bei Zinsen (werden ausgezahlt) Guthaben am Jahresende 1. Jahr, E = 150,00 E Jahr. Jahr. Jahr 5. Jahr 6. Jahr, E = 156,00 E 5 000, E = 166,50 E 5 000, E = 177,00 E 5 000, E = 188,50 E 5 000, E = 01,50 E Summe 1 09,50 E Für Frau Mayer wäre es günstiger, Bundesschatzbriefe vom Typ A zu kaufen, da der Gewinn bei 1 09,50 liegt. Das sind fast mehr als beim Typ B. Die Berechnung verläuft ähnlich wie im 1. Jahr., E x = x = 161,0E Hinweis: Im Bankgewerbe wird bei der Ziffer 5 immer aufgerundet: 161, ,0 Guthaben nach dem. Jahr: 5150 E + 161,0 E = 5 11,0 E Zinsen und Guthaben bis zum 6. Jahr beim Bundesschatzbrief Typ B: Zinsen Guthaben am Jahresende. Jahr, 5 11,0 E = 176,86 E 5 88,06. Jahr 5. Jahr 6. Jahr, ,06 E = 195,7 E 5 68,, , E = 1,65 E 5 905,08, ,08 E = 0,9 E 6 16,01 Nach dem 6. Jahr würde Frau Mayer 6 16,01 erhalten. Gewinn: 616,01 E 5000 E = 116,01 E Steuern auf den Gewinn: Pflichtaufgabe a) Die Sinusfunktion y = sin x liefert Funktionswerte im Bereich 1 y 1. Die einfachste Möglichkeit, den größten Funktionswert,5 zu erreichen, ergibt sich mit a =,5. Die Funktionsgleichung lautet dann y = f(x) =,5 sin x. b) Die kleinste Periode von f beträgt π. Im angegebenen Intervall hat f die Nullstellen π, 0, π und π. c) Es genügt, aus der graphischen Darstellung zwei der folgenden vier Werte abzulesen: x1,7, x 0,, x,6, x 5,9. Hinweis: Durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der x-achse ergibt sich noch eine weitere Funktion f mit der Gleichung y = f (x) =,5 sin x. Diese Funktion hat die gleiche kleinste Periode und die gleichen Nullstellen wie f. Die Stellen, an denen der Funktionswert 1 ist, lauten x 1 0, und x,

2 Pflichtaufgabe a) Wenn Anne sich als erste eine Farbe aussuchen kann, hat sie vier Möglichkeiten. Wenn Bert sich als zweiter eine Farbe aussucht, hat er noch drei Möglichkeiten. Christiane kann sich noch zwischen zwei Farben entscheiden. Für Dirk bleibt nur eine Farbe übrig. Das zugehörige Baumdiagramm sieht so aus: Pflichtaufgabe a) Die Seitenflächen sind Dreiecke, deren Höhe wir noch nicht kennen. Höhe h a einer Seitenfläche: a ha = h + (Satz des Pythagoras) a ha = h +, m h a = (1,6m) + ha = 7,55 m Inhalt A 1 von einer Seitenfläche: a h A a 1 =, m 7,55 m = = 71,1m Inhalt A der gesamten Glasfläche: A= A = 71,1m = 188, m Insgesamt gibt es verschiedene Möglichkeiten, die Farben an die Spieler zu verteilen. b) Bei zwei Würfeln sind als Augensumme alle (natürlichen) Zahlen von bis 1 möglich. c) Tabelle der möglichen Augensummen: Augenzahl von Würfel Augenzahl von Würfel Wahrscheinlichkeit für die Augensumme 7: Anzahl der günstigen Ergebnisse 6 1 P(7) = = = = 0,167 = 16,7 % Anzahl aller möglichen Ergebnisse d) Die Augensummen 6 und 8 haben die gleiche Wahrscheinlichkeit je. 6 Die gleiche Wahrscheinlichkeit haben auch die Augensummen 5 und 9 je 6 die Augensummen und 10 je 6 die Augensummen und 11 je 6 1 die Augensummen und 1 je 6 b) Lösungsweg 1: Wir stellen uns vor, dass die gesamte Glasfläche aus 1 88, Glasplatten mit je 1 m Flächeninhalt zusammengesetzt ist. Wir berechnen das Volumen einer Glasplatte, dann ihre Masse und daraus die Masse aller Platten. Volumen einer Glasplatte mit 1 m Fläche: V= h (Volumen eines Prismas) V= 1m 0mm 1 m = cm, 0 mm = cm V= 00cm cm V = cm Masse einer solchen Glasplatte: 0 000, g = 000 g = kg Masse von 1 88, Glasplatten: 188, kg = 8 91,6 kg 8,9 t Es wurden ungefähr 8,9 t Glas verbaut. Lösungsweg : Wir stellen uns vor, dass die vier Seitenflächen der Pyramide flach auf den Boden gelegt werden. Es ergibt sich ein riesiges Prisma mit einer Grundfläche von 1 88, m und einer Höhe von 0 mm. Volumen der Glasplatten: V = h = 188, m = cm V= cm cm h = 0mm= cm V = cm Masse der Glasplatten: , g = g = 8 91,6 kg 8,9 t Es wurden ungefähr 8,9 t Glas verbaut

