D-ITET Analysis II FS 13 Prof. Horst Knörrer. Musterlösung 1. 3xy 2 = 2 x 2. y y. 3 y y. 3 x v x + v = 2 3 v v.
|
|
- Alwin Brinkerhoff
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 D-ITET Analysis II FS 3 Prof. Horst Knörrer Musterlösung. a) Es gilt: dy d 3 + y 3 3y 3 y + y 3. Dies ist eine homogene Differentialgleichung, das heisst y hängt nur von y ab. Setze v : y y() v() y v + v. y 3 y + y 3 v + v 3 v + 3 v v 3 (v v) Die rechte Seite der letzten Gleichung verschwindet nur bei v. Die einzige konstante Lösung ist hier also v identisch, was zur Lösung y führt. Für nicht konstantes v rechnen wir weiter mit Separation der Variablen: 3v v v 3v v 3 dv d ln v 3 ln + c v 3 C (mit C ±e c ) v 3 C y 3 C y 3 C 3 3 C. Bemerkung: Für C ist dies genau die obige konstante Lösung y. b) Wir substituieren u() : + y(). Dann ist u () + y (). Wir setzen dies in die gegebene Gleichung ein und erhalten u () + u (). Diese Differentialgleichung können wir separieren: du d + u du + u d du + u d + c Somit ist arctan(u()) + c bzw. u() tan( + c). Die Rücksubstitution ergibt die allgemeine Lösung y() tan( + c). Bitte wenden!
2 . a) + ist für alle (, + ) stetig. d d (falls der Limes eistiert) + R + R + R + ln( + ) (nach Substitution u + R, du d) R + ln( + R ) ist nicht endlich. Das uneigentliche Integral konvergiert also nicht. b) e / ist für (, + ) stetig. e / d R + ε + R + ε + R e / ε e / R ε R + e /R ε + e /ε t + e t e t t e. d (falls der Limes eistiert) (nach Substitution u /, du d) Das uneigentliche Integral eistiert: e / d. Bemerkung: Mit Bernoulli de l Hospital kann man beweisen, dass die Funktion auch in den Randpunkt des Integrationsbereichs stetig fortsetzbar ist, darum ist das Integral dort ein gewöhnliches Riemann- Integral (aber das wird hier nicht benötigt): e / + +. e B. H. 3 + e + e B. H. + e c) Der Integrand ++ ist stetig auf dem Bereich (, + ), denn der Nenner + + ( + ) + ist strikt positiv. + + d R + R + R R ( + ) + arctan( + ) R R + R R + R + R + π ( π d (falls der Limes eistiert) [arctan(r + ) arctan( R + )] ) π. Das uneigentliche Integral eistiert: d π. + + Siehe nächstes Blatt!
3 d) Die Unstetigkeitsstelle der Funktion uneigentliches. liegt bei, das Integral ist also dort ein / d ε ε + / d + ε + ε / d falls beide Grenzwerte eistieren und endlich sind. ε (. Integral ε + / d ε + ε ) y / dy (Substitution y, d dy) ε + ε. Integral y / dy / d ε + ε ε + ε / d / d ε + / ε ε +( / ε / ) 4. Das uneigentliche Integral eistiert: / d 4. e) Die linearen Substitutionen y : a und z : b a y liefern b a d ( a)(b ) b a dy y(b a y) dz z( z). Durch quadratische Ergänzung erhalten wir z( z) (z ) ( (z ) ); Mit der weiteren linearen Substitution t : z folgt dz z( z) Wie aus der Vorlesung bekannt ist b a dz ( (z ) ) dt. t dt t arcsin t + const und damit d dt arcsin arcsin( ) π ( a)(b ) t. Bitte wenden!
