Rechnerstrukturen WS 2012/13
|
|
- Valentin Busch
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Rechnerstrukturen WS 2012/13 Repräsentation von Daten Repräsentation von Texten (Wiederholung) Repräsentation ganzer Zahlen (Wiederholung) Repräsentation rationaler Zahlen (Wiederholung) Repräsentation anderer Daten Boolesche Funktionen und Schaltnetze Einleitung Boolesche Algebra Repräsentationen boolescher Funktionen Normalformen boolescher Funktionen Repräsentation boolescher Funktionen mit OBDDs Hinweis: Folien teilweise a. d. Basis von Materialien von Thomas Jansen 17. Oktober 2012 Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 1
2 Repräsentation von Texten: Unicode Prinzip: Standardisierte numerische Kodierung von Zeichen aktueller Standard Unicode 6.2 (26. September 2012) verwaltet vom Unicode-Konsortium ( unterstützt verschiedene Codierungsformate (Unicode Transformation Format): UTF-8, UTF-16, UTF-32 mit 8, 16, 32 Bits längere Formate erweitern kürzere Formate vereinbart auch weitere Informationen (z. B. Schreibrichtung, Kombination von Zeichen (Codepoints)) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 2
3 Repräsentation ganzer Zahlen: Überblick feste Länge l = 5, (2 l = 32, 2 l 1 = 16, 2 l 1 1 = 15) z VZ-Betrag Bias b = 16 Bias b = 15 1er-K. 2er-K Zweierkomplement bei weitem gebräuchlichste Darstellung Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 3
4 Repräsentation rationaler Zahlen Wunsch rationale Zahlen q Q repräsentieren können Vereinbarung feste Repräsentationslänge l Bits Feste Position des Kommas Festkommazahlen Beispiel = 16 = 8 = 4 = 2 = 1 = 0,5 = 0,25 = 0, , ,5 +0,125 = 22,625 allgemein bei v Vorkomma- und m Nachkommastellen z = v 1 z i 2 i i= m Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 4
5 Gleitkommazahlen: IEEE z = ( 1) s m 2 e mit s {0,1}, e Z, m Q und 1 m < 2 Festlegungen führende 1 der Mantisse wird nicht mit abgespeichert (heißt implizite Eins ) Mantisse in Binärcodierung (Festkommazahlen mit Ziffern ausschließlich hinter dem Komma) Exponent in Exzessdarstellung mit Bias b = 2 le 1 1 Gesamtlänge Vorzeichen Exponent Mantisse Precision single double Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 5
6 IEEE : ein Beispiel l = 32, l s = 1, l e = 8, l m = 23 b = = 127, e min = b +1 = 126, e max = 2 8 b 2 = 127 Wir wollen 3 darstellen. negativ, also Vorzeichenbit 1 Darstellung als Summe von Zweierpotenzen 3 = 2+1 = = ( ) 2 1 Exponent 1 Exzessdarstellung 1 + b = 128 darstellen 128 = ( ) 2 Mantisse 1,1, implizite Eins entfällt, also Ergebnis }{{} }{{ 0000} }{{} VZ Exponent Mantisse Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 6
7 Repräsentation anderer Daten hier für uns interessant primitive Daten (von Hardware direkt unterstützt) zentral Programme in der Regel Bitmuster fester Länge (z.b. 4 Byte): Befehl, Operand Problem Was repräsentiert ein Byte im Speicher? kaum verwendet: Typbits Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 7
8 Repräsentation von Datenfolgen Speicher oft in Worten organisiert Wort ja nach Rechner 2 Bytes, 4 Bytes,... heterogene Daten hintereinander in den Speicher schreiben dabei manchmal Wortgrenzen beachten dann leere Zellen (Bytes) möglich homogene Daten Arrays Problem Wie erkennt man das Ende der Folge? feste Anzahl vereinbaren Länge am Anfang speichern spezielles Endezeichen verwenden Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 8
9 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 9
10 Boolesche Funktionen vielleicht schon bekannt Aussagenlogik Satz ist Aussage mit eindeutigem Wahrheitswert Wahrheitswerte wahr, falsch neue zusammengesetzte Aussagen durch Verknüpfung von Aussagen Verknüpfungen Negation (, nicht ) Konjunktion (, und ) Disjunktion (, oder ) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 10
11 Seien A, B zwei Aussagen. Definition Negation Definition der Verknüpfungen A A falsch wahr wahr falsch Definition Konjunktion A B A B falsch falsch falsch falsch wahr falsch wahr falsch falsch wahr wahr wahr A B A B falsch falsch falsch Definition Disjunktion falsch wahr wahr wahr falsch wahr wahr wahr wahr Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 11
12 Boolesche Algebra Definition 2 Wir nennen (B,,, ) mit B = {0,1} und x y = max{x,y}, x y = min{x,y}, x = 1 x für alle x,y B boolesche Algebra. George Boole, englischer Mathematiker, beobachte Entsprechungen: falsch 0 wahr 1 Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 12
13 Satz 3 Rechengesetze In der booleschen Algebra (B,,, ) gilt für alle x,y,z B: Kommutativität: x y = y x, x y = y x Assoziativität: (x y) z = x (y z), (x y) z = x (y z) Distributivität: x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z) Neutralelemente: x 0 = x, x 1 = x Nullelemente: x 1 = 1, x 0 = 0 Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 13
14 Rechengesetze II Satz 3 (cont.) In der booleschen Algebra (B,,, ) gilt für alle x,y,z B auch: Idempotenz: x = x x = x x Involution: x = x = x Absorption: (x y) x = x, (x y) x = x Resolution: (x y) (x y) = y, (x y) (x y) = y Komplementarität: x (y y) = x, x (y y) = x de Morgansche Regeln: x y = x y, x y = x y Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 14
