Elektrostatik. Kapitel Problemstellung

Transkript

1 Kapitel 2 Elektostatik 2. Poblemstellung In de Elektostatik inteessieen wi uns fü ein elektische Felde, d.h. B ~ = und ~j =.WiinteessieenundfüdenstatischenFall,d.h.dievebleibenden Vaiablen und E ~ hängen nu vom Ot ~ ab. Elektostatische Appaate spielen eine goße Rolle in physikalischen Aufbauten, abe auch in de Technik z.b. von Bildschimöhen. Elektostatische Felde bescheiben in gute Näheung den Atombau und Wechselwikungen auf molekulae Skala - was die Welt, im Innesten zusammenhält. In nicht-pathologischen Eichungen ist fü die Elektostatik A ~ =. Die Gleichung fü das vebleibende Skalapotenzial (.4) eduziet sich damit zu Poissongleichung (~) = (~). De ladungsfeie Fall =hat mit Laplacegleichung einen speziellen Namen. Andes als im eindimensionalen Fall hat auch die Laplacegleichung vielfältige Lösungen. E ist wichtig, da aufgund de Lineaität de Maxwellgleichungen zu jede Lösung de Poissongleichung eine Lösung de Laplacegleichung addiet weden kann. Waum wüden wi das tun? Nun, die Poissongleichung ist nu dann eindeutig lösba, wenn wi zusätzlich eine Randbedingung auf eine geschlossenen Fläche angeben. Wi weden späte spezielle Randbedingungen kennenlenen. Sie kennen dieses Phänomen aus de klassischen Mechanik - die Lösung ein und deselben Newtonschen Bewegungsgleichung kann seh veschieden sein, ja nach Anfangsbedingung. Das heißt eine elektostatische Aufgabe ist nu duch Angabe de vogegebenen Ladungsveteilung und eine Randbedingung komplett. Wi haben auch eine vebleibende Eichfeiheit: Da die physikalische Obsevable, das E-Feld, ~ eine Ableitung des Potenzials ist, können wi eine additive Konstante fei wählen. 5

2 2.2 Rotationssymetische Aufgaben Wi beginnen mit dem Spezialfall, dass die Ladungsveteilung (~) um den Uspung (den wi geeignet gewählt haben) vollständing otationssymmetisch ist und wi außedem eine otationssymetische Randbedingung setzen. Zu mathematischen Bescheibung wählen wi Kugelkoodinaten (,, ). In de theoetischen Physik übesetzen sich diese in katesische Koodinaten (x, y, z) wie x y z A sin cos sin sin cos A >, apple apple, apple apple 2. De Otsvekto ~ hat damit automatisch die Kugelkoodinaten (,, ). Wi können am Ot ~ ein Koodinatendeibein definieen aus sin cos cos cos ê sin sin A ê cos sin A ê sin cos A. cos sin Analog zu den Koodinatenvektoen in katesischen Koodinaten zeigt ê in die Richtung in de sich nu veändet und und konstant sind etc. Wi nennen die Richtung von die adiale Richtung, die von ê azimuthal und die von ê pola. DieRichtungdeEinheitsvektoenistselbstotsabhängigund wi ehalten daum gekümmte Koodinatenlinien - Längen- und Beitenkeise. Wi können ein Vektofeld daum scheiben wie E ~ (,, )=E (,, )ê + E (,, )ê + E (,, )ê. In de kugelsymmetischen Situation gehen wi diekt übe die Maxwellgleichung (.4). Dazu benötigen wi eine Dastellung de Divegenz in Kugelkoodinaten. Anwendung de Kettenegel und de Substitutionsegeln gibt ~ ~E 2 E (sin E (2.) Wi können dies auf ein eindimensionales Poblem eduzieen. ~ E kann nu von abhängen (da wede die Randbedingung noch die Ladungsveteilung diese Symmetie bechen). Wi sehen leicht, dass dies ezwingt, dass das Feld in ein adiale Richtung zeigt, ~ E () =E()ê. Die Kombination aus 2 E = 2 (). Wi können diese Gleichung leicht integieen zu E () = 2 d 2 ( ). (2.2) Dieses Egebnis kann auf eine physikalisch tanspaentee At und Weise hegeleitet weden, die auch die Intepetation bestimmt. Wi staten von de Divegenz in de Maxwellgleichung (.2) und wenden auf sie den Satz von Gauß 6

