9. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen

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1 9. Übugsblatt Aufgabe mit Lösuge Aufgabe 1: Gegebe sei die folgede Differetialgleichug 15u(x) + 3xu (x) + x u (x) = 8x 3, x > 0. (a) Gebe Sie ei reelles Fudametalsystem der zugehörige homogee Differetialgleichug a. (b) Bereche Sie eie partikuläre Lösug durch Variatio der Kostate ud gebe Sie die allgemeie Lösug der ihomogee Differetialgleichug a. Lösug 1: (a) Der Asatz ist u(x) = x λ. Das charakteristische Polyom dieser Eulersche Differetialgleichug ist p(λ) = λ + λ(λ 1) = 15 + λ + λ = (λ + 1) 16 = (λ 3)(λ + 5) mit de beide eifache Nullstelle λ 1 = 3 ud λ = 5. Damit erhalte wir das reelle Fudametalystem {x 3, x 5 }. (b) De Asatz für die partikuläre Lösug erhalte wir durch Variatio der Kostate aus der allgemeie Lösug der homogee Gleichug u h (x) = c 1 x 3 + c x 5 : Durch Ableite erhalte wir u p (x) = c 1 (x)x 3 + c (x)x 5 u p(x) = c 1(x)x 3 + c (x)x 5 +3c 1 (x)x 5c (x)x 6, =0 1. Bedigug u p(x) = 3c 1(x)x 5c (x)x 6 + 6c 1 (x)x + 30c (x)x 7. Die zweite Bedigug erhalte wir durch Eisetze der partikuläre Lösug i die Differetialgleichug 8x 3 = 15u p (x) + 3xu p(x) + x u () (x) = 15c 1 (x)x 3 15c (x)x 5 + 9x 3 c 1 (x) 15x 5 c (x) + 3c 1(x)x 5c (x)x + 6x 3 c 1 (x) + 30x 5 c (x) = 3c 1(x)x 5c (x)x. Damit ergibt sich folgedes System für c 1(x) ud c (x) c 1(x)x 3 + c (x)x 5 = 0 3c 1(x)x 5c (x)x = 8x 3. Eisetze der erste Bedigug i die Zweite liefert c (x) = x ud damit c (x) = x / + E. Das ergibt c 1(x) = x 7 ud damit c 1 (x) = x 6 /6 + F. Setze der Kostate E ud F gleich 0 liefert eie partikuläre Lösug ud wir erhalte für die allgemeie Lösug: u p (x) = 1 6 x 6 x 3 1 x x 5 = 1 6 (x 3 + 3x 3 ) = 3 x 3 u(x) = u h (x) + u p (x) = c 1 x 3 + c x 5 3 x 3. p Aufgabe : Gegebe sei die Differetialgleichug x y (x) xy (x) + y(x) = x 3 l x, x > 0. Die zugehörige homogee Differetialgleichug besitzt eie Lösug der Form y(x) = Ax + B. (a) Bestimme Sie die allgemeie Lösug des homogee Problems durch Reduktio der Ordug. (b) Bestimme Sie eie partikuläre Lösug des ihomogee Problems mittels Variatio der Kostate. (c) Löse Sie das Afagswertproblem der ihomogee Differetialgleichug mit y(1) = y (1) = 1.