4 3. a) Beh.: π sin ( ) d konvergiert. Bew.: Die Funktion sin( ) ist zwar unstetig in aber die Funktion ist beschränkt, sin( ). Damit folgt für jede Folge k, k >, dass sin( n )d sin( m m )d sin( m n )d d n n m n,m D.h. die Folge n sin( )d ist eine Cauchy-Folge und konvergiert daher. Bemerkung: Analog kann man zeigen, dass aus b a f d < (man nennt das Integral dann absolut konvergent) folgt, dass b a fd konvergiert. Das umgekehrte gilt jedoch nicht. (Vergleiche Konvergenz und absolute Konvergenz von Reihen). b) Beh.: ( sin ) d konvergiert. Bew.: Die Funktion ist offensichtlich stetig auf ], ]. Für gilt sin() sin() sin() ( 3 3! +...) ( 3 3! +...) ( 3! Also ist die Funktion stetig ergänzbar in, d.h. die Funktion { sin() f() >,,, 5! ). ist stetig und das Integral konvergiert, da stetige Funktionen über kompakte Intervalle R-integrierbar sind. + c) Beh.: d konvergiert. Bew.: Die Funktion ist stetig und positiv auf [, [ und wir müssen überprüfen ob R f()d für R beschränkt ist. Dazu schätzen wir den Integranden durch eine Funktion nach oben ab, die wir eplizit integrieren können: 4. Sei I Weil f() ( + )( + + ) ( + + ) 3/ d s konvergiert, so konvergiert auch das f()d., s >. Für s haben wir: Andererseits haben wir für s < : ( + + ). I R d [ ] R R log log R log R R }{{} + I R R [ ] d s+ R s R s + R s+ R s + +, da s + >. Siehe nächstes Blatt!
5 Nun können wir für ein beliebiges N IIN, N, folgende Zerlegung betrachten: N d N s Da der Integrand streng monoton fallend ist, erhalten wir folgende Abschätzung: N d N s k k k d (k ) s Damit folgt für alle s, dass gilt: k k s Das heisst, dass die Reihe N k k N N k k k k d s k (k ) s d k N k s N k k s divergiert. N k N (k ) s k s k N k s d N s + Bitte wenden!
6 Online-Abgabe 5. Frage Gegeben sei eine lineare und homogene Differentialgleichung, welche y() sin als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? y() sin + ist ebenfalls eine Lösung. y() sin ist ebenfalls eine Lösung. y() sin ist ebenfalls eine Lösung. Die Menge aller Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung bildet einen Vektorraum. Insbesondere ist für jede Lösung y und jedes λ R auch λy eine Lösung. Also ist (c) richtig. Dagegen sind (a) und (b) falsch, denn z.b. wird y + y von y() sin gelöst, aber weder von y() sin + oder von y() sin. Frage Die Differentialgleichung y y + y ist separierbar. ist homogen. ist linear. ist unlösbar. ist von der Ordnung. Die Gleichung ist äquivalent zu (y ) y und somit zu y ± y. Hier ist die rechte Seite eine Funktion von y, also ist die Gleichung homogen und die richtige Antwort lautet (b). Separierbar ist die Gleichung nicht, da man sie nicht so umformen kann, dass alle und d auf einer Seite und alle y und dy auf der anderen Seite stehen. Der Term y macht sie nicht-linear. Ihre Ordnung ist aber, weil die erste Ableitung y die höchste darin vorkommende Ableitung ist. Lösbar ist die Gleichung durchaus; auf dem Bereich { (, y) R y > > } sogar eindeutig, weil die Funktion (, y) ± y dort lokal Lipschitz-stetig ist. Siehe nächstes Blatt!
7 Frage 3 Welche der folgenden Differentialgleichungen ist linear? y + y + y + y + y + y y + y Eine lineare Differentialgleichung für eine Funktion y() muss linear in y und y notwendigerweise in. Also ist (c) die richtige Antwort. sein, aber nicht
Analysis II - 1. Klausur
Analysis II -. Klausur Sommersemester 25 Vorname: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Summe Analysis II -. Klausur 2.5.25 Aufgabe 2 Punkte Berechnen
MehrAnalysis I. 2. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching
Analysis I. Übungsstunde Steven Battilana stevenb@student.ethz.ch battilana.uk/teaching March 5, 07 Erinnerung (Euler Formel). e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ. Die Polarform von z = x + iy C sei Euler Formel z
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 10. Übungsblatt. < 0 für alle t > 1. tan(x) tan(0) x 0
KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 03/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 0. Übungsblatt Aufgabe
MehrMusterlösung. Aufgabe 1 a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [0, 1] R, die folgendermaßen definiert ist:
Musterlösung Aufgabe a) Die Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel ist die Funktion f : [, ] R, die folgendermaßen definiert ist: f(x) := { für x R \ Q für x Q f ist offensichtlich beschränkt. Wir zeigen,
MehrHöhere Mathematik III
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. J. Pöschel Dr. D. Zimmermann Dipl.-Math. K. Sanei Kashani Blatt 5 Höhere Mathematik III el, kb, mecha, phs Vortragsübungen (Musterlösungen) 7..4 Aufgabe
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale.