3 (.) an, wobei wi als Integationsvolumen eine Kugel vom Radius um den Uspung wählen d 2 E = d 3 ( ). (2.3) = Das Integal auf de echten Seite hat eine einfache Intepetation, es handelt sich um die von de Kugel eingeschlossene Ladung Q(). Aufgundde Kugelsymmetie können wi sie veeinfachten mittels 2 Q() = d 3 ( )= d 2 d cos d ( ). < Die Substitution in Kugelkoodinaten, die wi hie duchgefüht haben, lässt sich leicht aus deen Definition heleiten. Jetzt bingen wi die Rotationssymetie ins Spiel und beechnen Q() =4 < d 2 ( ). (2.4) Andeeseits können wi uns jetzt an die linke Seite von Gl. (2.3) machen. Da E ()nicht von den Winkeln abhängt, können wi es aus dem Integal heausziehen, das Integal eduziet sich zu Obefläche und wi finden E () = Q() 4 2. (2.5) Dies ist das Coulombgesetz, und es ist offensichtlich äquivalent zu Gl. (2.2) via Gl. (2.4). Als Beispiel betachten wi die homogen geladene Kugel vom Radius R mit Gesamtladung Q. Die Ladungsdichte ist damit () = 3Q (R ) 4 R3 wobei bdie Heavisidesche Stufenfunktion ist 8 >< x> (x) = /2 x = >: x< Hie ist de Wet bei x =meist nicht elevant, solange e endlich ist. Wi beechnen zunächst fü <R Q() =4 Damit haben aus Gleichung (2.5) d 2 ( )= 3Q 3 R 3 3 = Q 3 R 3. E () = Q 4 ( R 3 2 <R >R 7

4 Hieaus können wi auch das elektische Potenzial ausechnen, anhand des Gadienten in Polakoodinaten E () (). Typischeweise wählen wi (!)=und können integieen Fü >Rhaben wi () = () = und innehalb de Kugel <R Q 4 d E ( ). d 2 = Q 4 (2.6) () = Q 4 R 3 R d + (R) = Q 8 R 3 R2 2 + Q 4 R. Besondes inteessant ist de Fall eine Punktladung, d.h. die (endliche) Ladung Q ist konzentiet im Radius R =. Die Ladungsveteilung kann mit dem Diacdelta geschieben weden als (~) =Q 3 (~). Hie gilt das Coulombpotential (2.6) übeall. 2.3 Zylindesymmetische Ladungsveteilung Analog zu Vogehensweise im kugelsymmetischen Fall, können wi den Gaußschen Satz auch auf steng zylindesymmetische Ladungsveteilungen anwenden. Die Zylindekoodinaten (,,z) hängen mit den katesischen Koodinaten via x = cos und y = sin zusammen. Zylindesymmetie bedeutet hie, dass = () ist also insbesondee nicht von z abhängt. Dies bedeutet, dass die Ladungsveteilung in z-richtung unendlich ausgedehnt sein muss. Wi definieen hie q () als die Ladung po Länge, die in einem Zylinde de Länge eingeschlossen ist. Dann ist mit Agumenten analog zu denen oben das elektische Feld nu mit eine Komponente in adiale Richtung ausgestattet ~E = q() cos 2 ê ê sin A und das Potenzial mit dem fü diese Symmetie typischen logaithmischen Potenzial fü den Fall eine Linienladung Details als Übungsaufgabe. () = q 2 log. (2.7) oftmals wid statt vewendet, was hie abe mit de Ladungsdichte vewechselt weden könnte 8

