Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik

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1 Sächsisches Staatsministerium für Kultus Schuljahr 1994/95 Geltungsbereich: für Klassen 10 an - Mittelschulen - Förderschulen - Abendmittelschulen Schriftliche Abschlußprüfung Mathematik Realschulabschluß Allgemeine Arbeitshinweise Die schriftliche Abschlußprüfung besteht aus 2 Teilen: Teil I (Pflichtaufgaben) Teil II (Wahlaufgaben) Vor der planmäßigen Arbeitszeit stehen Ihnen 15 Minuten zum Vertrautmachen mit den Aufgaben zur Verfügung. Die Arbeitszeit zur Lösung aller Aufgaben beträgt 240 Minuten. Für die Prüfungsarbeit können 40 Bewertungseinheiten erreicht werden. Davon werden 33 Bewertungseinheiten für den Pflichtteil und 7 Bewertungseinheiten für den Wahlteil vergeben. Es ist eine Wahlaufgabe zu bearbeiten. Wird mehr als eine Wahlaufgabe völlig richtig gelöst, so wird eine Bewertungseinheit zusätzlich erteilt. Eine Bewertungseinheit wird zusätzlich erteilt, wenn die Form mathematisch und äußerlich einwandfrei ist. Bei mehreren wesentlichen Verstößen gegen die Kriterien einer mathematisch einwandfreien Form wird eine Bewertungseinheit abgezogen. Erfolgen außerdem wesentliche Verstöße gegen die äußere Form, so wird eine weitere Bewertungseinheit abgezogen. Geometrische Konstruktionen und Zeichnungen sind auf unliniertem Papier auszuführen. Graphen von Funktionen sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Einheit 1 cm) auf Millimeterpapier darzustellen. Die Lösungsdarstellung muß einen erkennbaren Weg aufzeigen. Das Ergebnis ist hervorzuheben. Sie dürfen folgende Hilfsmittel verwenden: - Tabellen- und Formelsammlung ohne ausführliche Musterbeispiele sowie ohne Wissensspeicheranhang - nicht programmierbarer Taschenrechner - Zeichengeräte und Kurvenschablonen Sign. 7/1/1

2 Teil I (Pflichtaufgaben) Aufgabe 1 Für die Preisbildung im Geschäftsleben gilt (vereinfacht dargestellt): Bezugspreis + Unkosten = Selbstkostenpreis Selbstkostenpreis + Gewinn = Verkaufspreis (Nettopreis) Verkaufspreis + Mehrwertsteuer = Endpreis (Bruttopreis) Ein Fachgeschäft erhält eine Lieferung von 17 Farbfernsehgeräten zum Bezugspreis von je 369,00 DM. Für die Festlegung des Endpreises werden kalkuliert: 35 % des Bezugspreises für Unkosten, 8 % des Selbstkostenpreises für Gewinn, 15 % Mehrwertsteuer vom Verkaufspreis. a) Berechnen Sie den Endpreis für ein Gerät. b) Berechnen Sie die Mehrwertsteuer, die an das Finanzamt abzuführen ist, wenn alle Geräte verkauft werden. Aufgabe 2 Gegeben ist die Funktion f durch ihre Funktionsgleichung y = f(x) = 1 4 x 2 (x R). a) Übernehmen Sie die Wertetabelle und vervollständigen Sie diese. x y 0 b) Zeichnen Sie den Graph der Funktion f im Intervall 5 x 5 in ein Koordinatensystem. (Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm) c) Durch die Punkte P 1 ( 3; 0,5) und P 2 (2; 3) verläuft eine Gerade. Zeichnen Sie diese Gerade in dasselbe Koordinatensystem. d) Die Gerade schneidet den Graph der Funktion f in den Punkten A und B. Geben Sie die Koordinaten von A und B an. e) Berechnen Sie die Länge der Strecke AB. Sign. 7/1/2