3 Pflichtaufgabe 5 a) b) falsch: 5, * 10 Exp richtig: 5, Exp Hinweis: Die Taste Exp kann auch mit EE, EEX oder 10 x beschriftet sein. c) Vom Flächeninhalt des Viertelkreises müssen wir den Flächeninhalt des Halbkreises abziehen. Flächeninhalt A 1 des Viertelkreises: 1 = πr r = cm 1 A 1 = π(cm) = 1,57 cm Ablauf: 1. Wir konstruieren das Lot vom Punkt B auf die Gerade AC. (Dabei entstehen die Hilfspunkte H 1, H und H ). Den Fußpunkt des Lotes nennen wir H.. Wir verlängern das Lot über H hinaus und tragen auf diesem Strahl von H aus die Entfernung BH ab. So erhalten wir den Bildpunkt D. c) Begründung: Möglichkeit 1: Die Strecke BH ist das Lot vom Punkt B aus auf die Gerade durch AC. Da das Lot senkrecht auf der Gerade steht, stehen auch die Diagonalen AC und BD senkrecht aufeinander. Möglichkeit : Bei einer Spiegelung an einer Geraden steht die Verbindungsstrecke von Original- und Bildpunkt immer senkrecht auf der Spiegelgeraden. Weitere Eigenschaften solcher Vierecke: Es gibt zwei Paare von benachbarten Seiten, die gleich lang sind (erstes Paar AB und AD, zweites Paar BC und CD). Das Viereck hat eine Symmetrieachse (hier AC). Die Diagonale, die die Symmetrieachse ist, halbiert die zugehörigen Innenwinkel des Vierecks (AC halbiert den Winkel BAD und den Winkel DCB). Die Diagonale, die die Symmetrieachse ist, halbiert die andere Diagonale (AC halbiert BD). Es gibt ein Paar gegenüberliegender Innenwinkel, die gleich groß sind (die Winkel CBA und ADC sind gleich groß). d) Diese Forderungen gelten nur für zwei Vierecksarten: 1. Rhombus (auch Raute genannt). Quadrat Flächeninhalt A des Halbkreises: 1 A = πr r = cm 1 A = π(cm) A = 6,8cm Flächeninhalt der grauen Fläche: A = 1,57cm 6,8cm = 6,9cm 6,cm Der Flächeninhalt der grauen Fläche beträgt 6, cm. d) Lineare Funktionen kann man in der Form y = mx + n schreiben. Aus dem Schnittpunkt mit der y-achse kann man n ablesen: n =. Aus dem Anstiegsdreieck kann man den Anstieg m bestimmen: m =. Die Gleichung der Funktion lautet y= x. e) Die fünfte Figur besteht aus 15 Kreisen. Pflichtaufgabe 6 a) Aus dem allgemein üblichen Würfelnetz kann man durch Versetzen der angekreuzten Fläche ein Würfelnetz erhalten, das der Anforderung entspricht: Es gibt aber noch viele andere Variationen. Zum Beispiel: f) Die Funktion y = x + x + hat die Form y = x + px + q mit p = und q =. Koordinaten des Scheitelpunktes S(x s ; y s ): p p xs = ys = + q xs = ys = + xs = ys = 1 Der Scheitelpunkt liegt bei S( ; 1). b) Das Ergebnis lautet 69. Falls Sie 690 oder gar 6, erhalten, benutzen Sie vermutlich die Taste für Zehnerexponenten falsch