5 2.4 Allgemeine Lösung mittels Geensche Funktion 2.4. Lineae Pobleme und Geensche Funktionen Wi beginnen zunächst mit de Betachtung lineae Gleichungssyteme fü einen (i.a. n-dimensionalen) Vekto x. Fü eine gegebene Inhomgenität können diese geschieben weden als A x = y. Dieses können wi mit veschiedenen Methoden lösen, z.b. mittels Gauß-Elimination. Wenn die Aufgabe besondes wichtig ist und wi viele Inhomogenitäten studieen wollen, dann invetieen wi zuest die Matix, d.h. wi finden A so, dass A A = I. Wenn wi dies haben, dann können wi die Lösung zum uspünglichen lineaen Gleichungssystem eduzieen auf x = A y. Letzees können wi leicht beweisen indem wi nachechnen A x = A A y = y. Die Eigenschaft, die wi hie eingesetzt haben, ist im Wesentlichen die Lineaität de Gleichung. Da die Maxwellgleichungen auch linea sind, möchten wi diese Technik hie nutzen. Alledings sind dies keine lineaen algebaischen Gleichungen, sonden Diffeenzialgleichungen. Die Vektoen sind Funktionen und statt natüliche Zahlen als Index müssen wi eelle Zahlen q (bzw. Tupel eelle Zahlen) als Index akzeptieen. Die Matix A wid esetzt duch den (beliebigen) Diffeenzialopeato D q sowie eine Randbedingung. Wi stellen jetzt die Gleichungen aus dem algebaischen Poblem - nicht in Matix-, sonden in Koeffizientenscheibweise - mit den Diffenzialvesionen gegenübe. Wi möchten gene lösen X A ji x i = y j D q f(q) =g(q). (2.8) i Die Invese des lineaen Opeatos nennen wi hie G (q, q ).DieBestimmungsgleichung ist X A ji A ik = jk D q G(q, q )= (q q ) + Randbedingungen. (2.9) i Hie haben wi fü den Fall von Matizen das Koneckedelta und fü die Diffeenzialgleichung das Diacdelta eingefüht. Wenn wi G gefunden haben, können wi die uspüngliche Diffeenzialgleichung fü jede Inhomogenität g(q) lösen indem wi ausechnen f(q) = dq G (q, q ) g (q ). An diese Stelle sehen wi, dass es wichtig ist, G als Matix (also als Funktion von zwei Indizes) zu behandeln - was hie steht ist die Anwendung eine Matix auf einen Vekto. Dies ist auch wichtig wenn wi nachechnen, dass f tatsächlich Gl. (2.8) löst D q f(q) = D q dq G (q, q ) g (q )= dq [D q G (q, q )] g (q ) = dq (q q ) g (q )=g(q). 9

6 Das Lösen eine lineen Diffeenzialgleichung kann also auf die Bestimmung eine Geenschen Funktion zuückgefüht weden - und auf die Beechnung des Integals übe die Inhomogenität. Dies definiet einen klaen Weg, den wi jetzt fü die Elektostatik bescheiten wollen Geensche Funktion fü die Poissongleichung mit einfachen Randbedingungen Die echt subtile Diskussion von Randbedingungen in Geensfunktionspoblemen wollen wi zunächst vemeiden, indem wi die Poissongleichung mit eine einfachen Randbedingung im Unendlichen betachten = lim! (~) =. (2.) Die Bestimmungsgleichung fü die Geensche Funktion (2.9) ist in diesem Fall G (~,~ )= 3 (~ ~ ) (2.) Da de Diffeenzialopeato selbst den Ot ~ nicht explizit enthält und auch die Randbedingung tanslationsunabhängig ist (veschobenes Unendlich ist imme noch Unendlich) hängt die Geensfunktion nu von de Diffeenz de Koodinaten ~x = ~ ~ ab und wi können umscheiben G (~x) = 3 (~x). (2.2) Da die Funktion im unendlichen veschwindet, können die Gleichung Fouietansfomieen zu k 2 G ~k = ) G ~k = k 2. Diesen beückend einfachen Ausduck wollen wi jetzt zuücktansfomieen gemäß d 3 k G (~x) = k ~x (2 ) 3 ei~ k 2. Zu Behandlung dieses Integals fühen wi jetzt Kugelkoodinaten im ~ k- Raum ein und bestimmen dass de Winkel zwischen ~ k und ~x ist. Damit haben wi k 2 G (~x) = dk (2 ) 3 k 2 d cos e ikx cos d ikx cos = 4 2 dk d cos e = 4 2 dk cos cos = eikx ikx cos = = sin kx 2 2 dk kx. 2

