Komplexe Wechselstromlehre

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1 Komplexe Wechselstromlehre

2 Inhaltsverzeichnis KOMPLEXE WECHSELSTROMLEHRE... SKRIPT.... AUFBAU UND FUNKTIONSWEISE DES OSZILLOSKOPS.... WICHTIGE REGELN FÜR KOMPLEXE ZAHLEN...4. Geometrische Veranschaulichung...4. Darstellungen komplexer Zahlen Komplexe Konjugation Rechnen mit komplexen Zahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division KOMPLEXE DARSTELLUNG ELEKTRISCHER GRÖßEN Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme Zeigerdarstellung Ohmsches Gesetz Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis Serien- und Parallelschaltung komplexer Widerstände Kirchhoffsche Regeln Ersatzwiderstände Darstellung in Zeigerdiagrammen Berechnung der Leistung im Wechselstromkreis Anwendung auf einfache Schaltungen Tiefpaß Verfahren zur Impedanzmessung Reihenschwingkreis...7 VERSUCHSANLEITUNG DARSTELLUNG EINER WECHSELSPANNUNG MIT HILFE DES OSZILLOSKOPS.... PHASENVERSCHIEBUNG IMPEDANZMESSUNG FILTERSCHALTUNGEN REIHENSCHWINGKREIS...4 LITERATURVERZEICHNIS... 5

3 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) Skript. Aufbau und Funktionsweise des Oszilloskops Schnell ablaufende elektrische Vorgänge, z.b. zeitlich veränderliche Spannungen, kann man mit einem Elektronenstrahl-Oszilloskop graphisch darstellen. Abb. : Funktionsprinzip eines Kathodenstrahloszilloskops Als Meßsystem dient eine Elektronenstrahlröhre (Braunsche Röhre, Abb. ). Im Inneren des evakuierten Glaskolbens emittiert eine geheizte Kathode (a,b) Elektronen, die durch die zylinderförmige Anode (e) beschleunigt werden. Diese liegt gegenüber der Kathode auf positivem Potential. Ihre kleine Öffnung wirkt als Lochblende. Der Elektronenstrahl (f) erzeugt auf dem fluoreszierenden Schirm (g) einen Leuchtfleck (h). Die Helligkeit dieses Flecks hängt von der Geschwindigkeit und der Dichte der auftreffenden Elektronen ab. Man kann sie durch eine Steuerelektrode, den sog. Wehneltzylinder (c), beeinflussen. Gegenüber der Kathode hat die Steuerelektrode negatives veränderliches Potential. Es gelangen deshalb nur Elektronen zur Anode, die eine ausreichend hohe Energie haben, um diese Potentialdifferenz zu überwinden. Je größer die Potentialdifferenz ist, desto weniger Elektronen erreichen den Leuchtschirm, und desto geringer ist die Helligkeit. Im Elektronenstrahl stoßen sich die negativ geladenen Elektronen gegenseitig ab. Mit Hilfe der Elektronenoptik aus Anode (e) und Hilfsanode (d) ist es möglich, den Elektronenstrahl mehr oder weniger stark zu bündeln. Dies verändert den Durchmesser des Leuchtflecks (Punktschärfe) und dient zur Fokussierung. Durch elektrische Felder zwischen den Ablenkplatten (Abb. ) kann der Elektronenstrahl in horizontaler (x) und vertikaler Richtung (y) abgelenkt werden. Ohne Spannung sieht [3] S. 83

4 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) man in der Mitte des Schirms einen Leuchtpunkt. Legt man eine Gleichspannung an die y- Ablenkplatten an, so wird der Leuchtpunkt, je nach Polung der Spannung, nach oben oder unten verschoben. Die Auslenkung ist proportional zur angelegten Spannung. Beim Anlegen einer Wechselspannung bewegt sich der Leuchtpunkt im Takt der Wechselspannung. Entsprechendes gilt für die horizontalen Platten. Abb. : Funktionsweise der y-ablenkplatten Um den Leuchtpunkt von links nach rechts über den Bildschirm zu führen (Abb. 3), verwendet man eine veränderliche Spannung, die mit der Zeit linear ansteigt. Damit der Punkt dann wieder an das linke Ende des Schirms springt, muß die Spannung schnell wieder abfallen. Bei dieser Rückführung wird der Elektronenstrahl verdunkelt. Eine hier beschriebene Spannung nennt man Sägezahnspannung. Legt man an die vertikalen Platten eine sinusförmige Wechselspannung und an die horizontalen Platten eine Sägezahnspannung an, so erscheint am Bildschirm eine Sinuskurve. Abb. 3: horizontale Ablenkplatten mit Sägezahnspannung 3 Stimmen die Frequenzen der beiden Spannungen überein, so steht das Bild still. Die Aufgabe, die Frequenz der Sägezahnspannung an die des Signals anzupassen, übernimmt die sog. Triggerung. Über- oder unterschreitet das Eingangssignal eine bestimmte Schwelle, wird die Erzeugung der Sägezahnspannung gestartet. Dabei kann man über einen Schalter festlegen, ob der Triggerimpuls bei einer positiven (+) oder negativen (-) Flanke des Signals, also bei ansteigender oder abfallender Spannung, ausgelöst werden soll. Bis zum nächsten auslösenden Signal bleibt der Strahl in der Ausgangslage. Haben die Signale die gleiche [3] S [3] S. 84

