5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion

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1 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion Ein kurzer Rückblick erleictert die Bescreibung des Neuen: Im ersten Lernabscnitt aben wir die Bedeutung der Änderungsraten von Funktionen kennen gelernt. Wir aben Skizzen von Steigungsgrapen erstellt, mit denen die Änderungsraten längs des Kurvenverlaufs qualitativ auf einen Blick erfasst werden konnten. Im zweiten Lernabscnitt ging es um die genauere numerisce Erfassung von Änderungsraten. Dazu aben wir den Blick auf einzelne Punkte des Funktionsgrapen gelenkt. An jeder Stelle a des Definitionsbereices liefert der Differenzenquotient f (a + ) f (a) für kleines einen guten Näerungswert für die Steigung des Grapen im Punkt P (a f (a)). Mit dem Grenzwert für gegen 0 aben wir dann den besten Näerungswert gefunden und diesen als momentane Änderungsrate an der Stelle a bezeicnet. Geometrisc ging es um den Grenzwert von Sekantensteigungen, die Tangentensteigung im Punkt P. Was dic erwartet In diesem Lernabscnitt ricten wir unseren Blick wieder auf das Ganze. Wir wollen die Änderungsrate einer Funktion nict nur an einer Stelle berecnen, sondern mit einem Blick auf einem ganzen Abscnitt (matematisc: auf einem Intervall) erfassen. Dies kann numerisc und grafisc zunäcst mitilfe der Sekantensteigungsfunktion gesceen. Hierzu benötigen wir allerdings den grafikfäigen Tascenrecner oder entsprecende Computer-Software. Mit den scon bescriebenen Grenzwertprozessen gelangen wir scließlic zur Ableitungsfunktion, die wir in einfacen Fällen auc durc einen algebraiscen Funktionsterm erfassen können. 1 In einem Skigebiet steen Pistenraupen mit untersciedlicen Steigfäigkeiten zur Verfügung: Pistenraupe A bewältigt Steigungen bis zu 95 %, Pistenraupe B bis zu 70 % und Pistenraupe C bis zu 50 %. Das Bergprofil zwiscen der Aspitze und dem Born kann mit der Funktion f (x) = 0,07 x 4 + 0,5 x 2 + 0,2 x + 1 (x und y jeweils in 500 m) modelliert werden. a) Scaffen alle Pistenraupen die Auffart zur Aspitze bzw. zum Born? Wenn nict, wie weit können sie jeweils inauffaren? b) An welcen Stellen vermutest du die größten Steigungen in beiden Rictungen? Versuce mitilfe guter Näerungswerte für die Steigungen diese Stellen zu finden. Kannst du die Fragen damit beantworten? c) Mitilfe des GTR lässt sic das Probieren systematisc mit einer Tabelle gestalten. Finde mit den angegebenen Funktionsgleicungen eraus, was in der Tabelle dargestellt wird. Vervollständige die Tabelle für den Bereic von x = 2 bis x = 2 und beantworte damit die obigen Fragen. Aufgaben Die etwas unübersictlice Darstellung auf dem Display des GTR ier deutlicer: y 1 = 0,07 x 4 + 0,5 x 2 + 0,2 x + 1 y 2 = y 1(x + 0,1) y 1(x) 0,1 157