MehrMusterlösungen zu Blatt 15, Analysis I
Musterlösungen zu Blatt 5, Analysis I WS 3/4 Inhaltsverzeichnis Aufgabe 85: Konvergenzradien Aufgabe 86: Approimation von ep() durch Polynome Aufgabe 87: Taylorreihen von cos 3 und sin Aufgabe 88: Differenzenquotienten
MehrAnalysis I & II Lösung zur Basisprüfung
FS 6 Aufgabe. [8 Punkte] (a) Bestimmen Sie den Grenzwert ( lim x x ). [ Punkte] log x (b) Beweisen Sie, dass folgende Reihe divergiert. n= + n + n + sin(n) n 3 + [ Punkte] (c) Finden Sie heraus, ob die
Mehr12 Gewöhnliche Differentialgleichungen
2 2 Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Einleitung Sei f : D R wobei D R 2. Dann nennt man y = f(x, y) (5) eine (gewöhnliche) Differentialgleichung (DGL) erster Ordnung. Als Lösung von (5) akzeptiert
Mehr8.1 Begriffsbestimmung
8 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8 Gewöhnliche Differentialgleichungen 8.1 Begriffsbestimmung Wir betrachten nur Differentialgleichungen für Funktionen einer (reellen) Variablen. Definition: Für eine
Mehr10 Der Satz von Fubini
er Satz von Fubini ie Bezeichnungen seien wie in den Paragraphen 8 und 9. Satz. (Satz von Tonelli Es sei f : d [, + ] messbar. (Aus 8 folgt dann, dass f, f y messbar sind, wobei klar ist, dass f, f y sind.
MehrDifferentialgleichungen. Aufgaben mit Lösungen. Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya
Differentialgleichungen Aufgaben mit Lösungen Jörg Gayler, Lubov Vassilevskaya ii Inhaltsverzeichnis. Tabelle unbestimmter Integrale............................... iii.. Integrale mit Eponentialfunktionen........................
MehrKapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen
Kapitel 3. Konvergenz von Folgen und Reihen 3.1. Normierte Vektorräume Definition: Sei V ein Vektorraum (oder linearer Raum) über (dem Körper) R. Eine Abbildung : V [0, ) heißt Norm auf V, falls die folgenden
MehrETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld
ETH Zürich Analysis I Zwischenprüfung Winter 2014 D-BAUG Musterlösungen Dr. Meike Akveld Bitte wenden! 1. Die unten stehende Figur wird beschrieben durch... (a) { (x, y) R 2 x + y 1 }. Richtig! (b) { (x,
MehrLösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I
Prof. Dr. H. Garcke, Dr. H. Farshbaf-Shaker, D. Depner WS 8/9 NWF I - Mathematik 9..9 Universität Regensburg Lösungsvorschlag zur Übungsklausur zur Analysis I Frage 1 Vervollständigen Sie die folgenden
MehrStetigkeit. Definitionen. Beispiele
Stetigkeit Definitionen Stetigkeit Sei f : D mit D eine Funktion. f heißt stetig in a D, falls für jede Folge x n in D (d.h. x n D für alle n ) mit lim x n a gilt: lim f x n f a. Die Funktion f : D heißt
MehrAnalysis I Mathematik für InformatikerInnen II SoSe 12 Musterlösungen zur Prüfungsklausur vom 18. Juli 2012
Humboldt-Universität zu Berlin Mathematisch-Naturwissenschaftliche Faultät II Institut für Mathemati Unter den Linden 6, D-0099 Berlin Prof. Andreas Griewan Ph.D. Dr. Thomas M. Surowiec Dr. Fares Maalouf
MehrAnalysis I. 7. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 7. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine surjektive Abbildung f: L M. () Ein archimedisch
MehrTECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Oliver Matte Max Lein Zentralübung Mathematik für Physiker 2 Analysis ) Wintersemester 200/20 Lösungsblatt 5 2..200) 32. Häufungspunkte Sei a
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)
MehrHäufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß.