5 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 3 Form, so erreicht man für periodische oder statistische Signale ein stehendes Bild. Dies bezeichnet man als interne Triggerung. Stellt man Signale dar, die z.b. von einem Sinusgenerator erzeugt werden, ist es möglich, dem Oszilloskop von außen über den Eingang EXT den Triggerimpuls zuzuführen. Im Versuch wird ein Zweikanaloszilloskop verwendet. Das bedeutet, man kann zwei Signale gleichzeitig darstellen. Dabei unterscheidet man zwei Betriebsarten. Entweder werden die Spannungsverläufe nacheinander geschrieben (ALT = Alternation mode), was bei schnellen Signalen sinnvoll ist, oder es wird schnell zwischen den beiden Eingängen hin- und hergeschaltet, so daß von jeder Kurve immer ein kleines Stück gezeichnet wird (CHOP = Chopping mode), und langsame Signale gleichzeitig dargestellt werden können. Außerdem ist es mit einem Zweikanaloszilloskop möglich, das Signal des einen Kanals als Funktion des anderen darzustellen (x-y-betrieb), z.b. zur Aufnahme von Kennlinien, bei denen der Strom über der Spannung aufgetragen wird. Dabei wird die Sägezahnspannung nicht verwendet. Bei jedem Kanal läßt sich durch einen Drehschalter festlegen, wie groß die dargestellte Spannung in Volt pro Skalenteilung (V/DIV) sein soll. Genauso läßt sich bei Verwendung der Sägezahnspannung einstellen, in welcher Zeit der Leuchtpunkt eine Skalenteilung (TIME/DIV) überstreicht. Ein Eingang jedes Kanals des Zweikanaloszilloskops ist geerdet. Dies ist bei der Verwendung von geerdeten Spannungsquellen oder Messungen, bei denen beide Kanäle verwendet werden sollen, zu beachten. Das Oszilloskop ist geeignet, zeitabhängige Spannungsverläufe darzustellen. Auch der zeitliche Verlauf von Strömen läßt sich sichtbar machen, indem man sie durch einen bekannten ohmschen Widerstand fließen läßt und dann die darüber abfallende Spannung ( U = R I) mit dem Oszilloskop registriert. Zusammenfassung! Ein Elektronenstrahl-Oszilloskop eignet sich zur Darstellung zeitlich veränderlicher Spannungen. Im Oszilloskop wird ein Elektronenstrahl durch elektrische Felder in horizontaler und vertikaler Richtung abgelenkt und trifft dann auf einen Leuchtschirm.! Eine Sägezahnspannung bewegt den Leuchtpunkt in horizontaler Richtung über den Bildschirm. Die Triggerung paßt die Frequenz der Sägezahnspannung an die des Signals an, so daß ein stehendes Bild entsteht.! Ein Zweikanaloszilloskop kann zwei Signale gleichzeitig zeitaufgelöst anzeigen oder im x-y-modus die Spannung an einem Kanal als Funktion der Spannung am anderen Kanal darstellen.

6 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 4. Wichtige Regeln für komplexe Zahlen In der Wechselstromlehre ist es sehr vorteilhaft mit komplexen Größen, d.h., mit Größen die durch komplexe Zahlen beschrieben werden, zu rechnen. Im folgenden werden kurz die wichtigsten Definitionen und Rechenregeln für komplexe Zahlen zusammengestellt und dann die physikalische Anwendung bei der Berechnung von Strömen, Spannungen etc. dargestellt.. Geometrische Veranschaulichung Komplexe Zahlen kann man in der Gaußschen Zahlenebene (Abb. 4) graphisch darstellen. Die Abszissenachse des Koordinatensystems bezeichnet man als reelle Achse. Auf ihr liegen die reellen Zahlen. Die Ordinatenachse nennt man imaginäre Achse. Abb. 4: Gaußsche Zahlenebene 4 Als imaginäre Einheit wird eine Zahl j eingeführt, deren Quadrat gleich ist, also j: =. In der Mathematik wird meist an Stelle von j mit i gearbeitet. In der Wechselstromlehre bezeichnet man aber die komplexe Stromstärke mit i und muß deshalb die imaginäre Einheitsgröße mit einem anderen Buchstaben benennen. In der Gaußschen Zahlenebene ist jeder Punkt durch einen Zeiger, der mit der reellen Achse den Winkel ϕ einschließt, eindeutig bestimmt. D.h., jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Zeiger, der vom Ursprung zum betreffenden Punkt führt. Um komplexe und reelle Größen voneinander unterscheiden zu können, ist es üblich, die komplexen zu unterstreichen.. Darstellungen komplexer Zahlen Es existieren verschiedene Darstellungen von komplexen Zahlen. Jede komplexe Zahl z läßt sich beschreiben durch z = a + jb mit a, b!. Dabei wird a Realteil ( Re(z)) und 4 [0] S.3

7 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 5 b Imaginärteil ( Im(z)) von z genannt. Für b = 0 erhält man also die reellen Zahlen als Spezialfall der komplexen Zahlen. Eine Zahl z = a + jb (algebraische Form) ist ein Punkt mit Abszisse a und Ordinate b (Abb. 4). Verwendet man an Stelle der kartesischen Koordinaten Polarkoordinaten, so kann man die Zahl durch einen Zeiger, der die Länge z hat und mit der Abszissenachse den Winkel ϕ einschließt, beschreiben. Es gilt also z = z (cos ϕ + jsin ϕ ) (trigonometrische Form). Dabei heißt z = z = a + b der Betrag und b ϕ = arctan das Argument der a komplexen Zahl z. Mit der Eulerschen Formel e jϕ = cosϕ + jsinϕ kann man auch z j = z e ϕ (Exponentialform) schreiben. Zwei komplexe Zahlen sind definitionsgemäß gleich, wenn jeweils ihre Real- und ihre Imaginärteile übereinstimmen. Ansonsten sind sie ungleich. Die Begriffe größer oder kleiner sind für diese Zahlen genau wie für Vektoren nicht sinnvoll und deshalb auch nicht definiert..3 Komplexe Konjugation Ändert man das Vorzeichen des Imaginärteils (Abb. 5), so erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl * j z = a jb = ze ϕ. Diese entsteht durch Spiegelung der ursprünglichen Zahl an der reellen Achse. Zweimalige Konjugation ergibt wieder die ursprüngliche Zahl * ( z ) * = z. Abb. 5: Konjugation komplexer Zahlen 5 Das Produkt aus der ursprünglichen und der konjugierten Zahl liefert das Quadrat des Betrags der komplexen Zahl: * z z = (a + jb)(a jb) = a + b = z.4 Rechnen mit komplexen Zahlen Die Menge der komplexen Zahlen bildet mit den im folgenden definierten Operationen einen Körper, den man mit " bezeichnet. 5 [0] S. 33

