Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. V = 1 G h, wobei G die Fläche des quadratischen Bodens und h die Höhe V = = 384 [VE]

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Rüdiger Scholz
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1 Abitur Mathematik: Bayern 2 Aufgabe a). SCHRITT: KOORDINATEN DES PUNKTS B ANGEBEN 2 2 OB = OA + AB = OA + DC = ( ) + ( 2) = ( 2) B(2 2 ) 2. SCHRITT: VOLUMEN BERECHNEN V = G h, wobei G die Fläche des quadratischen Bodens und h die Höhe der Pyramide ist. Der Boden hat die Seitenlänge 2, also die Fläche 44. Die Höhe der Pyramide ist die x -Koordinate der Spitze S, also 8. Somit ist V = 44 8 = 84 [VE] Der Pavillon hat ein Volumen von 84 m. b) Für die Ebenengleichung braucht man einen Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren.. SCHRITT: VEKTOREN BC UND BS BESTIMMEN Für die Normalenform werden ein Aufpunkt und ein Normalenvektor benötigt, der sich aus zwei Richtungsvektoren errechnen lässt. Als Richtungsvektoren eignen sich BC = ( 2) ( 2) = ( ) und BS = ( 6) ( 2) = ( 6). 8 8

2 2. SCHRITT: NORMALENVEKTOR DER EBENE BERECHNEN Ein Normalenvektor ist gegeben durch ( 6) BC BS = ( ) ( 6) = ( ( 6) ( 2) 8 ) = ( 96). Der 8 ( 2) ( 6) ( 6) 72 Einfachheit halber arbeiten wir mit dem Normalenvektor n = 24 ( 96) = ( 4). 72. SCHRITT: NORMALENFORM ERMITTELN Als Aufpunkt der Ebene eignet sich der Punkt C. Eine Normalenform der Ebene lautet somit E: n (x OC ) =, wobei n (x OC ) = ( 4) (( x 2 ) ( 2)) x x = ( 4) ( x 2 2) x = x + 4 (x 2 2) + x = 4x 2 + x 48 x gilt. Demnach ist E: 4x 2 + x 48 = eine Gleichung für E in Normalenform. c). SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Gesucht ist die x -Koordinate des Punktes P, an dem die Strebe die Außenwand berührt. Die Strebe ist ein Abschnitt der Geraden durch P und den Mittelpunkt M der Grundfläche: 2

3 2. SCHRITT: KOORDINATEN DES PUNKTES M BERECHNEN OM = 2 OB = ( 2) = ( 6) M(6 6 ). SCHRITT: ZU E SENKRECHTE GERADE g DURCH M BESTIMMEN Als Aufpunkt der Geraden eignet sich M. Die Strebe soll die kürzeste Verbindung von M zur Ebene E sein, also muss sie senkrecht auf E stehen. Als Richtungsvektor der Geraden g eignet sich daher der Normalenvektor n der Ebene E. Somit ergibt sich die Parameterform 6 g: X = OM + λ n = ( 6) + λ ( 4), λ R. 4. SCHRITT: ALLGEMEINEN GERADENPUNKT VON g IN E EINSETZEN P ergibt sich als Schnittpunkt von g und E. Der allgemeine Geradenpunkt ist ( λ λ). Diesen Punkt in E eingesetzt liefert eine Gleichung für den Parameter λ des Punktes P: 4(6 + 4λ) + λ 48 = 6λ λ 48 = 25λ 24 = λ =,96 5. SCHRITT: x -KOORDINATE DES SCHNITTPUNKTES BERECHNEN

4 Die Gerade g hat die allgemeine x -Koordinate λ. Die x -Koordinate des Schnittpunktes ist also,96 = 2,88. Da eine Längeneinheit m entspricht, ist die Strebe in einer Höhe von 2,88 m an der Außenwand befestigt. d). SCHRITT: 2 SEITEN DES DREIECKS ALS VEKTOREN DARSTELLEN Wir bezeichnen die Mittelpunkte der Seiten [SB] und [SC] mit B bzw. C. Es ist SB = 2 SB = 6 2 ( 6 8 ) = ( 4 ) und SC = 2 SC = 6 2 ( 6 ) = ( ) SCHRITT: KREUZPRODUKT SB SC BERECHNEN ( 4) ( 4) ( ) ( ) = (( 4) ( ) ( 4)) = ( 24) 4 4 ( ) 8. SCHRITT: FLÄCHENINHALT BERECHNEN A SB C = 2 SB SC = = 5 [FE] Eine Längeneinheit entspricht m, d. h., der Inhalt der von den Solarmodulen bedeckten Fläche beträgt 5 m 2. e). SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Der Neigungswinkel von E zur Horizontalen ist der Schnittwinkel der Ebene E mit der x -x 2 -Ebene. Dieser Schnittwinkel entspricht dem Winkel zwischen den zugehörigen Normalenvektoren. 2. SCHRITT: WINKEL ZWISCHEN DEN NORMALENVEKTOREN BERECHNEN Die x x 2 -Ebene hat den Normalenvektor n = ( ). Normalenvektor der Ebene E: n = ( 4) Der Winkel φ zwischen diesen Vektoren erfüllt cos φ = n n n n = ( ) ( 4) 25 =,6 4

