Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg,

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1 egelsammlung mb2014 THM Friedberg von :04 Brückenkurs Mathematik, THM Friedberg, Sammlung von Rechenregeln, extrahiert aus dem Lehrbuch: Erhard Cramer, Johanna Neslehová: Vorkurs Mathematik. Arbeitsbuch zum Studienbeginn in Bachelor Studiengängen. Springer 2004, 5.Auflage 2012 Redaktion: Sabine Lintner, Johannes Busse. Online: mint.de/public/mb2014_fs.html (pdf) Logische Verknüpfungen (S. 7, Bezeichnung): Für Aussagen Aussagen verwendet:, B werden folgende logische Verknüpfungen von AUSSAGENLOGIK Konzept Symbol Bedeutung der Verknüpfung Negation nicht Konjunktion (und) und Disjunktion (oder) oder Implikation (Folgerung) aus folgt Äquivalenz (genau dann) und sind äquivalent Rechenregeln für reelle Zahlen (S. 21, Übersicht): SADF Kommutativgesetz Addition / Multiplikation + = + / = Assoziativgesetz Addition / Multiplikation + + = + + / = Distributivgesetz + = + Erste binomische Formel + 2 = Zweite binomische Formel 2 = Dritte binomische Formel + = 2 2 Vorzeichenregeln: =, + =, = +, = = und =

2 2 von :04 Vorzeichen von Brüchen (S. 18, Regel): Für Zahlen, mit 0 gilt: + + = = + = + = Betrag einer Zahl: =, falls 0 und =, falls 0 Gleichheit von Mengen (S. 42, Regel): Mengen Zwei Mengen und heißen gleich, wenn sie die gleichen Elemente besitzen. In diesem Fall wird die Notation = verwendet. Leere Menge (S. 42, Bezeichnung): Eine Menge, die kein Element enthält, heißt leere Menge. Als Bezeichnung wird das Symbol verwendet. Alternativ ist auch die Notation {} gebräuchlich. Grundmenge, Grundraum (S. 43, Bezeichnung): Die Menge aller betrachteten Objekte wird Grundmenge genannt. Als Bezeichnung wird der griechische Buchstabe Ω verwendet. Teilmenge (S. 44, Bezeichnung): Eine Menge, deren Elemente ebenfalls Elemente einer Menge sind, heißt Teilmenge von. Diese Beziehung zwischen und wird mit bezeichnet. Mächtigkeit einer Menge (S. 45, Definition): Die Anzahl der Elemente einer Menge heißt Mächtigkeit von und wird mit bezeichnet. Mengensystem (S. 45, Bezeichnung): Mengen, deren Elemente selbst Mengen sind, nennt man Mengensysteme. Mächtigkeit der Potenzmenge (S. 46, Regel): Sei Ω eine nicht leere Menge mit Elementen. Die Mächtigkeit der Potenzmenge von Ω ist Ω =2 Ω =2. Komplement (S. 48, Definition): Seien Ω eine Grundmenge und Ω eine Menge: Das Komplement von in Ω ist die Menge = x Ω x. Alternative Bezeichnungen sind oder Ω. Komplementbildung (S. 48, Regel): Seien Ω eine Grundmenge und Ω eine Menge. Das Komplement der Grundmenge ist die leere Menge: Ω =, Das Komplement der leeren Menge ist die Grundmenge: = Ω, Das Komplement der Komplementmenge ist die Menge : = Schnittmenge (S. 49, Definition): Seien Ω eine Grundmenge und, Ω. Die Schnittmenge von und ist definiert durch = x Ω x und x. Eigenschaften von Schnittmengen (S. 50, Regel): Seien, Ω Mengen. Dann gilt: = = Ω= =, Ist in enthalten, d.h., so gilt =

3 3 von :04 Disjunkte Mengen (S. 51, Definition): Zwei Mengen und heißen disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, d.h. wenn = gilt. Vereinigungsmenge (S. 52, Definition): Seien Ω eine Grundmenge und, Ω. Die Vereinigungsmenge von und ist gegeben durch = x oder x \}. Eigenschaften der Vereinigung von Mengen (S. 53, Regel): Seien, Ω Mengen. Dann gilt: = = Ω = Ω = Ω und Ist in enthalten, d.h., so gilt = Zerlegung (S. 54, Definition): Sei Ω eine nicht leere Grundmenge. Eine Familie von Mengen heißt eine Zerlegung von Ω, wenn die Mengen paarweise disjunkt sind und = Ω Differenzmenge (S. 55, Definition): Seien, Ω Mengen. Die Differenzmenge ohne ist definiert durch = x Ω x und x Eigenschaften von Differenzmengen (S. 55, Regel): Für Mengen, Ω gilt: Ω = x Ω x =, =, =. Kommutativgesetze für Mengen (S. 56, Regel): Seien,, Mengen. Dann gelten: = und =. Assoziativgesetze für Mengen (S. 56, Regel): Für Mengen,, gelten die Assoziativgesetze = und =. Die Klammern können daher jeweils weggelassen werden und bzw. geschrieben werden. Distributivgesetze für Mengen (S. 57, Regel): Seien,, Mengen. Dann gelten: = und =. Regeln von De Morgan (S. 57, Regel): Seien,, Ω Mengen. Dann gelten die De Morganschen Regeln: = und =.