Häufungspunkte und Satz von Bolzano und Weierstraß. Definition: Sei (a nk ) k N eine konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N.Dannwirdder Grenzwert der Teilfolge (a nk ) k N als Häufungspunkt der Folge
Mehr4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes
4 Anwendungen des Cauchyschen Integralsatzes Satz 4. (Cauchysche Integralformel) Es sei f : U C komplex differenzierbar und a {z C; z z 0 r} U. Dann gilt f(a) = z z 0 =r z a dz. a z 0 9 Beweis. Aus dem
MehrWichtige Klassen reeller Funktionen
0 Wichtige Klassen reeller Funktionen Monotone Funktionen sind i.a. unstetig, aber man kann etwas über das Grenzwertverhalten aussagen, wenn man nur einseitige Grenzwerte betrachtet. Definition 0. : Sei
MehrHöhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge zum 7. Übungsblatt
UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl WS 008/09 Höhere Mathematik I für die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geodäsie Lösungsvorschläge
Mehr1. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe : Sei I R ein Intervall. Geben Sie Beispiele für Differentialgleichungen für Funktionen y = y in I mit den folgenden Eigenschaften an: Beispiel separabel, nicht
MehrZusammenfassung zur Konvergenz von Folgen
Zusammenfassung zur Konvergenz von Folgen. Definition des Konvergenzbegriffs Eine Folge reeller Zahlen a n n heißt konvergent gegen a in Zeichen a n = a, falls gilt > 0 n 0 n n 0 : an a < Hinweise: Bei
MehrLösung zur Klausur zur Analysis II
Otto von Guericke Universität Magdeburg 9.7.4 Fakultät für Mathematik Lösung zur Klausur zur Analysis II Vorlesung von Prof. L. Tobiska, Sommersemester 4 Bitte benutzen Sie für jede Aufgabe ein eigenes
MehrRechenoperationen mit Folgen. Rekursion und Iteration.
Rechenoperationen mit Folgen. Die Menge aller Folgen in V bildet einen Vektorraum, V N, für den die Addition und skalare Multiplikation wie folgt definiert sind. (a n ) n N + (b n ) n N := (a n + b n )
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 5: Konvergenz Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 15. Dezember 2011) Folgen Eine Folge x 0, x 1,
MehrDifferenzialgleichungen erster Ordnung
Differenzialgleichungen erster Ordnung Fakultät Grundlagen Mai 2011 Fakultät Grundlagen Differenzialgleichungen erster Ordnung Übersicht Grundsätzliches 1 Grundsätzliches Geometrische Deutung Numerik 2
MehrLösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3
Analysis I Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni 1 Lösungen der Übungsaufgaben von Kapitel 3 zu 3.1 3.1.1 Bestimmen Sie den Abschluss, den offenen Kern und den Rand folgender Teilmengen
MehrAnalysis 1 für Informatiker (An1I)
Hochschule für Technik Rapperswil Analysis 1 für Informatiker (An1I) Stand: 2012-11-13 Inhaltsverzeichnis 1 Funktionen 3 1.1 Gerade, ungerade und periodische Funktionen..................... 3 1.2 Injektive,
MehrBericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2010
Bericht zur Mathematischen Zulassungsprüfung im Mai 2 Heinz-Willi Goelden, Wolfgang Lauf, Martin Pohl Am 5. Mai 2 fand die Mathematische Zulassungsprüfung statt. Die Prüfung bestand aus einer 9-minütigen
MehrProbeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen
MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass
MehrZiel: Iterative Lösung der (nichtlinearen) Gleichung f(x) = 0.
6.4 Fixpunkt-Iteration Ziel: Iterative Lösung der (nichtlinearen) Gleichung f(x) = 0. Möglichkeiten: Bisektionsverfahren (Intervallhalbierung) Newton-Verfahren, x k+1 = x k f(x k) f (x k ) für k = 0, 1,
MehrDas Newton Verfahren.
Das Newton Verfahren. Ziel: Bestimme eine Nullstelle einer differenzierbaren Funktion f :[a, b] R. Verwende die Newton Iteration: x n+1 := x n f x n) f x n ) für f x n ) 0 mit Startwert x 0. Das Verfahren
MehrAufgabe 1 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N. n(n + 1)(2n + 1) 6. j 2 = gilt.