15 Beweis Absorption Absorption: (x y) x = x linke Seite rechte Seite x y x y (x y) x x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 15
16 Definition 4 Repräsentationen boolescher Funktionen Seien n,m N. Eine Funktion f : B n B m heißt boolesche Funktion. Notation B n = Menge aller n-stelligen Tupel über B Beispiel B 2 = {(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)} Anzahl boolescher Funktionen boolesche Funktion f : B n B m als Wertetabelle darstellbar mit B n = 2 n Zeilen und B m = 2 m Möglichkeiten je Zeile 2 m2n = 2 m 2n boolesche Funktionen f : B n B m Beispiel = 2 4 = 16 boolesche Funktionen f : B 2 B Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 16
17 Alle booleschen Funktionen f : B 2 B x 0 1 x 0 1 y y f Nullfkt. 0 f NOR f AND f 1 0 Äquiv. f f Negation y f Proj. x f f f Negation x f 6 Proj. y f Impl. f XOR f NAND f OR f Einsfkt. 1 Verwenden im Weiteren (Konjunktion), (Disjunktion), (Negation) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 17
18 Darstellung boolescher Funktionen gerade gesehen Wertetabelle (Orientierung meistens wie hier) x y f bei fester Reihenfolge Wertevektor f 7 : (0,1,1,0) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 18
19 Index und Minterm Index x y f nicht einschlägig 1 1 einschlägig 2 1 einschlägig nicht einschlägig Definition Die boolesche Funktion, für die nur der Index i einschlägig ist, heißt Minterm zum Index i. Ein Minterm ist nur mit Negationen und Konjunktionen darstellbar: { 0 x j x j = 1 x j und dann Konjunktion all dieser Literale ( ˆ= [negierte] Variable) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 19
20 Beispiel zu Index und Minterm Index x 1 x 2 f nicht einschlägig 1 1 einschlägig 2 1 einschlägig nicht einschlägig Beispiel Minterm zum Index 2 = (10) 2, also m 2 (x 1,x 2 ) = x 1 x 2 Index x 1 x 2 x 1 x Hinweis: In der Regel abkürzende Notation der Konjunktion, z.b.: x 1 x 2 x 1 x 2 Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 20
21 Normalformen Für wie viele Eingaben liefert ein Minterm 1? klar für genau 1 Folgerungen Disjunktion aller Minterme zu einschlägigen Indizes einer booleschen Funktion f ist wieder f XOR-Verknüpfung aller Minterme zu einschlägigen Indizes einer booleschen Funktion f ist wieder f Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 21
22 Definition 8 Normalformen Die Darstellung von f als Disjunktion all ihrer Minterme zu einschlägigen Indizes heißt disjunktive Normalform (DNF). Die Darstellung von f als XOR-Verknüpfung all ihrer Minterme zu einschlägigen Indizes heißt Ringsummen-Normalform (RNF). Anmerkung Normalformen sind eindeutig. Index x y f 7 Minterm x y Beispiel 1 1 x y 2 1 x y x y DNF von f 7 x y x y RNF von f 7 x y x y Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 22
23 Funktionale Vollständigkeit Beobachtung jede boolesche Funktion f : B n B nur mittels Konjunktion, Disjunktion und Negation darstellbar (z.b. durch ihre DNF) Definition 5 Eine Menge F von booleschen Funktionen heißt funktional vollständig, wenn sich jede boolesche Funktion durch Einsetzen und Komposition von Funktionen aus F darstellen lässt. Satz 6 {,, } ist funktional vollständig. Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 23
24 Funktionale Vollständigkeit Gibt es kleinere funktional vollständige Mengen? Behauptung {, } und {, } sind beide funktional vollständig. Beobachtung Zum Beweis genügt es zu zeigen, dass {,, } darstellbar ist. Beweis. Anwendung der de Morgan-Regeln (Satz 3) x y = x y { } mit {, } darstellbar x y = x y { } mit {, } darstellbar Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 24
25 Kleinste funktional vollständige Mengen Wie viele Funktionen für funktionale Vollständigkeit mindestens? Satz 7 {NAND} ist funktional vollständig. Beweis. Es genügt, {, } mit NAND darzustellen. x = NAND(x,x) x x NAND(x, x) x y = NAND(NAND(x,x),NAND(y,y)) x y x y x y NAND(NAND(x,x),NAND(y,y)) Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 25
26 Vorsicht, Notation! Anmerkung x y x y x y = (x y) x y = ( x) ( y) x y x y x y Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 26
27 Maxterme Minterm-Darstellung betont Funktionswert 1. Definition Die boolesche Funktion, für die nur der Index i nicht einschlägig ist, heißt Maxterm zum Index i. Beobachtung Definition Maxterm unterscheidet sich nur in nicht von Definition Minterm Beobachtung m i Minterm zum Index i, M i Maxterm zum Index i M i = m i Beobachtung Konjunktion aller Maxterme zu nicht einschlägigen Indizes einer booleschen Funktion f ist wieder f Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 27
28 Fortsetzung von Definition 8 Normalformen Die Darstellung von f als Konjunktion all ihrer Maxterme zu nicht einschlägigen Indizes heißt konjunktive Normalform (KNF). Beispiel Index x y z f bsp x y z x y z x y z Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 28
29 Darstellungen boolescher Funktionen Wozu stellt man boolesche Funktionen dar? Realisierung Verifikation Fehleranalyse Synthese... Wo stellt man boolesche Funktionen dar? auf dem Papier im Computer Probleme Wertetabelle, Wertevektor immer groß Normalformen oft groß Normalformen unterstützen gewünschte Operationen kaum Wunsch andere Repräsentation Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 29