8 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 6.4. Addition und Subtraktion Da sich die komplexen Zahlen wie Vektoren in zwei Dimensionen verhalten, wird die Addition und Subtraktion wie bei Vektoren durchgeführt (Abb. 6). D.h., es werden die Real- und Imaginärteile getrennt verrechnet: z + z = ( a + jb ) + ( a + jb ) = ( a + a ) + j( b + b ) z z = ( a + jb ) ( a + jb ) = ( a a ) + j( b b ) Abb. 6: Addition komplexer Zahlen 6.4. Multiplikation und Division Die Multiplikation (Abb. 7) ist definiert durch: z z = ( a + jb ) ( a + jb ) bzw. = ( aa bb ) j( ab + ba ) jϕ jϕ j( ϕ +ϕ) = = z z ze ze zze Abb. 7: Multiplikation komplexer Zahlen 7 Aus dieser Gleichung geht hervor, daß die Multiplikation eine Drehstreckung ist. Bei der Multiplikation von z und z wird der Zeiger z mit dem Faktor z = z gestreckt und in mathematisch positiver Drehrichtung (gegen den Uhrzeigersinn) um den Winkel ϕ gedreht. Die Division ist die zur Multiplikation inverse Operation. In der algebraischen Darstellung erhält man: z a + jb ( a + jb ) ( a jb ) a a + b b a b a b = = = + j z a + jb ( a + jb ) ( a jb ) a + b a + b Es bietet sich wieder die exponentielle Darstellung an: 6 [0] S [0] S. 33

9 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 7 z ze z z jϕ j( ϕ ϕ = ) jϕ = e ze z Hier wird der Zeiger z im Uhrzeigersinn um den Winkel ϕ gedreht und die Länge des Zeigers mit dem Faktor z verkürzt. Zusammenfassung! Jeder komplexen Zahl entspricht genau ein Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene.! Komplexe Zahlen kann man in verschiedenen Formen schreiben: z = a + jb = z ( cosϕ + jsinϕ ) = z e ϕ Dabei nennt man a den Realteil, b den Imaginärteil, z = z den Betrag und ϕ das Argument der komplexen Zahl z. j! * j z = a jb = ze ϕ heißt das komplex Konjugierte der Zahl j z = a + jb = z e ϕ. Es gilt: * zz = z! Für die vier Grundrechenarten gilt ( z = a + jb = z e ϕ, z = a + jb = z e ϕ ): # z + z = ( a + a ) + j( b + b ) # z z = ( a a ) + j( b b ) j j # # j( ) = z z z z e ϕ +ϕ z z z = e z j( ϕ ϕ )

10 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 8 3. Komplexe Darstellung elektrischer Größen 3. Zeitfunktion harmonischer Wechselspannungen und Wechselströme Nun beschäftigen wir uns mit zeitabhängigen Spannungen und Strömen. Ändert sich nicht nur der Betrag, sondern auch die Richtung der entsprechenden Größen, so spricht man von Wechselspannungen oder Wechselströmen. Wir beschränken uns dabei auf den quasistationären Zustand, d.h. Einschwingvorgänge, die z.b. beim Einschalten von Spannungsquellen entstehen, sollen bereits abgeklungen sein und werden nicht behandelt. Abb. 8: harmonische Wechselspannung 8 Die Spannungen sollen außerdem harmonisch sein, also durch eine Sinus- oder Kosinusfunktion (Abb. 8) beschrieben werden: U( t) = Uˆ cos( ω t + ϕ ), I( t) = ˆI cos( ω t + ϕ ) Die Phasenwinkel u ϕ u und i ϕ i kennzeichnen den Zeitpunkt des Nulldurchgangs von Spannung und Strom. Häufig wählt man den Ursprung des Koordinatensystems so, daß einer der Phasenwinkel verschwindet, z.b. ϕ u = 0. Definiert man ϕ = ϕu ϕ i, dann kann man auch U( t) = Uˆ cos ω t, I ( t) = ˆI cos( ωt ϕ ) schreiben. Ist ϕ > 0, so sagt man, daß der Strom der Spannung nachläuft. Im anderen Fall eilt der Strom der Spannung voraus. 3. Zeigerdarstellung Läßt man auf dem Einheitskreis einen Zeiger mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotieren und projiziert ihn auf die x-achse, so erhält man den zeitlichen Verlauf einer Kosinusfunktion (Abb. 9). Umgekehrt kann man aber auch harmonische Wechselspannungen oder ströme durch rotierende Zeiger darstellen. Der Momentanwert der Spannung entspricht der Projektion auf die x-achse. Die Phasenverschiebung von Strom und Spannung wird durch einen 8 [4] S. 0

11 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 9 konstanten Winkel zwischen dem Strom- und dem Spannungszeiger repräsentiert. Nun deutet man die Ebene als Gaußsche Zahlenebene. Dabei soll die x-achse der reellen Achse entsprechen. Die Zeiger werden dann formal beschrieben durch: ˆ j( ω t+ϕu ) u = U e = Uˆ[ cos( ω t+ ϕ ) + jsin( ω t+ ϕ )] ˆ j( ω t+ϕ i = I e i ) = ˆI[ cos( ω t+ ϕ ) + jsin( ω t+ ϕ )] i u i u Der Momentanwert der Wechselgröße entspricht dem Realteil der komplexen Größe, z.b. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ j ω t+ϕu U t = Re u = Re Ue = Ucos ˆ ω t+ ϕ u. Abb. 9: Zeigerdarstellung harmonischer Größen Ohmsches Gesetz Bildet man den Quotienten aus Spannung und Strom, so erhält man eine konstante Größe, den komplexen Widerstand (Impedanz) Z. Dies nennt man das Ohmsche Gesetz des Wechselstromkreises: ˆ j( ω t+ϕu ) ˆ ˆ j( ϕu ϕi ) jϕ jϕ j( ω t+ϕi ) ˆ ˆ u Ue U U Z = = = e = e = Ze = R + jx i ˆIe I I 9 [4] S.