Aufgabe Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle n N j 2 j n(n + )(2n + ) gilt. Der Beweis wird mit Hilfe vollständiger Induktion geführt. Wir verifizieren daher zunächst den Induktionsanfang,
MehrAnalysis II - Probeklausur
Analysis II - Probeklausur Sommersemester 25 Vorname: Name: Aufgabe Aufgabe 2 Aufgabe 3 Aufgabe 4 Aufgabe 5 Aufgabe 6 Aufgabe 7 Aufgabe 8 Aufgabe 9 Aufgabe Aufgabe Summe Analysis II - Probeklausur August
MehrA U F G A B E N A N A L Y S I S. 11. Vorlesung Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion x, x 0, stetig bei x 0 = 5 ist.
A U F G A B E N A N A L Y S I S. Vorlesung. Zeigen Sie, mit Hilfe der ɛ-δ -Sprache, daß die Funktion, 0, stetig bei 0 = 5 ist. Lösung: Es sei 5 < ɛ. () Daraus folgt 5 ɛ < < 5 + ɛ () oder Folglich gilt
Mehrε δ Definition der Stetigkeit.
ε δ Definition der Stetigkeit. Beweis a) b): Annahme: ε > 0 : δ > 0 : x δ D : x δ x 0 < δ f (x δ f (x 0 ) ε Die Wahl δ = 1 n (n N) generiert eine Folge (x n) n N, x n D mit x n x 0 < 1 n f (x n ) f (x
MehrAnalysis I. 6. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I 6. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Eine Relation zwischen den Mengen X und Y.
Mehr5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit
5 Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5.1 Stetigkeit und Grenzwerte von Funktionen f(x 0 ) x 0 Graph einer stetigen Funktion. Analysis I TUHH, Winter 2006/2007 Armin Iske 127 Häufungspunkt und Abschluss.
MehrLösung zu Kapitel 5 und 6
Lösung zu Kapitel 5 und 6 (1) Sei f eine total differenzierbare Funktion. Welche Aussagen sind richtig? f ist partiell differenzierbar f kann stetig partiell differenzierbar sein f ist dann immer stetig
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2012 Konvergenz Definition Fourierreihen Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn es ein
MehrVermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie
Aufgabe : Vermischte Aufgaben zu Mathematische Grundlagen der Ökonomie Bilden die Lösungsmengen der folgenden linearen Gleichungssysteme jeweils einen Unterraum des IR 3? Begründen Sie. (i) (ii) + 3 =
MehrSkript zur Analysis 1. Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen
Skript zur Analysis 1 Kapitel 3 Stetigkeit / Grenzwerte von Funktionen von Prof. Dr. J. Cleven Fachhochschule Dortmund Fachbereich Informatik Oktober 2003 2 Inhaltsverzeichnis 3 Stetigkeit und Grenzwerte
MehrFolgen und Reihen von Funktionen
Folgen und Reihen von Funktionen Sehr häufig treten in der Mathematik Folgen bzw. Reihen von Funktionen auf. Ist etwa (f n ) eine Folge von Funktionen, dann können wir uns für ein festes x fragen, ob die
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 4: Konvergenz und Stetigkeit Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 22. November 2007) Folgen Eine Folge
MehrVorlesungen Analysis von B. Bank
Vorlesungen Analysis von B. Bank vom 23.4.2002 und 26.4.2002 Zunächst noch zur Stetigkeit von Funktionen f : D(f) C, wobei D(f) C. (Der Text schliesst unmittelbar an die Vorlesung vom 19.4.2002 an.) Auf
MehrFerienkurs Analysis 1 für Physiker Integration - Aufgaben
Ferienkurs Analysis für Physiker Integration - Aufgaben Jonas Funke 2.3.29-6.3.29 Bemerkung Bemerkung Es sollten zuerst die Aufgaben, die nicht mit einem * versehen sind bearbeitet werden. Die Aufgaben
Mehrf(x 0 ) = lim f(b k ) 0 0 ) = 0
5.10 Zwischenwertsatz. Es sei [a, b] ein Intervall, a < b und f : [a, b] R stetig. Ist f(a) < 0 und f(b) > 0, so existiert ein x 0 ]a, b[ mit f(x 0 ) = 0. Wichtig: Intervall, reellwertig, stetig Beweis.
