Anleitung zur Berechnung von Ableitungsfunktionen

Transkript

1 Matematik 11d Stefan Krissel Anleitung zur Berecnung von Ableitungsfunktionen Prolog Es gibt nict das Verfaren zur Berecnung der Ableitungsfunktion, genausowenig wie es das Verfaren zum Screiben eines guten Buces oder zum Dreen eines guten Filmes gibt. Dass es untersciedlice Ansätze gibt, abt ir unter Umständen scon bei meinen Tafelanscrieben bemerkt, die ja jedes Mal geringfügig anders wirkten. Hier bekommt ir aber nun ein Verfaren bescrieben ic offe, möglicst verständlic, das ir auf jeden Fall anwenden könnt, z.b. in der Klausur. Vorbemerkungen zu Missverständnissen Eine wirklic blöde Sace in der Matematik ist die Merfacverwendung gleicer Screibweisen und Zeicen. Der Grund dafür ist die Begrenztkeit des Zeicenvorrats im Alpabet und auf Tastaturen. So kann z.b. die Zeicenfolge z(u + 1) je nac Zusammenang zwei untersciedlice Bedeutungen aben: Einerseits kann sie bedeuten, dass irgendein Element z (z.b. als Platzalter für eine Zal) mit (u + 1) multipliziert wird. Dann könnte man ausmultiplizieren: z(u + 1) = zu + 1z = zu + z Andererseits könnte diese Zeicenfolge bedeuten, dass z eine Funktion ist und z(u + 1) die Abkürzung für den Funktionswert der Funktion z an der Stelle u + 1 ist. Was nun tatsäclic gemeint ist, kann nur aus dem Zusammenang eraus gesclossen werden. Das ist zwar öcst unbefriedigend, aber es ist leider so. Ic werde versucen, immer deutlic kenntlic zu macen, was gemeint ist.1 Die Funktion ier Für das kommende Beispiel ist die Funktion k(u) = u + 5 (lies: k von u gleic minus u Quadrat plus 5)) Der Name ist also k, die Variable u. Für die Variable können wir Zalen einsetzen, und zwar alle reellen (das eißt, grob ausgedrückt, alle, die ir euc vorstellen könnt). Wir können für die Variable aber auc Platzalter in Gestalt von Bucstaben oder Bucstabenkombinationen einsetzen, für die wiederum später erst Zalen eingesetzt werden. 1

2 Matematik 11d Stefan Krissel Das Einsetzen von Zalen oder anderen Ausdrücken für die Variable Hier kommen nun einige Beispiele, auf welce Weise man Zalen oder andere Ausdrücke für die Variable u einsetzen kann. Zuerst setzen wir eine Zal ein, nämlic 6. Dann müssen wir an jeder Stelle, an der in der Funktionsgleicung ein u stet, die 6 einsetzen: Aus k(u) = u + 5 wird so k(6) = Nun setzen wir eine andere Zal für u ein, nämlic 4: Aus k(u) = u + 5 wird so k( 4) = ( 4) + 5 In beiden Fällen kann man das, was rects vom Gleiceitszeicen stet, weiter ausrecnen. Es ist ier ausgefürt: k(6) = = = = 67 k( 4) = ( 4) + 5 = = = 7 Wenn man den Mittelteil, also die recneriscen Zwiscenscritte, weglässt, at man: k(6) = 67 k( 4) = 7 Man sagt dann, der Funktionswert an der Stelle 6 beträgt 67 und der Funktionswert an der Stelle 4 beträgt 7. Nun muss man aber keine Zalen für u einsetzen. Man kann auc Bucstaben als Platzalter für später zu bestimmende Zalen einsetzen. Das siet dann so aus: Zuerst setzen wir d für u ein: Aus k(u) = u + 5 wird so k(d) = d + 5 Ebenso get auc z.b. P L Aus k(u) = u + 5 wird so k(p L ) = P L + 5 Recnen kann man da nun nicts mer, es bleibt einfac so steen. Nun kann man aber auc Kombinationen aus Zalen und Bucstaben für u einsetzen, z.b. + 3 Aus k(u) = u + 5 wird so k( + 3) = ( + 3) + 5 Miilfe der ersten binomiscen Formel kann man den letzten Ausdruck etwas weiter ausrecnen: k( + 3) = ( + 3) + 5 = ( ) + 5 = + = Die wictige Erkenntnis ist nun, das man für Variablen eigentlic alles einsetzen kann, was matematisc irgendeinen Sinn ergibt. Genug des Vorgeplänkels, nun zur Sace!