2 5 Funktionen und Änderungsraten Aufgaben 2 Gescwindigkeitsgrapen bei Füllkurven Füllgrapen bescreiben die Höe des Wasserspiegels im Gefäß in Abängigkeit von der Zeit. Die Änderungsrate der Höe wird im Gescwindigkeitsgrapen erfasst. a) Welce der folgenden Grapen passen zum kegelförmigen Messbecer? Füllgrapen t (t) Gescwindigkeitsgrapen t v (t) A B C D Im Lernabscnitt 4.1 aben wir Füllkurven und ire Gescwindigkeitsgrapen qualitativ untersuct. Mit den im Lernabscnitt 4.2 erworbenen Werkzeugen können wir dies nun mit numeriscen Werten präzisieren. t in s in cm ,5 2 8,2 3 9,4 4 10,3 5 11,1 6 11,8 3 4 Wir aben ier für = 0,1 gewält. Für einen kleineren Wert von (z. B. = 0,001) liefert die Zuordnung noc bessere Näerungswerte. Zeicne mit dem GTR oder der CD (Sekantensteigungsfunktion 2) 5 In einen kegelförmigen Messbecer mit oberem Radius 5 cm und Höe 12 cm fließt gleicmäßig 50 cm 3 /s Flüssigkeit. Wir notieren im Sekundentakt die Höe des erreicten Wasserstands in einer Tabelle. b) Übertrage die Wertepaare aus der Tabelle ins Koordinatensystem und verbinde sie durc eine Kurve. Entsprict diese in etwa dem oben ausgewälten Füllgrapen? Für den obigen Messbecer lässt sic die Funktion t (t) durc den Funktionsterm f (x) = 6,5 3 x modellieren. Mit dem Differenzenquotienten f (a + 0,1) f (a) 0,1 berecnen wir einen Näerungswert für die Änderungsrate zu jedem Zeitpunkt a. Geometrisce Veranscaulicung: Wir lassen die zugeörige Sekante durc P (a f (a)) und Q (a + 0,1 f (a + 0,1)) auf dem Grapen wandern. Die jeweils zugeörige Sekantensteigung m wird a am Grapen angezeigt und in einer Ta- m 2,1 1,34 1,03 0,85 0,74 0,65 belle notiert. Die Tabellenwerte werden als Punkte R (a m) im Koordinatensystem aufgezeicnet. c) Beobacte den Verlauf der Sekanten und deren Steigungen. Wir eralten beim Wandern auf dem Grapen eine Zuordnung x Näerungswert für die Steigung der Funktion an der Stelle x. Diese Funktion nennen wir Sekantensteigungsfunktion x msek (x) = f (x + 0,1) f (x). 0,1 Wenn wir dies in den GTR eingeben, so wird der Steigungsgrap direkt für alle x aus dem gewälten Intervall [0; 6] gezeicnet. d) Zeicne msek (x) für die obige Füllfunktion. Wäle naceinander = 0,1; 0,01 und 0,001. Wie verändern sic die Grapen? Was vermutest du, wenn du = 0, wälst? 158

3 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion Die Sekantensteigungsfunktion Die Funktion msek (x) = f (x + ) f (x) ordnet jedem x-wert die Steigung der Sekante durc die Punkte P(x f (x)) und Q (x + f (x + )) zu. Diese Funktion eißt Sekantensteigungsfunktion. Wenn man für einen kleinen Wert wält (z. B. = 0,001), so stellt der Grap der Sekantensteigungsfunktion eine gute Näerung für den Steigungsgrapen der Funktion f (x) dar. f (x) = 0,5 x 3 2 x + 2 Sekantensteigungsfunktion für = 0,001: f (x + 0,001) f (x) msek (x) = 0,001 x f (x) msek (x) 2 2 3, ,5 0, ,5 0, ,003 Grap der Funktion f Grap der Sekantensteigungsfunktion Der Grap der Sekantensteigungsfunktion gibt einen guten Überblick über das Steigungsveralten der Funktion. Basiswissen In dem Beispiel wird für der Wert 0,001 verwendet. Welce Rolle das spielt, wird später noc genauer untersuct. Näerungswerte für die Steigung von f an der Stelle x A Mit dem Grapen der Sekantensteigungsfunktion (mit kleinem ) kann man gut das Steigungsveralten der Funktion im Basiswissen bescreiben. An welcer Stelle im Intervall [ 1; 1] at der Grap das größte Gefälle? Wie kannst du dies aus der Sekantensteigungsfunktion ablesen? Lösung: An der Stelle x = 0 sceint die Funktion das größte Gefälle zu aben. Dort at msek (x) seinen kleinsten (negativen) Funktionswert. B Verscaffe dir einen Überblick über das Steigungsveralten von f (x) = x 3 5 x 2 8 x + 70 auf dem Intervall [ 3; 7] mitilfe der Sekantensteigungsfunktion ( = 0,001). Welce Bedeutung aben die Stellen a, an denen die Sekantensteigungsfunktion den Wert 0 at, für die Funktion f? Lösung: Die Sekantensteigungsfunktion msek (x) at in den Intervallen von 3 bis etwa 0,67 und von etwa 4 bis 7 positive Werte, d.. dort steigt die Funktion f. Dazwiscen sind die Werte der Sekantensteigungsfunktion negativ, dort fällt die Funktion f. Bei x = 0,67 und bei x = 4 ist msek (x) = 0, dort at die Funktion f die Steigung 0. An diesen Stellen at die Funktion f einen Hocpunkt bzw. einen Tiefpunkt. Beispiele 5 159

4 5 Funktionen und Änderungsraten Übungen TIPP: Bei den Funktionen y 1 andelt es sic um bekannte Standardfunktionen: Potenzfunktionen, Wurzelfunktionen, Exponentialfunktionen. 3 Funktionen und ire Sekantensteigungsfunktionen Zeicne mit dem GTR jeweils die Funktion und die zugeörige Sekantensteigungsfunktion msek (x) für = 0,01. a) f (x) = x 2 b) f (x) = x 2 c) f (x) = 3 x 2 d) f (x) = x 2 4 e) f (x) = 9 x 2 f) f (x) = 3 x g) f (x) = x 3 ) f (x) = x 3 8 Bescreibe deine Beobactungen. (Z. B. wie untersceiden sic die Sekantensteigungsfunktionen der quadratiscen und kubiscen Funktionen? Welce Funktionen aben gleice oder änlice Grapen der Sekantensteigungsfunktionen?) Welce Zusammenänge erkennst du? Kannst du diese erklären? 4 Sekantensteigungsfunktionen und die zugeörigen Funktionen Im Folgenden sind vier Sekantensteigungsfunktionen y 2 gezeicnet. Zu welcer Funktion y 1 geören sie jeweils? Überprüfe deine Vermutungen mit dem GTR. a) b) c) d) 5 Verwandte Kurven? In der Abbildung sind die Grapen zu den Funktionen f (x) = cos (x) und g (x) = 4 π 2 x2 + 1 im Intervall [ π_ ; π_ 2 2 ] gezeicnet. a) Welcer Grap geört zu welcer Funktion? Begründe. b) Was vermutest du über den Verlauf der zugeörigen Sekantensteigungsfunktionen? Überprüfe mit dem GTR (Winkel im Bogenmaß). 6 Start beim Radrennen An festgelegten Markierungen werden die Zeiten eines startenden Rennradfarers gemessen: Zeit in s 1 1,5 2,6 3,5 4,3 5,4 6 7,1 8 Weg in m a) Übertrage die Tabellenwerte in ein Weg-Zeit-Diagramm und bescreibe in etwa den Gescwindigkeitsverlauf. (Beacte: 1 m/s = 3,6 km/) b) Um genauere Aussagen über den Gescwindigkeitsverlauf macen zu können, modellieren zwei Gruppen den Start mit zwei versciedenen Funktionen: (1) s (t) = 1,1 t 2 und (2) s (t) = 0,17 t 3 Welces Modell ersceint dir sinnvoller? c) Untersuce mitilfe der Sekantensteigungsfunktionen für = 0,1 jeweils den Gescwindigkeitsverlauf und vergleice diesen für beide Modelle. 7 Eine Bakterienkultur Das Wacstum von Bakterien in einer Petriscale kann durc eine Funktion der Zeit modelliert werden: 10 N (t) = ,2 9 t a) Bescreibe das Wacstumsveralten. b) Zeicne mit dem GTR den Grapen einer Sekantensteigungsfunktion und überprüfe deine Bescreibung damit. 160