MehrUneigentliche Riemann-Integrale
Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:
MehrKlausur Analysis für Informatiker Musterlösung
Prof. Dr. Torsten Wedhorn WS 9/ Dr. Ralf Kasprowitz Elena Fink Klausur Analysis für Informatiker Musterlösung 9.2.2 Name, Vorname Studienfach Matrikelnummer Semester Übungsgruppe Zugelassene Hilfsmittel:
MehrD-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu. MC-Fragen Serie 1. Einsendeschluss: Freitag, der :00 Uhr
D-INFK Analysis I FS 2017 Prof. Dr. Özlem Imamoglu MC-Fragen Serie 1 Einsendeschluss: Freitag, der 26.09.2014 12:00 Uhr 1. Welche der folgenden Aussagen sind richtig? (a) Eine divergente Folge ist nicht
MehrKonvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume
CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften
MehrBrückenkurs Rechentechniken
Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige
MehrVorlesung: Analysis I für Ingenieure
Vorlesung: Analysis I für Ingenieure Dozent: Dr. Michael Karow Thema: unendliche Reihen Definition. Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Folge von Summen: a k = lim k a k, wobei a k C. Falls der
Mehr1 Einleitung. 2 Reelle Zahlen. 3 Konvergenz von Folgen
1 Einleitung Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis 1 aus dem Wintersemester 2008/09
Mehr3 Grenzwert und Stetigkeit 1
3 Grenzwert und Stetigkeit 3. Grenzwerte bei Funktionen In diesem Abschnitt gilt: I ist immer ein beliebiges Intervall, 0 I oder einer der Endpunkte. 3.. Definition Sei I Intervall, 0 IR und 0 I oder Endpunkt
MehrKapitel 5 Reihen 196
Kapitel 5 Reihen 96 Kapitel 5. Definition und Beispiele 97 Das Material dieses Kapitels können Sie nachlesen in: MICHAEL SPIVAK, Calculus, Kapitel 22 DIRK HACHENBERGER, Mathematik für Informatiker, Kapitel
MehrApril (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil
April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten
MehrFerienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15. 1 Aussage, Mengen, Induktion, Quantoren
Ferienkurs Analysis 1 - Wintersemester 2014/15 Können Sie die folgenden Fragen beantworten? Sie sollten es auf jeden Fall versuchen. Dieser Fragenkatalog orientiert sich an den Themen der Vorlesung Analysis
MehrAnalysis I. 1. Beispielklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Analysis I. Beispielklausur mit en Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Das Bild einer Abbildung F: L M. (2) Eine Cauchy-Folge
MehrD-MATH Funktionalanalysis II FS 2014 Prof. M. Struwe. Lösung 2
D-MATH Funktionalanalysis FS 214 Prof. M. Struwe Lösung 2 1. a) Wir unterscheiden zwei Fälle. Fall 1: 1 < p < : Seien u L p () und (u k ) W 1,p () eine beschränkte Folge, so dass u k u in L p () für k.
MehrVERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN. und ELEMENTE DER FUNKTIONALANALYSIS KURZSKRIPTUM. Prof. Dr. K. Pilzweger
VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN und ELEMENTE DER FUNKTIONALANALYSIS KURZSKRIPTUM Prof. Dr. K. Pilzweger UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN FAKULTÄT FÜR ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIONSTECHNIK Herbsttrimester
Mehr- 1 - angeführt. Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes x nach der Zeit, und das Gesetz lässt sich damit als 2.
- 1 - Gewöhnliche Differentialgleichungen Teil I: Überblick Ein großer Teil der Grundgesetze der Phsik ist in Form von Gleichungen formuliert, in denen Ableitungen phsikalischer Größen vorkommen. Als Beispiel
MehrTechnische Universität Berlin. Klausur Analysis I
SS 2008 Prof. Dr. John M. Sullivan Kerstin Günther Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik Klausur Analysis I 4.07.2008 Name: Vorname: Matr.-Nr.: Studiengang: Mit der Veröffentlichung
MehrNichtlineare Gleichungssysteme
Kapitel 2 Nichtlineare Gleichungssysteme Problem: Für vorgegebene Abbildung f : D R n R n finde R n mit oder ausführlicher f() = 0 (21) f 1 ( 1,, n ) = 0, f n ( 1,, n ) = 0 Einerseits führt die mathematische
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 2
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik 2 (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 2 Hausaufgaben Aufgabe 2.1 Sei [a, b] R ein Intervall und ( ) n N [a,
MehrQuiz Analysis 1. Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur. Mathematisches Institut, WWU Münster. Karin Halupczok.