12 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 0 Dabei heißt R der Wirkwiderstand, X der Blindwiderstand und Z der Scheinwiderstand. Auch bei anderen komplexen Größen wird diese Nomenklatur beibehalten. Mit der Vorsilbe Wirk wird immer der Realteil, mit Blind der Imaginärteil und mit Schein der Betrag der Größe bezeichnet (Abb. 0). Das Inverse der Impedanz Y = nennt man den komplexen Leitwert. Abb. 0: Bezeichnungen Z Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis Nun wird diese Beschreibung auf Widerstände, Kondensatoren und Spulen angewandt. Am ohmschen Widerstand R sind Strom und Spannung bekanntlich in Phase. Deshalb ist Uˆ ˆ j0 U ZR = e = = R. ˆI ˆI Für den Spannungsabfall an einer Induktivität L (Spule) gilt diese Gleichung einen harmonischen Wechselstrom ein: U di = L. Nun setzt man in dt di d ˆ j( ω t+ϕ ) ˆ j( ω t+ϕ = = = ω ) = ω u L = = ω dt dt i u L L Ie i LIj e i j Li Z j L Folglich kann die Induktivität mit ZL = ω L und einem Phasenwinkel von π π j π π ϕ L = ϕu ϕ i = beschrieben werden, denn e = cos + jsin = j. Q Q An einer Kapazität C (Kondensator) gilt C = U = = Idt U C C. Nun werden Spannung und Strom in komplexer Form eingesetzt: ˆ j( ω t+ϕ ) ˆ j( ω t+ϕ = ) j C C = C = = = = jωc jωc jωc ωc u idt Ie i dt Ie i i Z Deshalb ist Z C π = und ϕ ω u i C C = ϕ ϕ =, denn π j π π e = cos jsin = j. 0 [] S. 30

13 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 3.5 Serien- und Parallelschaltung komplexer Widerstände Enthält eine Schaltung Induktivitäten und Kapazitäten und geht man bei der Berechnung der di Spannung von den Gleichungen U = L bzw. U = Idt dt C aus, so ergeben sich Differentialgleichungen. Beschreibt man die Bauteile aber durch komplexe Widerstände, was für harmonische Spannungen und Ströme erlaubt ist, dann erhält man komplexe algebraische Gleichungen. In der komplexen Darstellung lassen sich die für Gleichstromkreise aufgestellten Gesetze auf Wechselstromkreise anwenden Kirchhoffsche Regeln Die Kirchhoffschen Gesetze übertragen sich auf komplexe Ströme und Spannungen.! Knotenregel: Die Summe aller zu- und abfließenden komplexen Ströme in einem Leistungsknoten ist Null.! Maschenregel: Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer Leistungsmasche ist Null. Dabei bedeutet die Aussage die Summe ist Null, daß die Zeiger der entsprechenden komplexen Größe eine geschlossene Kette in der komplexen Ebene bilden Ersatzwiderstände Man kann auch die Ersatzwiderstände für Serien- und Parallelschaltung nach den bekannten Rechenregeln bestimmen: Bei der Serienschaltung werden alle Schaltungselemente vom gleichen Strom durchflossen und der komplexe Gesamtwiderstand ist gleich der Summe der komplexen Einzelwiderstände. Bei der Parallelschaltung liegt an allen Schaltungselementen die gleiche Spannung an, und der komplexe Gesamtleitwert ist gleich der Summe der komplexen Einzelleitwerte. Der Vorteil der komplexen Darstellung liegt darin, daß man bei Induktivitäten und Kapazitäten keine Differentialgleichungen lösen muß und bei der Serien- oder Parallelschaltung von Impedanzen formal wie bei ohmschen Widerständen vorgehen kann. 3.6 Darstellung in Zeigerdiagrammen Oft werden komplexe Ströme, Spannungen und Widerstände in einem sog. Zeigerdiagramm dargestellt. Da die Wahl der Nullphase willkürlich ist, wählt man zweckmäßig ϕ i = 0 und damit ϕ = ϕu ϕ = ϕ u, d.h., der Stromzeiger liegt auf der reellen Achse. Mit dem Ohm- i

14 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) u schen Gesetz Z = u = Z i erkennt man, daß dann der Widerstands- und der Spannungszeiger in die gleiche Richtung zeigen, nur die Länge der Zeiger ist verschieden. Man i erhält z.b. für Schaltung das Zeigerdiagramm Abb.. Hier kann man auch die Kirchhoffsche Maschenregel nachprüfen. Die Gesamtspannung u ist gleich der Zeigersumme der Spannungen u R, u L und u C. Schaltung : Reihenschwingkreis Abb. : Zeigerdiagramm zu Schaltung 3.7 Berechnung der Leistung im Wechselstromkreis In Wechselstromkreisen kann man bekanntlich die Momentanleistung P ( t ) mit der Gleichung mom P ( t) = U( t) I( t) = Uˆ cos( ωt) ˆI cos( ω t + ϕ ) = UI ˆˆ cos( ωt) cos( ω t + ϕ ) mom = UI ˆˆ [ cos( ϕ ) + cos( ω t + ϕ )] () berechnen. P ( t ) ist zeitabhängig und zeigt je nach Richtung der Wechselspannung und mom des Wechselstroms positive oder negative Energieflüsse. Man interessiert sich meist für die effektive Leistung P eff, die man erhält, wenn man die Momentanleistung über eine Periode T mittelt: P mom ( ) ( ) ( ) eff = P t dt UI ˆˆ cos UeffIeff cos T = ϕ = ϕ 0 Will man die Leistung aus komplexen Größen berechnen, so kann man die komplexe Spannung u mit dem konjugiert Komplexen i * des komplexen Stroms multiplizieren. Dabei heben sich die Zeitabhängigkeiten von Spannung und Strom gegenseitig weg. Man braucht deshalb keinen zeitlichen Mittelwert zu berechnen: [4] S. 5 [4] S. 5

