Musteraufgaben mit Lösungen zur Zinseszins- und Rentenrechnung

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1 Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Dieses Dokumet ethält duchgeechete Musteaufgabe zu Ziseszis- ud Reteechug mit Lösuge, die ma mit eiem hadelsübliche Schultascheeche (mit LO- ud y x -Taste ud Klamme) achvollziehe ka. Diese Musteaufgabe mit Lösuge sid icht u fü Studete gedacht, sode eige sich fü alle Sae vo heute, die sich z.b. eie ivate Rete asae wolle (bzw. müsse!) ud die die oft ziemlich uduchsichtige Agebote de Bake ud Vesicheugsgesellschafte selbst übeüfe ud vegleiche wolle. Die Lösuge zu de Musteaufgabe sid zwa als mathematische leichuge agegebe, jedoch soweit wie möglich i dejeige Fom, wie ma sie bei eiem Tascheeche eigebe ka. Beisiel: Bei de Musteaufgabe F03 (siehe auf de achfolgede Seite ), also [lg( ) lg( )] : lg(1,055) tit ma bei eiem Tascheeche folgede Taste (00000 LO LO) : LO Hiweise: Die lg-fuktiostaste ist meist mit LO ode log beschiftet. Die Fuktiostaste, z.b. LO, tit ma icht vo de Zahl, sode ach de Zahl. Statt Dezimalkomma tit ma Dezimalukt (also statt 1,055). Bei eckige ud ude Klamme tit ma stets ude Klamme, also )) statt )]. Bei de Zahl vo de LO-Taste ist die Klamme etbehlich. Vosoglich kosultiee ma abe die Bedieugsaleitug des jeweilige Tascheeches. Ulich Stiehl, Heidelbeg 006 htt://www.saskitweb.et Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 1

2 1. Ziseszisechug F01: Edwet E: E K Aufgabe: Auf welche Edbetag sid i 10 Jahe bei eiem Zis vo 5% agewachse? , ,95 5% (5 : 100) 0,05 (1 + ) (1 + 0,05) 1,05 F0: Bawet K: K E Aufgabe: Welche Betag muß ma 0 Jahe zu 6% Zis alege, damit e auf awächst? : 1, ,4 F03: Azahl de Jahe : lge lgk Aufgabe: I wieviel Jahe wachse bei 5,5% Ziseszis auf a? [lg( ) lg( )] : lg(1,055) 1,95, d.h. i ud 13 Jahe F04: Zissatz : E K 1 1 Aufgabe: Welche Zissatz ist efodelich, damit i 8 Jahe auf awachse? ( : ) 1/8 1 0,066 6,6 % Zissatz Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite

3 . Reteechug F05: Reteedwet R (ostumeado): R 1 1 F06: Reteedwet R (aeumeado): R Aufgabe: Jemad zahlt 30 Jahe lag jeweils am Jahesafag (aeumeado) ei. De Zissatz betägt 5%. Beeche de esamtbetag, de am Ede des 30. Jahes zu Vefügug steht ,05 [(1, ) : (1,05 1)] ,74 F07: Rete bzw. Rate (ostumeado): R 1 1 F08: Rete bzw. Rate (aeumeado): ) R Aufgabe: Wieviel muß ma 30 Jahe lag jeweils am Jahesafag eizahle, damit bei eiem Zissatz vo 6% am Ede des 30. Jahes als esamtbetag zu Vefügug stehe? (1,06 1) : [(1,06 (1, )] 1193,9 Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 3

