Aufgaben und Lösungen Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I

Transkript

1 Aufgaben und en Ausarbeitung der Übungsstunde zur Vorlesung Analysis I Wintersemester 2008/2009

2 Übung 6 Einleitung Eventuell auftretende Fragen zum Übungsblatt sollen beantwortet werden. Dazu ist es erforderlich, sich auf mögliche Fragen vorzubereiten. Den ersten Teil der Übungsstunde stellt jedoch ein 15 Minuten andauernder Test, die Mikroklausur, dar. Dieser soll nicht bewertet werden, sondern dient dazu, daß die Studenten sich selbst testen. Das Thema ist Folgen und Konvergenz. Es soll den Studenten gezeigt werden, ob sie das Nacharbeiten der Vorlesung gut beherrschen. Es werden folgende Aufgaben gestellt: i Wann heißt eine Folge (a n konvergent? ii Warum konvergiert die Folge ( 1 n gegen Null? iii Warum ist die Folge (( 1 n divergent? iv Sei (a n eine Nullfolge und (b n eine Folge mit b n a n für fast alle n N. Zeigen Sie, daß (b n eine Nullfolge ist. Beweis. Wir zeigen hier nur den letzten Punkt, da die anderen drei trivial sind (der letzte auch, nur ist da ein technischer Kniff dabei. Wir schreiben zunächst um: Es gilt: b n a n für fast alle n N, dies ist aber äquivalent zu: n b N sodaß b n a n n N mit n n b. Außerdem gilt, da a n eine Nullfolge ist (also wieder nur umschreiben: ε > 0 n a N mit a n < ε n n a. Jetzt kommt der technische Kniff: Setze nun: n 0 := max {n a, n b }. Dann gilt: ε > 0 n 0 N mit b n a n < ε n n 0. Damit folgt: ε > 0 n 0 N mit b n < ε n n 0. Dies ist nichts anderes als die Tatsache, daß b n eine Nullfolge ist. 2

3 Aufgaben Aufgabe 1 Sei (a n eine Folge mit folgender Eigenschaft: Zeigen Sie: (a n konvergiert gegen a, d. h. Es gelte für (a n : ε > 0 n 0 N mit a n a < 5ε n n 0. ε > 0 n 1 N mit a n a < ε n n 1. ε > 0 n 0 N mit a n a < 5ε n n 0. Dann folgt: ε > 0 n 0 N mit a n 5 a < ε n n 0. 5 Dies ist jedoch nichts anderes als die Konvergenz der Folge ( a n5 ( mit dem Grenzwert a 5. Aus den Rechenregeln für konvergente Folgen (Satz folgt aber, daß die Folge (5 ( a n5 ( konvergent ist, mit dem Grenzwert 5 a 5 = a. Mit anderen Worten: Aufgabe 2 Welche der Folgen (a n, (b n, (c n mit a n = ε > 0 n 1 N mit a n a < ε n n 1. (3 n3 3n 3 1, b n = 1 + ( 1n n n + n 2, c n = ( 1 2 n 2 (1 + ı n ist konvergent bzw. divergent? Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert bzw. die Häufungspunkte. Wir üben hier den Standardtrick. Für die Folge (a n erhalten wir: a n = (3 n3 3n 3 1 = 27 27n + 9n2 n 3 3n 3 1 = n n 3 n 2 n n = n n 3 n 2 n 3 1 n 3 Damit folgt aus den üblichen Rechenregeln für konvergente Folgen (da, wie man sich leicht überzeugt siehe Mikroklausur, alle notwendigen Folgen konvergieren: lim a n = 1 n 3. Die Folge (b n ist divergent und hat 2 Häufungspunkte: b n = 1 + ( 1n n n + n = + ( 1 n n n 2 n 3

4 Für gerade n gilt damit: lim b n = 1. Für ungerade n gilt: lim b n = 1. Die Folge (b n hat somit zwei Teilfolgen, (b 2n und (b 2n 1, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren (lim b n = 1, lim b n = 1. Die Folge (c n ist divergent und hat 8 Häufungspunkte: ( ( n ( ı 1 c n = (1 + ı n = = (e ıϕ n, wobei ϕ = arctan = π n 2 Also gilt nach dieser Umformung: c n = e ı π 4 n. Wie man leicht sieht, haben dann die 8 Teilfolgen von (c n, (c (k n, k {0, 1, 2,..., 7}, mit c (k n = e ı(8(n 1+k π 4, je einen Grenzwert, der von den anderen verschieden ist (man veranschauliche sich diese Tatsache in der Gaußschen Ebene!. Aufgabe 3 Sei (a n eine monoton fallende nach unten beschränkte Folge. Zeigen Sie, daß (a n konvergiert mit lim a n = inf {a n n N}. Da die Menge A := {a n n N} nach unten beschränkt ist, existiert wegen Satz das Infimum von A. Sei a = inf A. Wir zeigen, daß a der Grenzwert der Folge (a n ist. Sei ε > 0, so ist a + ε keine untere Schranke von A, d. h. n 0 N mit a + ε > a n0 a. Da (a n monoton fallend ist, folgt für n n 0 : und somit gilt: a + ε > a n0 a n a a a n = a n a < (a + ε a = ε n n 0. Aufgabe 4 Es sei c > 0. Wir definieren rekursiv eine Folge (x n folgendermaßen: x 1 = c, x 2 = c + c, x 3 = c + c + c,..., oder, allgemein, Damit gilt also: x n = c + c + + c. } {{ } n Wurzeln x n+1 = c + x n. Untersuchen Sie diese Folge auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert (Monotonie der Wurzelfunktion darf vorausgesetzt werden. 4

5 Wegen der Monotonie der Wurzelfunktion folgt, daß die Folge (x n monoton wachsend ist. Außerdem ist sie nach oben beschränkt, denn es gilt: (x n ist durch die Zahl c + 1 bescränkt. Beweis. Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion. ˆ I. A.: Für n = 1 ist die Aussage wahr, denn x 1 = c < c + 1 ˆ I. V.: x n < c + 1 gelte für gewisse n N. ˆ I. B.: Es gilt die Aussage, wenn wir n überall durch n + 1 ersetzen, d.h. die Aussage x n+1 < c + 1 ist wahr. ˆ I. S.: n n + 1. x n+1 = c + x n < nach I. V. c + c + 1 < c + 2 c + 1 = c + 1, wegen Monotonie wobei die letzte Gleichheit aus binomischer Formel folgt. ˆ Wir schließen: x n < c + 1 gilt für alle n N. Mit diesen beiden Eigenschaften von (x n folgt aus Satz 2.3.2, daß (x n konvergiert. Damit dürfen die Rechenregeln für konvergente Folgen benutzt werden. Außerdem weisen wir darauf hin, daß für eine beliebige Folge (a n gilt: ist (a n konvergent mit Limes a, so ist (a n+1 auch konvergent mit demselben Grenzwert. Wir berechnen: x 2 n+1 = c + x n. Dann gilt mit dem oben erwähnten: lim x2 n+1 = c + lim x n. Bezeichnen wir den Grenzwert der Folge (x n mit x, so gilt: x 2 = c + x. Als en dieser quadratischen Gleichung erhalten wir Wurzeln verschiedenen Vorzeichens, da aber, laut Definition von (x n, x nicht negativ sein kann, bleibt nur die Wahl 4c x = 2 übrig für den Limes der Folge (x n. 5