15 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 3 * ˆ jωt ˆ j( ω t+ϕ) ˆˆ jϕ u i = Ue Ie = UI e = UI ˆˆ( cos ϕ jsin ϕ ) () Vergleicht man den Realteil von () mit P eff, so stellt man eine Übereinstimmung bis auf einen Faktor fest. In diesem Skript wurde die Darstellung der Zeigergrößen in Scheitelwerten gewählt. Deshalb erhält man die effektive Leistung als Realteil der Gleichung * S = u i. Es ist aber auch möglich, eine Zeigerdarstellung in Effektivwerten zu verwenden, d.h. ˆ ˆ jωt U jωt j( ω t+ϕ) I j( ω t+ϕ ) u = Ueff e = e, i = Ieff e = e. Dann kann man mit S = u i * die komplexe Leistung berechnen. Zerlegt man die komplexe Leistung S in Real- und Imaginärteil, so erhält man S = P + jq. Dabei entspricht die Wirkleistung P der oben berechneten effektiven Leistung P eff Imaginärteil der komplexen Leistung bezeichnet man als Blindleistung Q.. Den Der Realteil des Produkts aus der komplexen Spannung und dem komplexen Strom liefert nicht die Momentanleistung, wie ein Vergleich mit Gleichung () zeigt: ( ) { } { } { } ( ) ( ) { } ˆ jωt ˆ j ω t+ϕ ˆˆ j ω t+ϕ Re u i = Re Ue Ie = Re UI e = Re UI ˆˆ [ cos( ω t + ϕ) jsin( ω t + ϕ )] = UI ˆˆ cos ω t + ϕ P ( t) mom Eine Unterscheidung zwischen der Darstellung in Effektiv- oder Scheitelwerten ist nur bei der Berechnung der Leistung relevant, da hier ein Produkt aus zwei komplexen Größen gebildet wird. Beim Berechnen eines komplexen Widerstandes dagegen, tritt stets ein Quotient aus einer komplexer Spannung und einem komplexem Strom auf, so daß sich die Faktoren gegenseitig herausheben. 3.8 Anwendung auf einfache Schaltungen Nun soll das bisher dargestellte Wissen zur Berechnung einfacher Schaltungen, eines sog. Tiefpasses, einer Meßanordnung für Impedanzen und eines Reihenschwingkreises angewendet werden.

16 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) Tiefpaß Wählt man für die Wechselspannung in Schaltung eine große Frequenz, dann wird der Scheinwiderstand Z C = klein. Am ω C Kondensator fällt nur eine geringe Spannung ab und die Ausgangsspannung ist klein. Schaltung : Tiefpaß Ist dagegen die Frequenz klein, so ist der Scheinwiderstand des Kondensators groß und die Ausgangsspannung gleich der Eingangsspannung. Der Tiefpaß läßt bevorzugt tiefe Frequenzen passieren. Derartig Schaltungen dienen als Komponenten von Frequenzfiltern. Es handelt sich um eine Serienschaltung. Deshalb erhält man den Gesamtwiderstand durch Addition der Einzelwiderstände: Z = ZR + ZC = R +. Nach dem Ohmschen Gesetz jω C gilt für den Strom i =. Dieser fließt durch den Kondensator und man kann die Span- Z nung am Kondensator u in u u in out = iz C = i = j ω C Z j ω C berechnen. Man stellt das Verhältnis aus Ausgangs- und Eingangsspannung (Übertragungsfunktion) g( ω ) als Funktion der Frequenz dar: g uout jωrc ω = = = = = uin Z jωc jω RC + + jωrc jωrc R + jωc jωc jωrc = + ( ω RC) ( ) Für den Betrag g( ω ) und das Argument ϕ( ω ) der Übertragungsfunktion gilt: g uout Ûout ω = g ω = = = u ˆ in U ( ω RC) + ( ) ( ) ( ω ) ( ω ) Im g arctan arctan( RC) Re g ( ) ϕ( ω ) = = ω ( ) in Abb. und Abb. 3 zeigen den Verlauf von g( ω ) und ϕ( ω ) für R = 47Ω und C = µ F.

17 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 5 Abb. : Betrag von g( ω ) in Abhängigkeit der Frequenz ω Abb. 3: Argument von g( ω ) in Abhängigkeit der Frequenz ω 3.8. Verfahren zur Impedanzmessung Eine Methode zur Bestimmung von Impedanzen nützt die Darstellung von zwei Spannungsmomentanwerten im x-y-modus des Oszilloskops. Die Serienschaltung (Schaltung 3) aus einer unbekannten Impedanz j Z = Z e ϕ und einem bekannten Widerstand R wird mit einer Wechselspannung versorgt. Diese verursacht einen Strom i = ˆIcosω t. Am Widerstand fällt die Spannung u y = RI ˆ cos ω t ab, die mit dem Strom in Phase ist. Diese wird an die y-ablenkung des Oszilloskops angeschlossen. Die an der Impedanz Z abfallende Spannung u = Z ˆI cos( ω t + ϕ ) dient zur x-ablenkung. Die x ZI ˆ cos( t ) ω + ϕ beiden Spannungen beschreiben durch RI ˆ eine zum Ursprung symmetri- cos( ωt) sche, aber gedrehte Ellipse auf dem Bildschirm des Oszilloskops (Abb. 4). Für ϕ = 0 und ϕ = π entartet diese zu einer Geraden.

18 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 6 Schaltung 3: Impedanzmessung mit dem Oszilloskop Abb. 4: Anzeige des Oszilloskops 3 Durch Ablesen der Spannungen U, U und U 3 kann man Z U ist ω t + ϕ = u x maximal, also U k + π. Dann gilt = Z und ϕ bestimmen. Bei = ZI ˆ. Bei U ist cos( ω t + ϕ ) = 0. Dies bedeutet ω t = k + π ϕ und deshalb: k + k + k + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ω t = cos π ϕ = cos π cos ϕ sin π sin ϕ =± sin ϕ Daraus folgt U =± RIsin ˆ ϕ. Bei U 3 erreicht die y-komponente ihr Maximum. Deshalb gilt: U 3 = RI ˆ. Durch Kombination der drei Spannungen erhält man: U U ϕ =± arcsin =± arcsin RI ˆ U U U Z = Z = = R ˆI U3 3 Das Vorzeichen der Phasenverschiebung bestimmt man aus dem Umlaufsinn der Ellipse ZI ˆ cos( t ) ω + ϕ RI ˆ cos( ωt) 3. Ist ϕ > 0, so erreicht u x den Maximalwert U, bevor u y den Wert U annimmt. Also ist der Umlaufsinn gegen den Uhrzeigersinn. Ist dagegen ϕ < 0, so wird die Ellipse im Uhrzeigersinn durchlaufen. Bei Frequenzen, die größer als 0 Hz sind, ist es unmöglich, den Umlaufsinn zu erkennen. Wenn man jedoch durch schnelles Vergrößern der Wechselspannungsamplitude die Ellipse zu einer Spirale auseinanderzieht, kann man den Umlaufsinn sichtbar machen. 3 [9] S. 33