4 F09: Azahl de Jahe (ostumeado): lg[ R( 1) + ] lg F10: Azahl de Jahe (aeumeado): lg[ R( 1) + ] lg( ) Aufgabe: Wieviele Jahe lag muß ma jeweils zum Jahesafag mit 5,5% Ziseszis alege, damit das auf diese Weise agesate Vemöge am Ede auf agewachse ist? {lg[ (1,055 1) ,055] lg ( ,055)} : lg 1,055 3,96 4 Jahe F11: Bawet K (ostumeado): K F1: Bawet K (aeumeado): K Aufgabe: Eie Studeti hat am eie Eigetumswohug gekauft ud muß zu Abzahlug de udschuld ab sofot 0 Jahe lag jeweils am Jahesafag (aeumeado) mit 4,5% Ziseszis a die Hyobak zahle. Ih Feud ist i eiem Aflug vo ößewah beeit, diese udschuld duch eie Eimalzahlug zu tilge. Übe welche Babetag müßte ih Feud vefüge, um die udschuld im volle Höhe sofot, d.h. am , tilge zu köe? [( ,045) : 1,045 0 ] [(1, ) : (1,045 1)] ,39 Bawet de udschuld ( ,045) [(1, ) : (1,045 1)] 6.65,09 udschuld ach 0 Jahe (F06) Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 4

5 3. Ziseszis- ud Reteechug F13: Vemehug des esamtkaitals (ostumeado): K + 1 E + R F14: Vemehug des esamtkaitals (aeumeado): K + Aufgabe: Ei Afagskaital vo ist am beeits vohade. Außedem wede begied mit dem Jahe lag jeweils zum Jahesafag (aeumeado) agelegt. De Zissatz betägt 5%. Übe welches Edkaital vefügt ma am Ede des 0. Jahes? , ,05 [(1,05 0 1) : (1,05 1)] ,03 F15: Vemideug des esamtkaitals (ostumeado): K E R F16: Vemideug des esamtkaitals (aeumeado): K 1 Aufgabe: Ei Sakassekoto, das mit 5% vezist wid, weist eie Betag vo auf. Auf welche Betag ist dieses Sakassekoto ach 19 Jahe gesuke, we am Afag eies jede Jahes (aeumeado) abgehobe wede? , ,05 [(1, ) : (1,05 1)] 7.75,19 Am.: Bei 0 diee die Fomel F15/16 auch als Ausgagsfomel fü die Auitäteechug. Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 5

6 F17: Rete bzw. Rate bei Eizahlug (ostumeado): ( ) K ( ) ( ) F18: Rete bzw. Rate bei Eizahlug (aeumeado): ( ) ( ) ) K Aufgabe: Welche Betag muß ma 10 Jahe lag jeweils zum Jahesafag (aeumeado) auf ei Bakkoto eizahle, damit sich das heute scho vohadee Bakguthabe vo bei eiem Zissatz vo 4,5% am Ede des 10. Jahes auf ei uthabe vo vedoelt hat? ( , ) (1,045 1) : [1,045 (1, )] 1.740,61 F19: Rete bzw. Rate bei Auszahlug (ostumeado): ( K ) ( ) ( ) F0: Rete bzw. Rate bei Auszahlug (aeumeado): ( ) ( K ) ) Aufgabe: Ei Rete will sich 5 Jahe lag bei 5% Zissatz aeumeado eie Rete auszahle lasse, bis sei uthabe vo heute gaz aufgebaucht ist (0). Wie hoch ist die Rete? [( ,05 5 ) 0] (1,05 1) : [1,05 (1,05 5 1)] ,07 o Jah ( m.) Am.: Bei 0 diet diese Fomel auch zu Beechug de Auität. Beisiel: Die Hyothek auf ei Haus betägt ud soll bei eiem Zissatz vo 5% i 5 Jahe estlos getilgt wede. Wie hoch ist die Auität, d.h. die jählich zu zahlede Tilgugsate? Lösug: ,07 o Jah. Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 6

