Prüfungsteil 1, Aufgabe 3. Analysis. Nordrhein-Westfalen 2012 GK. Aufgabe a (1) Aufgabe a (2) Abitur Mathematik: Musterlösung
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- Günther Hartmann
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1 Abitur Mathematik: Prüfungsteil 1, Aufgabe 3 Nordrhein-Westfalen 2012 GK Aufgabe a (1) 1. SCHRITT: BEDINGUNG FÜR PUNKTSYMMETRIE ZUM URSPRUNG PRÜFEN Der Graph der Funktion : ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle gewährleistet ist. Dabei ist 3 3, d. h. die Bedingung ist erfüllt und somit punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung. Aufgabe a (2) 1. SCHRITT: 1. UND 2. ABLEITUNG BERECHNEN SCHRITT: 1. ABLEITUNG = 0 SETZEN UND GLEICHUNG LÖSEN Hinreichende Bedingung für ein relatives Maximum bzw. Minimum der Funktion an der Stelle : 0 und 0 bzw. 0. Dabei ist 1
2 da 3 0 für alle SCHRITT: MITTELS 2. ABLEITUNG ART DER EXTREMPUNKTE BESTIMMEN hat bei ein relatives Maximum. Aus Symmetriegründen hat bei ein relatives Minimum. 4. SCHRITT: FUNKTIONSWERTE AN DEN EXTREMSTELLEN BERECHNEN ,29 2 Aus Symmetriegründen ist 1,29. Damit hat die folgenden Extrempunkte: Hochpunkt: Tiefpunkt: Aufgabe b (1) ist genau dann eine Stammfunktion von, wenn die Ableitung von ist. Dabei gilt: für alle. Also ist eine Stammfunktion von. Aufgabe b (2) 1. SCHRITT: SKIZZE 2
3 Gesucht ist die braun schraffierte Fläche. 2. SCHRITT: TEILFLÄCHEN BERECHNEN Die gesuchte Fläche erhält man, indem man die Dreiecksfläche zwischen der blauen Geraden, der grün gestrichelten Linie und der Achse von der Fläche unter dem roten Graphen von 0 bis zur grün gestrichelten Linie abzieht. Die grün gestrichelte Linie ist bei ( Koordinate des Hochpunkts), also ist die Fläche unter dem roten Graphen d Das Dreieck, das die Gerade mit der grün gestrichelten Linie und der Achse einschließt, hat als Grundseite die Koordinate des Hochpunkts (also ) und als Höhe die Koordinate des Hochpunkts (also ). Seine Fläche beträgt demnach Dreieck 1 2 Grundseite Höhe SCHRITT: FLÄCHENDIFFERENZ BILDEN Somit ist die gesuchte Fläche Dreieck ,135 FE. 4 Aufgabe c (1) 1. SCHRITT: STEIGUNGEN BESTIMMEN Die Tangenten sind lineare Funktionen, die durch folgende Bedingungen festgelegt sind: 3
4 1 1 1 und 1 1; und 1 1. Die gesuchten Tangenten haben Gleichungen der Form, wobei die Steigung ist, die mittels Bedingung 2) bestimmt wird, und der Achsenabschnitt ist. Es ist , also hat die Steigung. Aus Symmetriegründen ist SCHRITT: y-achsenabschnitte BESTIMMEN Es ist 1 31 und aus Symmetriegründen 1. Für Koordinaten der beiden Punkte und gilt also 1 und 1. Da auf der Tangente liegt und eine Gleichung der Form mit hat, folgt Die Tangente hat also die Gleichung 3 6. Analog hat eine Gleichung der Form mit, der die Koordinaten von genügen müssen, d. h Die Tangente hat also die Gleichung 3 6. Aufgabe c (2) 1. SCHRITT: SCHNITTPUNKTE MIT DER x-achse Schnittpunkt Schnittpunkt SCHRITT: SCHNITTPUNKTE MIT DER y-achse 4
5 Die Achsenabschnitte wurden oben berechnet: für : 0, für : 0. Aufgabe c (3) Aufgabe c (4) 1. SCHRITT: EIGENSCHAFTEN EINER RAUTE NENNEN Ein Viereck ist genau dann eine Raute, wenn gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind. 2. SCHRITT: RAUTENEIGENSCHAFTEN NACHWEISEN In dem Viereck sind die Seiten und parallel. (Das sind Abschnitte der beiden Tangenten mit der gleichen Steigung.) Außerdem sind wegen der Symmetrie beide Seiten gleich lang. Daraus folgt, dass die Seiten und auch parallel und gleich lang sein müssen. Ergo handelt es sich um eine Raute. Aufgabe c (5) 1. SCHRITT: FLÄCHENINHALT EINER RAUTE 5
6 Der Flächeninhalt der grünen Raute ist viermal so groß wie der Flächeninhalt des Dreiecks, das die Raute aus dem I. Quadranten heraus schneidet. 2. SCHRITT: BERECHNUNG DES FLÄCHENINHALTS Das genannte Dreieck hat die waagrechte Grundseite der Länge 2 und die zugehörige Höhe ( Achsenabschnitt der Tangente ), also ist die Fläche Dreieck FE. Die Raute hat somit den Flächeninhalt Raute 4 Dreieck ,83 FE. Aufgabe d (1) Aufgabe d(2) Der Flächeninhalt des grün umrandeten Dreiecks ist 1 2, wobei die Länge der Grundseite der Koordinate des Punktes (also ) entspricht und die Höhe der Koordinate von (also ) entspricht. Somit ist. 6
7 Aufgabe d (3) 1. SCHRITT: NOTWENDIGE BEDINGUNG FÜR EXTREMSTELLEN Wenn eine Extremstelle der differenzierbaren Funktion A ist, dann gilt SCHRITT: 1. ABLEITUNG DER FUNKTION A BESTIMMEN Nach der Produktregel ist SCHRITT: 1. ABLEITUNG NACH AUFLÖSEN Aus der letzten Gleichung folgt , also wegen Schritt SCHRITT: BEDINGUNG FÜR LOKALES MAXIMUM hat genau dann ein lokales Maximum bei, wenn 0 gilt. 5. SCHRITT: 2. ABLEITUNG BILDEN Wenn also 0 gilt, so ist 0, also ein lokales Maximum. Aufgabe d (4) 1. SCHRITT: ERSTE BEDINGUNG IN TEILAUFGABE d) (3) ANWENDEN Wird die Fläche bei 0 maximal, so folgt aus Teilaufgabe d) (3) 7
8 . Einsetzen der oben berechneten Funktionsterme für und liefert Die Fläche kann also nur für 1 maximal werden (da 0 vorausgesetzt ist). 2. SCHRITT: ZWEITE BEDINGUNG IN TEILAUFGABE d) (3) ANWENDEN In Teilaufgabe d) (3) wurde eine hinreichende Bedingung für ein Maximum der Funktion an der Stelle 0 gefunden, nämlich Einsetzen der oben berechneten Funktionsterme für und liefert die Bedingung Der Kandidat 1 aus Schritt 1 erfüllt diese Bedingung, denn Also hat der Flächeninhalt an der Stelle 1 ein lokales Maximum. Da der Definitionsbereich ein offenes Intervall ist, gibt es keine Randmaxima. Da 1 die einzige Nullstelle von ist, folgt also, dass hier ein globales Maximum vorliegt. 8
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