19 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 7 In Schaltung 3 ist die Erdung durch die Verwendung des Oszilloskops festgelegt. Deshalb muß eine massefreie Spannungsquelle benutzt werden. Außerdem ist der Kanal von u y zu invertieren, da ansonsten das Bild auf dem Kopf steht Reihenschwingkreis Schaltung 4 zeigt einen Reihen- oder Serienschwingkreis. Für den Gesamtwiderstand gilt: Schaltung 4: Reihenschwingkreis Z = ZR + ZC + ZL = R + + jωl jωc ( ) = R + j ωl ω C Die Wechselspannung u sorgt dafür, daß in allen Bauteilen der gleiche Strom i u = fließt. Z Die Spannung u C wird am Kondensator abgegriffen, deshalb gilt: Z u Z u Z i u Z u Z C C C C = C = =. Analog ergibt sich R R Beträge, dann erhält man das Verhältnis g( ω ) der Spannungsamplituden: u u Z =. Bildet man jeweils die Z g g Û ω = = ωc = Û LC ( R C LC) R ( L C ) ω + ω + + ω ω ( ) C C 4 Û ω = = ( ) R R Û R R ( L ) + ω ω C Stellt man diese Verhältnisse für nicht zu große Widerstände graphisch als Funktion der Frequenz ω (R = 47Ω, L = mh, C = 4µ F) dar, so erkennt man, daß die Kurven ein Maximum haben (Abb. 5, Abb. 6). Es tritt Resonanz auf.

20 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 8 Abb. 5: Spannungsverhältnis am Kondensator in Abhängigkeit der Frequenz ω Abb. 6: Spannungsverhältnis am Widerstand in Abhängigkeit der Frequenz ω Nun muß man noch das jeweilige Maximum bestimmen. Dabei genügt es, mit Hilfe der Differentialrechnung das Minimum der Funktion unter dem Wurzelzeichen zu ermitteln. Die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend, d.h., man kann die Extremwerte der Funktion unter dem Wurzelzeichen bestimmen und dann schließen, daß an dieser Stelle auch die Wurzelfunktion ein Extremum hat. Da das Wurzelzeichen im Nenner steht, und der Zähler nicht von ω abhängt, hat der Betrag der Übertragungsfunktion g( ω ) an der Stelle wenn die Wurzelfunktion bei Am Kondensator gilt: ω r ein Minimum hat. d! 4 { ω LC + ω ( R C LC) + } = ω( ω 4LC + R C 4LC) = 0 dω 4LC R C R ω C = = r LC LC L ω r ein Maximum, Die negative Lösung und die Lösung ω = 0 entfallen, da sie physikalisch nicht sinnvoll sind. Die Ableitung hat an der Stelle ω C einen Vorzeichenwechsel von - nach +, d.h., der Nenner r des Spannungsverhältnisses hat dort ein Minimum. Aus diesem Grund liegt bei ω C das Maximum des Spannungsverhältnisses. ω r C heißt Resonanzfrequenz des Schwingkreises. r Betreibt man den Schwingkreis ohne Widerstand, d.h. R = 0, so geht obige Formel für über in die bekannte Thompsongleichung für die Eigenfrequenz des Schwingkreises R ω e =. Verwendet man einen großen Widerstand, dann wird < 0, und es LC LC L tritt keine Schwingung mehr auf (Kriechfall). Eine analoge Rechnung liefert für die Resonanzfrequenz beim Abgriff der Spannung am Widerstand ω R = r LC. ω C r

21 Komplexe Wechselstromlehre (Skript) 9 Zusammenfassung! Wechselspannungen und Wechselströme lassen sich durch Zeiger beschreiben: ˆ j( ω t+ϕu ) u = U e = Uˆ[ cos( ω t+ ϕ u) + jsin( ω t+ ϕu) ] ˆ j ω t+ϕ i = I e i = ˆI cos ω t+ ϕ + jsin ω t+ ϕ ( ) [ ( ) ( )] i Dabei entspricht der Realteil der komplexen Größe dem Momentanwert der Wechselgröße.! Der Quotient aus Spannung und Strom ist konstant (Ohmsches Gesetz): ˆ j( ω t+ϕu ) ˆ ˆ j( ϕu ϕi ) jϕ jϕ ˆ j( ω t+ϕi ) ˆ ˆ u Ue U U Z = = = e = e i Ie I I = Ze = R + jx Für ideale Bauteile gilt: # ZR = R # ZL Z # C = jω L = j ω C! Kirchhoffsche Regeln: # Knotenregel: Die Summe aller zu- und abfließenden komplexen Ströme in einem Leistungsknoten ist Null. # Maschenregel: Die Summe aller komplexen Spannungen entlang einer Leistungsmasche ist Null.! Für die Berechnung von Ersatzwiderständen gilt: # Parallelschaltung: = Z Z ers # Serienschaltung: Zers = Zk k k k! Komplexe Widerstände und Spannungen stellt man oft in Zeigerdiagrammen dar. Meist wählt man ϕ i = 0, und deshalb zeigen der Widerstands- und der Spannungszeiger in die gleiche Richtung.! Für die Berechnung der zeitlich gemittelten Leistung mit komplexen Größen gilt: # Darstellung in Effektivwerten: # Darstellung in Scheitelwerten: * S = u i = P+ jq * S = u i = P+ jq i