7 F1: Azahl de Eizahlugsjahe (ostumeado): lg[ 1) + ] lg[ + K F: Azahl de Eizahlugsjahe (aeumeado): lg[ 1) + ] lg[ + K Aufgabe: Ei Agestellte, de beeits übe ei Saguthabe vo vefügt, das mit 6% vezist wid, zahlt jeweils zum Jahesafag (aeumeado) zusätzlich auf sei Koto. Nach wieviele Jahe ist sei Saguthabe auf agewachse? {lg[ (1,06 1) ,06] lg[ , (1,06 1)]} : lg(1,06) 5,91, d.h. ach ud 6 Jahe. F3: Azahl de Auszahlugsjahe (ostumeado): lg[ lg[ K F4: Azahl de Auszahlugsjahe (aeumeado): lg[ lg[ K Aufgabe: Ei Rete will sich bei eiem Zissatz vo 5% je zum Jahesafag (aeumeado) vo seie Bak solage eie Rete vo auszahle lasse, bis vo seiem Koto vo heute och übigbleibe. Wieviele Jahe lag ka e sich die Rete auszahle lasse? {lg[ , (1,05 1)] lg[ , (1,05 1)]} : lg(1,05) 11,995, d.h. ud 1 Jahe lag. Am.: Bei 0 diet die Fomel auch zu Emittlug de Tilgugsjahe i de Auitäteechug. Beisiel: Eie Schuld vo wid mit 7,5% vezist ud soll duch aeumeado zahlbae Rate vo jeweils getilgt wede. I wieviele Jahe ist die Schuld estlos getilgt? {lg( ,075) lg[ , (1,075 1)]} : lg(1,075) i ud 16,5 Jahe Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 7

8 4. Ziseszis- ud utejähliche Reteechug F13m: Vemehug des esamtkaitals (ostumeado): K + { m + m 1)} F14m: Vemehug des esamtkaitals (aeumeado): K + { 1)} Aufgabe: Ei Kaital vo ist am beeits vohade. Außedem wede 0 Jahe lag begied mit dem jeweils am Moatsafag (aeumeado) 500 agelegt. De Zissatz betägt 6% o Jah. Übe welches Edkaital vefügt ma am Ede des 0. Jahes? , {1 + (0,06 : ) (1 + 1)} (1,06 0 1) : (1,06 1) ,51 m Azahl de Moatsate (bzw. Quatalsate/Halbjahesate usw.) o Jah F15m: Vemideug des esamtkaitals (ostumeado): K { m + m 1)} F16m: Vemideug des esamtkaitals (aeumeado): K { m + m + 1)} Aufgabe: Ei Sakoto, das mit 5% o Jah vezist wid, weist eie Betag vo auf. Auf welche Betag ist dieses Sakoto ach 0 Jahe gesuke, we 0 Jahe lag jeweils am Moatsafag (aeumeado) 600 abgehobe wede? , {1 + (0,05 : ) (1 + 1)} (1,05 0 1) : (1,05 1) 0.807,04 Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 8

9 F17m: Rete bzw. Rate bei Eizahlug (ostumeado): ( K ) ) { m 1)} ) F18m: Rete bzw. Rate bei Eizahlug (aeumeado): ( K ) 1) { 1)} ) Aufgabe: Welche Betag muß ma 10 Jahe lag jeweils zum Quatalsafag (aeumeado) auf ei Koto eizahle, damit sich das heute scho vohadee uthabe vo bei eiem Zissatz vo 4,5% o Jah am Ede des 10. Jahes auf ei uthabe vo vedoelt hat? ( , ) (1,045 1) : [{4 + (0,045 : ) (4 + 1)} (1, )] 44,30 F19m: Rete bzw. Rate bei Auszahlug (ostumeado): ( K ) 1) { m 1)} ) F0m: Rete bzw. Rate bei Auszahlug (aeumeado): ( K ) 1) { 1)} ) Aufgabe: Ei Pesioä will sich bei eiem Jaheszissatz vo 5% jeweils zum Moatsafag (aeumeado) 5 Jahe lag eie Rete auszahle lasse, bis sei Sabuch vo heute vollstädig aufgebaucht ist (0). Wie hoch ist die Moatsete? ( ,05 5 ) (1,05 1) : [{1 + (0,05 : ) (1 + 1)} (1,05 5 1)] Moatsete Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 9