4 4 von :04 Addition und Subtraktion von Brüchen mit eventuell ungleichen Nennern (S. 82, Regel): Für Zahlen, 2,, 2 mit, 2 0 gilt: = = Multiplikation von Brüchen (S. 83, Regel): Für Zahlen, 2,, 2 mit 2,, 2 0 gilt: 2 2 = 2 2. Division von Brüchen (S. 84, Regel): Für Zahlen, 2,, 2 mit 2,, 2 0 gilt: : 2 2 = = 1 2 = Potenzen (S. 85, Definition): + Für Zahlen R und N wird die Potenz von definiert als =. Die Zahl heißt Basis, heißt Exponent. Die Verknüpfung wird als Potenzieren bezeichnet. Potenzen mit negativen Exponenten und Exponent Null (S. 86, Definition): Für R und N wird definiert = 1, mit 0 =1. Potenzgesetze (S. 86, Regel): Für, R und, Z gilt: = + = = = =. Wurzel (S. 87, Definition): Seien 0 und N. Die eindeutig bestimmte nicht negative Zahl mit = heißt Wurzel von und wird mit bezeichnet. Das Symbol "" wird Wurzelzeichen, der Vorgang Wurzelziehen genannt. Die Zahl heißt Radikant, die Zahl Wurzelexponent. Für =2 wird der Wurzelexponent in der Notation der Wurzel weggelassen, d.h. statt 2 wird geschrieben. heißt auch Quadratwurzel von a. Wurzelgesetze (S. 88, Regel): Seien, 0 und, N, Z gilt:

5 5 von :04 = und = = = =. = = Wurzeln aus Quadraten (S. 89, Regel): Die Wurzel aus dem Quadrat einer Zahl ist deren Betrag: 2 =,\ R. Potenzen mit rationalen Exponenten (S. 89, Definition): Seien 0 und N. Dann wird die Potenz von mit dem Exponenten 1 definiert durch =. Für 0 und N, Z wird die Potenz von mit dem Exponenten = Q definiert durch = = =. In Abhängigkeit vom Exponenten der Gleichung = kann die Definition der Wurzel wie folgt erweitert werden: Für ungerades N und R hat = genau eine Lösung, die mit bezeichnet wird. Für gerades N und >0 hat = sowohl eine positive, als auch eine negative Lösung: = >0 und 2 = <0. Für gerades N und <0 hat = keine reelle Lösung. Potenzen mit reellen Exponenten (S. 91, Regel): Für, >0 und x, y R gilt: x y = x+y, x y = x y, x x = x, x x = x, x y = x y. Logarithmus (S. 91, Definition): Seien, >0 mit 1. Die eindeutig bestimmte Zahl x R mit x = heißt Logarithmus von zur Basis. Sie wird mit x = bezeichnet. Für die Basen 10 und = 2, werden spezielle Bezeichnungen und Notationen verwendet. Für = 10 wird die Notation 0 = = verwendet. heißt dekadischer Logarithmus. Für = wird die Notation = verwendet. heißt natürlicher Logarithmus. Eigenschaften des Logarithmus (S. 93, Regel): Für, >0 mit 1 gilt: log 1 = 0 log = 1 log = log =. Logarithmusgesetze (S. 94, Regel): Für,, >0 mit 1 gilt:

6 6 von :04 log = log +log, log = log log, log = log log = ln ln Für R und, >0 mit 1 gilt: lg =,sofern 1, lg log = log. Zusammenhang zwischen Potenzen zur Basis und (S. 95, Regel): Seien >0 mit 1 und die eulersche Zahl. Dann gilt für jede reelle Zahl x die Gleichung x = x. hdaw mint > Bibliothek > Regelsammlung mb2014 THM Friedberg Knowledge Engineering und Didaktik MINT Propädeutik x media project.org Ideen zu einer modernen Hochschuldidaktik MINT + Median ( ) Der Hauptsatz der Analysis Formelsammlung Aussagenlogik, Prädikatenlogik, Beschreibungslogik Beratungsprotokoll Lernzentrum Selbstversuch: Einen Wikipedia Artikel (ca 1500 Worte) als Mindmap darstellen (c) mint.de Impressum.