30 Eine Datenstruktur für boolesche Funktionen Ziel f : B n B darstellen Wünsche zu einer Belegung x 1,x 2,...,x n schnell den Funktionswert f(x 1,x 2,...,x n ) ausrechnen können Funktionen schnell auf Gleichheit testen können Funktionen schnell manipulieren (z. B. eine Variable konstant setzen) können schnell eine Null-Eingabe/eine Eins-Eingabe finden können Funktionen möglichst klein repräsentieren... Ordered Binary Decision Diagrams Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 30
31 OBDDs erster Schritt Festlegen einer Variablenordnung π (z.b. π = (x 3,x 1,x 2,x 4 )) dann Baue πobdd aus Knoten x 4 und Kanten x 2 1 x 3 oder 1 nach folgenden Regeln: Knoten mit Variablen, 0 oder 1 markiert Kanten mit 0 oder 1 markiert Variablen-Knoten mit je einer ausgehenden 0- und 1-Kante Konstanten-Knoten ohne ausgehende Kante genau ein Knoten ohne eingehende Kante Kanten zwischen Variablenknoten beachten π Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 31
32 Variablenordnung π = (x 1,x 2,x 3 ) πobdd Ein Beispiel x 1 Beispiel Auswertung f(1, 0, 1) x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 1 f(1,0,1) = 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 32
33 πobdd-größe gleichartige Senken verschmelzen x 1 x 2 x 2 x 3 1 x 3 x 3 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 33 1
34 πobdd-größe gleichartige Knoten verschmelzen x 1 x 2 x 2 x 3 1 x 3 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 34 1
35 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren x 1 x 2 x 2 x 3 1 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 35 1
36 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren x x 2 x 3 1 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 36 1
37 πobdd-größe Knoten ohne Einfluss eliminieren x x 2 Größe minimal 0 1 x Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 37 1
38 Alternative Darstellung eines πobdds x 1 x 2 x 3 Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 38
39 OBDD-Reduzierung Satz 9 Die erschöpfende Anwendung der Verschmelzungsregel Knoten mit gleicher Markierung und gleichen Nachfolgern können verschmolzen werden und Eliminationsregel Ein Knoten mit gleichem Null- und Einsnachfolger kann entfernt werden in beliebiger Reihenfolge führt zum reduzierten πobdd. reduziert = minimale Größe und eindeutig Rechnerstrukturen º» Repräsentation von Daten Boole. Fkt. 39
Rechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 21. Oktober 2013 1/33 1 Boolesche
MehrRechnerstrukturen WS 2012/13
Rechnerstrukturen WS 202/3 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Repräsentationen boolescher Funktionen (Wiederholung) Normalformen boolescher Funktionen (Wiederholung) Repräsentation boolescher Funktionen
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel. Sommer TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik Sommer 2014 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 10. April 2014 1/37 1 Repräsentation
MehrRechnerstrukturen, Teil 1. Vorlesung 4 SWS WS 15/16
Rechnerstrukturen, Teil 1 Vorlesung 4 SWS WS 15/16 Prof. Dr Jian-Jia Chen Dr. Lars Hildebrand Fakultät für Informatik Technische Universität Dortmund lars.hildebrand@tu-.de http://ls1-www.cs.tu-.de Übersicht
MehrRechnerstrukturen WS 2012/13
Rechnerstrukturen WS 2012/13 Repräsentation von Daten Repräsentation natürlicher Zahlen (Wiederholung) Repräsentation von Texten Repräsentation ganzer Zahlen Repräsentation rationaler Zahlen Repräsentation
MehrBoolesche Algebra (1)
Boolesche Algebra (1) Definition 1: Sei B = Σ 2 = {0,1} das Alphabet mit den Elementen 0 und 1. Seien auf B die 3 Operatoren einer Algebra wie folgt definiert für x,y aus B: x+y := Max(x,y), x y := Min(x,y),
MehrRückblick. Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen. 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Erweiterte b-adische Darstellung von Kommazahlen 7,1875 dargestellt mit l = 4 und m = 4 Bits 66 Rückblick Gleitkommazahlen (IEEE Floating Point Standard 754) lassen das Komma bei der Darstellung
MehrAuswertung. Hinweise. Einführung in die Technische Informatik WS 2006/2007 Probeklausur. Aachen, 02. November 2006 SWS: V2/Ü2, ECTS: 4
Professor Dr.-Ing. Stefan Kowalewski Dipl.-Inform. Andreas Polzer Dipl.-Inform. Ralf Mitsching LEHRSTUHL INFORMATIK XI SOFTWARE FÜR EINGEBETTETE SYSTEME Aachen, 02. November 2006 SWS: V2/Ü2, ECTS: 4 Einführung
MehrTeil II. Schaltfunktionen
Teil II Schaltfunktionen 1 Teil II.1 Zahlendarstellung 2 b-adische Systeme Sei b IN mit b > 1 und E b = {0, 1,..., b 1} (Alphabet). Dann ist jede Fixpunktzahl z (mit n Vorkomma und k Nachkommastellen)
MehrInformationsverarbeitung auf Bitebene
Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta 5. November 2005 Einführung in die Informatik - Informationsverarbeitung auf Bitebene Dr. Christian Herta Grundlagen der Informationverarbeitung
MehrLogik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3)
Logik (Teschl/Teschl 1.1 und 1.3) Eine Aussage ist ein Satz, von dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (true, = 1) oder falsch (false, = 0) ist. Beispiele a: 1 + 1 = 2 b: Darmstadt liegt in Bayern.