3 Aufgabe 3 Durch die Punkte P 1 (0; 4) und P 2 (5; 6) verläuft eine Gerade, die Graph einer linearen Funktion ist. a) Zeichnen Sie den Graph dieser Funktion in ein Koordinatensystem mindestens im Intervall 1 < x < 6. (Längeneinheit im Koordinatensystem: 1 cm) b) Geben Sie die Gleichung der Funktion an. c) Durch die Punkte A(0; 0), B(2; 0), C(4,5; 5) und D(0; 5) ist ein Viereck gegeben. Zeichnen Sie dieses Viereck in das bei a) verwendete Koordinatensystem, und ermitteln Sie seinen Flächeninhalt. Aufgabe 4 In einer Fußgängerzone errichtet eine Kommune sechs runde Plakatsäulen, deren Werbeflächen vermietet werden. Die Skizze zeigt die Schnittdarstellung einer solchen Säule. a) Die kegelförmigen Dächer sind auf ihrer Oberseite mit Blech abgedeckt. Berechnen Sie den Gesamtbedarf an Blech für die sechs Dächer, wenn mit 9 % Zugabe gerechnet werden muß. b) Der zylinderförmige Teil jeder Plakatsäule wird als Werbefläche genutzt. Die Kommune vermietet die gesamte Werbefläche zum Preis von 9,50 DM pro Quadratmeter je Woche. Ermitteln Sie die Mieteinnahmen für ein Jahr (52 Wochen). Aufgabe 5 Sign. 7/1/3

4 a) Ermitteln Sie den Flächeninhalt der im Quadratraster dargestellten Figur. b) Lösen Sie die Ungleichung 2(3x + 7) < 4x Geben Sie diejenigen natürlichen Zahlen an, die Elemente der Lösungsmenge sind. c) Berechnen Sie , d) Einem Kreis ist ein Viereck ABCD einbeschrieben (siehe Skizze). Es ist α = 65. Wie groß ist der Winkel γ? Begründen Sie. Sign. 7/1/4

5 Aufgabe 6 Über allen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sind Halbkreise gezeichnet (siehe Skizze). a) Berechnen Sie die Inhalte der Halbkreisflächen A 1, A 2 und A 3, wenn die Katheten des rechtwinkligen Dreiecks 8,0 cm und 15,0 cm lang sind. b) Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen den Inhalten der drei Halbkreisflächen her. Teil II (Wahlaufgaben) Wahlaufgabe 7.1 Im Oktober 1995 begeht die Dresdner Standseilbahn ihr 100jähriges Bestehen. Ihre Talstation befindet sich 116 m über dem Meeresspiegel. Die Streckenlänge beträgt 563 m. a) Berechnen Sie aus dem durchschnittlichen Anstiegswinkel von 9,6 die Höhe der Bergstation über dem Meeresspiegel. b) Ermitteln Sie die Fahrzeit der Standseilbahn bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 2,5 m s. c) Nach 515 m Fahrstrecke beginnt der Teil des Streckenprofils mit dem größten Anstieg, der nach 540 m Fahrstrecke überwunden ist. Auf diesem kurzen Teilstück werden 6,82 m Höhenunterschied überwunden. Berechnen Sie diesen maximalen Anstieg der Dresdner Standseilbahn. Sign. 7/1/5

6 Wahlaufgabe 7.2 Gegeben ist das Netz eines Körpers. Es gilt: a b = 2 = 6,0 cm. a) Um welchen Körper handelt es sich? b) Stellen Sie den Körper im Schrägbild dar. c) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt und das Volumen des Körpers. Wahlaufgabe 7.3 Die Befragung einer Familie mit 3 Kindern nach dem Geschlecht des ersten, zweiten und dritten Kindes ist ein dreistufiges Zufallsexperiment. a) Zeichnen Sie das zugehörige Baumdiagramm, und geben Sie die Ergebnismenge S dieses dreistufigen Zufallsexperimentes an. b) Vereinfacht wird angenommen, daß die Geburt eines Jungen (J) und eines Mädchens (M) gleichwahrscheinlich ist. Sign. 7/1/6 - Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ergebnisses (J; J; J). - Weiterhin sei E das Ereignis {(M; J; M); (J; M; J)}. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E. c) Eine tatsächlich durchgeführte Befragung von 2000 Familien mit 3 Kindern ergab die absolute Häufigkeit 262 für das Ergebnis (J; J; J). - Berechnen Sie die relative Häufigkeit für das Ergebnis (J; J; J). - Begründen Sie, warum die relative Häufigkeit des Ergebnisses (J; J; J) von dessen Wahrscheinlichkeit abweicht.