7 Das letzte Integal, das wi ausechnen müssen, ist das übe die sinc-funktion, die Sie wahscheinlich aus de Beugung kennen. Es ist 2x (nachschauen!) und wi finden insgesamt G (~,~ )= 4 ~ ~ (2.3) Dies ist natülich eine bekannte Funktion - bis auf den Vofakto q/ den wi beim Übegang von (2.) zu (2.2) unteschlagen haben - das Potenzial von eine Punktladung am Punkt ~ gemessen am Punkt ~. Kla, die Bestimmungsgleichung (2.) ist ja auch die entsechende Poissongleichung. Damit ist die Lösung des allgemeinen elektostatischen Poblems mit de einfachen Randbedingung, Gl. (2.) (~) = d 3 (~ ) 4 ~ ~. (2.4) Wi scheiben also das Potenzial als mit de Ladungsdichte gewichtete Übelageung von Punktladungen. Mit dem Finden diese wichtigen Dastellung ist abe unsee Abeit nicht eledigt, denn die Beechnung des Integals efodet im Allgemeinen weitee Näheungsmethoden Einfache Anwendung de Geensfunktionslösung Wi betachten einen Fall, in dem das Integal (2.4) geschlossen ausgeechnet weden kann: Eine Linienladung bei x = y =und z <L.DieLadungsdichte ist (~) = (x) (y) (L z ). = Q/2L ist die Linienladungsdichte. Wi bezeichnen R = p x 2 + y 2 und ehalten aus Gl. (2.4)(2.4) (~) = 4 L L dz q R 2 +(z z ) 2 = 4 (L/2 z)/r (L/2+z)/R ds p +s 2. Hie haben wi s =(z z)/r substituiet. Bei de Beechnung kompliziete Integale duch Nachschlagen empfiehlt es sich imme, zuest das Integal so einfach wie möglich dimensionslos zu machen. Hie sehen wi z.b. sofot, dass de Abstand des Aufpunkts vom Ende de Linienladung veglichen mit dem Abstand von de Linienladung ein wesentliche Paamete ist. Wi schlagen nach und finden, dass (~) = sinh L/2 z +sinh L 2 + z!. 4 R Wi können das im Fall L!mit unsee Lösung mittels Gausschem Satz vegleichen. Wi nutzen die Identität sinh x = log x + p +x 2 und finden L (~) = log +const. 2 R in Übeeinstimmung mit Gl. (2.7). 2

8 2.5 Multipolentwicklung Abgesehen von Spezialfällen ist das Integal in Gl. (2.4) schwieig zu beechnen. Wi fühen daum die Multipolentwicklung als Näheungsmethode ein, die auch eine klae physikalische Intepetation zulässt Multipolentwicklung in katesischen Koodinaten Wi fühen die Entwicklung zunächst in katesischen Koodinaten duch, die einen besseen Anschluss zu Expeimentalphysik elauben abe schwe in hohe Odnungen zu bingen sind. Die Cux an Gl. (2.4) ist die äumliche Abhängigkeit des Nennes p ~ ~ = ~ ~. Insbesondee das Skalapodukt am Ende vedient besondee Aufmeksamkeit. Wi gehen jetzt davon aus, dass wi uns weit weg von de Ladungsveteilung befinden, d.h. außehalb eine Kugel um den Uspung mit Radius R ist keine Ladung, =und wi beechnen das Feld in einem Aufpunkt ~ mit R. Dies elaubt es, / als kleinen Paamete zu behandeln. Wi nutzen außedem die binomische Reihenentwicklung ( + x) /2 = X k= /2 k x k = x 2 + 3x2 8 + O x3. (2.5) Wi entwickeln also! ~ ~ ~ ~ = = ~ ~ / (~ ~ ) O 4. (2.6) Hie ist zu beachten, dass wi am Ende einmal einen Tem aus de esten Odnung von (2.5) mit de zweiten Odnung kombinieen, weil die beide die gleiche Odnung in / haben. Auch gilt es zu beachten, dass jedes ~ im Zähle natülich mit O () zu Gesamtodnung des beteffenden Tems zählt. Wi diskutieen jetzt diese dei Odnungen in /. De este Tem in de Klamme nähet ~ ~ ' /. In diese Näheung ist dann Gl. (2.4) näheungsweise (~) ' (~) = Q 4 Q = d 3 (~). Diese Odnung fällt also wie / ab und ist allein duch die Gesamtladung Q gegeben. Das Potenzial ist isotop. Man nennt dies auch den Monopolbeitag. In de nächsten Odnung ehalten wi eine Koektu in de nächsten Odnung von de Fom d (~) = ~ d ~e d= ~ 4 2 d 3 ~ (~). 22