6.6. Abstandsbestimmungen

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1 6.6. Abstandsbestimmungen 6. Geraden und Ebenen im Raum In diesem Kapitel werden folgende Fälle vorgestellt:. Abstand zweier Punkte. Abstand zweier paralleler Geraden 3. Abstand einer Ebene zu einer zur Ebene parallelen Geraden. Abstand zweier paralleler Ebenen 5. Abstand eines Punktes von einer Geraden 6. Abstand eines Punktes von einer Ebene 7. Abstand zweier windschiefer Geraden Abstand zweier Punkte Der Abstand zweier Punkte A un B ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors: AB = AB = B A = (b a ) + (b a ) + (b 3 a 3 ) Abstand zweier paralleler Geraden Dieser Fall lässt sich auf den Abstand eines Punktes von einer Geraden zurückführen: Er ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden g (z.b. des Aufpunktes) von der Geraden h. Abstand einer Ebene zu einer zur Ebene parallelen Geraden Dieser Fall lässt sich auf den Abstand eines Punktes von einer Ebene zurückführen: Er ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden g (z.b. des Aufpunktes) von der Ebene E. Abstand zweier paralleler Ebenen Dieser Fall lässt sich auf den Abstand eines Punktes von einer Ebene zurückführen: Er ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes P der Ebene E (z.b. des Aufpunktes) von der Ebene F. 8

2 Abstand eines Punktes von einer Geraden Beispiel 6.9. Berechnen wir den Abstand d des Punktes P ( 5 6) von der Geraden g : X = + k Lösung I: Verwendung einer Lotebene Dazu erstellen wir die Gleichung der Ebene E, die zur Geraden g senkrecht ist und den Punkt P enthält: Der Richtungsvektor u der Geraden ist als Normalenvektor von E verwendbar: E : X 5 = 6 x + x + x 3 = Schneidet man nun die Gerade g mit der Hilfsebene E, so erhält man den Lotfußpunkt F auf g: ( k) + (k) + ( + k) = k = F = Schließlich erhält man den Abstand: + = d = P F = ( F P ) = ( ) + ( 5) + ( 6) = 6 Abstandsberechnung mit einer Lotebene:. Hilfsebene E in Koordinatenform aufstellen. Punkt P als Aufpunkt der Ebene verwenden. Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor verwenden.. Schnittpunkt der Geraden mit der Hilfsebene ist der Lotfußpunkt F. 3. Länge des Vektors P F bestimmen. 83

3 Versuchen wir den Vektor P F aufzustel- Lösung II: Verwendung des Skalarprodukts len: Da F auf der Geraden liegt, gibt es ein s R, so dass sich der Vektor F folgendermaßen darstellen lässt: F = + s Mit P F = F P erhält man: P F = + s 5 6 = + s P F muss senkrecht zum Richtungsvektor u der Geraden sein, d.h. P F u = : + s = 8 + 6s 5 + s 5 + s = s = Setzt man die Lösung s = in die Parameterdarstellung für k ein, so erhält man den Fußpunkt F : F = + = Als Länge der Lotstrecke ergibt sich: d = P F = ( F P ) = ( ) + ( 5) + ( 6) = 6 Abstandsberechnung unter Verwendung des Skalarprodukts:. Abstandsvektor P F aufstellen.. Gleichung P F u = lösen. 3. Lösung verwenden um Koordinaten von F zu erhalten.. Länge des Vektors P F bestimmen. 8

4 Abstand eines Punktes von einer Ebene Satz 6.3. Setzt man die Koordinaten eines Punktes P in die linke Seite der Hesse schen Normalenform einer Ebene E ein, so ergibt sich ein Wert, dessen Betrag der Abstand d des Punktes P von der Ebene E ist. Beispiel 6.3. Berechnen wir den Abstand des Punktes P ( 3 ) zur Ebene mit der Koordinatenform E : x x + 3x 3 + =. Lösung Die Länge des Normalenvektors von E beträgt: n = 3 = Stellen wir nun die Ebene in Hesse sche Normalform auf. Dazu müssen wir auch noch beachten, dass c ist, d.h. wir müssen die Gleichung mit ( ) durchmultiplizieren und erhalten: E HNF : ( x + x 3x 3 ) = Den Abstand bestimmen wir nun nach obigen Satz, indem wir die Koordinaten von P in die linke Seite von E HNF einsetzen: d = ( + 3 3( ) ) = 6, 8 Da das Argument des Betrages positiv ist, weiß man auch, dass sich P in dem Halbraum ohne Ursprung befindet. Bemerkung. Ist der Abstand vor dem Betragnehmen negativ, bedeutet dies, dass sich der Punkt in dem Halbraum befindet, indem auch der Ursprung ist. Abstandsberechnung:. Hesse sche Normalenform aufstellen. Normalenvektor normieren. Beachten, dass c sein muss.. Koordinaten von P in die linke Seite der HNF einsetzen. 85

5 Abstand zweier windschiefer Geraden Beispiel 6.3. Berechnen wir den Abstand d der windschiefen Geraden g : X = + k 3 und h : X = + k Lösung: Dazu bestimmen wir erst eine Hilfsebene E, die g enthält und parallel zu h ist: Da die Ebene durch die Richtungsvektoren u und v beider Geraden aufgespannt wird, berechnen wir den Normalenvektor von E durch das Kreuzprodukt: E : n = 3 X = 8 8 = = x x + x 3 6 = Der Abstand der Geraden ist nun gleich dem Abstand des Aufpunktes von h von der Ebene E. Dazu stellen wir E HNF auf: n = 9 = 3 E HNF : 3 (x x + x 3 6) = Setzen wir den Aufpunkt von h in E HNF ein, so erhalten wir: d = ( + 6) 3 = 3 = 3 Abstandsberechnung:. Hilfsebene E in Koordinatenform aufstellen. Normalenvektor durch Kreuzprodukt berechnen. Aufpunkt einer Gerade als Aufpunkt der Ebene verwenden.. Abstand mit der Hesse schen Normalenform berechnen. 86

6 6.7. Schnittwinkel Winkel von Vektoren kann man mit dem Skalarprodukt berechnen, es gilt: Schnittwinkel zwischen zwei Geraden cos ϕ = u v u v Definition Schneiden sich zwei Geraden, so ist der spitze Winkel zwischen den Richtungsvektoren der Schnittwinkel zwischen den Geraden. Beispiel 6.3. Berechnen wir den Schnittwinkel der beiden Geraden g : X = + k und h : 5 X = 8 + k Lösung: Es gilt: ϕ = cos = cos , 87

7 Schnittwinkel zwischen einer Gerade und einer Ebene Definition Schneidet eine Gerade eine Ebene, so berechnet man zunächst den Winkel zwischen dem Normalenvektor der Ebene und dem Richtungsvektor der Geraden. Dieser Winkel und der gesuchte Winkel ϕ erzgänzen sich zu 9. Abbildung 6.3.: aus Fokus (Cornelsen) Bemerkung. Wegen cos(9 ϕ)) = sin ϕ kann man ϕ auch direkt berechnen: Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen ϕ = sin u n E u n E Definition Schneiden sich zwei Ebenen, so ist der spitze Winkel zwischen den Normalenvektoren der Schnittwinkel zwischen den Ebenen. Abbildung 6..: aus Fokus (Cornelsen) 88