MehrII. Grundlagen der Programmierung
II. Grundlagen der Programmierung II.1. Zahlenssteme und elementare Logik 1.1. Zahlenssteme 1.1.1. Ganze Zahlen Ganze Zahlen werden im Dezimalsstem als Folge von Ziffern 0, 1,..., 9 dargestellt, z.b. 123
MehrAllgemeingültige Aussagen
Allgemeingültige Aussagen Definition 19 Eine (aussagenlogische) Formel p heißt allgemeingültig (oder auch eine Tautologie), falls p unter jeder Belegung wahr ist. Eine (aussagenlogische) Formel p heißt
Mehr1. Grundlagen der Informatik Boolesche Algebra / Aussagenlogik
1. Grundlagen der Informatik Boolesche Algebra / Aussagenlogik Inhalt Grundlagen digitaler Systeme Boolesche Algebra / Aussagenlogik Organisation und Architektur von Rechnern Algorithmen, Darstellung von
MehrGrundlagen der Informationverarbeitung
Grundlagen der Informationverarbeitung Information wird im Computer binär repräsentiert. Die binär dargestellten Daten sollen im Computer verarbeitet werden, d.h. es müssen Rechnerschaltungen existieren,
Mehr1. Informationsdarstellung. Darstellung und Bedeutung. Darstellung und Bedeutung. Interpretation ??? 1. Kapitel
Wintersemester 207/208. Informationsdarstellung Äquivalente Information in verschiedenen Darstellungen: Schrift: Die Katze sitzt am Fenster Bild Sprache Zeichensprache. Kapitel Prof. Matthias Werner Professur
MehrInformation und ihre Darstellung
. Information und ihre Darstellung Wintersemester 207/208. Informationsdarstellung Äquivalente Information in verschiedenen Darstellungen: Schrift: Die Katze sitzt am Fenster Bild Sprache Zeichensprache.
Mehr2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 58 Schaltalgebra Wir untersuchen
Mehr2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung
2. Schaltfunktionen und ihre Darstellung x y z Schaltalgebra Schaltkreise und -terme Schaltfunktionen Dualitätsprinzip Boolesche Algebra Darstellung von Schaltfunktionen 60 Schaltalgebra Wir untersuchen
Mehr5. Vorlesung: Normalformen
5. Vorlesung: Normalformen Wiederholung Vollständige Systeme Minterme Maxterme Disjunktive Normalform (DNF) Konjunktive Normalform (KNF) 1 XOR (Antivalenz) X X X X X X ( X X ) ( X X ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1
MehrKonjunktive und disjunktive Normalformen
Konjunktive und disjunktive Normalformen Nachdem gesprochen wurde, wie man Boolesche Terme unter einer Belegung der Variablen interpretiert und dass somit jeder Boolesche Term eine Boolesche Funktion repräsentiert,
MehrTU9 Aussagenlogik. Daniela Andrade
TU9 Aussagenlogik Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 18.12.2017 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2 /
MehrSchaltfunktion, Definition
Schaltfunktion, Definition Sei S = { 0,1}. Dann heißt eine Abbildung f: S n S eine Schaltfunktion. = f(x n-1,x n-2,...,,, ), x n-1, x n-2,...,,, S x i X = (x n-1,x n-2,...,,, ) Eingangsvariable Eingangsvektor
MehrLogik für Informatiker
Vorlesung Logik für Informatiker 5. Aussagenlogik Normalformen Bernhard Beckert Universität Koblenz-Landau Sommersemester 2006 Logik für Informatiker, SS 06 p.1 Normalformen Definition: Literal Atom (aussagenlogische
MehrNormalformen boolescher Funktionen
Normalformen boolescher Funktionen Jeder boolesche Ausdruck kann durch (äquivalente) Umformungen in gewisse Normalformen gebracht werden! Disjunktive Normalform (DNF) und Vollkonjunktion: Eine Vollkonjunktion
MehrKapitel 4. Programmierkurs. Datentypen. Arten von Datentypen. Wiederholung Kapitel 4. Birgit Engels, Anna Schulze WS 07/08
Kapitel 4 Programmierkurs Birgit Engels, Anna Schulze Wiederholung Kapitel 4 ZAIK Universität zu Köln WS 07/08 1 / 23 2 Datentypen Arten von Datentypen Bei der Deklaration einer Variablen(=Behälter für
MehrTeil 1: Digitale Logik
Teil 1: Digitale Logik Inhalt: Boolesche Algebra kombinatorische Logik sequentielle Logik kurzer Exkurs technologische Grundlagen programmierbare logische Bausteine 1 Analoge und digitale Hardware bei
MehrKapitel 1. Aussagenlogik
Kapitel 1 Aussagenlogik Einführung Mathematische Logik (WS 2012/13) Kapitel 1: Aussagenlogik 1/17 Übersicht Teil I: Syntax und Semantik der Aussagenlogik (1.0) Junktoren und Wahrheitsfunktionen (1.1) Syntax
MehrBinary Decision Diagrams
Hauptseminar Model Checking Binary Decision Diagrams Kristofer Treutwein 23.4.22 Grundlagen Normalformen Als kanonische Darstellungsform für boolesche Terme gibt es verschiedene Normalformen, u.a. die
MehrKapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung
Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 1 Schaltfunktionen und ihre Darstellung Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 1 Kapitel 1: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite 1 Motivation
MehrRechnerstrukturen WS 2012/13
Rechnerstrukturen WS 2012/13 Boolesche Funktionen und Schaltnetze Rechner-Arithmetik Addition (Wiederholung) Multiplikation Wallace-Tree Subtraktion Addition negativer Zahlen Gleitkommazahlen-Arithmetik
MehrÜbung 4: Aussagenlogik II
Übung 4: Aussagenlogik II Diskrete Strukturen im Wintersemester 2013/2014 Markus Kaiser 8. Januar 2014 1/10 Äquivalenzregeln Identität F true F Dominanz F true true Idempotenz F F F Doppelte Negation F
MehrAussagenlogik. Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik. 2 Teil 2: Modellierung und Beweise. Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25
Aussagenlogik Übersicht: 1 Teil 1: Syntax und Semantik 2 Teil 2: Modellierung und Beweise Aussagenlogik H. Kleine Büning 1/25 Einführendes Beispiel Falls Lisa Peter trifft, dann trifft Lisa auch Gregor.
MehrVorkurs Mathematik für Informatiker 5 Logik, Teil 1
5 Logik, Teil 1 Michael Bader, Thomas Huckle, Stefan Zimmer 1. 9. Oktober 2008 Kap. 5: Logik, Teil 1 1 Aussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: true und false Kap. 5: Logik, Teil 1 2 Aussagenlogik Rechnen
Mehr6.2 Kodierung von Zahlen
6.2 Kodierung von Zahlen Neue Begriffe é Festkommadarstellungen é Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen é Einer-/Zweierkomplement-Darstellung é Gleitkommadarstellung é IEEE-754 Format BB TI I 6.2/1
MehrTU5 Aussagenlogik II
TU5 Aussagenlogik II Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 21.11.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;)
Mehrkanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen
5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,
MehrC.34 C Normalformen (4) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra. 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (2) 5.7 Hauptsatz der Schaltalgebra (3)
5.6 Normalformen (4) Noch mehr aber besonders wichtige Begriffe kanonische disjunktive Normalform (KDNF, DKF) Disjunktion einer Menge von Mintermen mit gleichen Variablen Beispiel: KDNF zur Funktion f(,,,
MehrAufgabe. Gelten die folgenden Äquivalenzen?. 2/??
Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen (semantisch) äquivalent, falls für alle Belegungen A, die sowohl für F als auch für G passend sind, gilt A(F ) = A(G). Hierfür schreiben wir F G.. 1/?? Aufgabe Gelten
MehrKleine lateinische Buchstaben wie z. B. p, q, r, s t, usw.
1.1 Aussagenlogik Grundlagen der Mathematik 1 1.1 Aussagenlogik Definition: Aussage Eine Aussage im Sinne der Logik ist ein formulierter Tatbestand, der sich bei objektiver Prüfung immer eindeutig als
MehrInformatik I Tutorium WS 07/08
Informatik I Tutorium WS 07/08 Vorlesung: Prof. Dr. F. Bellosa Übungsleitung: Dipl.-Inform. A. Merkel Tutorium: 2 Tutor: Jens Kehne Tutorium 7: Dienstag,. Dezember 2007 Agenda des heutigen Tutoriums Übersicht
MehrKapitel 1.3. Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln
Kapitel 1.3 Normalformen aussagenlogischer Formeln und die Darstellbarkeit Boolescher Funktionen durch aussagenlogische Formeln Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.3: Normalformen 1/ 29 Übersicht
MehrAnwendung Informatik Daten verwalten (2) Ursprüngliche Information Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung
Agenda für heute, 20. November 2009 Daten verwalten (2): Drei Stufen der Datenverwaltung Logische Verknüpfungen als Grundlage für die Informationsgewinnung Werte von Aussagen: Wahrheitstabellen Anwendung
MehrAussagenlogik. 1 Einführung. Inhaltsverzeichnis. Zusammenfassung
Tobias Krähling email: Homepage: 13.10.2012 Version 1.2 Zusammenfassung Die Aussagenlogik ist sicherlich ein grundlegendes mathematisches Gerüst für weitere
Mehr2. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren
2. Tutorium Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Tutorium Nr. 9 Alexis Tobias Bernhard Fakultät für Informatik, KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
Mehr1. Grundlegende Konzepte der Informatik
1. Grundlegende Konzepte der Informatik Inhalt Algorithmen Darstellung von Algorithmen mit Programmablaufplänen Beispiele für Algorithmen Aussagenlogik Zahlensysteme Kodierung Peter Sobe 1 Aussagenlogik
MehrTechnische Informatik I