5 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion 8 Halfpipe und Skaterrampen a) Der Längsscnitt einer Halfpipe bestet an beiden Rändern aus Viertelkreisen. Begründe, dass die Funktion Hp (x) = 16 x 2 für x aus [0; 4] eine Vert passende Modellierung für den recten Rand ist. Bescreibe das Steigungsveralten mitilfe einer Sekantensteigungsfunktion. Transition Flat b) Als Alternative zu einer Halfpipe werden zwei versciedene Rampen vorgesclagen (x aus [0; 4]). Ra1 (x) = 1_ 4 x2 4 Ra2 (x) = 1 64 x4 4 Übungen Skalierung x in m Skizziere zu den beiden Rampen eine Sekantensteigungsfunktion und bescreibe das untersciedlice Steigungsveralten. Vergleice auc mit dem Steigungsveralten der Halfpipe. Was ist ier das Besondere? Versuce das jeweilige Fargefül des Skaters beim Herauf- und Hinunterfaren der Rampen zu bescreiben. 9 Genaueres zur Sekantensteigungsfunktion f (x + ) f (x) Was gesciet mit den Sekantensteigungsfunktionen msek (x) =, wenn man für Werte wält, die sic immer mer der 0 näern? Dies untersucen wir am Beispiel der Funktion f (x) = 3 x 2. a) Übertrage die Tabelle in dein Heft und fülle sie aus. Wie ängen die Grenzwerte in der letzten Spalte jeweils von dem x-wert in der ersten Spalte ab? Findest du dazu einen Funktionsterm? msek (x) x = 0,1 = 0,001 = 0,00001 Grenzwert für 0 3 n n n n 1 n n n n 0 n n n n 1 n n n n 2 n n n n 4 n n n n Bei der Sekantensteigungsfunktion aben wir immer kleine Werte für gewält, um gute Näerungen für die Steigungen an jeder Stelle x zu bekommen. Für untersciedlice Werte von erält man versciedene Sekantensteigungsfunktionen. 5 b) Zeicne mit der Software oder dem GTR die Sekantensteigungsfunktionen für versciedene, die immer näer an die Null rücken. Bescreibe deine Beobactungen. Vergleice mit deinen Ergebnissen aus der Tabelle in a). c) Füre die gleicen Untersucungen mit Tabelle und Grapen für die Funktion g (x) = 1_ 3 x3 aus. 6 Sekantensteigungsfunktion 4 161

6 5 Funktionen und Änderungsraten Basiswissen Mit der Sekantensteigungsfunktion msek (x) = f (x + ) f (x) finden wir für jede Stelle x einen guten Näerungswert für die Steigung der Funktion an dieser Stelle. Je kleiner, desto mer näert sic die jeweilige Sekantensteigung an die Tangentensteigung an. Die Ableitungsfunktion f (x) die beste Bescreibung des Steigungsveraltens der Funktion f (x) Falls an jeder Stelle x der Grenzwert lim 0 f (x + ) f (x) existiert, so liefert uns dieser jeweils den besten Näerungswert für die Steigung der Funktion f an der Stelle x. Die Funktion f (x) = lim f (x + ) f (x) nennen wir Ableitungsfunktion zur Funktion f. 0 Sprecweise: Die Ableitungsfunktion f (x) wird auc kurz Ableitung von f genannt. Die Änderungsrate bzw. Momentansteigung an einer Stelle a kann