Brückenkurs Mathematik

Transkript

1 Mengenlehre Institute for Mathematics and Scientific Computing Karl-Franzens-Universität Graz Graz, September 5, 2015

2 Hinweis zu den Folien Diese Folien sind derart konzipiert, dass sie ohne weitere Erklärungen eher schwer nachzuvollziehen sind. Sie sollen uns als roter Faden für die VU dienen. Weiters ist zu beachten, dass Genauigkeit und Wissenschaftlichkeit unter dem propädeutischen Charakter des Brückenkurses leiden müssen. An einigen Stellen sollen vordringlich Ideen und Denkweisen vermittelt werden!

3 Über die Mengenlehre Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem Ganzen. G. Cantor Extensionalitätsprinzip: Mengen werden durch ihre Elemente eindeutig festgelegt. Die leere Menge. Heute: ZF Mengenlehre Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre

4 Mengen angeben Durch Aufzählung der Elemente. z.b. {1, 2, 3, 4} {1, 1, 2} = {1, 2} Durch Aussageformen (prädikaitve Definition). Eigenschaft, die alle Elemente der Menge erfüllen. M = {x p(x)}. Tautologie: y {x p(x)} p(y). Wir beziehen hier uns immer auf eine Grundmenge! Vorsicht: Betrachte die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten. Konsequenz: Wir Arbeiten mit bereits existierenden Mengen.

5 Mengenoberationen Vereinigung A B := {x x A x B}. Durchschnitt A B := {x x A x B}. Differenz \ A\B := {x x A x / B}. Teilmenge A B : ( x A) : x B. Ein Beweis: A (B C) = (A B) (A C). Übung: A (B C) = (A B) (A C). Übung: Überlegen Sie, welche Definition für eine echte Teilmenge Sinn machen könnte! Also A B :...

6 Kartesisches Produkt Definition Seien A 1, A 2 nichtleere Mengen. Für a 1 A 1 und a 2 A 2 definieren wir das Paar (a, b) durch (a 1, a 2) := {{a 1}, {a 1, a 2}}. Lemma Seien A 1, A 2 nichtleere Mengen und a 1, ã 1 A 1, a 2, ã 2 A 2. Es gilt dann und nur dann, wenn Ohne Beweis. {{a 1}, {a 1, a 2}} = {{ã 1}, {ã 1, ã 2}}. a 1 = ã 1 und a 2 = ã 2. Aufgabe: Geben Sie für A 1, A 2, A 3 und a 1 A 1, a 2 A 2, a 3 A 3 (a 1, a 2, a 3) als Menge an!

7 Das kartesische Produkt Definition Seien A, B Mengen mit A, B. Dann ist das kartesische Produkt von A und B definiert durch A B = {(a, b) a A, b B}. Beispiele Beweis: Seien A, B, C. Dann gilt (A B) C = (A B) (B C). Definition Sei n N und A i, i = 1,..., n Mengen mit A i. Dann ist das kartesische Produkt von A i, i = 1,.., n definiert durch A 1... A n := n A i = {(a 1,..., a n ) a i A i, i = 1,.., n}. i=1

8 Noch einmal die leere Menge Für die leere Menge wird (innerhalb der Logik notwendig) festgelegt: x : p(x) ist immer falsch! x : p(x) ist immer wahr! Wie könnte man nun die leere Menge formal definieren? Und... gibt es genau eine leere Menge?

9 Exkurs: Summen und Produktschreibweise Summenschreibweise Wie können wir die Summe sauber aufschreiben? Aus gutem Grund mögen Mathematiker... nicht gerne... Ausweg: Summennotation (lässt sich formal stringent begründen!) 10 Wir schreiben: i=1 i. 1 Leere Summe: z.b. i=2 i := 0 Produktschreibweise Wie können wir das Produkt von sauber aufschreiben? 10 Wir schreiben: i=1 i. Leeres Produkt: z.b. 1 i=2 i := 1 Übung: Summe aller geraden/ungeraden Zahlen von 1 bis 100.

10 Intervalle als Teilmengen von R Definition Eine Teilmenge I R heißt Intervall, wenn es a, b R mit a < b gibt, sodass die Menge I eine der folgenden vier Formen hat: [a, b] = {x R a x b}. (a, b) = {x R a < x < b}. [a, b) = {x R a x < b}. (a, b] = {x R a < x b}. Man nennt a, b die Eckpunkte von I.

11 Rechenübungen Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß Jordan Verfahren: 1x 1 + 1x 2 1x 3 = 15 8x 1 1x 2 + 3x 3 = 13, 5x 1 + 3x 2 10x 3 = 14 Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß Verfahren: 1x 1 + 0x 2 + 1x 3 + 2x 4 = 6, 0x 1 + 1x 2 2x 3 + 0x 4 = 3, 1x 1 + 2x 2 1x 3 + 0x 4 = 2, 2x 1 + 1x 2 + 3x 3 2x 4 = 0.

12 Rechenübungen Berechnen/Vereinfachen Sie: 1 ( ) (8 4 ) 1 a b 3, b +, a (u + v) 2, u 2 v 2 u 2 +v 2 9b 3 20b 4 25a 4 16a 2. 3 Leiten Sie die große Lösungsformel für quadratische Gleichungen her, also Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0 mit a, b, c R. Tipp: Subtrahieren Sie zunächst c und multiplizieren Sie dann mit einem passenden Vielfachen von a.