Quiz Analysis 1 Mathematisches Institut, WWU Münster Karin Halupczok WiSe 2011/2012 Lösungen zu den Aufgaben M1 bis M7 der Probeklausur 1 Aufgabe M1: Fragen zu Folgen, Reihen und ihre Konvergenz 2 Aufgabe
Mehr5.4 Uneigentliche Integrale
89 Wir dividieren die Potenzreihe von sin(t) gliedweise durch t und erhalten sint t = t (t t3 3! + t5 5! + ) = t2 3! + t4 5! +. Diese Reihe ist konvergent für alle t R. Nun integrieren wir gliedweise.
MehrMathematik für Anwender I. Beispielklausur 3 mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender I Beispielklausur mit en Dauer: Zwei volle Stunden + 0 Minuten Orientierung, in denen noch nicht geschrieben werden darf.
MehrMathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf. Probeklausur
Mathematisches Institut der Universität Heidelberg Prof. Dr. E. Freitag /Thorsten Heidersdorf Probeklausur Diese Probeklausur soll a) als Test für euch selber dienen, b) die Vorbereitung auf die Klausur
MehrKonvergenz und Stetigkeit
Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen 10. Dezember 2008 Konvergenz Definition Fourierreihen Obertöne Geometrische Reihe Definition: Eine Funktion f : D R d heißt beschränkt, wenn
MehrLösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version A)
Lösungen zur Probeklausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 10.1.009 (Version A) Kennwort: Übungsgruppe: (Sie können ein beliebiges Kennwort wählen, um Ihre Anonymität zu wahren! Da die Probeklausur
MehrTechnische Universität München. Aufgaben Mittwoch SS 2012
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 2 für Physiker Aufgaben Mittwoch SS 2012 Aufgabe 1 Äquivalente Aussagen für Stetigkeit( ) Beweisen Sie folgenden Satz: Seien X und Y metrische
MehrMATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer)
TU DRESDEN Dresden, 16. Februar 4 Fachrichtung Mathematik / Institut für Analysis Doz.Dr.rer.nat.habil. N. Koksch Prüfungs-Klausur MATHEMATIK III für Bauingenieure (Fernstudium und Wiederholer) Name: Matrikel-Nr.:
MehrLösungen zu Übungsblatt 9
Analysis : Camillo de Lellis HS 007 Lösungen zu Übungsblatt 9 Lösung zu Aufgabe 1. Wir müssen einfach das Integral 16 (x + y d(x, y x +y 4 ausrechnen. Dies kann man einfach mittels Polarkoordinaten, da
MehrKapitel 6 Folgen und Stetigkeit
Kapitel 6 Folgen und Stetigkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 76 / 226 Definition 6. (Zahlenfolgen) Eine Zahlenfolge (oder kurz: Folge) ist eine Funktion f : 0!. Statt f(n) schreiben wir x n
MehrAUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE. von. Prof. Dr. H.-W. Burmann
AUFGABEN ZUR FUNKTIONENTHEORIE von Prof. Dr. H.-W. Burmann Bei den folgenden Aufgaben handelt es sich um Reste, die bei der Erstellung der Aufgabenblätter übriggeblieben sind. Der Schwierigkeitsgrad der
MehrFolgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit
Folgen, Reihen, Grenzwerte u. Stetigkeit Josef F. Bürgler Abt. Informatik HTA Luzern, FH Zentralschweiz HTA.MA+INF Josef F. Bürgler (HTA Luzern) Einf. Infinitesimalrechnung HTA.MA+INF 1 / 33 Inhalt 1 Folgen
Mehr3.3 Das Abtasttheorem
17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann
MehrTeil I Auswahlfragen
UNIVERSITÄT KOBLENZ LANDAU INSTITUT FÜR MATHEMATIK Dr. Dominik Faas Grundlagen der Analysis Sommersemester 010 Klausur vom 07.09.010 Teil I Auswahlfragen Name: Hinweise: Bei den folgenden Auswahlfragen
Mehr9 Metrische und normierte Räume
9 Metrische und normierte Räume Idee: Wir wollen Abstände zwischen Punkten messen. Der Abstand soll eine reelle Zahl 0 sein (ohne Dimensionsangabe wie Meter...). 9.1 Definition Sei X eine Menge. Eine Metrik
MehrBeispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit. a n := n 2 + 5n + 1 n. Es gilt. (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n n, woraus folgt