nun mit f (a) bezeicnet werden und wird kurz Abeitung von f an der Stelle a genannt. f (x) = x 2 msek (x) = (x + )2 x 2 x msek (x) msek (x) mit mit = 0,01 = 0,001 f (x) Grenzwert msek (x) für 0 3 5,99 5, ,99 3, ,99 1, ,01 0, ,01 2, ,01 4, ,01 6,001 6 Änderungsrate an der Stelle x Der Steigungsgrap der Funktion f (x) = x 2 wird am besten durc die Ableitungsfunktion f (x) = 2 x bescrieben. Die Sekantensteigungsfunktionen näern sic für kleiner werdendes der Ableitungsfunktion f (x) = 2 x. Beispiel Strategie: Durc Anwendung von Sekantensteigungsfunktion 4 auf der CD kann man vermuten, dass der Grap der Ableitungsfunktion eine Parabel ist (Bild rects). Der Vergleic der Werte in der ersten und letzten Spalte der Tabelle fürt dann zum Funktionsterm. 6 C Ermittle die Ableitungsfunktion f (x) zur Funktion f (x) = x 3. Lösung: msek (x) = (x + )3 x 3 Grapen der Sekantensteigungsfunktionen für 0 x msek (x) mit = 0,01 msek (x) mit = 0,001 f (x) Grenzwert msek (x) für ,91 26, ,94 11, ,9701 2, ,0001 0, ,0301 3, ,06 12, ,09 27, Der Steigungsgrap zur Funktion f (x) = x 3 wird am besten durc die Ableitungsfunktion f (x) = 3 x 2 bescrieben. Die Sekantensteigungsfunktionen näern sic für kleiner werdendes der Ableitungsfunktion f (x) = 3 x

7 5.3 Von der Sekantensteigungsfunktion zur Ableitungsfunktion 10 Funktionen und ire Ableitungsfunktionen Ermittle mitilfe geeigneter Tabellen und der Darstellung entsprecender Sekantensteigungsfunktionen jeweils die Ableitungsfunktion f (x). a) f (x) = 0,5 x 2 b) f (x) = 9 x 2 c) f (x) = x x + 1 d) f (x) = 6 x 3 e) f (x) = x 3 2 x 11 Sinus und Kosinus und ire Ableitungsfunktionen Im nebensteenden Bild ist der scwarze Grap der Sinusfunktion im Bereic von 2 π bis 2 π gezeicnet. Die blauen Grapen stellen die Scar von zugeörigen Sekantensteigungsfunktionen mit immer kleiner werdendem dar. a) Welce Ableitungsfunktion at deiner Vermutung nac die Sinusfunktion? Überprüfe mit einer Tabelle wie in den Beispielen zum Basiswissen. b) Finde auc eine Vermutung zur Ableitungsfunktion der Kosinusfunktion. Begründe deine Überlegungen mit Tabellen, Grapen oder sonstigen Überlegungen. 12 Ein algebraisces Verfaren zur Berecnung der Ableitungsfunktion Wir aben im vorangegangenen Lernabscnitt erfaren, dass man in einigen Fällen f (x) = 4 x 2 den Differenzenquotienten mitilfe der Sekantensteigungsfunktion Algebra vereinfacen kann. Dies lässt sic msek (x) = f (x + ) f (x) = 4 (x + )2 (4 x 2 ) auc auf Sekantensteigungs funktionen = x2 2 x 2 + x 2 = 2 x 2 anwenden. Die Vereinfacung der Sekan tensteigungsfunktion eignet sic oft zur = ( 2 x ) Ermittlung der Ableitungsfunktion. = 2 x a) Informiere dic über die -Metode vereinfacter Funktionsterm in Lernabscnitt 4.2, Übung 18. b) Ermittle die Ableitungsfunktion mitilfe f (x) = lim 2 x = 2 x 0 der -Metode. Ableitungsfunktion f 1 (x) = x f 2 (x) = x x f 3 (x) = 3 x 2 f 4 (x) = x 2 2 x + 1 f 5 (x) = x 3 f 6 (x) = 3 x Screibe jeweils ausfürlic alle Lösungsscritte auf. Bestätige deine Ergebnisse mitilfe geeigneter Sekantensteigungsfunktionen. Bei einer Funktion ziet die -Metode nict. Bescreibe die Scwierigkeiten. Übungen Sekantensteigungsfunktion 4 6 Die -Metode Tipp zu f 5 (x): (x + ) 3 = x x x Software 13 Lücken in der Ableitungsfunktion a) In der Formelsammlung wird die Ab f (x) = x leitungsfunktion für f (x) = x wie rects angegeben. Begründe diese Darstellung. f (x) = { 1 für x < 0 } Warum ist f (0) nict definiert? 