3 Matematik 11d Stefan Krissel Die Aufgabe Die Ausgangsaufgabe für das folgende Beispiel möge lauten: Finde die Ableitungsfunktion zur Funktion k(u) = u + 5 Der Ansatz Um die Ableitungsfunktion zu berecnen, tun wir zunäcst so, als wollten wir die Ableitung an einer bestimmten Stelle berecnen. Diese Stelle nennen wir (rein willkürlic) u R. Die Definition der Ableitung Wir benötigen nun die Gleicung, durc die die Ableitung an einer bestimmten Stelle überaupt definiert ist, sozusagen die Roform der Ableitung. Sie lautet: k(ur + ) k(u k'(u Es ist zu beacten, dass diese Roform für die Funktion k an der Stelle u R gilt. Bei anderen Funktionen und anderen Stellen steen in dieser Definition natürlic andere Bucstaben! Im Zäler des Brucs wurde für u einmal u R + eingesetzt (links) und einmal u R (rects). Wir aben also im Zäler links den Funktionswert der Funktion k an der Stelle u R + steen, abgekürzt durc k(u R +) und rects den Funktionswert der Funktion k an der Stelle u R, abgekürzt durc k(u R ). Ausrecnen der Funktionswerte im Zäler Mit den im Moment im Zäler steenden Abkürzungen kann man recnerisc gar nicts anfangen. Wir braucen irgendwelce Terme, mit denen man recnen kann, um weiterzukommen. Mitilfe der Funktionsgleicung der Funktion k können wir diese Terme ausrecnen. Wir setzen in der Funktionsgleicung einfac das für u ein, was oben in Gleicung in den Klammern inter dem k stet. Das get so: k(u + ) = (u + ) + 5 = (u + u + ) + 5 = u 4u + 5 R R R R R R k(u ) = (u ) + 5 = u + 5 R R R Einsetzen der Funktionswerte in den Zäler Die Funktionswerte, die wir nun ausgerecnet aben, können wir in die Gleicung der Ableitung einsetzen: ur 4uR + 5 ur + 5 k'(u Die erste eckige Klammer stet nur zur Orientierung da, die zweite ist wegen des Minus-Zeicens notwendig. 3

4 Matematik 11d Stefan Krissel Auflösen der Klammern im Zäler Als Näcstes lösen wir die Klammern im Zäler auf. Die erste können wir einfac so weglassen. Die zweite können wir nur dann weglassen, wenn wir alle Vorzeicen in der Klammer umdreen: ur 4uR 5 ur 5 lim + + ur 4uR ur 5 Zusammenscreiben und Verrecnen änlicer Elemente im Zäler Jetzt screiben wir die Elemente zusammen, die man miteinander verrecnen kann. Also pure Zalen zu puren Zalen, Quadrate von Stellen zu Quadraten von Stellen usw. Nacdem wir das getan aben, können wir viele dieser Elemente loswerden: ur 4uR ur 5 lim ur + ur 4uR uR Ausklammern und Kürzen von Ir abt scon mitbekommen, dass man den Bruc loswerden möcte, indem man kürzt. Um sicerzugeen, dass man nict falsc kürzt, kann man im Zäler ausklammern: 4uR ( 4uR ) ( 4u ) R Der Grenzübergang von Fast zum Scluss mact man nun das, was das Limes-Zeicen die ganze Zeit scon andeutet: Wir lassen so miniklein werden, dass es von 0 quasi nict mer zu untersceiden ist. Praktisc lassen wir das Limes-Zeicen weg und setzen für 0 ein. lim( 4u ) R = 4u R 4

5 Matematik 11d Stefan Krissel Formulieren der Ableitungsfunktion Der letzte Scritt ist vermutlic der einfacste. Um die Gleicung der Ableitungsfunktion zu formulieren, screiben wir auf die eine Seite des Gleiceitszeicens k (u), gelesen: k Stric von u, wobei der Stric darauf inweisen soll, dass es sic um die Ableitungsfunktion von k andelt. Auf die andere Seite des Gleiceitszeicens kommt das Ergebnis der obigen Recnung, nur mit dem Unterscied, dass wir nict mer u R inscreiben, sondern nur noc u, um zu kennzeicnen, dass wir wieder eine Variable aben, für die man alles matematisc Sinnvolle, in erster Linie Zalen, einsetzen kann. Die Funktionsgleicung lautet also: k'(u) = 4u Nacwort So, ic offe, dass das ausreicend verständlic war. Besonders am Anfang get es eigentlic nur darum, für den einen Ausdruck einen anderen, gleicwertigen einzusetzen. Das ist an sic eine rect stupide Sace, aber man muss eben ser konsequent sein, damit es funktioniert. Sollt5et ir noc weitere Probleme aben: Fragt mic bitte!!! 5