10 F1m: Azahl de Eizahlugsjahe (ostumeado): lg[ 1) + { m 1)}] lg[ { m 1)} + K Fm: Azahl de Eizahlugsjahe (aeumeado): lg[ 1) + { 1)}] lg[ { 1)} + K Aufgabe: Ei Sae, de beeits übe ei Saguthabe vo vefügt, das mit 6% o Jah vezist wid, zahlt jeweils zum Halbjahesafag (aeumeado).000 auf sei Sabuch ei. Nach wieviele Jahe ist das uthabe auf seiem Sabuch auf agewachse? {lg[ (1,06 1) { + (0,06 : ) ( + 1)}] lg[.000 { + (0,06 : ) ( + 1)} (1,06 1)]} : lg(1,06) 1,97, d.h. ach ud 13 Jahe. F3m: Azahl de Auszahlugsjahe (ostumeado): lg[ { m 1)} lg[ { m 1)} K F4m: Azahl de Auszahlugsjahe (aeumeado): lg[ { 1)} lg[ { 1)} K Aufgabe: Ei Rete will sich bei eiem Zissatz vo 4% o Jah jeweils zum Moatsafag (aeumeado) eie Rete vo 600 auszahle lasse, bis sei Saguthabe vo heute vollstädig aufgezeht ist (0). Wieviele Jahe lag ka e sich die Rete auszahle lasse? {lg[600 {1 + (0,04 : ) (1 + 1)} 0 (1,04 1)] lg[600 {1 + (0,04 : ) (1 + 1)} (1,04 1)]} : lg(1,04) 17,14, d.h. ud 17 Jahe lag. Am.: Die Fomel F13m bis F4m sid auch bei jähliche Rete gültig, de bei m 1 gilt: ostumeado: aeumeado: {m + / (m 1)} {1 + / (1 1)} {1 + 0} {m + / (m + 1)} {1 + / (1 + 1)} {1 + } Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 10

11 Ahag 1: Aufgabe zu de Postumeado-Fomel (Selbsttest ohe Lösuge) Aufgabe zu F05: Jemad zahlt 30 Jahe lag jeweils am Jahesede (ostumeado) ei mit Zissatz vo 5%. Beeche de esamtbetag, de am Ede des 30. Jahes zu Vefügug steht. Aufgabe zu F07: Wieviel muß ma 30 Jahe lag jeweils am Jahesede eizahle, damit bei eiem Zissatz vo 6% am Ede des 30. Jahes als esamtbetag zu Vefügug stehe? Aufgabe zu F09: Wieviele Jahe lag muß ma jeweils am Jahesede mit 5,5% Zissatz alege, damit am Ede des letzte Jahes ei Vemöge vo etstade ist? Aufgabe zu F11: Ei Agestellte ewibt eie Eigetumswohug gege eie udschuld, fü die e 0 Jahe lag jeweils am Jahesede mit 4,5% Zissatz a die Hyobak zahle muß. Welche Bawet hat diese udschuld bei Eweb de Eigetumswohug? Aufgabe zu F13: Ei Afagskaital vo ist am beeits vohade. Außedem wede begied mit dem Jahe lag jeweils am Jahesede (ostumeado) agelegt. Zissatz 5%. Übe welches Edkaital vefügt ma am Ede des 0. Jahes? Aufgabe zu F15: Ei Sakassekoto, das mit 5% vezist wid, weist heute eie Betag vo auf. Auf welche Betag ist dieses Sakassekoto ach 19 Jahe gesuke, we am Ede eies jede Jahes (ostumeado) abgehobe wede? Aufgabe zu F17: Welche Betag muß ma 10 Jahe lag jeweils am Jahesede (ostumeado) auf ei Koto eizahle, damit sich das heute scho vohadee Bakguthabe vo bei eiem Zissatz vo 4,5% am Ede des 10. Jahes auf ei uthabe vo vedoelt hat? Aufgabe zu F19: Die Hyothek auf ei Haus betägt ud soll bei eiem Zissatz vo 5% i 5 Jahe vollstädig getilgt sei, wobei die Auität (Tilgugsate) jeweils am Jahesede (ostumeado) gezahlt wid. Wie hoch ist die Auität ( die jählich zu zahlede Tilgugsate)? Aufgabe zu F1: Ei Agestellte, de beeits übe ei Saguthabe vo vefügt, das mit 6% vezist wid, zahlt jeweils am Jahesede (ostumeado) zusätzlich auf sei Koto. Nach wieviele Jahe ist sei Saguthabe auf agewachse? Aufgabe zu F3: Ei Rete will sich mit 5% Zissatz jeweils zum Jahesede (ostumeado) vo seie Bak solage eie Rete vo auszahle lasse, bis vo seiem Koto vo heute och übigbleibe. Wieviele Jahe lag ka e sich die Rete auszahle lasse? Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 11