Rechnerstrukturen Dario Linsky Wintersemester 2010 / 2011 Zeit und Ort Mittwochs, 16 bis 18 Uhr Hörsaal V, Mehrzweckgebäude Lahnberge Zwischenklausur am 15.12.2010 Abschlussklausur am 16.02.2011 Zulassungskriterien
MehrAlgorithmen & Programmierung. Logik
Algorithmen & Programmierung Logik Aussagenlogik Gegenstand der Untersuchung Es werden Verknüpfungen zwischen Aussagen untersucht. Aussagen Was eine Aussage ist, wird nicht betrachtet, aber jede Aussage
MehrBB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1. Ein Stellenwertsystem (Zahlensystem) ist ein Tripel S = (b, Z, δ) mit den folgenden Eigenschaften:
Neue Begriffe Festkommadarstellungen Zahlendarstellung durch Betrag und Vorzeichen Einer-/Zweierkomplement-Darstellung Gleitkommadarstellung IEEE-754 Format BB/CS- SS00 Rechner im Überblick 1/1! Definition
MehrB: Basis des Zahlensystems 0 a i < B a i є N 0 B є (N > 1) Z = a 0 B 0 + a 1 B 1 + a 2 B a n-1 B n-1
Polyadisches Zahlensystem B: Basis des Zahlensystems 0 a i < B a i є N 0 B є (N > 1) Ganze Zahlen: n-1 Z= a i B i i=0 Z = a 0 B 0 + a 1 B 1 + a 2 B 2 +... + a n-1 B n-1 Rationale Zahlen: n-1 Z= a i B i
MehrSyntax. 1 Jedes A AS AL ist eine (atomare) Formel. 2 Ist F eine Formel, so ist auch F eine Formel. 3 Sind F und G Formeln, so sind auch
Formale der Informatik 1 Kapitel 15 Folgerbarkeit, Äquivalenzen und Normalformen Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 8. Juni 2015 Syntax Definition (Syntax der Aussagenlogik) Mit AS AL sei
Mehr5 Zahlenformate und deren Grenzen
1 5 Zahlenformate und deren Grenzen 5.1 Erinnerung B-adische Zahlendarstellung Stellenwertsystem: Jede Ziffer hat ihren Wert, und die Stelle der Ziffer in der Zahl modifiziert den Wert. 745 = 7 100 + 4
MehrInformatik A (Autor: Max Willert)
2. Aufgabenblatt Wintersemester 2012/2013 - Musterlösung Informatik A (Autor: Max Willert) 1. Logik im Alltag (a) Restaurant A wirbt mit dem Slogan Gutes Essen ist nicht billig!, das danebenliegende Restaurant
MehrMathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18
Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 19. Oktober 2017 1/27 Zu der Vorlesung gibt es ein Skript, welches auf meiner Homepage
Mehr4. OBDDs und Modellüberprüfung
4. OBDDs und Modellüberprüfung OBDD Ordered Binary Decision Diagrams Geordnete binäre Entscheidungsdiagramme Binäres Entscheidungsdiagramm: in der einfachsten Form ein binärer Entscheidungsbaum, in dem
MehrTheorie der Informatik. Theorie der Informatik. 2.1 Äquivalenzen. 2.2 Vereinfachte Schreibweise. 2.3 Normalformen. 2.
Theorie der Informatik 24. Februar 2014 2. Aussagenlogik II Theorie der Informatik 2. Aussagenlogik II 2.1 Äquivalenzen Malte Helmert Gabriele Röger 2.2 Vereinfachte Schreibweise Universität Basel 24.
MehrEinführung in die Computerorientierte Mathematik
Einführung in die Computerorientierte Mathematik Wintersemester 2014/15 Thomas Gerstner Institut für Mathematik Goethe-Universität Frankfurt 28. Oktober 2014 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ii 1
MehrTechnische Informatik I, SS03. Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik
Übung zur Vorlesung Technische Informatik I, SS03 Ergänzung Übungsblatt 1 Boole sche Algebra, Kombinatorische Logik Guenkova, Schmied, Bindhammer, Sauer {guenkova@vs., schmied@vs., bindhammer@vs., dietmar.sauer@}
MehrKapitel 3. Grunddatentypen, Ausdrücke und Variable
Kapitel 3 Grunddatentypen, Ausdrücke und Variable Grunddatentypen, Ausdrücke und Variable 1 Eine Datenstruktur besteht aus Grunddatentypen in Java einer Menge von Daten (Werten) charakteristischen Operationen
MehrAussagenlogik. Formale Methoden der Informatik WiSe 2010/2011 teil 7, folie 1 (von 50)
Aussagenlogik Formale Methoden der Informatik WiSe 2/2 teil 7, folie (von 5) Teil VII: Aussagenlogik. Einführung 2. Boolesche Funktionen 3. Boolesche Schaltungen Franz-Josef Radermacher & Uwe Schöning,
MehrDuE-Tutorien 4 und 6. Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery. WOCHE 4 AM
DuE-Tutorien 4 und 6 Tutorien zur Vorlesung Digitaltechnik und Entwurfsverfahren Christian A. Mandery WOCHE 4 AM 13.11.2012 KIT Universität des Landes Baden-Württemberg und nationales Forschungszentrum
MehrKapitel 1.0. Aussagenlogik: Einführung. Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1
Kapitel 1.0 Aussagenlogik: Einführung Mathematische Logik (WS 2011/12) Kapitel 1.0: Aussagenlogik: Einführung 1/ 1 Ziele der Aussagenlogik In der Aussagenlogik analysiert man die Wahrheitswerte zusammengesetzter
Mehr183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10.
VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra 183.580, WS2012 Übungsgruppen: Mo., 22.10. Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A
MehrZum Nachdenken. Wenn die Zahl (123) hat, was könnte dann (123,45) 10
TECHNISCHE HOCHSCHULE NÜRNBERG GEORG SIMON OHM Zum Nachdenken Wenn die Zahl (123) 10 den Wert 1. 10 2 +2. 10 1 +3. 10 0 hat, was könnte dann (123,45) 10 bedeuten? Wenn Sie beliebige reelle Zahlenwerte
MehrWertebereiche, Overflow und Underflow
Wertebereiche, Overflow und Underflow s exponent fraction 1 Bit 8 Bits 23 Bits Kleinste darstellbare nicht negative Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Größte darstellbare Zahl annähernd 2,0 * 10 38 Was, wenn die
MehrMultiplikation. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79
Multiplikation Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79 Multiplikation nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel: Multiplikand A: 1 1 0 1 0 Multiplikator
MehrGrundlagen der Technischen Informatik. 4. Übung
Grundlagen der Technischen Informatik 4. Übung Christian Knell Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit 4. Übungsblatt Themen Aufgabe 1: Aufgabe 2: Aufgabe 3: Aufgabe 4: IEEE Format Zahlenumwandlung
MehrEinführung in die Boolesche Algebra
Einführung in die Boolesche Algebra Einführung in Boole' sche Algebra 1 Binäre Größe Eine Größe (eine Variable), die genau 2 Werte annehmen kann mathematisch: falsche Aussage wahre Aussage technisch: ausgeschaltet
MehrA.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze
Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware
Mehr1. Grundlagen. Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen
1. Grundlagen Gliederung 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen 1.3 Natürliche Zahlen 1.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen Peter Buchholz 2016 MafI 2 Grundlagen 7 1.1 Was ist Analysis? Analysis ist
MehrMathematische Grundlagen I Logik und Algebra
Logik und Algebra Dr. Tim Haga 21. Oktober 2016 1 Aussagenlogik Erste Begriffe Logische Operatoren Disjunktive und Konjunktive Normalformen Logisches Schließen Dr. Tim Haga 1 / 21 Präliminarien Letzte
Mehr1. Grundlagen. 1.1 Was ist Analysis? 1.2 Aussagen und Mengen
. Grundlagen Gliederung. Was ist Analysis?.2 Aussagen und Mengen.3 Natürliche Zahlen.4 Ganze Zahlen, rationale Zahlen. Was ist Analysis? Analysis ist neben der linearen Algebra ein Grundpfeiler der Mathematik!
MehrMathematik für Informatiker I
Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom 19.10.2004 In diesem Kurs geht es um Mathematik und um Informatik. Es gibt sehr verschiedene Definitionen, aber für mich ist Mathematik die Wissenschaft
MehrKapitel 2: Schaltfunktionen und ihre Darstellung
Kapitel 2: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 2 Schaltfunktionen und ihre Darstellung Kapitel 2: Schaltfunktionen und ihre Darstellung Seite / 57 Kapitel 2: Schaltfunktionen und ihre Darstellung
MehrInformatik A. Prof. Dr. Norbert Fuhr auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser
Informatik A Prof. Dr. Norbert Fuhr fuhr@uni-duisburg.de auf Basis des Skripts von Prof. Dr. Wolfram Luther und der Folien von Peter Fankhauser 1 Teil I Logik 2 Geschichte R. Descartes (17. Jhdt): klassische
Mehr3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik
3. Grundlegende Begriffe von Logiken - Aussagenlogik Wichtige Konzepte und Begriffe in Logiken: Syntax (Signatur, Term, Formel,... ): Festlegung, welche syntaktischen Gebilde als Formeln (Aussagen, Sätze,
MehrEinführung in die Theoretische Informatik
Einführung in die Theoretische Informatik Woche 4 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Modus Ponens A B B A MP Axiome für
MehrComputational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution
Computational Logic Algorithmische Logik Boolesche Algebra und Resolution Ralf Moeller Hamburg Univ. of Technology Boole'sche Algebra Äquivalenzen als "Transformationsgesetze" Ersetzbarkeitstheorem Zentrale
MehrZwischenklausur Informatik, WS 2014/15
Zwischenklausur Informatik, WS /5.. Zugelassene Hilfsmittel: außer Stift und Papier keine Hinweis: Geben Sie bei allen Berechnungen den vollständigen Rechenweg mit an! Alle Aufgaben/Fragen sind unmittelbar
MehrBoolesche Funktionen und Schaltkreise
Boolesche Funktionen und Schaltkreise Die Oder-Funktion (Disjunktion) und die Und-Funktion (Konjunktion), x y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 x y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 (Implikationsfunktion), ( umgekehrte
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel WS 2013/14. TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik WS 2013/14 Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 30. Oktober 2013 1/35 1 Boolesche