2 Lösug : (a) Eie homogee Euler-Differetialgleichug löst ma ormalerweise mit dem Asatz y(x) = x λ. Ist jedoch scho eie Lösug gegebe, so ka ma die zweite Lösug durch die Reduktio bestimme. Aus dem Asatz der Aufgabestellug erhält ma y 1 (x) = x als homogee Lösug; Wir wähle de Reduktiosasatz: y(x) = xu(x), damit y (x) = u(x) + xu (x) ud y (x) = u (x) + xu (x). I der DGL eigesetzt habe wir die reduzierte Differetialgleichug: u (x) = 0 Somit ist u(x) = cx + d, c, d beliebig. Deswege lautet y(x) = xu(x) = cx + dx, also ist y (x) = x weitere homogee Lösug. A der Wroskidetermiate W (x) = x x 1 x = x 0 sehe wir, dass wir hier tatsächlich ei Fudametalsystem habe. (b) Wir verwede das Prizip der Variatio der Kostate mit dem Asatz Dies führt auf das lieare Gleichugssystem y p (x) = c 1 (x)x + c (x)x. c 1(x)x + c (x)x = 0 c 1(x) + c (x)x = x l x mit der Lösug c 1(x) = x l x ud c (x) = l x. Wir erhalte durch Itegratio z.b. c 1 (x) == x (1 l x) ud c (x) = x l x x. Damit ist y p (x) = x3 l x 3 x3 eie partikuläre Lösug. (c) Setze wir die Afagsbedigug i die allgemeie Lösug y(x) = C 1 x + C x + x3 l x 3 x3 ei, so erhalte wir die eideutige Lösug y(x) = x3 ( l x 3) + 3 x + x. Aufgabe 3: Gegebe sei die folgede Differetialgleichug (a) Gebe Sie ei reelles Fudametalsystem a. u(x) xu (x) + x 3 u (x) = 9, x > 0. (b) Bereche Sie eie partikuläre Lösug durch Variatio der Kostate. (c) Löse Sie das Afagswertproblem mit u(1) = 13, u (1) = 7 ud u (1) = 50. Lösug 3: (a) Mit dem Asatz u(x) = x λ lautet das charakteristische Polyom der homogee Differetialgleichug p(λ) = λ + λ(λ 1)(λ ) = λ 3 3λ + = (λ ) (λ + 1) mit de Nullstelle λ 1 = ud λ = 1 ud zugehörige Vielfachheite k 1 = ud k = 1. Damit erhalte wir das Fudametalsystem {x, l(x) x, x 1 }. (b) Die Lösug des homogee Problems lautet für c 1, c, c 3 R u h (x) = c 1 x + c l(x) x + c 3 x 1. Damit erhalte wir durch Variatio der Kostate de folgede Asatz für eie partikuläre Lösug u p (x) = c 1 (x)x + c (x) l(x) x + c 3 (x)x 1 mit de gesuchte Fuktioe c 1 (x), c (x) ud c 3 (x). Eie Bedigug für diese Fuktioe liefert die Tatsache, dass u p (x) eie Lösug der Differetialgleichug sei muss. Die fehlede zwei Bediguge erhalte wir durch Ableite der partikuläre Lösug u p(x) = c 1(x)x + c (x) l(x) x + c 3(x)x 1 +c 1 (x)x + c (x)(x + l(x) x) c 3 (x)x, =0. Bedigug u p(x) = c 1(x)x + c (x)(x + l(x) x) c 3(x)x +c 1 (x) + c (x)(3 + l x) + c 3 (x)x 3, =0 3. Bedigug u p (x) = c 1(x) + c (x)(3 + l x) + c 3(x)x 3 + c (x)x 1 6c 3 (x)x.

3 Damit ergibt sich die erste Bedigug zu 9 = u p (x) xu p(x) + x 3 u p (x) = c 1 (x)x + c (x) l(x) x + c 3 (x)x 1 c 1 (x)x c (x)(x + l(x) x ) + c 3 (x)x 1 + c 1(x)x 3 + c (x)(3 + l x)x 3 + c 3(x) + c (x)x 6c 3 (x)x 1 = c 1(x)x 3 + c (x)(3 + l x)x 3 + c 3(x). Nach Divisio der zweite Bedigug durch x (erlaubt, da x > 0), der dritte Bedigug durch x ud der erste Bedigug durch x 3 erhalte wir ei lieares Gleichugssystem i Abhägigkeit vo x ud de Ubekate c 1(x), c (x) ud c 3(x): 3 + l x x 3 9x 3 1 l x x l x x x 3 1 l x x x x x 3 3x 3 l x 0 0 3x 3 3x x x 3 l x x Damit folgt c 1(x) = 3x 3 l x x 3, c (x) = 3x 3, c 3(x) = 1 c 1 (x) = 3 x l(x) + 3 x + 1 x = 3 x l(x) + 5 x, c (x) = 3 x, c 3 (x) = x ud wir erhalte u p (x) = c 1 (x)x + c (x) l(x) x + c 3 (x)x 1 = 3 l(x) l(x) + 1 = 9. (c)die allgemeie Lösug ud ihre Ableituge bis zur zweite Ordug laute u(x) = u h (x) + u p (x) = c 1 x + c l(x) x + c 3 x 1 + 9, u (x) = c 1 x + c (x + l(x) x) c 3 x, u (x) = c 1 + c (3 + l x) + c 3 x 3. Damit ergebe sich folgede drei Gleichuge aus de Afagsbediguge: Damit erhalte wir folgedes Gleichugssystem mit der Lösug c 1 = 17 1, c = 7 ud c 3 = 5 1 u(1) = c 1 + c = 13, u (1) = c 1 + c c 3 = 7, u (1) = c 1 + 3c + c 3 = ud damit die Lösug des Afagswertproblems u(x) = 17 1 x + 7 l(x) x 5 1 x Aufgabe : Wir löse die Legedre sche Differetialgleichug (1 x )f (x) xf (x) + f(x) = 0, N. mit eiem Potezreiheasatz f(x) = a k x k.