5 φ 5,. SCHRITT: ERREICHBAREN ANTEIL AN DER MAXIMALEN LEISTUNG ABSCHÄTZEN Der Neigungswinkel liegt zwischen 5 und 6. Demnach liegt der zu schätzende Anteil an der Maximalleistung zwischen 94 % und 98 %. Geht man näherungsweise von einer linearen Abnahme der Leistung mit dem Neigungswinkel im Bereich zwischen 5 und 6 aus, so ergibt sich als Schätzwert s für die prozentuale Ausbeute φ 5 s = 98 % + (94 % 98 %) 98 %, 4 % 96,7 %. 6 5 Bemerkung: Ein Blick auf die Abnahme der Leistung pro im Bereich von 4 bis 8 zeigt aber, dass die Ausbeute nicht linear vom Neigungswinkel abhängt, sondern die Leistungsabnahme wird mit zunehmendem Neigungswinkel immer deutlicher. Da φ kleiner ist, als die Mitte des Intervalls [5 ; 6 ], sollte daher für die Berechnung des Schätzwertes die Abnahme über das Intervall (94 % 98 %) mit einem Faktor μ < skaliert werden, d. h. es ist zu erwarten, dass die tatsächliche Ausbeute etwas oberhalb von s liegt, etwa bei s 2 = 97 %. Aufgabe 2 a). SCHRITT: GERADENTERME GLEICHSETZEN UND VEREINFACHEN 8 ( ) + λ ( ) = ( 5 ) + μ ( 2) λ ( ) μ ( 2) = ( 5 ) ( ) = ( 4 ) SCHRITT: GLEICHUNGSSYSTEM AUFSTELLEN Aus Schritt entnehmen wir Gleichungen für die 2 Unbekannten λ und μ: I: λ μ = 9 II: λ + 2μ = 4 III: 2λ 4μ = 6 Um λ zu eliminieren lösen wir 2 II III: 2λ + 4μ (2λ 4μ) = 8 ( 6) 8μ = 24 μ =. 4. SCHRITT: KOORDINATEN DES SCHNITTPUNKTES BESTIMMEN 5

6 Die Koordinaten von T ergeben sich durch Einsetzen von μ = in die Geradengleichung von h: + 2 OT = ( 5 ) + ( 2) = ( 5 6 ) = ( ) T(2 ) b). SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Als P wählen wir den Geradenpunkt auf g, der von T aus durch Verschiebung um den Richtungsvektor v der Geraden entsteht. Q erhalten wir dann als Spiegelung von P an T, d. h. indem wir T um v statt um v verschieben. 2. SCHRITT: KOORDINATEN VON P UND Q BERECHNEN 2 5 OP = OT + ( ) = ( ) + ( ) = ( ) P(5 5) OQ = OT ( ) = ( ) ( ) = ( 2) Q( 2 ) 2 c). SCHRITT: SKIZZE ANFERTIGEN 2. SCHRITT: EINEN LÖSUNGSWEG BESCHREIBEN Der Punkt T ist der Mittelpunkt des Rechtecks, d. h. alle vier Eckpunkte haben denselben Abstand zu T, nämlich d = PT. U und V entstehen aus T durch Verschiebung um ein geeignetes Vielfaches des Richtungsvektors ( 2) von h (einmal in positive Richtung und einmal in die entgegen 4 gesetzte Richtung), also gibt es ein t R, so dass OU = ( ) + t ( 2) 4 6

7 und OV = ( ) t ( 2) ist. Der Abstand von U zu T ist dann d(u, T) = 4 OT OU und hängt von t ab. Setzt man d(t, U) = d, so erhält man eine Gleichung für t mit genau einer positiven Lösung. Diesen Wert setzt man dann in die Gleichungen OU = ( ) + t ( 2) und OV = ( ) t ( 2) 4 4 ein und erhält damit die Koordinaten der Punkte U(2 + t 2t + 4t) und V(2 t + 2t 4t). 7

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