Mehr2 Darstellung von Zahlen und Zeichen
2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f
MehrLineare Algebra I. Anhang. A Relationen. Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA. Wintersemester 2009/10
Fakultät für Mathematik Fachgebiet Mathematische Informatik Anhang Lineare Algebra I Heinz H. GONSKA, Maria D. RUSU, Michael WOZNICZKA Wintersemester 2009/10 A Relationen Definition A.1. Seien X, Y beliebige
MehrSyntax der Aussagenlogik. Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen. Formel als Syntaxbaum. Teilformel A 3 A 1 A 4
Syntax der Vorlesung Logik Sommersemester 2012 Universität Duisburg-Essen Barbara König Übungsleitung: Christoph Blume Eine atomare Formel hat die Form A i (wobei i = 1, 2, 3,...). Definition (Formel)
MehrAbschnitt 2: Daten und Algorithmen
Abschnitt 2: Daten und Algorithmen 2. Daten und Algorithmen 2.1 Zeichenreihen 2.2 Datendarstellung durch Zeichenreihen 2.3 Syntaxdefinitionen 2.4 Algorithmen 2 Daten und Algorithmen Einf. Progr. (WS 08/09)
Mehr2.1.2 Gleitkommazahlen
.1. Gleitkommazahlen Überblick: Gleitkommazahlen Gleitkommadarstellung Arithmetische Operationen auf Gleitkommazahlen mit fester Anzahl von Mantissen- und Exponentenbits Insbesondere Rundungsproblematik:
Mehr3. Logik 3.1 Aussagenlogik
3. Logik 3.1 Aussagenlogik WS 06/07 mod 301 Kalkül zum logischen Schließen. Grundlagen: Aristoteles 384-322 v. Chr. Aussagen: Sätze, die prinzipiell als ahr oder falsch angesehen erden können. z. B.: Es
MehrZwischenklausur Informatik, WS 2016/17. Lösungen zu den Aufgaben
Zwischenklausur Informatik, WS 206/7 4.2.206 Lösungen zu den Aufgaben. Gegeben sind folgende Dualzahlen in Zweierkomplementdarstellung. Geben Sie den jeweils zugehörigen Dezimalwert an! a) entspricht der
MehrFormale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Hornformeln
Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 16 Normalformen und Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 9. Juni 2015 Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 1/36 Ersetzbarkeitstheorem
Mehr3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik
3 Boole'sche Algebra und Aussagenlogik 3- Boole'sche Algebra Formale Grundlagen der Informatik I Herbstsemester 22 Robert Marti Vorlesung teilweise basierend auf Unterlagen von Prof. emer. Helmut Schauer
MehrRückblick. Addition in der b-adischen Darstellung wie gewohnt. Informatik 1 / Kapitel 2: Grundlagen
Rückblick Addition in der b-adischen Darstellung wie gewohnt 5 0 C E + D 4 2 D = 44 Rückblick Multiplikation in der b-adischen Darstellung wie gewohnt 1 0 1 0 1 0 1 = 45 Rückblick Darstellung negativer
MehrGrundlagen der Rechnerarchitektur. Binäre Logik und Arithmetik
Grundlagen der Rechnerarchitektur Binäre Logik und Arithmetik Übersicht Logische Operationen Addition, Subtraktion und negative Zahlen Logische Bausteine Darstellung von Algorithmen Multiplikation Division
Mehr4. Zahlendarstellungen
121 4. Zahlendarstellungen Wertebereich der Typen int, float und double Gemischte Ausdrücke und Konversionen; Löcher im Wertebereich; Fliesskommazahlensysteme; IEEE Standard; Grenzen der Fliesskommaarithmetik;
MehrRechnerstrukturen. Michael Engel und Peter Marwedel SS TU Dortmund, Fakultät für Informatik
Rechnerstrukturen Michael Engel und Peter Marwedel TU Dortmund, Fakultät für Informatik SS 2013 Hinweis: Folien a. d. Basis von Materialien von Gernot Fink und Thomas Jansen 25. April 2013 1 Boolesche
MehrLogik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen
Logik Vorlesung 3: Äquivalenz und Normalformen Andreas Maletti 7. November 2014 Überblick Inhalt 1 Motivation und mathematische Grundlagen 2 Aussagenlogik Syntax und Semantik Äquivalenz und Normalformen
MehrEinführung in die Informatik I
Einführung in die Informatik I Arithmetische und bitweise Operatoren im Binärsystem Prof. Dr. Nikolaus Wulff Operationen mit Binärzahlen Beim Rechnen mit Binärzahlen gibt es die ganz normalen arithmetischen
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1
Vorlesung Diskrete Strukturen Rechnen mit 0 und 1 Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung
Mehr2.5 Primitive Datentypen
2.5 Primitive Datentypen Wir unterscheiden 5 primitive Datentypen: ganze Zahlen -2, -1, -0, -1, -2,... reelle Zahlen 0.3, 0.3333..., π, 2.7 10 4 Zeichen a, b, c,... Zeichenreihen "Hello World", "TIFI",
MehrWas ist Logik? Was ist Logik? Aussagenlogik. Wahrheitstabellen. Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie
Was ist Logik? Geschichte der Logik eng verknüpft mit Philosophie Begriff Logik wird im Alltag vielseitig verwendet Logik untersucht, wie man aus Aussagen andere Aussagen ableiten kann Beschränkung auf
Mehr