22 Komplexe Wechselstromlehre (Versuchsanleitung) 0 Versuchsanleitung Vorbereitung Aufbau und Funktionsweise eines Oszilloskops; komplexe Darstellung elektrischer Größen; Ohmsches Gesetz; Widerstände, Kondensatoren und Spulen im Wechselstromkreis; Kirchhoffsche Regeln; Ersatzwiderstände bei Serien- und Parallelschaltung; Darstellung von Kapazitäten, Induktivitäten und ohmschen Widerständen in Zeigerdiagrammen; Tiefpaß, Hochpaß, Bandpaß; Reihenschwingkreis; Verfahren zur Impedanzmessung Literatur Für den Versuch notwendige Kenntnisse:! Skript Komplexe Wechselstromlehre Zur Vertiefung:! Beuth, Klaus; Beuth, Olaf; Elementare Elektronik: Mit Grundlagen der Elektrotechnik, 5. überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 997! Eichler, Hans; Kronfeldt, Heinz-Detlef; Sam, Jürgen; Das neue physikalische Grundpraktikum,. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 00! Hering, Ekbert; Bressler, Klaus; Gutekunst, Jürgen; Elektronik für Ingenieure,. Aufl., Düsseldorf: VDI, 99! Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin; Physik für Ingenieure, 6. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 997! Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 99! Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg. von Bethge, Klaus,. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 99! Straumann, Marc; Heidelberg,. April 999, Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für Naturwissenschaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation,. neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 993 Hinweis zur Bedienung des Oszilloskops Beachten Sie bei der Verwendung des Oszilloskops, daß am Oszilloskop je ein Eingang jedes Kanals geerdet ist, und bauen Sie die Schaltungen so auf, daß die verwendete Span-

23 Komplexe Wechselstromlehre (Versuchsanleitung) nungsquelle nicht kurzgeschlossen ist. Dazu ist es bei der Verwendung eines Adapters von der BNC-Buchse auf Laborkabel notwendig, zu testen, welcher Anschluß mit dem geerdeten äußeren Metallring des BNC-Kabels verbunden ist.. Darstellung einer Wechselspannung mit Hilfe des Oszilloskops Der Transformator dient als Spannungsquelle. Geben Sie nacheinander 6V und V Wechselspannung auf einen Eingang des Oszilloskops. Bringen Sie das Bild zum Stehen, und machen Sie eine Periodendauer der Sinusschwingung sichtbar, indem Sie eine geeignete Zeitablenkung (TIME/DIV), Triggerung und Amplitudenverstärkung (V/DIV) wählen. a) Lesen Sie die Amplitude der Wechselspannung am Oszilloskop ab, und vergleichen Sie sie mit der Ausgangsspannung des Transformators. Messen Sie die Wechselspannung zusätzlich mit dem Multimeter. Erklären Sie, warum sich die Werte unterscheiden. b) Bestimmen Sie am Oszilloskop die Frequenz der angelegten Spannung, und vergleichen Sie diese mit dem erwarteten Wert.. Phasenverschiebung Verwenden Sie nun beide Eingänge des Oszilloskops, um die Phasenbeziehung der Spannungen an verschiedenen Bauteilen zu untersuchen. Ein Kanal des Oszilloskops muß invertiert werden, da sonst eine Phasenverschiebung der Spannungen von 80 durch die Schaltung hervorgerufen wird, weil je ein Eingang jedes Kanals geerdet ist. Schaltung 5 Bestimmen Sie die Phasenverschiebung ϕ = ϕ ϕ zwischen den Spannungen am Widerstand und an der Impedanz Z. Messen Sie außerdem die Amplituden der abfallenden Spannungen. Vergleichen Sie Ihre Beobachtung mit Ihren Erwartungen (Zeigerdiagramm) für folgende Kombinationen von Widerstand und Impedanz in Schaltung 5: a) R = 47Ω und R = kω als Impedanz Z U R U Z b) R = kω und C = 4µ F als Impedanz Z

24 Komplexe Wechselstromlehre (Versuchsanleitung) c) R = 47Ω und L = mh als Impedanz Z (3. Impedanzmessung) Aufgabe 3 ist nicht durchzuführen!!!!! Verwenden Sie Schaltung 6 zur Impedanzmessung. Einer der Eingänge des Oszilloskops ist zu invertieren. Lesen Sie die nötigen Spannungswerte ab, um den Betrag und die Phasenverschiebung der Impedanz Z berechnen zu können. a) Verwenden Sie den 6V-Ausgang des Transformators als Spannungsquelle und einen kω -Widerstand. Als Impedanz dient ebenfalls ein ohmscher Widerstand mit dem Widerstandswert R = 47Ω. Erklären Sie Ihre Beobachtung. b) Als Spannungsquelle dient der Funktionsgenerator, der über den V -Ausgang des Transformators versorgt wird. Verwenden Sie als ohmschen Widerstand R = kω und eine Serienschaltung aus R = 470 Ω und C = 4µ F als Impedanz. Wählen Sie zunächst eine sinusförmige Spannung der Frequenz 00 Hz, und lesen Sie die Spannungswerte U, U und U 3 ab. Stellen Sie dann eine kleine Frequenz ein, um den Umlaufsinn der Ellipse erkennen zu können. Berechnen Sie unter der Annahme, daß der ohmsche Widerstand tatsächlich einen Wert von R = 470 Ω hat, die Kapazität und den ohmschen Widerstandsanteil des Kondensators. c) Als Spannungsquelle dient wieder der Funktionsgenerator. Stellen Sie bei Schalterstellung Sinus 4kHz ein. Verwenden Sie als ohmschen Widerstand R = 47Ω und L = mh als Impedanz. Berechnen Sie aus Ihrer Messung die Induktivität der Spule. Schaltung 6