Beispiel. Gegeben sei die Folge (a n ) n N mit a n := n 2 + 5n + 1 n Es gilt ( ( ) (n 2 + 5n + 1) n 2 = n2 + 5n + 1 n) n2 + 5n + 1 + n, woraus folgt a n = (n2 + 5n + 1) n 2 n2 + 5n + 1 + n = 5n + 1 n2
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrSeminar Gewöhnliche Differentialgleichungen
Seminar Gewöhnliche Differentialgleichungen Dynamische Systeme I 1 Einleitung 1.1 Nichtlineare Systeme In den vorigen Vorträgen haben wir uns mit linearen Differentialgleichungen beschäftigt. Nun werden
MehrMisterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, (Version C)
Misterlösung zur Klausur zur Vorlesung Analysis I, WS08/09, Samstag, 14..009 (Version C Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen aus der Vorlesung
Mehrn=1 a n mit reellen Zahlen a n einen
4 Unendliche Reihen 4. Definition und Beispiele Ein altes Problem der Analysis ist es, einer Reihe mit reellen Zahlen einen Wert zuzuordnen. Ein typisches Beispiel ist die unendliche Reihe + +..., die
Mehrist ein n-dimensionaler, reeller Vektorraum (vgl. Lineare Algebra). Wir definieren auf diesem VR ein Skalarprodukt durch i y i i=1
24 14 Metrische Räume 14.1 R n als euklidischer Vektorraum Die Menge R n = {(x 1,..., x n ) x i R} versehen mit der Addition und der skalaren Multiplikation x + y = (x 1 + y 1,..., x n + y n ) λx = (λx
Mehr2.6 Der Satz von Fubini
1 2.6 Der Satz von Fubini Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Ergebnisses. 6.1. Satz von Fubini Sei f : R n+m R integrierbar. Dann gibt es eine Nullmenge N R m, so dass gilt: 1. Für alle y R m \ N
MehrDefinition, Funktionsgraph, erste Beispiele
5. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 07 Reelle Funktionen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Funktionen Definition, Funktionsgraph, erste Beispiele Markus Herrich Reelle Funktionen Definition Eine
MehrAufgabe 1. Version A Multiple Choice (4 Punkte). Kreuzen Sie die richtige(n) Antwort(en) an.
Analysis I, WiSe 013/14, 04.0.014 (Ise 1 Aufgabe 1. Version A Multiple Choice (4 Punte. Kreuzen Sie die richtige(n Antwort(en an. a Welche der folgenden Aussagen über Folgen sind sinnvoll und wahr? jede
MehrReihen, Exponentialfunktion Vorlesung
Reihen, Exponentialfunktion Vorlesung Marcus Jung 5.03.20 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Reihen 3. Denition.................................... 3.2 Konvergenzkriterien für Reihen........................
MehrTutorium Mathematik II, M Lösungen
Tutorium Mathematik II, M Lösungen 4. Juni 203 *Aufgabe. Bestimmen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichungen (a) y 2y + y2 = (b) y + ( 2 y)y = 0 Lösung: (a) Bei dieser Differentialgleichung
MehrIntegralrechnung. integral12.pdf, Seite 1
Integralrechnung Beispiel Zusammenhang WegGeschwindigkeit: Ist F (t) der zur Zeit t zurückgelegte Weg und v(t) die Geschwindigkeit, so ist v(t) = F (t) Geometrisch: Steigung der Tangente an der Kurve y
Mehr3. Übungsblatt zur Analysis II
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. Steffen Roch Nada Sissouno WS 9/ 9..9 3. Übungsblatt zur Analysis II Gruppenübung Majorantenkriterium für uneigentliche Riemann-Integrale: Es seien f : [, ) [, ) und g
Mehr10 Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen
Vorlesung SS 9 Analsis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff SATZ ÜBER IMPLIZITE FKT UND UMKEHRFKT Der Satz über implizite Funktionen und Umkehrfunktionen Motivation: Sei F : U R R eine differenzierbare Funktion
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 5
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 5 Hausaufgaben Aufgabe 5. Bestimmen Sie folgende Grenzwerte. Benutzen
Mehr