12 Ahag : Ableitug de Fomel F0 ud F4 aus F16 K (( ( 1)) : ( 1)) F16 ( ( 1)) : ( 1) K ( 1) (K ) ( 1) ( ( 1)) (K ) ( 1) ((K ) ( 1)) : ( ( 1)) F0 ( 1) (K ) ( 1) (K ) ( 1) ((K ) ( 1)) (K K + ) (( (K ( 1)) ( ( 1)) (K ( 1)) + ( 1) (K ( 1)) ( 1) ( K ( 1)) ( 1) ( ( 1)) : ( K ( 1)) lg () lg (( ( 1)) : ( K ( 1))) lg () lg ( ( 1)) lg ( K ( 1)) (lg ( ( 1)) lg ( K ( 1))) : lg () F4 Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 1

13 Ahag 3: Utejähliche Ratetemie Jähliche Zistemie Halbjähliche Rate à 100,00. Jähliche Zisgutschift; Zissatz 10%.a. Begi: Jahesafag effektiv elativ kofom ,00 11, , ,50 115, , ,00 110,5 110, , , ,50 45, ,498 Halbjähliche Rate à 100,00. Jähliche Zisgutschift; Zissatz 10%.a. Begi: Jahesmitte effektiv elativ kofom ,5 11,75 11,75 11, , ,5 115,50 115, , ,5 110,5 110,5 110, , , ,05 45, ,498 Halbjähliche Rate à 100,00. Halbjähliche Zisgutschift; Zissatz 10%.a. Begi: effektiv elativ kofom , , , , ,5 115, , , , ,5 110,5 110,5 110, , , , , Rate elativ: 100 [1 + (0.1) : ] , , Rate kofom: 100 [( ) (1:) ] , ,00 We (Ratetemie < Zistemie), da (kofome < effektive < elative) Zissatz Aufgabe zu F16 bei moatliche Retezahlug aeumeado ud jähliche Ziszahlug: Ei 60jähige Rete vefügt übe ei Kaital vo ud will sich bis zum 80 Lebesjah eie moatliche Rete vo 750 jeweils zum Moatsafag (aeumeado) auszahle lasse. Die Bak vegütet 5% Ziseszis. Wie hoch ist das Restguthabe am Ede des 0. Jahes. 0 Jahe x 1 Moate 40 also m Relative Zisfakto: 1 + (0,5 : 1) 1, also : m Kofome Zisfakto: (1 + 0,5) (1:1) 1, also (1:m) [ ] [(750 ) ( 40 1) : ( 1)] , , ,31 bei elativem Zisfakto , bei kofomem Zisfakto Bei jähliche Rete vo betüge das Restguthabe ach 0 Jahe: [ ,05 0 ] [( ,05) (1,05 0 1) : (1,05 1)] , ,39 Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 13