4 Wahlaufgabe 1 a) Die graue Fläche besteht aus zwei schräg nach unten verlaufenden Rechtecken und einem horizontal verlaufenden Rechteck. Von den schräg nach unten verlaufenden Rechtecken ist die vordere Kantenlänge noch nicht bekannt. Länge l der schräg verlaufenden Kante: l = (5 mm) + (50 mm) l = (5 mm) + (50 mm) l= 56mm Flächeninhalt A 1 von einer schrägen Fläche: = 56mm 50mm = 800 mm Flächeninhalt A von der horizontalen Fläche: A = 50mm 50mm A = 500 mm Flächeninhalt der grauen Fläche: + A = 800 mm mm = 8 mm b) Um das Volumen mit der Formel V = A G h berechnen zu können, benötigen wir den Flächeninhalt der Frontfläche, denn sie stellt die eigentliche Grundfläche des Prismas dar. Wir zerlegen die Frontfläche in zwei gleich große Trapeze und ein Rechteck. Flächeninhalt A von einem Trapez: 50 mm + 5 mm A = 50mm A = 1875mm Flächeninhalt A des Rechteckes: = 5mm 50mm = 150mm c) Wir durchlaufen die Schritte von Aufgabenteil b noch einmal, allerdings diesmal ohne Angaben in Millimeter. Flächeninhalt A von einem Trapez: a + a A = a a A = a a a A = a = Flächeninhalt A des Rechteckes: a = a a = Flächeninhalt A G der Frontfläche: = A + a a = + a a = + a = = a Volumen des Werkzeuges: V= h V= a a = a Hinweis: Diese Formel kann man viel einfacher erhalten, wenn man das Prisma zerteilt und die Teile wie in der Abbildung zusammensetzt. Es entsteht ein Quader mit den Kantenlängen a, a und a. V= a a a = a Flächeninhalt A G der Frontfläche: = A+ = 1875 mm mm = 5000mm Volumen des Werkzeuges: V= h V= 5000mm 50mm V = mm 0 mm = 1cm V= 50cm

5 Wahlaufgabe a) Das Dreieck ERL ist unregelmäßig. Zur Berechnung der Strecke EL verwenden wir den Kosinussatz. Entfernung EL (Elsterberg Losa): EL = ER + LR ER LR cosα EL = ER + LR ER LR cosα EL = (,5 km) + (, km),5 km, km cos5 EL =,6 km Länge der Wanderstrecke A:,5 km +, km +,6 km = 11, km b) Das Dreieck ELB ist rechtwinklig. Zur Berechnung der Strecken BL bzw. BE verwenden wir die Definition des Tangens bzw. Kosinus im rechtwinkligen Dreieck. Entfernung BL (Brockau Losa): BL = tan β EL EL BL = EL tanβ BL =,6 km tan0 =, km Entfernung BE (Brockau Elsterberg): EL = cos β BE BE EL = BE cos β : cosβ EL = BE cosβ,6 km BE = =, km cos0 Gesamtlänge der Wanderstrecke B:,5 km +, km +, km +, km = 1, km c) Längen der Strecken ER und RL im Bild: ER =,5 km : = 0, km = 0,09 m = 9 cm RL =, km : = 0, km = 0,08 m = 8, cm Reihenfolge der Konstruktion: 1. Dreieck ELR konstruieren mit ER = 9 cm, LRE = 5 und LR = 8, cm.. Dreieck BEL konstruieren mit LEB = 0 und BLE =

6 Wahlaufgabe. Fall: lange Grundstücksseite parallel zur Straße a) Inhalt der Grundfläche des Hauses: 1 m 8 m = 96 m b) Die kürzere Grundstücksseite bezeichnen wir mit x. Die Länge der anderen Grundstücksseite beträgt dann x + 6. Aus dem Flächeninhalt des Grundstücks berechnen wir x. x (x + 6) = 016 x + 6x = x + 6x 016 = 0 Lösungsformel für quadratische Gleichungen 6 6 x 1/ = ± ( 016) x1/ = ± 5 x1 = oder x = 8 (entfällt) Die kürzere Seite ist m lang. Die andere Seite ist dann 8 m lang ( + 6 = 8). Probe: m 8 m = 016 m w. A. Gesamtlänge der Grundstücksgrenzen: (m+ 8m) = 180m c) bebaute Fläche (das Haus): unbebaute Fläche (der Rest): 96 m 016 m 96 m = 190 m Kosten: 96 6,9 E ,0 E = 66,0 E Der Beitrag für den Anschluss an das Abwassernetz beträgt 66,0. Aus der Skizze ergibt sich: I x+ 1+ x = x + 1 = 1 x = 0 : x = 10 II x + 8+ x = 8 x + 8 = 8 8 x = 0 : x = 10 Beide Gleichungen ergeben übereinstimmend, dass der Abstand des Hauses von der Straße 10 m beträgt. Kosten für die kürzeste Verbindung: 10 5,00 E = 50,00 E d) Abstand x des Hauses von der Straße: 1. Fall: kurze Grundstücksseite parallel zur Straße Aus der Skizze ergeben sich zwei Gleichungen für x: I x+ 1+ x = 8 x + 1 = 8 1 x = 6 : x = 1 II x + 8+ x = x + 8 = 8 x = : x = 8,5 Die Entfernung zur Straße kann nicht gleichzeitig 1 m und 8,5 m sein. Dieser Widerspruch bedeutet: bei dieser Lage des Grundstückes ist die Aufgabe nicht lösbar