Klassische Theoretische Physik II. V: Prof. Dr. M. Mühlleitner, Ü: Dr. M. Rauch. Klausur 1 Lösung. 28. Juli 2014, Uhr
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- Paul Gerhardt
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1 KIT SS 4 Klassische Theoretische Physik II V: Prof Dr M Mühlleitner, Ü: Dr M auch Klausur Lösung 8 Juli 4, 7-9 Uhr Aufgabe : Kurzfragen (+++=8 Punkte (a Verallgemeinerte Koordinaten sind Koordinaten, die die Zwangsbedingungen des Systems automatisch berücksichtigen Die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten ist gleich der Anzahl der Freiheitsgrade f des Systems: f = 3N N Z mit N Massenpunkten und N Z Zwangsbedingungen (b Das Noethertheorem besagt, dass es zu jeder infinitesimalen Transformation, die die Lagrange-Gleichung invariant lässt, eine zugehörige Erhaltungsgröße gibt (c Impulserhaltung (3: m r Drehimpulserhaltung (3: m r r Energieerhaltung (: m r Schwerpunktsbewegung (3 : r = r t + r (Die Angabe der Begriffe ist ausreichend (d Der Satz von Steiner beschreibt die Berechnung des Trägheitstensor Θ um einen beliebigen Punkt P ausgehend vom Trägheitstensor Θ um den Schwerpunkt S: Θ = Θ + M ( a a a T mit a = SP Aufgabe : Massen und Feder ( =4 Punkte (a Die kinetische Energie des Systems ist T = m ż T = m (ẋ + ż = m (3ż + ż = m 4ż
2 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 mit z = tan( 3 = sin( 3 x cos( 3 = 3 = 3 x = 3z Für die potentielle Energie benötigen wir den Abstand der beiden Massenpunkte l = (x x + (z z = 3z + (z z = 4z z z + z, wodurch sich für die Federenergie U F = κ l = κ ( 4z z z + z ergibt Der zweite Teil der potentiellen Engergie gibt sich aus der Schwerkraft Die Lagrangefunktion ist damit L = T U = m (b Für z ergibt sich U g = mgz + mgz (ż + 4ż κ ( 4z z z + z mg(z + z d L L = m z + κ dt ż z (z z + mg = z = κ m (z z g und für z d L L = 4m z + κ dt ż z ( z + 8z + mg = 4 z = κ m (4z z g (c In der Gleichgewichtslage gilt z = z = Mit den Bewegungsgleichungen ergibt sich Eingesetzt in z = finden wir κ m (z z g = κ m (4z z g z = κ m z = 5z z = 5 z Damit haben wir für die Gleichgewichtslage z, = mg 3 κ ( 5 z z g = 3 z = mg κ und z, = 5 mg 3 κ / 8
3 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 (d Wir führen nun die Auslenkung aus der uhelage ein, ξ i = z i z i, z i = ξ i + z i, ξ i = ż i, und setzen dies in die Lagrangefunktion ein: L = m ( ξ + 4 ξ κ ( (ξ + z, (ξ + z, (ξ + z, + 4(ξ + z, mg (ξ + ξ + z, + z, Die Terme unabhängig von ξ tragen nichts zu den Bewegungsgleichungen bei und können deshalb weggelassen werden, L = m ( ξ + 4 ξ κ ( ξ ξ ξ + 4ξ κ ( (ξ 5 ( mg ξ ( mg ξ 5 ( mg + 8ξ mg 3 κ 3 κ 3 κ 3 κ mg (ξ + ξ = m ( ξ + 4 ξ κ ( ξ ξ ξ + 4ξ + mg 3 (ξ ( ξ ( = m ( ξ + 4 ξ κ ( ξ ξ ξ + 4ξ (e Die Bewegungsgleichungen für die Auslenkungen aus der uhelage sind m ξ + κ(ξ ξ = 4m ξ + κ( ξ + 4ξ = und damit in Matrixform ( ξ = κ ( ξ m 4 }{{} =M Wir berechnen die Eigenwerte der Matrix M, ( ξ ξ det(m λ = ( λ 4 = λ λ = λ, = ± 3 4 = ± =, 3, und damit sind die Eigenfrequenzen: ω = κ und m ω = 3 (f Wir berechnen den Eigenvektor zum Eigenwert λ =, ( ( ( v = 4 v v = v v = (, κ m 3 / 8
