Inhaltsverzeichnis. Leitfaden 1

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1 Inhaltsverzeichnis Leitfaden 1 1 Gruppen Halbgruppen, Gruppen und Untergruppen Innere Verknüpfungen und Halbgruppen Beispiele Definition einer Gruppe Abschwächung der Gruppenaxiome Translationen und Kürzungsregeln Definition einer Untergruppe Erzeugung von Untergruppen Untergruppen von Z, Kongruenzen und Restklassen Beispiele Homomorphismen und Normalteiler Definition eines Homomorphismus Beispiele Nebenklassen Ordnung und Index Beispiele Definition eines Normalteilers Homomorphismen und Normalteiler Faktorgruppen Beispiele Isomorphiesätze, Produkte von Gruppen und zyklische Gruppen Isomorphiesätze Äußeres direktes Produkt Inneres direktes Produkt Äußeres semidirektes Produkt Inneres semidirektes Produkt Beispiele Zyklische Gruppen Teilbarkeit ganzer Zahlen Der Chinesische Restsatz... 75

2 X Inhalt Der euklidische Algorithmus Produkte zyklischer Gruppen Untergruppen zyklischer Gruppen Zerlegung einer zyklischen Gruppe Primrestklassengruppen Automorphismen zyklischer Gruppen Beispiele Unendlich zyklische und frei-abelsche Gruppen Operationen von Gruppen auf Mengen Definition einer Operation Beispiele Bahnenraum und Standgruppe Die Klassengleichung Zyklenzerlegung einer Permutation Beispiele Symmetriegruppen Regelmäßige n-ecke und die Diedergruppe Endliche Untergruppen von O(2) Symmetrien des Tetraeders Symmetrien von Würfel und Oktaeder Symmetrien von Ikosaeder und Dodekaeder Die Klassengleichung der Ikosaedergruppe Endliche Untergruppen von SO(3) Symmetrien von Fußbällen Struktursätze Elemente zu vorgegebener Ordnung Struktursatz für endliche abelsche Gruppen Endliche abelsche p-gruppen Klassifikation der endlichen abelschen Gruppen Endlich erzeugte abelsche Gruppen Spaltung in Torsion und freien Anteil Endliche p-gruppen Die Sätze von SYLOW Beispiele Einfache und auflösbare Gruppen Einfache Gruppen Kommutatorgruppen Beispiele Auflösbare Gruppen Auflösbarkeit von p-gruppen Ringe Grundbegriffe Definition eines Rings Einheiten, Körper, Unterringe...173

3 Inhalt XI Ringhomomorphismen Beispiele Polynomringe Grad eines Polynoms Division mit Rest Nullstellen und Werte von Polynomen Einheitswurzeln in C Polynome in mehreren Veränderlichen Endliche Untergruppen der multiplikativen Gruppe eines Körpers Einbettung einer Halbgruppe in eine Gruppe Quotientenkörper Beispiele Ideale und Restklassenringe Definition von Idealen Ideale und Einheiten Restklassenringe Isomorphiesätze Beispiele Hauptidealringe und noethersche Ringe Euklidische Ringe Beispiele Der Hilbertsche Basissatz Operationen mit Idealen Der Chinesische Restsatz Beispiele Primideale und maximale Ideale Beispiele Existenz maximaler Ideale und das Lemma von ZORN Teilbarkeit in Integritätsringen Teiler und assoziierte Elemente Irreduzible Elemente und Primelemente Teilerketten Primzahlen Faktorielle Ringe Gemeinsame Teiler und Vielfache Polynomringe über faktoriellen Ringen Irreduzibilitätskriterien für Polynome Beispiele Ringe holomorpher Funktionen Quadratische Zahlkörper und Zahlringe Quadratische Zahlkörper Quadratische Zahlringe Einheiten in quadratischen Zahlringen Euklidische quadratische Zahlringe...276

4 XII Inhalt Faktorzerlegung in quadratischen Zahlringen Ideale als ideale Zahlen Körpererweiterungen Grundbegriffe Charakteristik und Primkörper Grad einer Körpererweiterung Adjunktion von Elementen Algebraische und transzendente Elemente Das Minimalpolynom Beispiele Algebraische Körpererweiterungen Algebraisch abgeschlossene Körper Konstruktion von Körpererweiterungen Symbolische Adjunktion von Nullstellen Existenz und Fortsetzung von Körperisomorphismen Zerfällungskörper eines Polynoms Beispiele Der algebraische Abschluss Einfache und mehrfache Nullstellen Vielfachheit von Nullstellen und formale Ableitung Separabilität Der Frobenius-Homomorphismus Endliche Körper Beispiele Algebraischer Abschluss eines endlichen Körpers Der Satz vom primitiven Element Beispiele Resultanten Diskriminanten Beispiele Galois-Theorie Symmetrische Polynome Die Galoisgruppe Fixkörper Galois-Erweiterungen Der Hauptsatz der Galois-Theorie Beispiele Der Fundamentalsatz der Algebra Diskriminante und Galois-Gruppe Galois-Theorie endlicher Körper Lösung von Polynomgleichungen Quadratische Gleichungen Kubische Gleichungen Beispiele...395

5 Inhalt XIII Gleichungen vierten Grades Beispiele Kreisteilung in Charakteristik Null Kreisteilung in Charakteristik p > Reine Polynome Zyklische Erweiterungen Lösbarkeit von Polynomgleichungen Die allgemeine Polynomgleichung Gleichungen fünften Grades und das Ikosaeder Darstellung von Einheitswurzeln Beispiele Das Umkehrproblem der Galois-Theorie Geometrische Konstruktionen Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Der Körper der konstruierbaren Punkte Struktur des Körpers der konstruierbaren Punkte Unlösbarkeit klassischer Konstruktionsaufgaben Konstruktion von regelmäßigen n-ecken Andere Regeln für Konstruktionsverfahren Anhang 1 Platonische Körper 453 Anhang 2 Begriffe und Axiome 459 Literaturverzeichnis 481 Index 487 Symbolverzeichnis 493

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