4 (a) Bestimme Sie die Lösug für = ud die Afagswerte f(0) = 1 ud f (0) = 0. (b) Zeige Sie: Für gerade ud die Afagswerte f(0) = 1 ud f (0) = 0 gilt a i = 0 für alle k >. Ma erhält also ei Polyom -te Grades als Lösug (ei sogeates Legedre-Polyom). (c) Welche Afagswerte muss ma für ugerade wähle, damit die Potezreihe abbricht? Lösug : Wir setze de Asatz i die DGL ei ud erhalte j=k (1 x )k(k 1)a k x k x ka k x k 1 + a k x k = 0 k=1 k(k 1)a k x k k(k 1)a k x k ka k x k + a k x k = 0 j=0 k=1 (j + )(j + 1)a j+ x j ( ) = (k(k 1) + k ak x k + a 1 x a 1 x a 0 Koeffizietevergleich ergibt a = (+1) a 0 ud a 3 = (+1) 6 a 1 sowie a k+ = k(k 1) + k a k = (k + )(k + 1) k(k + 1) a k für k (k + )(k + 1) (a) Für = ist = 6. Mit f(0) = a 0 = 1 ud f (0) = a 1 = 0 erhalte wir also a = 6 a 0 = 3, a 3 = 6 a 1 = 0, a = 0 3 a = 0. Ma sieht u mit vollstädiger Iduktio, dass für k 3 immer a k = 0 gilt (Iduktiosafag: gilt für k = 3 ud k = ; Iduktiosschritt: we die Behauptug für k gilt, da auch für k laut Rekursiosvorschrift). Die Lösug ist damit f(x) = 1 3x. (b) Für f (0) = a 1 = 0 gilt a k = 0 für alle ugerade k 1 (Iduktio mit Rekursiosvorschrift wie i (a)). Für k = erhalte wir a + = 0 (+)(+1) a k = 0. Damit erhalte wir a k = 0 auch für alle gerade k + (wieder mit Iduktio über die Rekursiosvorschrift). (c) Ist ugerade, so erhält ma a + = 0 wie i (b), also a k = 0 für alle ugerade k +. Damit ma auch a k = 0 für die gerade k bekommt, braucht ma a 0 = 0. Also muss ma als Afagswert f(0) = 0 wähle, damit die Potezreihe abbricht. Der Afagswert f (0) ka beliebig gewählt werde. Aufgabe 5: Bestimme Sie die Lösug des Afagswertproblems x(x 1)u (x) (x 1)u (x) + u(x) = (x 1) 1 x, u(1) = 0, u (1) = 0 mit eiem Potezreiheasatz um de Etwicklugspukt x 0 = 1. Zeige Sie, dass für die Koeffiziete der Potezreihe a = ( 1) für gilt, ud bestimme Sie de Kovergezradius der Potezreihe. Hiweis: Eie passede Potezreiheetwicklug der ihomogee rechte Seite lässt sich mit eier Darstellug vo 1 x als geometrische Reihe agebe. Lösug 5: Zuächst bestimme wir eie Etwicklug der rechte Seite um x 0 = 1 mit Hilfe der geometrische Reihe, x 1 1 = (x 1) x 1 + (x 1) = (x 1) ( (x 1)) = ( 1) (x 1). Eisetze des Potezreiheasatzes u(x) = a (x 1) i die Differetialgleichug führt auf x(x 1) ( 1)a (x 1) (x 1) a (x 1) + a (x 1) = ( 1) (x 1) bzw. (1 + x 1) ( 1)a (x 1) a (x 1) + a (x 1) = ( 1) (x 1).

5 Eie Idexverschiebug liefert ( 1)a (x 1) + ( + 1)a +1 (x 1) a (x 1) + a (x 1) = ( 1) (x 1). Fasse wir die Terme zusamme, so ergibt sich [ a 0 + a (x 1) + ( + 1)a+1 + ( 1) ] a (x 1) = ( 1) (x 1) ud ei Koeffizietevergleich führt auf die Rekursiosgleichuge a 0 = 0, a =, a +1 = ( 1) ( 1) a zusamme mit de beide Bediguge a 0 = 0 ud a 1 = 0, die sich aus de Afagsbediguge ergebe. Wir zeige iduktiv, dass a = ( 1) für gilt. Der Iduktiosafag a = 1 lässt sich direkt ablese. Nehme wir u a, dass für ei N die Idetität a = ( 1) gilt, da folgt mit der Rekursiosformel a +1 = ( 1) ( 1) ( 1) = ( 1) ( + ( 1)) = ( 1) = ( 1)+1 Damit ist die Iduktio abgeschlosse. Mit dem Quotietekriterium erhalte wir aus a +1 a = 1 x 1 x 1 für de Kovergezradius r = 1 dieser Potezreihe. Übriges mit der bekate Potezreihe zum Logarithmus ist ersichtlich, dass u(x) = (x 1) l x die Lösug des Afagswertproblems ist.