25 Komplexe Wechselstromlehre (Versuchsanleitung) 3 4. Filterschaltungen Untersuchen Sie die folgenden drei Filterschaltungen: Schaltung 7 Schaltung 8 Schaltung 9 a) Wechselspannungen welchen Frequenzbereichs können die drei Schaltungen passieren (qualitative Überlegung)? b) Fertigen Sie mit dem Funktionsgenerator (an den V -Ausgang des Transformators anschließen, sinusförmige Ausgangsspannung wählen) für Schaltung 7 und Schaltung 8 eine Meßreihe für den Frequenzgang mit jeweils mindestens 0 Meßpunkten im Bereich U von 0 Hz bis 0 khz an. Tragen Sie out halblogarithmisch als Funktion der Frequenz U auf, und zeichnen Sie jeweils die theoretisch erwarteten Werte ein. in c) Stellen Sie am Funktionsgenerator die maximale Ausgangsspannung ein, und überzeugen Sie sich, daß diese bei Schaltung 9 im interessanten Frequenzbereich (ab 0 Hz ) im wesentlichen konstant bleibt. Betrachten Sie nun die Ausgangsspannung des Filters und bestimmen Sie so den Frequenzbereich, in dem diese ansteigt bzw. absinkt. Folgern Sie daraus, um welche Art Filter es sich handelt, und überlegen Sie, wie Schaltung 9 mit Schaltung 7 und Schaltung 8 zusammenhängt. d) Mit welchen Schaltungen, kann man ähnliche Filtereigenschaften erzielen (nur prinzipiellen Aufbau erklären, keine Größen etc. berechnen)?

26 Komplexe Wechselstromlehre (Versuchsanleitung) 4 5. Reihenschwingkreis Bei Schaltung 0 treten im Resonanzbereich hohe Spannungen auf. Verwenden Sie als Ausgangsspannung des Funktionsgenerators konstant U = V! Schaltung 0 a) Messen Sie für die Widerstandswerte 0 Ω, 3, 5 Ω (Parallelschaltung aus zwei 47 Ω Widerständen) und 47 Ω das Verhalten von U U out in (Frequenzbereich 50 Hz 0 khz, mindestens 0 Meßpunkte) in Schaltung 0. Greifen Sie dabei die Ausgangsspannung einmal am Widerstand (für 3, 5 Ω und 47 Ω ) und einmal am Kondensator ab. b) Prüfen Sie, ob die ermittelte Resonanzfrequenz mit der theoretisch berechneten Frequenz übereinstimmt. c) Tragen Sie Ihre Meßwerte und die theoretisch erwarteten Werte für die Spannung am Widerstand und die Spannung am Kondensator in halblogarithmischen Diagrammen auf. d) Welche Unterschiede erkennen Sie zwischen der Meßkurve beim Abgriff der Spannung am Widerstand und am Kondensator. e) Ordnen Sie den Meßkurven die Ihnen z.b. aus der Mechanik bekannten Begriffe für eine gedämpfte Schwingung zu.

27 Literaturverzeichnis 5 Literaturverzeichnis [] Bergmann, Ludwig; Schäfer, Clemens; Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 6 Festkörper, hrsg. von Raith, Wilhelm, Autoren Freyhardt, Herbert et al.,. Aufl., Berlin, New York: de Gruyter, 99 [] Best, Christoph et al.; Taschenbuch der Physik: Formeln, Tabellen, Übersichten, hrsg. von Stöcker, Horst, 3. völlig überarb. und erw. Aufl., Frankfurt am Main, Thun: Deutsch, 998 [3] Beuth, Klaus; Beuth, Olaf; Elementare Elektronik: Mit Grundlagen der Elektrotechnik, 5. überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 997 [4] Bronstein, I.N. et. al.; Taschenbuch der Mathematik, 4. überarb. und erw. Aufl. der Neubearb., Frankfurt am Main, Thun: Deutsch, 999 [5] Dobrinski, Paul; Krakau, Gunter; Vogel, Anselm; Physik für Ingenieure, 8. überarb. und erw. Aufl., Stuttgart: Teubner, 993 [6] Eckstein, Peter; Repetitorium Statistik: Deskriptive Statistik, Stochastik, Induktive Statistik, 4. vollst. überarb. und erw. Aufl., Wiesbaden: Gabler, 00 [7] Eichler, Hans; Kronfeldt, Heinz-Detlef; Sam, Jürgen; Das neue physikalische Grundpraktikum,. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 00 [8] Goerth, Joachim; Bauelemente und Grundschaltungen,. Aufl., Stuttgart, Leipzig: Teubner, 999 [9] Goßner, Stefan; Grundlagen der Elektronik: Halbleiter, Bauelemente und Schaltungen,. Aufl., Aachen: Shaker, 00 [0] Hering, Ekbert; Bressler, Klaus; Gutekunst, Jürgen; Elektronik für Ingenieure,. Aufl., Düsseldorf: VDI, 99 [] Hering, Ekbert; Martin, Rolf; Stohrer, Martin; Physik für Ingenieure, 6. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 997 [] Koß, Günther; Reinhold, Wolfgang; Lehr- und Übungsbuch Elektronik,. bearb. Aufl., München, Wien: Carl Hanser, 000 [3] Meister, Heinz; Elektrotechnische Grundlagen: Mit Versuchsanleitungen und Rechenbeispielen, 9. überarb. Aufl., Würzburg: Vogel, 99 [4] Rost, Albrecht; Grundlagen der Elektronik: Ein Einstieg für Naturwissenschaftler und Techniker, 3. vollst. überarb. und erg. Aufl., Berlin: Akademie, 99 [5] Schwetlick, Horst; Kessel, Werner; Elektronikpraktikum für Naturwissenschaftler, hrsg. von Bethge, Klaus,. Aufl., Braunschweig, Wiesbaden: Vieweg, 99

28 Literaturverzeichnis 6 [6] Straumann, Marc; Heidelberg,. April 999, [7] Tietze, Ulrich; Schenk, Christoph; Halbleiterschaltungstechnik, 8. überarb. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 986 [8] Vogel, Helmut; Gerthsen Physik, 9. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 997 [9] Weddigen, Christian; Jüngst, Wolfgang; Elektronik: Eine Einführung für Naturwissenschaftler und Ingenieure mit Beispielen zur Computer-Simulation,. neubearb. und erw. Aufl., Berlin u.a.: Springer, 993