4 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 und zum Eigenwert λ = 3, ( ( v = v 4 ( v = v v = ( (Die Eigenvektoren stehen hier nicht senkrecht aufeinander, wie man direkt sieht Diese Eigenschaft gilt im allgemeinen nur für symmetrische Matrizen, was M nicht ist Die allgemeine Lösung mit dem Schwingungsansatz ist κ ξ i = A sin(ωt + ϕ ω = m 3κ ω = m und damit ( ξ = ξ ( ( κ A sin m t + ϕ + ( ( 3κ A sin m t + ϕ (Die Eigenvektoren müssen hier nicht notwendigerweise normiert werden Auftretende Normierungsfaktoren können in A i absorbiert werden Die Auslenkung der Masse aus der uhelage in z-ichtung ist stets doppelt so groß wie die Auslenkung der Masse Für ω schwingen die Massen gleichphasig: Für ω schwingen die Massen gegenphasig: Aufgabe 3: Noether-Theorem (++7= Punkte (a Die Bedingung für zyklische Koordinaten ist, dass die Lagrangefunktion L nicht von einer verallgemeinerten Koordinate abhängt Hier ist das nicht der Fall, da L von x, y und z abhängt (b Die Lagrangefunktion ist L = m (ẋ + ẏ + ż U ( x sin ( πz + y cos ( πz 4 / 8
5 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 Mit den Transformationen x x = x + y sin ɛ y y = y x sin ɛ z z = z + π ɛ t t = t ϕ =, dt dt = ergibt sich die transformierte Lagrangefunktion L = m ( (ẋ + ẏ sin ɛ + (ẏ ẋ sin ɛ + ż ( ( πz πz U ((x + y sin ɛ sin + ɛ + (y x sin ɛ cos + ɛ Die Bedingung für das (nicht erweiterte Noether-Theorem, d (L dt = d dɛ dt ɛ= dɛ (L ɛ= [ = m ((ẋ + ẏ sin ɛ ẏ cos ɛ + (ẏ ẋ sin ɛ ( ẋ cos ɛ ( ( πz πz U (y cos ɛ sin + ɛ + (x + y sin ɛ cos + ɛ ( ( ] πz πz x cos ɛ cos + ɛ (y x sin ɛ sin + ɛ ( ( πz πz = m (ẋẏ ẏẋ U (y sin + x cos ( ( πz πz x cos y sin ist erfüllt =, (c Wir nähern jetzt die Transformationen für kleine ɛ, ɛ= x x = x + y sin ɛ x + yɛ y y = y x sin ɛ y xɛ ψ x = y ψ y = x z z = z + π ɛ ψ z = π, und berechnen damit die Erhaltungsgröße des Noether-Theorems Q = L ẋ ψ x + L ẏ ψ y + L ż ψ z = mẋy + mẏ( x + mż π ( = m ẋy xẏ + ż π 5 / 8
6 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 Eine weitere Erhaltungsgröße ist die Energie, da die Lagrangefunktion nicht explizit von der Zeit abhängt: L t = Aufgabe 4: Geodäte auf dem Zylinder (7+7+6= Punkte Startpunkt S(ϕ S, z S und Endpunkt E(ϕ E, z E (a Für die Verbindungslinie zwischen Start- und Endpunkt gilt: Mit Zylinderkoordinaten x = cos ϕ y = sin ϕ z = z L = E S ds = min dx = sin ϕ dϕ dy = cos ϕ dϕ dz = dz ergibt sich für das Wegelement ds = dx + dy + dz = = (dϕ + (dz sin ϕ(dϕ + cos ϕ(dϕ + (dz und damit als Bedingung an die Verbindungslinie zwischen Start- und Endpunkt L = ϕe (b Wir betrachten also die folgende Funktion die nicht von z abhängt, F z ϕ S dϕ + z F (z, z, ϕ = + z, =, und damit gilt F = const z z + z = A z = A ( + z z ( A = A z A = ± ( A Die rechte Seite der letzten Zeile ist konstant und damit können wir schreiben z = C 6 / 8
7 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 Nochmaliges Integrieren liefert z = Cϕ + ϕ (c Für die Verbindungslinie zwischen Start- und Endpunkt gilt damit L = ϕe ϕe dϕ + z = dϕ + C = + C (ϕ E ϕ S ϕ S ϕ S Jetzt bestimmen wir noch die Konstante C mit dem Start- und Endpunkt z E = Cϕ E + ϕ z S = Cϕ S + ϕ z E z S = C(ϕ E ϕ S C = z E z S ϕ E ϕ S, womit sich für die Verbindungslinie ( ze z L = S + (ϕ E ϕ S = ϕ E ϕ (ϕ E ϕ S + (z E z S S ergibt Aufgabe 5: Zweilagiger Zylinder ( Punkte Zur Bestimmung der Masse bestimmen wir zunächst die Volumina des Innen- und Außenzylinders, Damit ist die Masse V i = r πh V a = πh r πh = ( r πh m = ρ i V i + ρ a V a = ρ i V i + ρ i V a = ρ i (r + ( r πh, beziehungsweise die Dichte ρ i = m ( r πh, Zur Bestimmung der otationsenergie benötigen wir das Element des Trägheitstensors um 7 / 8
8 KIT Klassische Theoretische Physik II, Klausur SS 4 die z-achse Θ zz = π h/ d r rdϕ dzϱ x + y }{{} h/ = r r = h π d rρ i r 3 + d r ρ a r 3 r }{{} =ρ i ( [ ] r [ ] = h π ρ i 4 r4 + 4 r4 = Die otationsenergie ist damit m r 4 (4 r 4 = m 4 r 4 r T rot = Θ zzω = m 4 4 r 4 r ω r 8 / 8
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