1 für x > 0 b) Bestimme die Ableitungsfunktion von f ist an der Stelle 0 f (x) = 4 x 2. nict differenzierbar. Wo liegen ier die Definitionslücken der Ableitung, d.. an welcen Stellen ist die Funktion nict differenzierbar? 163

8 5 Funktionen und Änderungsraten Projekt Die Bremsverzögerung gibt den Wert an, wie stark ein Farzeug abgebremst wird. Die Reaktionszeit t R liegt in der Regel zwiscen 1 und 1,3 Sekunden. Die Bremsverzögerung a liegt zwiscen 4 m/s 2 (sclecte Bremsen) und 8 m/s 2 (gute Bremsen) Tempo 30 in Wongebieten Wie viel mer Sicereit bringt Tempo 30 gegenüber der üblicen Gescwindigkeitsbescränkung von 50 km/ in gesclossenen Ortscaften? Mit passenden Weg-Zeit-Funktionen und deren Steigungsfunktionen können wir die Situation modellieren und erste Antworten finden. Entsceidend ist sicer der Analteweg, der nac dem Erkennen der Gefar noc von dem Auto zurückgelegt wird. Dieser ängt ab von der Ausgangsgescwindigkeit v in km/, der Reaktionszeit t R und der vom Auto gegebenen Bremsverzögerung a in m/s 2. Nac dem Erkennen der Bremsnotwendigkeit (Zeitpunkt t = 0) färt das Auto wärend der Screcksekunde (Reaktionszeit t R = 1 s) mit der vorandenen Gescwindigkeit weiter. Dann tritt der Farer auf die Bremse und der Bremsweg beginnt. Die zugeörige Weg-Zeitfunktion bestet aus zwei Teilen: s (t) = v 3,6 v 3,6 t; t 1 t a_ 2 (t 1)2 ; t > 1 t in Sekunden, s (t) in Meter In dem Diagramm sind die Grapen der Funktionen s (t) für die Ausgangsgescwindigkeiten bei Tempo 30 (v = 30 km/) und bei Tempo 50 (v = 50 km/) gezeicnet. Die Bremsverzögerung a ist in beiden Fällen mit a = 8 m/s 2 angenommen. A Zeicne die Grapen der beiden zugeörigen Sekantensteigungsfunktionen msek (t) = s (t ) s (t) Erläutere, dass man mit der Sekantensteigungsfunktion gute Näerungswerte für die noc vorandene Gescwindigkeit v (t) (in m/s) zum Zeitpunkt t erält. (1 m/s entsprict 3,6 km/). B Beantworte mitilfe des Diagramms und der Grapen der Sekantensteigungsfunktionen die folgenden Fragen: Nac welcer Zeit kommt das Auto bei Tempo 50 nac dem Erkennen der Gefar zum Steen? Wie lang ist der dabei zurückgelegte Analteweg? Vergleice mit den entsprecenden Daten bei Tempo 30. Welce Gescwindigkeit at das Auto bei Tempo 50 noc zu dem Zeitpunkt, bei dem es bei Tempo 30 gerade zum Stillstand gekommen wäre? Was bedeuten deine Antworten für die oben gestellten Sicereitsfragen? C Spiele das gleice Szenario für ein Auto mit sclecteren Bremsen (z. B. Bremsverzögerung a = 5 m/s 2 ) oder für eine Regelung Tempo 20 durc. Verfasse einen kurzen Sacberict mit geeigneten Informationen für die Tageszeitung. 164