14 Ahag 4: Emittlug des Zissatzes duch Iteatio Bei de eie Ziseszisechug läßt sich auch de Zissatz emittel (s. Seite : Fomel F04). Dies ist bei de Reteechug (s. Seite 3-4), de Ziseszis- ud Reteechug (s. Seite 5-7) ud de Ziseszis- ud utejähliche Reteechug (s. Seite 8-10) icht möglich, weil bei de Umwadlug de jeweilige Ausgagsgleichuge ach dem Zissatz bei meh als 3 Jahe ( > 3) leichuge höhee ades (bei 4 eie leichug 4. ades) etstehe, die algebaisch icht meh allgemei duch Fomel auflösba sid. Die übliche Lehbüche zu Fiazmathematik esigiee ud biete übehaut keie Lösug a (siehe z.b. Helmut Kobelt ud Pete Schulte, Fiazmathematik, 7. Aufl. 1999, Seite 119: "... icht meh lösba sid"). I Wiklichkeit ist imme eie beliebig exakte Lösug duch Iteatio mittels Comuteogamm möglich. Alledigs muß ma duch Abbuchbediguge dafü soge, daß das Pogamm icht i eie Edlosschleife geät. Ahad de wichtige Fomel F16m (s. Seite 8) zeige wi, wie ei solches Iteatiosogamm (hie i BASIC geschiebe) aussehe ka. REM Zissatz emittel fü Fomel F16m REM k# 00000: REM Afagskaital g# 10000: REM Edkaital # 1500: REM Rate # 0: REM Jahe m# 1: REM Rate o Jah REM CLS : PRINT "Abbuch mit Esc": PRINT IF (g# > k#) OR (# > k#) OR (# < 1) OR (m# < 1) THEN PRINT "Uzulässige Eigabedate!": END END IF u#.1: REM 0.1% Zissatz utee Schake o# 99: REM 99.0% Zissatz obee Schake DO REM Halbieug des Itevalls REM # (u# + o#) / : REM Aithmetisches Mittel REM # SQR(u# * o#): REM eometisches Mittel IF # <.1 OR # > 99 THEN PRINT "Übelauf! Zissatz >"; #; "%": END END IF mm# (m# + ((# / 100) / ) * (m# + 1)) # (1 + (# / 100)) REM Bei Fomel F14m wäe achfolged "-" i "+" zu äde REM gg# (k# * # ^ #) - (# * mm# * ((# ^ #) - 1) / (# - 1)) Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 14

15 REM Abbuch bei < Euo REM IF ABS(gg# - g#) <.005 THEN EXIT DO END IF REM Neue Itevall-eze REM REM REM REM IF gg# < 0 THEN u# #: REM Miuswechsel vohe abfage ELSEIF gg# < g# THEN u# #: REM Zissatz muß och höhe sei ELSEIF gg# > g# THEN o# #: REM Zissatz muß iedige sei END IF ct# ct# + 1 k$ INKEY$ IF k$ CHR$(7) THEN PRINT "Esc-Abbuch": END END IF LOOP CLS PRINT "Zissatz: "; : PRINT USIN "##.############"; # PRINT "" PRINT PRINT "Edkaital g :"; : PRINT USIN "#######.##"; g# PRINT "Edkaital gg :"; : PRINT USIN "#######.##"; gg# PRINT PRINT "Rudugsfehle :"; : PRINT USIN " ##.#####"; ABS(gg# - g#) PRINT PRINT "Schleifeazahl:"; : PRINT USIN "#######"; ct# Bei dem obige Zahlebeisiel (k# usw.) zeigt das Pogamm folgede Lösug a: Zissatz: Edkaital g : Edkaital gg : Rudugsfehle : Schleifeazahl: 8 Ulich Stiehl, Musteaufgabe mit Lösuge zu Ziseszis- ud Reteechug Seite 15

4. Auf welchen Betrag würde ein Kapital von 100,- anwachsen, wenn es bei jährlicher Verzinsung zu 6 % 30 Jahre lang auf Zinseszinsen steht.

4. Auf welchen Betrag würde ein Kapital von 100,- anwachsen, wenn es bei jährlicher Verzinsung zu 6 % 30 Jahre lang auf Zinseszinsen steht. Ziseszisechug. Auf welche Betag wächst ei Kapital vo K 0 bei jähliche Vezisug zu p % i Jahe a. a. K 0 5.200,- p 4 ½ % 6 Jahe b. K 0 3.250,- p 6 % 7 Jahe c. K 0 7.500,- p 5 ½ % 5 Jahe d. K 0 8.320,- p 5

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